Risk based portfolio with large dynamic covariance matrices
•
1 j'aime•742 vues
2017年度日本ファイナンス学会発表資料
Recommandé
Contenu connexe
Tendances
Tendances (20)
Similaire à Risk based portfolio with large dynamic covariance matrices
Similaire à Risk based portfolio with large dynamic covariance matrices (20)
Plus de Kei Nakagawa
Plus de Kei Nakagawa (10)
Risk based portfolio with large dynamic covariance matrices
- 1. RISK-BASED PORTFOLIO WITH LARGE DYNAMIC COVARIANCE MATRICES 第25回日本ファイナンス学会 2017/6/4 日興グローバルラップ株式会社 クオンツアナリスト 中川 慧
- 2. 【1】 研究の背景・目的 【2】 先行研究の整理 - リスクベース・ポートフォリオ - 共分散行列の推定 【3】 提案手法 (cDCC-GARCH+NLS) 【4】 実証分析 - パラメータ推定精度の比較 - 共分散行列の推定精度の比較 - パフォーマンス比較 【5】 まとめ アウトライン 2
- 4. ポートフォリオ DCC DCC+NLS cDCC+NLS 最小分散 最小分散(制約なし) リスクパリティ 最大分散度 推定手法(精度)によって各ポートフォリオの パフォーマンスはどう変わるか？ 推定手法 【1】 研究の目的 大規模な共分散行列の精度の良い推定手法の提案 cDCC-GARCHモデル+NonLinear Shrinkage(cDCC+NLS) 4
- 5. ・推定の難しい期待リターンを直接使用せず、リスクのみを使用するポートフォリオ構築法 【2】 先行研究の整理～リスクベース・ポートフォリオ ・最小分散(MV)、リスクパリティ(RP)、最大分散度(MD)が代表的である。 ポートフォリオ 論文 概要 MV Clarke, et al [2006] 米国市場における最小分散ポートフォリオの実証分析 MV 山田,上崎 [2009] 日本市場における最小分散ポートフォリオの実証分析 RP Qian [2005] リスクパリティ・ポートフォリオの提案とその効率性の検討 RP Maillard, et al [2010] 効率的なリスクパリティ・ウェイトの計算方法の提案 RP Baitinger, et al [2017] リスクパリティの高次モーメントへの拡張の提案と実証分析 MD Choueifaty and Coignard [2008] 最大分散度ポートフォリオの提案と実証分析 MV,RP,MD 中川 [2017] 各ポートフォリオの高次モーメントへの拡張の提案と実証分析 MV,RP,MD 本稿 様々な共分散推定方法の下での各ポートフォリオの実証分析 5
- 7. min 𝒘 𝜎 𝑃 2 = 1 2 𝒘 𝑇 𝚺𝒘 s. t. ; 𝟏 𝐓 𝒘 = 1， 0 < 𝑤𝑖 < 1 リターンの水準とは関係なくリスクのみを最小化して作られるポートフォリオ 分散共分散行列を 𝚺 = E 𝑹 − 𝝁 𝑹 − 𝝁 𝑇 とすると、 ポートフォリオの分散は𝜎 𝑃 2 = 𝒘 𝑇 𝚺𝒘と書ける。 𝑹 = 𝑅1, . . . , 𝑅 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産の収益率ベクトル 𝒘 = 𝑤1, … , 𝑤 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産のウェイトベクトル 𝝁 = 𝜇1, … , 𝜇 𝑁 𝑻 : 𝑁個の期待リターンベクトル このとき、最小分散ポートフォリオは以下を 満足するウェイトを持つ。 最小分散ポートフォリオ(MV) 𝒘 = 𝜮−𝟏 𝟏 𝟏 𝑇 𝜮−𝟏 𝟏 制約がない場合には 解析的にウェイトが求まる。 7
- 8. 全ての資産のリスク寄与度(配分)が等しいポートフォリオ Qian[2005] 𝑅𝐶2,𝑖 = 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶2,𝑖 𝜎 𝑃 2 リスク寄与度(Risk Contribution; RC)は次のように書ける。 ∵ 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶2,𝑖 = 𝜎 𝑃 2 このリスク寄与度が各資産で等しいポートフォリオを リスクパリティポートフォリオという。 𝑀𝑅𝐶2,𝑖 = 1 2 𝜕𝜎 𝑃 2 𝜕𝑤𝑖 = 𝚺𝒘 𝒊 ポートフォリオの分散をウェイトで微分した 限界リスク寄与(Marginal Risk Contribution;MRC)を以下のように定義する。 リスクパリティ・ポートフォリオ(RP) 8
- 9. min 𝒘 𝑖=1 𝑁 𝑗=1 𝑁 𝑅𝐶2,𝑖 − 𝑅𝐶2,𝑗 2 空売りを許さない場合には以下の最小化問題を解くことで、 効率的にウェイトが計算できることが示されている。 Maillard, et al[2010] s. t. 𝟏 𝐓 𝒘 = 1 リスクパリティ・ポートフォリオ(RP) 9 0 < 𝒘 < 1 また、相関を考慮せずボラティリティのみでリスクパリティにするポートフォリオを ボラティリティインバース(VI)ポートフォリオという
- 10. max 𝒘 DR(𝐰) = 𝒘 ∘ 𝝈 𝜎 𝑃 分散効果が最も享受できるポートフォリオ Choueifaty[2008] シャープレシオ最大化ポートフォリオの期待超過リターンの 代わりにボラティリティを使用したとも見れる。 このとき、最大分散度ポートフォリオは以下の分散度 (Diversification Ratio;DR) を最大化する。 ポートフォリオのボラティリティは𝜎 𝑃 = 𝒘 𝑇 𝚺𝒘 と書ける。 また、各資産のボラティリティは 𝝈 = diag 𝚺 とする。 最大分散度ポートフォリオ(MD) 10
- 11. (平成26年業務概況書 GPIF HP;http://www.gpif.go.jp/operation/state/pdf/h26_q4.pdf より筆者作成) 各ポートフォリオの比較 国内 債券 国内 株式 外国 債券 外国 株式 標準偏差 4.7 25.1 12.6 27.3 国内債券 1 -0.16 0.25 0.09 国内株式 -0.16 1 0.04 0.64 外国債券 0.25 0.04 1 0.57 外国株式 0.09 0.64 0.57 1 相関係数 GPIFのリスク見通し(右)の下での各ポートフォリオのウェイト(上)と リスク寄与度、リスク、分散度(下) GPIFのリスク見通し 11
- 12. リスク(共分散行列)の推定には2つの課題が存在する。 クロスセクション方向(𝑁)：資産数𝑁を十分に超える時点数が利用できない場合、 標本共分散行列は固有値のバイアスにより大きな推定誤差が生ずる可能性がある。 時系列方向(𝑇)：ボラティリティ・クラスタリングや資産間の相関構造の動的な変化 手法 論文 概要 Linear Shrinkage (LS) Ledoit and Wolf [2004] サンプル共分散行列の固有値の持つバイアスを一様に補正する NonLinear Shrinkage (NLS) Ledoit and Wolf [2012] 真の固有値が小さい場合さらに小さく推定されるといった偏りを持つ そのためバイアスを固有値ごとに補正する 手法 論文 概要 GARCH Bollerslev [1986] ボラティリティ・クラスタリングを表現するためのボラティリティが 時間変動するモデル DCC-GARCH Engle [2002] ボラティリティの時間変動に加え相関係数に動的構造を仮定した DCC-GARCHモデルの提案 cDCC-GARCH Aielli [2013] DCC-GARCHモデルを推定にあたって好ましい性質を持つように 理論的に修正したcDCC-GARCHモデルを提案 【2】 先行研究の整理～共分散行列の推定 12
- 13. 上記の課題に同時に対応するために縮約法とDCC-GARCHを組み合わせた推定 方法が提案された 手法 論文 概要 DCC-GARCH + LS Hafner and Reznikova [2012] LSとCompsite Likilehoodを用いたDCC-GARCHモデルの推定方法 の提案 DCC-GARCH + NLS Engle [2016] NLSとCompsite Likilehoodを用いたDCC-GARCHモデルの推定方法 の提案 cDCC-GARCH + NLS 本研究 NLSとCompsite Likilehoodを用いたcDCC-GARCHモデルの推定方法 の提案 【2】 先行研究の整理～共分散行列の推定 リスク(共分散行列)の推定には2つの課題が存在する。 時系列方向(𝑇)：ボラティリティ・クラスタリングや資産間の相関構造の動的な変化 13 クロスセクション方向(𝑁)：資産数𝑁を十分に超える時点数が利用できない場合、 標本共分散行列は固有値のバイアスにより大きな推定誤差が生ずる可能性がある。
- 14. DCC-GARCHモデル 𝑁資産の時点𝑡(1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇)におけるリターンを 𝒓 𝒕 = 𝑟1𝑡, … , 𝑟 𝑁𝑡 𝑇 条件付き共分散行列𝑉 𝒓 𝒕 𝓕 𝑡−1 = 𝑯 𝒕とする。𝑯 𝒕の変動を各資産の条件付き分散 と条件付き相関行列に分解したモデルをDCC-GARCHモデルという。 𝑸 𝒕 = 𝑺 ∘ 1 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 ∘ 𝜺 𝒕−𝟏 𝜺𝒕−𝟏 𝑇 + 𝑏 ∘ 𝑸 𝒕−𝟏 𝒓 𝒕 𝓕 𝑡−1~𝑁 𝟎, 𝑯 𝒕 𝑯 𝒕 = 𝑫 𝒕 𝑹 𝒕 𝑫 𝒕 𝑫 𝒕 2 = diag 𝜔𝑖 + diag 𝛼𝑖 ∘ 𝒓 𝒕−𝟏 𝒓𝒕−𝟏 𝑇 + diag 𝛽𝑖 ∘ 𝑫 𝒕−𝟏 2 𝜺 𝒕 = 𝑫 𝒕 −1 𝒓 𝒕 𝑹 𝑡 = diag 𝑸 𝒕 −𝟏/𝟐 𝑸𝒕diag 𝑸 𝒕 −𝟏/𝟐 𝑺は標準化された残差𝜺 𝒕のサンプル共分散行列である。 演算子∘は要素毎の積(アダマール積)を表す。 14 …リターンをDe-Garchする
- 15. 𝐿 𝐶 𝜽, 𝝓 = − 1 2 𝑡=1 𝑇 log 𝑹 𝒕 + 𝜺 𝒕 𝑇 𝑹𝒕 −𝟏 𝜺𝒕 − 𝜺 𝒕 𝑇 𝜺𝒕 DCC-GARCHモデルの推定 𝐿 𝜽, 𝝓 = 𝐿 𝑉 𝜽 + 𝐿 𝐶 𝜽, 𝝓 𝐿 𝑉 𝜽 = − 1 2 𝑡=1 𝑇 𝑛log 2𝜋 + 2log 𝑫 𝒕 + 𝒓 𝒕 𝑇 𝑫 𝒕 −𝟏 𝑫 𝒕 −𝟏 𝒓 𝒕 条件付き相関にかかる 𝝓 = (𝑎, 𝑏) 条件付き分散にかかる 𝜽 = 𝜃1, … , 𝜃 𝑁 ; 𝜃𝑖 = (𝜔𝑖, 𝛼𝑖, 𝛽𝑖) 推定すべきパラメータは これらの対数尤度𝐿 𝜽, 𝝓 は𝜽のみをパラメータとして持つ対数尤度𝐿 𝑉 𝜽 と 𝝓と𝜽からなる対数尤度𝐿 𝐶 𝜽, 𝝓 の合計に分解できる。 15
- 16. Step1: はじめに分散項𝐿 𝑉 𝜽 を推定し、 𝑫 𝒕を求める。 DCC-GARCHモデルの推定 分散項𝐿 𝑉 𝜽 と相関項𝐿 𝐶 𝜽, 𝝓 はそれぞれ別々に最大化が可能なため DCC-GARCHモデルのパラメータは次の2段階最大化で推定できる。 𝜽 = argmax 𝜽 𝐿 𝑉(𝜽) Step2: 𝜽が推定されると、𝑺を 𝑺 = 1 T 𝑡=1 𝑇 𝜺 𝒕 𝜺 𝒕 𝑇 , 𝜺 𝒕 = 𝑫 𝒕 −1 𝒓𝒕として推定する。 すると、 𝜽と 𝑺を用いて相関項𝐿 𝐶 𝜽, 𝝓 を推定できる。 𝝓 = argmax 𝝓 𝐿 𝐶( 𝜽, 𝝓) 16
- 17. 1. Step2の逆行列の計算には概ね𝑁(𝑂3)程度の計算量が必要。銘柄数𝑁が 大きい場合に現実的な時間で解くことができない。 DCC-GARCHモデルの課題 3. 𝑆の推定において資産数𝑁が大きい場合、大きな推定誤差が生ずる。 2. 𝑸 = 1 T 𝑡=1 𝑇 𝑸 𝒕が 𝑺と等しいことを仮定している。(Appendix. A参照) しかし、一般に𝑸 𝒕の期待値が𝜺 𝒕−𝟏 𝜺𝒕−𝟏 𝑻 の期待値に一致しないため仮定は成立しない。 複合尤度 (Composite Likelihood)による推定(Engle[2008]) cDCC-GARCHモデル (Aielli [2013]) Non-Linear Shrinkage (Lediot and Wolf[2012]) 17
- 18. 【3】 提案手法 cDCC-GARCH+NLS Step1: はじめに分散項𝐿 𝑉 𝜽 を推定し、 𝑫 𝒕を求める。 分散項𝐿 𝑉 𝜽 と相関項𝐿 𝐶 𝜽, 𝝓 はそれぞれ別々に最大化が可能なため cDCC-GARCHモデルのパラメータを2段階最大化で推定する。 𝜽 = argmax 𝜽 𝐿 𝑉(𝜽) Step2: 𝜽が推定されると𝝍を、 𝜺 𝒕 = diag 𝑸 𝒕 𝟏/𝟐 𝑫 𝒕 −1 𝒓 𝒕としてNonlinear Shrinkage法 で推定する。連続した2つのペアで構成された対数複合尤度関数𝐿 𝐶𝐿を 𝜽と𝝍を用 いて、 𝝓を推定できる。 𝝓 = argmax 𝝓 𝐿 𝐶𝐿( 𝜽, 𝝓) 23
- 19. Engle,et al [2008]は複合尤度(Composite Likelihood)を用いた推定方法を 提案した。これはリターンの系列𝒓 𝒕を2つずつペアにして取り出し、𝒀𝒋𝒕 = 𝑟1𝑗,𝑡, 𝑟2𝑗,𝑡 𝑇 を 作成し、各𝒀𝒋𝒕についての対数尤度関数の平均をとる (𝝓は共通)。 複合尤度 (Composite Likelihood) 本研究では連続した2つのペア𝒀𝒋𝒕 = 𝑟𝑗,𝑡, 𝑟𝑗+1,𝑡 𝑇 , 𝑗 = 1, … 𝑁 − 1を選ぶため、 計算量は𝑁(𝑂)となる。 𝒓 𝒕 = 𝑟1,𝑡 𝑟2,𝑡 𝑟3,𝑡 ⋮ 𝑟 𝑁−2,𝑡 𝑟 𝑁−1,𝑡 𝑟 𝑁,𝑡 𝒀 𝟏𝒕 = 𝑟1,𝑡, 𝑟2,𝑡 𝑇 𝒀 𝟐𝒕 = 𝑟2,𝑡, 𝑟3,𝑡 𝑇 𝒀 𝑵−𝟏𝒕 = 𝑟 𝑁−1,𝑡, 𝑟 𝑁,𝑡 𝑇 ⋮ 平均 𝑁 − 1個の 対数尤度の 18 𝑁(𝑂3) 𝑁(𝑂)
- 20. 𝑹𝒋,𝒕 = diag 𝑸𝒋,𝒕 −1/2 𝑸𝒋,𝒕diag 𝑸𝒋,𝒕 −1/2 Step2: 𝜽を得た後、各𝒀𝒋𝒕に対応する𝑺を推定し、相関項logℒ𝑗,𝑡 𝜽, 𝝓 を推定できる。 𝐿 𝐶𝐿 𝜽, 𝝓 は各logℒ𝑗,𝑡 𝜽, 𝝓 の平均値を最大化すると求まる。 複合尤度に基づくDCC-GARCHの具体的な推定はSTEP2のみ異なる 𝝓 = argmax 𝝓 𝐿 𝐶𝐿( 𝜽, 𝝓) 𝐿 𝐶𝐿 𝜽, 𝝓 = 𝑡=1 𝑇 1 𝑁 𝑗=1 𝑁 logℒ𝑗,𝑡(𝝓) logℒ𝑗,𝑡 𝜽, 𝝓 = − 1 2 (log 𝑹𝒋,𝒕 + 𝜺𝒋,𝒕 𝑇 𝑹𝒋,𝒕 −𝟏 𝜺𝒋,𝒕 − 𝜺𝒋,𝒕 𝑇 𝜺𝒋,𝒕) 複合尤度 (Composite Likelihood) 19
- 21. Aielli (2013) はDCC-GARCHの𝑸 𝒕を以下に置き換えたcorrect DCC(cDCC)-GARCHモデルを提案した。 このモデルは𝑸 𝒕の期待値が𝜺 𝒕−𝟏 ∗ 𝜺𝒕−𝟏 ∗𝑻 の期待値に一致する。 (Appendix. B参照) cDCC-GARCHモデル 𝑸 𝒕 = 𝝍 ∘ 1 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 ∘ 𝜺 𝒕−𝟏 ∗ 𝜺 𝒕−𝟏 ∗𝑻 + 𝑏 ∘ 𝑸 𝒕−𝟏 𝜺 𝒕 ∗ = diag 𝑸 𝒕 𝟏/𝟐 𝜺 𝒕 𝝍は修正した残差𝜺 𝒕 ∗ のサンプル共分散行列である。 推定はDCC-GARCHモデルのStep2で𝑺の代わりに𝝍を使用し、 𝜺 𝒕 ∗ で修正した𝑸 𝒕で推定を行う。 𝝍 = 1 T 𝑡=1 𝑇 𝜺 𝒕 ∗ 𝜺 𝒕 ∗𝑻 20
- 22. ∙ は任意の𝑟 × 𝑚行列𝑴に対して 𝑴 = Tr 𝑴𝑴 𝑻 𝑟 を満たすフロベニウスノルム。 Non-Linear Shrinkage 共分散行列のNonlinear Shrinkage法による推定はLedoit and Wolf(2012) によって提案された。 推定量 𝜮を、固有値𝑑1, … , 𝑑 𝑛を要素に持つ対角行列𝑫 𝒏と、標本共分散行列から 計算された標本固有ベクトルを要素として持つ行列𝑽 𝒏によって𝑽 𝒏 𝑫 𝒏 𝑽 𝒏 𝑻とした。 以下の損失関数のもとでの最良の推定値を求めた。 min 𝑫 𝒏 𝑽 𝒏 𝑫 𝒏 𝑽 𝒏 𝑻 − 𝜮 これを最小化する𝑫 𝒏 ∗ = diag(𝑑1 ∗ , … , 𝑑 𝑛 ∗ )は𝑣𝑖を𝑽 𝒏の𝑖番目の列とすると 𝑑𝑖 ∗ = 𝑣𝑖 𝑇 𝜮𝑣𝑖である。この𝑑𝑖 ∗ を標本固有値を用いて近似できることを示した。 21
- 23. 問題は𝑑𝑖 ∗ であるが、Ledoit and Peche(2011)は𝑑𝑖 ∗ を以下のように近似できること を示した。 𝑑𝑖 𝑜𝑟 ≡ 𝜆𝑖 1 − 𝑐 − 𝑐𝜆𝑖 𝑚 𝐹 𝜆𝑖 2 𝑐は標本数𝑛と系列𝑝の長さの比である𝑐 = 𝑝/𝑛，𝜆𝑖は標本共分散行列から推定され た𝑖番目の大きさの固有値、 𝑚 𝐹 𝜆𝑖 = 1−𝑐 𝑐𝜆 𝑖 − 1−𝑐 𝑐𝑧 𝜆𝑖 であり、𝑧𝜆𝑖は次の方程式の解である。 𝑧 − 𝑐𝑧 −∞ +∞ 𝜏 𝜏 − 𝑧 𝑑𝐻 𝜏 = 𝜆𝑖, for 𝑖 = 1, … , 𝑛 and 𝑧 ∈ ℂ+ ここで𝐻は共分散行列𝜮の極限固有値分布を表す。 したがって最良の同変推定量は𝑺 𝒏 ∗ = 𝑽 𝒏 𝑫 𝒏 𝒐𝒓 𝑽 𝒏 𝑻 , 𝑫 𝒏 𝒐𝒓 ≡ diag(𝑑1 𝑜𝑟 , … , 𝑑 𝑛 𝑜𝑟)である。 Non-Linear Shrinkage 22 実証分析に使用する具体的な実装はRのパッケージnlshrinkを用いた
- 24. 分析に使用するデータ 分析対象：TOPIX構成銘柄 対象期間：2002/1～2015/12 【4】実証分析 実装はRおよびC++で行った。 各推定手法について以下の分析を行う。推定はすべて複合尤度を用いた。 1. パラメータ推定精度の比較(Hafner and Reznikova [2012], Engle et, al [2016]) 2. 共分散行列の推定精度の比較(Zakamulin[2015]) 3. リスクベース・ポートフォリオのパフォーマンス比較 24
- 25. 【4】実証分析～パラメータ推定精度の比較 先行研究に習いパラメータの推定精度の比較を行う。 モンテカルロ法により条件付き分散のパラメータ と条件付き相関のパラメータ を持つDCC-GARCHモデルに従う 乱数を 個生成し、各推定方法の推定精度を比較する。 𝜽 = 𝜔𝑖, 𝛼𝑖, 𝛽𝑖 𝑖=1 𝑁 = (0.01,0.05,0.9) 𝝓 = (𝑎, 𝑏) = (0.05,0.93) 上図: 𝑎 = .05 下図: 𝑏 = .93 推定値の𝑀回の平均値と 標準偏差(カッコ内) 𝑀 = 10,000/𝑁 Method /N DCC DCC LS DCC NLS cDCC cDCC LS cDCC NLS 0.0497 0.0497 0.0498 0.0497 0.0495 0.0496 (0.0022) (0.0022) (0.0021) (0.0021) (0.0021) (0.0022) 0.0503 0.0504 0.0504 0.0506 0.0505 0.0506 (0.0014) (0.0014) (0.0017) (0.0012) (0.0016) (0.0015) 0.0502 0.0501 0.0502 0.051 0.051 0.0511 (0.0008) (0.0007) (0.0007) (0.0011) (0.0011) (0.001) 100 500 1000 Method /N DCC DCC LS DCC NLS cDCC cDCC LS cDCC NLS 0.9290 0.9292 0.9295 0.9294 0.9292 0.9292 (0.0035) (0.0035) (0.0035) (0.0034) (0.0033) (0.0034) 0.9278 0.9279 0.9281 0.9279 0.9275 0.9276 (0.0024) (0.0024) (0.0028) (0.0021) (0.0028) (0.0026) 0.9275 0.9277 0.9278 0.9269 0.9266 0.9268 (0.0013) (0.0011) (0.001) (0.0018) (0.0019) (0.0019) 1000 100 500 各手法ともに正しくパラメータ を推定できている 25
- 26. 𝑆𝐹𝐸𝑡 = 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑖 𝜎𝑖𝑗,𝑡 − 𝜎𝑖𝑗,𝑡 2 𝑀𝑆𝐹𝐸 = 1 𝑇 𝑡=1 𝑇 𝑆𝐹𝐸𝑡 Method /N DCC DCC NLS cDCC NLS N=100 - 3.92 19.33 N=500 - 21.48 23.49 N=1000 - 13.31 21.49 推定 𝜮 𝒕 = { 𝜎𝑖𝑗,𝑡} 𝜮 𝒕 = {𝜎𝑖𝑗,𝑡} 0 1 𝑡 𝑡 + 1 𝑀𝑆𝐹𝐸の改善率[%] 時価総額の上位𝑁銘柄 推定期間: 過去60ヵ月分(営業日ベース) 【4】実証分析～共分散行列の推定精度の比較 検証期間: 2007/1～2015/12 Zakamulin[2015]と同様の評価を行う 26
- 27. 時価総額の上位𝑁銘柄から提案手法を含む複数の手法(DCC、DCC NLS、 cDCC NLS) で共分散行列を推定し、リスクベース・ポートフォリオのシミュレーション を行う。 対象のリスクベース・ポートフォリオは、MV、ウェイト非負条件なしのMV(MV LS)、 RP、MDの4 つである。 月次でリバランス、推定期間は過去60ヵ月分(営業日ベース)、検証期間を2007 年1月から2015年12月までとする。 パフォーマンスは年率換算後のリターン、リスク、シャープレシオで評価する。 【4】実証分析～パフォーマンス比較 27
- 28. 実証分析～最小分散ポートフォリオ(MV) 銘 柄 数 の 増 加 ＋ DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 6.79 7.01 7.54 年率リスク[%] 18.47 18.40 18.16 シャープレシオ[倍] 0.37 0.38 0.42 DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 7.95 8.30 8.08 年率リスク[%] 19.21 19.01 18.88 シャープレシオ[倍] 0.41 0.44 0.43 DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 8.05 8.65 8.38 年率リスク[%] 18.20 17.99 17.84 シャープレシオ[倍] 0.44 0.48 0.47 N=100 N=500 N=1000 推定精度の改善＋ 銘柄数の増加と推定精度の改善の両方がパフォーマンスを向上させた 28
- 29. 実証分析～最小分散ポートフォリオ(MVLS) DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 9.20 8.49 11.73 年率リスク[%] 26.02 24.26 16.88 シャープレシオ[倍] 0.35 0.35 0.69 DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 9.82 6.09 10.05 年率リスク[%] 14.05 15.25 12.54 シャープレシオ[倍] 0.70 0.40 0.80 DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 4.53 7.24 8.27 年率リスク[%] 10.84 9.89 8.91 シャープレシオ[倍] 0.42 0.73 0.93 N=100 N=500 N=1000 銘 柄 数 の 増 加 ＋ 推定精度の改善＋ 銘柄数の増加と推定精度の改善の両方がパフォーマンスを大幅に向上させた 29
- 30. DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 5.55 5.66 5.72 年率リスク[%] 21.62 21.70 21.89 シャープレシオ[倍] 0.26 0.26 0.26 DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 7.46 8.05 7.98 年率リスク[%] 20.37 20.61 20.76 シャープレシオ[倍] 0.37 0.39 0.38 DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 8.99 8.95 8.99 年率リスク[%] 18.65 18.79 18.81 シャープレシオ[倍] 0.48 0.48 0.48 N=100 N=500 N=1000 実証分析～リスクパリティ(RP) 銘 柄 数 の 増 加 ＋ 推定精度の改善:影響なし 銘柄数の増加のみがパフォーマンスを向上させた 30
- 31. DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 5.67 5.68 5.63 年率リスク[%] 22.78 22.78 22.78 シャープレシオ[倍] 0.25 0.25 0.25 DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 8.05 8.04 8.04 年率リスク[%] 21.92 21.92 21.92 シャープレシオ[倍] 0.37 0.37 0.37 DCC DCC NLS cDCC NLS 年率リターン[%] 8.33 8.34 8.34 年率リスク[%] 20.52 20.52 20.52 シャープレシオ[倍] 0.41 0.41 0.41 N=100 N=500 N=1000 実証分析～最大分散度(MD) 銘 柄 数 の 増 加 ＋ 推定精度の改善:影響なし 銘柄数の増加のみがパフォーマンスを向上させた 31
- 32. まとめ 共分散行列推定の提案手法であるcDCC+NLSはもっとも推定精度が良い。 リスクパリティ、最大分散度は推定精度にパフォーマンスが依存しない。 最小分散は推定精度によって(大きく)パフォーマンスが左右される。 Q. リスクベースのポートフォリオはリスクの推定精度（計測手法） によってパフォーマンスは異なるのか？ 日本株式市場/3つの推定手法について検証 32
- 33. APPENDIX A : DCC-GARCHモデルの課題2の確認 𝑸 𝒕 = 𝛀 + 𝑎 ∘ 𝜺 𝒕−𝟏 𝜺 𝒕−𝟏 𝑇 + 𝑏 ∘ 𝑸 𝒕−𝟏 𝑸 = 1 𝑇 𝑡=1 𝑇 𝑸t ≅ 𝛀 + 𝑎 𝑺 + 𝑏 𝑸 𝑺 = 1 𝑇 𝑡=1 𝑇 𝜺 𝒕 𝜺 𝒕 𝑇 ここで、 𝑸 = 𝑺を仮定すると 𝑸 𝒕を次のように置く。 であるので、𝛀 = (1 − 𝑎 − 𝑏) 𝑺と求めることができる。 これはDCC-GARCHモデルに等しく、したがってDCC-GARCHモデルは 𝑸 = 𝑺を仮定している。
- 34. E 𝜺 𝒕 ∗ 𝜺 𝒕 ∗𝑻 = 𝐄 diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐 𝜺𝒕 𝜺𝒕 𝑇 diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐 = 𝐄 diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐 𝑫 𝒕 −1 𝒓𝒕 𝒓 𝒕 𝑻 𝑫 𝒕 −1 diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐 = 𝐄[diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐 𝑫 𝒕 −1 𝐄[ 𝒓 𝒕 𝒓 𝒕 𝑻 𝓕 𝒕−𝟏]𝑫 𝒕 −1 diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐] = 𝐄[diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐 𝑫 𝒕 −1 𝑯 𝒕 𝑫 𝒕 −1 diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐] = 𝐄[diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐 𝑫 𝒕 −1 𝑫 𝒕 𝑹 𝒕 𝑫 𝒕 𝑫 𝒕 −1 diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐] = 𝐄[diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐 𝑹 𝒕diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐] = 𝐄[diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐diag 𝑸 𝒕 −𝟏/𝟐 𝑸 𝒕diag 𝑸 𝒕 −𝟏/𝟐diag 𝑸 𝒕 𝟏 𝟐] = 𝐄[𝑸 𝒕] APPENDIX B: cDCC-GARCHモデルの残差の期待値の確認
- 35. パラメーター最適化における演算量 ・計算機スペックの比較 SPEC Engle’s paper This paper OS Mac OS X Ubuntu 16.04 CPU TYPE Intel Xeon Processor E5-1650 v2 Intel Core i7 6700 Clock Frequency 3.5GHz 3.4 GHz Core/Thread 6/12 4/8 Memory Bandwidth 59.7 GB/s 34.1 GB/s L3 Cache 12M 8M Memory DDR3 16GB x 4 DDR4 2133GHz 16GB x 4
- 36. パラメーター最適化における演算量 Optimize Scheme ・(c)DCC-GARCHモデルのパラメーター最適化(Step2)の概要 N=1,000 Structure Scheme Likelihood Scheme 初期値の入力 共分散行列の構成 約 4分程度 尤度の算出 数秒程度 … … … 最適化した値の応答 最適化全体 1~2.5時間程度 Engle[2016]: it takes less than three minutes to estimate the DCC model with nonlinear shrinkage. R C++ C++
Notes de l'éditeur
- それでは、Risk-Based Portfolio with Large Dynamic Covariance Matrices と題しまして中川が報告します。
- こちらがアウトラインになります。
- さて、運用業界では、リスクベースのポートフォリオ構築手法が注目されており、 実際にそういったコンセプトの商品もかなり増えてきました。 リスクベースのポートフォリオ構築手法とは、通常使われる平均分散法と異なり、分散共分散構造、 すなわちリスクのみを使用してポートを構築する方法です。 なぜこれが注目されるかというと、 実務的には推定の難しいといわれる期待リターンを直接使用しない点と、 様々な実証分析の結果、平均分散法あるいは時価加重型のポートフォリオを上回る パフォーマンスが得られたという点が理由としてあげられます。 主に実証、実務的な観点から出てきた手法です。 一方で、平均分散法はパラメータ、リターンとリスクの推定精度がかなりパフォーマンスに影響を与えることが知られています。 これもリスクベース・ポートフォリオを使用する理由として語られることがあるのですが、 では、果たしてリスクベースのポートフォリオはリスクの推定精度によってパフォーマンスにどういった影響が出るのでしょうか。 この点について検討した研究は私の知る限りありませんでした。 そこで、本研究では異なる共分散行列の推定方法に対して リスクベースのポートフォリオのパフォーマンスにどういった影響があるのかを実証したいと思います。
- さて、以上のような背景のもと 研究の目的を整理すると、 まずは先行研究を参考にして、 精度の良い大規模な共分散行列の推定手法の提案をおこないます。 そして、提案手法を含む複数の共分散行列の推定手法の下で、 特に推定誤差が大きくなると考えられる銘柄数の多い場合の、 リスクベース・ポートフォリオのパフォーマンスの差異を比較したいと思います。
- はじめにリスクベース・ポートフォリオの先行研究の整理を行います。 繰り返しになりますが、リスクベース・ポートフォリオは 期待リターンを使用せず、リスクのみを使用するポートフォリオ構築法です。 リスクベースのポートフォリオ構築手法の代表的なものとして 最小分散、リスクパリティ、最大分散度があります。 これらがどういったものかというのは 次のスライド以降で具体的に見ていきます。 昨年度ご報告させていただきましたが 最近では、共分散行列、2次のモーメントだけでなく、 3次、4次のモーメントまでリスクと捉えて、リスクベース・ポートフォリオを拡張する研究も行われてきています。
- 各リスクベース・ポートフォリオの関係を大森先生の論文を参考に 図示したのがこちらのスライドになります。 これらリスクベースのポートフォリオは期待リターンを考慮していないため、 構築したポートフォリオがフロンティア上にある保障はありません。 しかし、投資対象資産が特定の条件を満たせば平均分散の意味でも効率的になります。 また、特定の条件下でこれらのポートフォリオは同一のものとなります。 それを整理したのが右の図です。 直感的には各資産のリターンがリスクと比例している場合には 平均分散の意味で効率的になります。 逆にひとつでもリスクリターン比の良い資産があれば それにウェイトを置くのが効率的になるため リスクベースのポートフォリオは効率的になりません。
- それでは具体的にそれぞれのポートフォリオを見ていきます。 始めに最小分散ポートフォリオですが、 これはご承知のとおり、フロンティア上で最もリスクの小さいポートフォリオです。 最小分散ポートフォリオの具体的な定式化はスライドの通り、 単純にポートフォリオの分散を最小にします。 古くからあったこの最小分散がなぜ今さら注目されているかというと、 米国や日本の株式市場を対象とした実証分析により、最小分散ポートフォリオは 事後的には時価総額加重型のポートフォリオと比べて、 高いリスク調整後のリターンを獲得していることが報告されているからです。
- 次にリスクパリティポートフォリオですが これは全ての資産のリスク寄与度、すなわちリスクの配分が等しいポートフォリオです。 これはクオンツ系の運用会社のパナゴラアセットのチャンが提案しました。 具体的な定式化は、まずポートフォリオのリスクをウェイトで微分した 限界リスク寄与を求めます。 次にこの限界リスク寄与、これはベクトルになっていますが、 このそれぞれの要素に対して、ウェイトベクトルを掛け合わせます。 すると、分子は合計すれば、ポートフォリオの分散と等しくなるので、 これをポートフォリオの分散で割った値を各資産のリスクの寄与度と定義します。 このリスクの寄与度が各資産で一定になるポートフォリオを リスクパリティポートフォリオといいます。
- リスクパリティについては 通常の運用制約であるウェイトの非負制約とレバレッジを許容しないという条件を入れた場合に 効率的にウェイトを求める方法がメイラードによって提案されています。 具体的には、スライドのように各資産のリスク寄与度の差の2乗の合計を最小にするようにウェイトを求めます。
- 最後に最大分散度ポートフォリオは、 先ほどのリスクの源泉を均等にするリスクパリティに対して、最も分散効果が得られるポートフォリオです。 読めないですが、Choueifatyという運用会社のCEOが提案しました。 これは分散度(Diversification Ratio)を最大化するポートフォリオで、 分散度はウェイト加重した標準偏差の合計をポートフォリオ全体の標準偏差で割った値です。 したがって分散度の最大化はこの式から、相関の低い資産にウェイトを置いて 相関の高い資産のウェイトが少なくなります。
- こちらのスライドは、GPIFが毎年、内外債の株と債券のリスク見通しを毎年公表しているのですが、 それに基づいて実際に各リスクベース・ポートフォリオのウェイトとリスク寄与度、リスク、分散度を比較したグラフです。 左からGPIFの基本ポートフォリオ、最小分散、リスクパリティ、最大分散度です。 最小分散が最もリスクが低く、リスクパリティが各資産のリスク寄与度が一定で、 最大分散度が分散度が最も大きいといった各ポートフォリオの特徴がきちんと反映されていることがわかります。
- 続いて共分散行列の推定手法についての先行研究を整理します。 共分散行列を推定するにあたって、クロスセクション方向N、時系列方向Tの 2つの課題が指摘されてきました。 まず前者は、資産数Nが多い場合には、サンプルが十分に多くないと、 標本共分散行列の固有値がバイアスを持ち、 大きな推定誤差が生じることが知られています。 そこで、Lediot Wolfは、標本共分散の固有値のバイアスを補正する方法を2つ提案しました。一つが固有値を一様に補正するLinear Shrinkageという手法。 以降、LSと略します。 もう一つがそれを改良したNonLinear Shrinkageという手法です。 一般に固有値は真の値が大きい場合には大きく推定され、小さい場合には逆に小さく推定されるといった、偏り方に特徴があります。 そのためこれは、LSのように一様ではなく、個別に固有値を補正します。 こちらは以降NLSと略します。 次に時系列方向Tの課題として、これは金融時系列の特徴ですが、 ボラティリティ・クラスタリングや相関構造が動的に変化するため、 これに対応する必要があります。 ボラティリティ・クラスタリングについては GARCHモデルを代表としたさまざまな派生形のモデルが提案されており、 相関の動的な変化についてはDCC-GARCHや それを理論的に修正したcDCC-GARCHとその派生形のモデルが提案されています。 これらの手法がクロスセクション、時系列のそれぞれの課題におけるスタンダードな解決法です。
- 以上のNとTについての課題を見ましたが、 実務的には、銘柄数が多い場合は、シュリンケージをおこない、 銘柄数が少ない場合には時系列のモデルを使うことが多いです。 しかし当然、資産数が多い場合にはこれらに同時に対応しなければならず、そのような研究もあります。 まず、HafnerはLSとあとで見ていく、Composite Likelihoodを用いた 高次元のDCC-GARCHモデルの推定方法を提案しました。 そして、昨年発表されたEngleの論文では、Hafnerよりも推定精度のよい、 NLSとDCC-GARCHモデルを用いた推定方法が提案されました。 そこで、本研究では自然な拡張である、NLSとcDCC-GARCHモデルによる推定を提案します。 これらの推定精度の違いについては実証分析のところで確認します。
- では、提案手法のまえにベースとなるDCC-GARCHモデルをまず確認したいと思います。 DCC-GARCHモデルはリターンrtの条件付き共分散行列をHtとしたときに、 Htの変動をモデル化します。 Htをボラティリティの変動を表すDtと、相関の変動を表すRtとに分解します。 そして、Dtを通常のGARCHでモデル化します。 次にDtを用いて、rtを基準化して残差を求めます。 そして、相関の変動を表すQtは、残差の標本共分散行列Sをベースに、 1期前の残差とQtの和で記述されます。 これがDCC-GARCHモデルです。
- さて、DCC-GARCHモデルのパラメータは条件付き分散のパラメータ、 GARCHのパラメータであるセータと 条件付き相関にかかるパラメータのファイの2つがあります。 推定は最尤法をベースに行いますが、 簡単な計算から分散のパラメータ、セータと相関のパラメータ、ファイの両方からなる対数尤度がこのように、 セータだけからなる尤度とファイとセータの尤度の和に分解できます。
- つまりまず、Step1として分散項、 通常のGARCHモデルの推定を資産ごとに行います。 そして、推定されたGARCHから、リターンを基準化をして残差を計算します。 先ほど申したSを残差の標本共分散行列として推定します。 最後に、分散パラメータとSを用いて、相関項に関係する尤度関数を最大化してパラメータを求めます。
- 以上がDCC-GARCHモデルの概要とその推定方法ですが、 先行研究によっていくつか課題が指摘されています。 まずは、Step2で相関にかかる尤度関数最大化の際に、 相関行列の逆行列を何度も計算する必要があります。 逆行列の計算はN^3程度の計算量がいるので、 銘柄数が多い場合、 まぁ100銘柄くらいだともう現実的な時間で計算するのは難しいです。 そこで、Engleは複合尤度による推定方法により、計算量を減らし、 銘柄数が多い場合でも、推定可能にしました。 次に、DCC-GARCHモデルは、ベースとなるSの推定にあたって、残差の標本共分散行列を使用しました。 これは、相関項のダイナミクスを表す、Qtの平均とS等しいことを仮定していることになります。 詳細はAppendixを参照ください。 これは一般に成立しないのですが、アイエッリはこれを一致させるように修正したcDCC-GARCHモデルを提案しました。 最後に、cDCC-GARCHモデルは標本共分散行列を用いてSを計算する以上、 最初にいったように銘柄数が多いと推定誤差が発生します。 そこで、Sの推定にNLSを使います。
- 以上から本研究ではすべてを組み合わせた推定方法を提案します。 そうすることで銘柄数Nが多いことにおける推定誤差を抑えつつ、 相関や分散の時系列構造をとらえた共分散行列が推定できます。
- それでは、提案手法の中身をそれぞれ具体的に見ていきます。 まずComposite Likilihood、複合尤度を用いたDCC-GARCHモデルの推定です。 複合尤度は尤度関数の条件付き、または周辺尤度のいくつかの積で定義されます。 積の取り方はいくつか方法はありますが、 ここではリターンのベクトルを2つずつYとして取り出して、 YのDCC-GARCHの尤度関数をそれぞれ作り、最後にその平均をとることで複合尤度は構成されます。 こうすることで計算量がN^3からNのオーダーまで落とせます。
- 以上から、複合尤度に基づくDCC-GARCHモデルの推定は、 Step2の相関項の尤度関数を、 ペアごとの複合尤度関数に置き換えて、その平均値を最大化することで行います。
- 次にcDCC-GARCHモデルについてです。 これはDCC-GARCHモデルにおいて、相関のダイナミクスのベースとなるSをファイで置き換えて、 修正したモデルになります。 ファイは、残差をQtの対角項をかけたもののサンプル共分散行列です。 するとDCC-GARCHでは満たされなかった、Qtの期待値がファイの期待値と一致します。 詳細はAppendixを参照ください。
- 最後にNLSですが、 Ledoit Wolfはある性質を満たす共分散行列の推定量を求めました。 それは、標本から計算される固有ベクトルをもって、 真の共分散とのフロベニウスノルムで測った差を最小にするような固有値を持つ推定量です。 つまり固有ベクトルは標本の値を使用し、望ましい固有値dを求めます。 彼らはこれを満たす固有値を、標本の固有値から近似できることを示しました。
- それがスライドにあるdです。 標本固有値ラムダからｚを計算し、そこからｍFを出して、最後にdが求まるというややこしい計算をします。 ただ、ありがたいことに実装にはRのパッケージNLSHRINKがあるので 次に見ていく実証分析において、それを使用します。
- さて、提案手法の紹介が終わりましたのでそれでは実証分析に移りたいと思います。 ここでは複合尤度を用いたDCC-GARCHをベースとした共分散行列推定のさまざまな手法に対して、 まず、パラメータがきちんと推定できているかどうか、 そして、共分散行列の推定精度はどの程度かの検証を を先行研究にならい行います。 そして最後にそれぞれの推定手法によるリスクベース・ポートフォリオのパフォーマンスを比較したいと思います。 分析に使用するデータはすべて2002/1から2015/12までのTOPIX構成銘柄とします。
- はじめにパラメータ推定精度の比較です。 これはモンテカルロ法を用いて比較を行いいます。 まず、GARCHのパラメータ、オメガ、アルファ、ベータをそれぞれ0.01,0.05,0.9、 相関に関するパラメータa,bをそれぞれ0.05,0.93とした DCC-GARCHモデルに従う乱数をM個生成します。 そしてそのM個に対して各手法で推定を行った相関のパラメータの平均値と標準偏差を記載したのがこちらの表になります。 いずれの手法においても、Nが大きい場合であってもパラメータが正しく推定されていることが確認できます。
- 次に共分散行列の推定精度の比較をZakamulinと同様の方法で行います。 まず、0からtまでのデータを用いて、DCC、EngleのDCC+NLS、提案手法のcDCC+NLSの各手法で共分散行列の推定を行います。 次にそこから1期スライドさせた1からｔ+1までのデータでサンプル共分散行列を推定し、これを真の値とします。 そして、推定された共分散と真の共分散の要素の差の二乗の合計をとり、 それを全期間で平均したMSFE(Mean Square Forcast Error)でもって精度の評価を行います。 なお、推定期間が60か月のデータを用い、検証期間は2007年1月から2015年12月までとします。 結果がこちらの表で、DCCをベースにDCC+NLSはMSFEが改善していますが、 さらに提案手法であるcDCC+NLSは銘柄数によらず、改善幅が大きいという結果が得られました。
- 最後に、さきほどの分析で得られた各手法の共分散行列を用いて、 リスクベース・ポートフォリオのパフォーマンス比較を行います。 対象のリスクベース・ポートフォリオは最小分散、非負制約なしの最小分散、リスクパリティ、最大分散度の4つです。 それぞれ、月次でﾘﾊﾞﾗﾝｽし、推定期間と検証期間は先ほど同様に60か月と2007/1から2015/12までとします。 パフォーマンスは年率換算後のリターン、リスク、SRで評価します。
- まず、最小分散の結果がこちらです。 手法によらず、銘柄数の増加がパフォーマンスにプラスの影響を与えています。 そして、推定精度の改善もパフォーマンスにプラスの影響を与えています。
- 次に、最小分散の制約なしの結果がこちらです。 先ほど同様に手法によらず、銘柄数の増加がパフォーマンスにかなりプラスの影響を与えています。 そして、推定精度の改善もパフォーマンスにプラスの影響を大幅に与えています。
- 次がリスクパリティです。 こちらは、銘柄数の増加がパフォーマンスにプラスの影響を与えていますが、 あまり推定精度の差がパフォーマンスに影響を与えませんでした。
- 最後に最大分散度ですが、これも銘柄数の増加はパフォーマンスにプラスですが、 推定精度の改善は銘柄数によらずほぼ影響がありませんでした。
- では、まとめです。 本研究では、リスクベース・ポートフォリオはリスクの推定精度によってパフォーマンスが異なるのかという点を検証しました。 そして、日本の株式市場において3つの異なる推定手法について検証した結果、 共分散行列推定の提案手法であるcDCC+NLSはもっとも推定精度が良い。 リスクパリティ、最大分散度は推定精度にパフォーマンスが依存しない。 しかし最小分散は推定精度によって(大きく)パフォーマンスが左右される。 ことが確認できました。以上です。