102學年度，輔仁大學光電物理二年級上課講義。

1. 電路學第五章
含一個電容或電感的電路
授課老師 : 張敏娟
儲存能量的電容與電感
1

2. 第一部分
儲存能量的電容與電感
2

3. 3

4. 4

5. 內容大綱
5

6. 一、電容與電感基本公式
被動元件
電壓
電流
功率
能量
電感 電容
6

7. 二、電容符號與外觀
q Cv=
A
C
d
ε
=
7

8. 小問題:輸入電壓v(t)=3+4exp(-2t) V for t>0。
輸出電流i(t)=0.3-1.6exp(-2t) A for t>0.
則圖中電阻值_____歐姆，電容值_____法拉。
8

9. 答案:10歐姆,0.25法拉
9

10. 詳解：
KCL
ic(t)+iR(t)=i(t)
小問題:輸入電壓v(t)=3+4exp(-2t) V for t>0。輸出電流i(t)=0.3-
1.6exp(-2t) A for t>0.
則圖中電阻值_____歐姆，電容值_____法拉。
係數比對
10

11. 詳解：
小問題:輸入電壓v(t)=3+4exp(-2t) V for t>0。輸出電流i(t)=0.3-
1.6exp(-2t) A for t>0.
則圖中電阻值_____歐姆，電容值_____法拉。
係數比對
11

12. 並聯電容器
KCL:
1 2 3 Ni i i i i= + + + +
1 2 3
1
N
N
k eq
k
dv dv dv dv
i C C C C
dt dt dt dt
dv dv
C C
dt dt=
= + + + +
 
= 
 
∑

1 2 3eq NC C C C C= + + + +
12

13. 串聯電容器
KVL
1 2 3 Nv v v v v= + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0
0
1 0 2 0 3 0 0
1 2 3
1 0 2 0 3 0 0
1 2 3
0
1 1 1 1
1 1 1 1
1
t t t t
N
Nt t t t
t
N
N t
t
eq t
v i d v t i d v t i d v t i d v t
C C C C
i d v t v t v t v t
C C C C
i d v t
C
τ τ τ τ τ τ τ τ
τ τ
τ τ
= + + + + + + + +
 
= + + + + + + + + + 
 
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫

 
1 2 3
1 1 1 1 1
eq NC C C C C
= + + + +
13

14. 小問題:電容值C= _____micro法拉。
14

15. 答案: C=10micro法拉
15

16. C1
詳解：
小問題:電容值C= _____micro法拉。
16

17. C2
小問題:電容值C= _____micro法拉。
C1=C/2
17

18. 小問題:電容值C= _____micro法拉。
C2=5C/2
18

19. 小問題:電容值C= _____micro法拉。
Ctotal=5C/7
19

20. 三、電感符號與外觀
2
N A
L
l
µ
=
20

21. 串聯電感器
KVL
1 2 3 Nv v v v v= + + + +
1 2 3
1
N
N
k eq
k
di di di di
v L L L L
dt dt dt dt
di di
L L
dt dt=
= + + + +
 
= 
 
∑

1 2 3eq NL L L L L= + + + +
21

22. 並聯電感器
KCL
1 2 3 Ni i i i i= + + + +
( ) ( )0 0
0 0
1 1
1 1N Nt t
kt t
k kk eq
i vdt i t vdt i t
L L=
 
= + = + 
 
∑ ∑∫ ∫
1 2 3
1 1 1 1 1
eq NL L L L L
= + + + +
22

23. 小問題:電感值L _____亨利。
23

24. 答案: L=2.86亨利
24

25. 詳解：
L1
小問題:電感值L _____亨利。
25

26. 小問題:電感值L _____亨利。
26
L/2

27. 小問題:電感值L _____亨利。
27
5L/2
𝐿 =
103
5 × 7 × 10
= 2.86

28. 四、開關電路的初始條件(電容)
開關改變瞬間，電壓值連續。
儲存電荷不會瞬間消失的特性
28

29. 小問題: i(t)=0.5 (0<t<0.5), 2 (0.5<t<1.5), 0 (t>1.5).
而v(t)=2t+8.6 (0<=t<=0.5), at+b (0.5<=t<=1.5),
c(t>=1.5).其中a, b, c都是固定實數。電流單位是安培，電壓
單位是伏特。時間的單位是秒。請計算出
a= _____ V/s, b= _____V, c= _____V.
29

30. 答案: a=8V/s, b=5.6V, c=17.6V.
30

31. 小問題: i(t)=0.5 (0<t<0.5), 2 (0.5<t<1.5), 0 (t>1.5). 而v(t)=2t+8.6
(0<=t<=0.5), at+b (0.5<=t<=1.5), c(t>=1.5).其中a, b, c都是固定實數。
電流單位是安培，電壓單位是伏特。時間的單位是秒。請計算出
a= _____ V/s, b= _____V, c= _____V.
31
詳解：

32. 小問題: i(t)=0.5 (0<t<0.5), 2 (0.5<t<1.5), 0 (t>1.5). 而v(t)=2t+8.6
(0<=t<=0.5), at+b (0.5<=t<=1.5), c(t>=1.5).其中a, b, c都是固定實數。
電流單位是安培，電壓單位是伏特。時間的單位是秒。請計算出
a= _____ V/s, b= _____V, c= _____V.
32
詳解：
(1)

33. 小問題: i(t)=0.5 (0<t<0.5), 2 (0.5<t<1.5), 0 (t>1.5). 而v(t)=2t+8.6
(0<=t<=0.5), at+b (0.5<=t<=1.5), c(t>=1.5).其中a, b, c都是固定實數。
電流單位是安培，電壓單位是伏特。時間的單位是秒。請計算出
a= _____ V/s, b= _____V, c= _____V.
33
詳解： (2)
由於電容儲存的電
荷不會瞬間消失的
特性，電壓值連續

34. 小問題: i(t)=0.5 (0<t<0.5), 2 (0.5<t<1.5), 0 (t>1.5). 而v(t)=2t+8.6
(0<=t<=0.5), at+b (0.5<=t<=1.5), c(t>=1.5).其中a, b, c都是固定實數。
電流單位是安培，電壓單位是伏特。時間的單位是秒。請計算出
a= _____ V/s, b= _____V, c= _____V.
34
詳解： (3)
由於電容儲存的電荷
不會瞬間消失的特性，
電壓值連續

35. 開關電路的初始條件(電感)
35
開關改變瞬間，電流值連續。
儲存電流不會瞬間消失的特性

36. 小問題: i(t)=5t-4.6 (0<=t<=0.2), at+b (0.2<=t<=0.5), c
(t>=0.5). 而v(t)=12.5 (0<t<0.2), 25 (0.2<t<0.5), 0(t>0.5).
其中a, b, c都是固定實數。電流單位是安培，電壓單位是伏特。
時間的單位是秒。請計算出
a= _____ A/s, b= _____ A, c= _____ A.
36

37. 答案: a=10A/s, b=-5.6A, c=-0.6A.
37

38. 詳解：
小問題: i(t)=5t-4.6 (0<=t<=0.2), at+b (0.2<=t<=0.5), c (t>=0.5). 而
v(t)=12.5 (0<t<0.2), 25 (0.2<t<0.5), 0(t>0.5). 其中a, b, c都是固定實數。
電流單位是安培，電壓單位是伏特。時間的單位是秒。請計算出
a= _____ A/s, b= _____ A, c= _____ A.
38
𝑎𝑎 + 𝑏

39. 詳解：
小問題: i(t)=5t-4.6 (0<=t<=0.2), at+b (0.2<=t<=0.5), c (t>=0.5). 而
v(t)=12.5 (0<t<0.2), 25 (0.2<t<0.5), 0(t>0.5). 其中a, b, c都是固定實數。
電流單位是安培，電壓單位是伏特。時間的單位是秒。請計算出
a= _____ A/s, b= _____ A, c= _____ A.
39
(1)
𝑎𝑎 + 𝑏
a=10

40. 詳解：
小問題: i(t)=5t-4.6 (0<=t<=0.2), at+b (0.2<=t<=0.5), c (t>=0.5). 而
v(t)=12.5 (0<t<0.2), 25 (0.2<t<0.5), 0(t>0.5). 其中a, b, c都是固定實數。
電流單位是安培，電壓單位是伏特。時間的單位是秒。請計算出
a= _____ A/s, b= _____ A, c= _____ A.
40
(2)
𝑎𝑎 + 𝑏
由於電感儲存的電流
不會瞬間消失的特性，
電流值連續

41. 詳解：
小問題: i(t)=5t-4.6 (0<=t<=0.2), at+b (0.2<=t<=0.5), c (t>=0.5). 而
v(t)=12.5 (0<t<0.2), 25 (0.2<t<0.5), 0(t>0.5). 其中a, b, c都是固定實數。
電流單位是安培，電壓單位是伏特。時間的單位是秒。請計算出
a= _____ A/s, b= _____ A, c= _____ A.
41
(3)
𝑎𝑎 + 𝑏
由於電感儲存的電流
不會瞬間消失的特性，
電流值連續

42. 電阻、電容、電感公式比較
42

43. 電阻、電容、電感公式比較
43

44. 電阻、電容、電感公式比較
44

45. 小問題:整個電路在開關打開前處於穩定態。請求
出在開關打開前瞬間的 iL(0-)= _____ A,
vc(0-)= _____ V, vR(0-)= _____ V. 以及開關
打開後瞬間的 vR (0+)= _____ V。
45

46. 答案: iL(0-)=0.4A, vc(0-)=16V,
vR(0-)=0V , vR (0+)=-12V。
46

47. 詳解：
開關打開前處於穩定態
電感=短路
電容=斷路
小問題:整個電路在開關打開前處於穩定態。請求出在開關打開前瞬間的 iL(0-)= _____ A,
vc(0-)= _____ V, vR(0-)= _____ V. 以及開關打開後瞬間的 vR (0+)= _____ V。
47
短路
斷路
t<0

48. 詳解：
開關打開前處於穩定態
電感=短路
電容=斷路
小問題:整個電路在開關打開前處於穩定態。請求出在開關打開前瞬間的 iL(0-)= _____ A,
vc(0-)= _____ V, vR(0-)= _____ V. 以及開關打開後瞬間的 vR (0+)= _____ V。
48
短路
斷路
t<0
利用分壓法可求得
電容的電壓值連續
24 ×
40
20 + 40
= 16

49. 小問題:整個電路在開關打開前處於穩定態。請求出在開關打開前瞬間的 iL(0-)= _____ A,
vc(0-)= _____ V, vR(0-)= _____ V. 以及開關打開後瞬間的 vR (0+)= _____ V。
49
t≥0
16V
0.4A

50. 五、與運算放大器的應用：積分器
( )0 0
1 t
iv v d
RC
τ τ= − ∫
50
KCL
𝑣𝑖 − 𝑣 𝑎
𝑅
= 𝐶
𝑑(𝑣 𝑎 − 𝑣 𝑜)
𝑑𝑑
0 0

51. 與運算放大器的應用：微分器
i
o
dv
v RC
dt
= −
51
KCL
𝐶
𝑑(𝑣𝑖 − 𝑣 𝑎)
𝑑𝑑
=
𝑣 𝑎 − 𝑣 𝑜
𝑅iC
iR
0 0

52. Summary1
電容與電感的基本公式
電容與電感的符號與外觀
電容與電感的串並聯
電容與電感的初始條件
積分器與微分器
52

53. 第二部分
含一個電容或電感的電路
53

54. 54

55. 55

56. 內容大綱
56

57. 一、一階微分電路的定義
57
一個電容或電感
電阻、
運算放大器、
電源

58. 一、一階微分電路的定義
58
一個電容或電感
一個電容
戴維寧
電阻、
運算放大器、
電源

59. 一、一階微分電路的定義
59
一個電容或電感
一個電容
戴維寧
一個電感諾頓
電阻、
運算放大器、
電源

60. 舉例：Source Free RC Circuit
( ) 00v V=
初始電壓
60
( ) 00v V=

61. 舉例：Source Free RC Circuit
( ) 00v V=
初始電壓
KCL
0C Ri i+ =
0
dv v
dt RC
+ =
61
( ) 00v V=

62. 舉例：Source Free RC Circuit
( ) 00v V=
初始電壓
KCL
0C Ri i+ =
0
dv v
dt RC
+ =
一階微分電路
62
( ) 00v V=

63. 舉例：Source Free RC Circuit
( ) 00v V=
初始電壓
KCL
0C Ri i+ =
0
dv v
dt RC
+ =
一階微分電路
ln ln
t
v A
RC
=− +
( ) /t RC
v t Ae−
=
( ) /
0
t RC
v t V e−
=
63
( ) 00v V=
𝑑𝑑
𝑣
= −
1
𝑅𝑅
𝑑𝑑

64. Source Free RC Circuit
64
( ) /
0
t RC
v t V e−
=( ) 00v V=
因為SOURCE free, 此為自然響應。
當V0降至原本大小的1/e時，所花費的時間稱為時間常數，τ。
時間常數
𝜏 = 𝑅𝑅

65. RC放電
( )
2
2 /0 tV
p t e
R
τ−
=
2. 電流
3. 電阻所消耗的功率
65
( ) /
0
t RC
v t V e−
=
𝑝 𝑡 = 𝑖 𝑅 𝑡 𝑣(𝑡)
1. 電壓
𝑖 𝑅(𝑡) =
𝑉0
𝑅
𝑒−𝑡/𝑅𝑅
時間常數 𝜏 = 𝑅𝑅

66. 舉例：Source Free RL Circuit
( ) 00i I=
初始電流
66
( ) 00i I=

67. 舉例：Source Free RL Circuit
( ) 00i I=
0L Rv v+ =
0
di
L Ri
dt
+ =
初始電流
KVL
67
( ) 00i I=
一階微分電路

68. 舉例：Source Free RL Circuit
( ) 00i I=
0L Rv v+ =
0
di
L Ri
dt
+ =
初始電流
KVL
一階微分電路
68
( ) 00i I=
𝑑𝑑
𝑖
= −
𝑅
𝐿
𝑑𝑑
ln 𝑖 = −
𝑅
𝐿
𝑡 + ln 𝐴
𝑖(𝑡) = 𝐴𝐴−𝑅𝑡/𝐿
𝑖(𝑡) = 𝐼0 𝑒−𝑅𝑅/𝐿

69. 69
舉例：Source Free RL Circuit
( ) 00i I=
因為SOURCE free, 此為自然響應。
當I0降至原本大小的1/e時，所花費的時間稱為時間常數，τ。
𝑖(𝑡) = 𝐼0 𝑒−𝑅𝑅/𝐿
I0
0.368I0
𝑖
𝐼0 𝑒−𝑡/𝜏
L
R
τ =
時間常數

70. RL放電
70
( ) 00i I=
1. 電流
3. 電阻所消耗的功率
2. 電壓
𝑖(𝑡) = 𝐼0 𝑒−𝑅𝑅/𝐿
𝑣 𝑅 = 𝑅𝑅0 𝑒−𝑅𝑅/𝐿
𝑝 𝑡 = 𝑖 𝑅 𝑡 𝑣(𝑡)
𝑝 𝑡 = 𝐼0
2
𝑅𝑒−2𝑡/𝜏
L
R
τ =時間常數

71. 二、響應的定義
完全響應=自然響應+激勵響應
71

72. 二、響應的定義
完全響應=自然響應+激勵響應
72

73. 二、響應的定義
)1000cos()( /
δτ
++= −
tMKetv t
完全響應
完全響應=自然響應+激勵響應
73

74. 二、響應的定義
)1000cos()( /
δτ
++= −
tMKetv t
自然響應
完全響應
完全響應=自然響應+激勵響應
74

75. 二、響應的定義
)1000cos()( /
δτ
++= −
tMKetv t
自然響應 激勵響應
完全響應
完全響應=自然響應+激勵響應
75

76. 二、響應的定義
)1000cos()( /
δτ
++= −
tMKetv t
自然響應 激勵響應
完全響應
激勵響應跟源有關。
完全響應=自然響應+激勵響應
76

77. Summary2
 RL與RC電路(source free)
 響應的定義
77