PC_2020-2_EP04_Funcoes Elementares_Leitura Grafica_GABARITO.pdf

Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 1 de 22
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2
Profa. Maria Lúcia Campos
Profa. Marlene Dieguez
EP04 - FUNÇÕES ELEMENTARES – LEITURA GRÁFICA – GABARITO
Exercício 1: Um contêiner, sem tampa, de base quadrada e lados retangulares tem volume de 8
metros cúbicos. O material da base custa $5 por metro quadrado e o dos lados, $2 por metro
quadrado.
a) Encontre uma fórmula que expresse o custo total do contêiner como uma função do
comprimento do lado da base.
b) Qual é o domínio da função custo C obtida no item a).
Resolução:
a)
Para o contêiner definimos: 𝑥 a medida do lado do quadrado
da base, 𝑦 a medida do outro lado do retângulo que compõe
as laterais do contêiner (são quatro desses retângulos), 𝑉 o
volume, 𝐴𝑏 a área da base, 𝐴𝑖 a área de um dos retângulos
que compõe os lados do contêiner e 𝐶 o custo total do
contêiner.
Temos:
𝑉 = 8 𝑚3
𝐴𝑏 = 𝑥2
𝐴𝑖 = 𝑥𝑦 𝑉 = 𝑥2
𝑦
O custo total do contêiner será calculado da seguinte forma: 𝐶 = 5𝑥2
+ 2 ∙ 4 ∙ 𝑥𝑦.
Como 𝑉 = 𝑥2
𝑦 = 8 , então 𝑦 =
8
𝑥2
.
Portanto,
𝐶 = 5𝑥2
+ 2 ∙ 4 ∙ 𝑥𝑦 = 5𝑥2
+ 2 ∙ 4 ∙ 𝑥
8
𝑥2
= 5𝑥2
+ 2 ∙ 4 ∙
8
𝑥
= 5𝑥2
+
64
𝑥
Assim, o custo total do contêiner é : 𝐶 = 5𝑥2
+
64
𝑥
.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) A função Custo é uma função do lado 𝑥 . O domínio da função Custo é o intervalo (0 , +∞) , já
que 𝑥 é uma medida e deve ser positiva ou nula, mas não se anula por ser um denominador da
função Custo. Uma outra razão para 𝑥 ≠ 0 é o fato de ter sido dado que 𝑉 = 8 𝑚3
, e se 𝑥 = 0
então 𝑉 = 𝑥2
𝑦 = 0 .
________________________________________________________________________________
𝑥
𝑥
𝑦

Exercício 2: Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com
dimensões 12 por 20 cm. Deve-se cortar quadrados de lados 𝑥 de cada canto e depois dobrar,
conforme mostra a figura.
a) Expresse o volume 𝑉 da caixa
como uma função de 𝑥.
b) Encontre o domínio de 𝑉.
Resolução:
a)..A base da caixa tem lados que medem: 12 − 2𝑥 cm e 20 − 2𝑥 cm.
A área da base é 𝐴 = (12 − 2𝑥)(20 − 2𝑥) = 4𝑥2
− 64𝑥 + 240 e a altura da caixa mede 𝑥 cm.
Assim o Volume 𝑉 da caixa é 𝑉(𝑥) = 𝑥(4𝑥2
− 64𝑥 + 240) = 4𝑥3
− 64𝑥2
+ 240𝑥.
Portanto o volume da caixa pode ser expresso como:
𝑉(𝑥) = 4𝑥3
− 64𝑥2
+ 240𝑥.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Como 𝑥 é uma medida de comprimento, não pode ser negativa e como não podemos cortar
quadrados de lados maiores que 6 cm então 0 < 𝑥 < 6 . Note que se 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 6 estaremos
construindo caixas degeneradas.
________________________________________________________________________________
Exercício 3: Considere as curvas abaixo com os domínios especificados em cada uma. Indique quais
dessas curvas são gráficos de funções de x com o domínio especificado. Justifique sua resposta.
a) Domínio: (−∞ , +∞) b) Domínio: ℝ − {𝟎} c) Domínio: (−∞, 𝟑]
d) Domínio: ℝ e) Domínio(−∞ , 𝟎]
f) Domínio:ℝ
g) Domínio: [−𝟑, 𝟑]

Resolução:
As curvas dos exemplos a), c) e g) não atendem ao Teste da Reta Vertical,
e portanto não são gráficos de função. No exemplo a), a reta vertical 𝑥 =
2 , por exemplo, corta o gráfico em três pontos distintos, fazendo
corresponder a 𝑥 = 2, três valores distintos de y .
No exemplo c), a reta vertical 𝑥 = 2 , por exemplo, corta o gráfico em
dois pontos distintos, fazendo corresponder a 𝑥 = 2 , dois valores
distintos de 𝑦 .
É fácil ver que no caso g) acontece o mesmo.
As curvas dos exemplos b), d) e f) atendem ao Teste da Reta Vertical, e portanto são gráficos de
função.
A única curva que poderia gerar alguma dúvida é a curva do exemplo e), mas prestando bastante
atenção ao domínio considerado nesse exemplo, vemos que a única parte desta curva que está
sendo considerada é a parte que está no 20
Quadrante, que
atende ao Teste da Reta Vertical.
O gráfico realmente considerado no exemplo e) é:
________________________________________________________________________________

Exercício 4: Considere as três seguintes funções
a) 𝒇: ℝ ⟶ ℝ b) 𝒈: [−1, 5] ⟶ ℝ c) 𝒈: [−3, 6] ⟶ ℝ
𝒙 ⟼ 𝑥2
− 4𝑥 − 5 𝒙 ⟼ 𝑥2
− 4𝑥 − 5 𝒙 ⟼ 𝑥2
− 4𝑥 − 5
Essas funções são distintas? Justifique sua resposta. Faça um esboço do gráfico de cada uma delas
e determine suas respectivas imagens.
Resolução:
Apesar dessas funções terem a mesma lei de formação, o domínio que as define são distintos, o que
torna essas funções distintas. Podemos perceber claramente essas diferenças quando esboçamos
os gráficos dessas funções.
a) 5
4
)
( 2
−
−
= x
x
x
f b) 5
4
)
( 2
−
−
= x
x
x
f c) 5
4
)
( 2
−
−
= x
x
x
f
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝐷𝑜𝑚 = [−1 , 5] 𝐷𝑜𝑚 = [−3 , 6]
𝐼𝑚 = [−𝟗 , +∞) 𝐼𝑚 = [−𝟗 , 0] 𝐼𝑚 = [−𝟗 , 16]
________________________________________________________________________________
Exercício 5: Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
a) 𝑓(𝑥) =
3𝑥+|𝑥|
𝑥
b) ℎ(𝑧) = {
−𝑧 , 𝑠𝑒 𝑧 < 0
𝑧2
, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑧 ≤ 1
1 , 𝑠𝑒 𝑧 > 1
c) 𝑟(𝑥) = {
𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < −1
−2𝑥, 𝑠𝑒 |𝑥| ≤ 1
−2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1
Resolução:
a) Para que o quociente
3𝑥+|𝑥|
𝑥
possa calculado é preciso que o denominador não se anule, assim
devemos ter 0

x . Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {0} .
Analisando x , temos que, |𝑥 | = {
−𝑥, 𝑥 < 0
𝑥, 𝑥 ≥ 0
Logo,

𝑓(𝑥) =
3𝑥 + |𝑥|
𝑥
= {
3𝑥 + 𝑥
𝑥
, 𝑥 > 0
3𝑥 − 𝑥
𝑥
, 𝑥 < 0
⟺ 𝑓(𝑥) = {
4𝑥
𝑥
, 𝑥 > 0
2𝑥
𝑥
, 𝑥 < 0
⟺ 𝑓(𝑥) = {
4 , 𝑥 > 0
2 , 𝑥 < 0
Observamos do gráfico que Im(𝑓) = {2 , 4}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) ℎ(𝑧) = {
−𝑧 , 𝑠𝑒 𝑧 < 0
𝑧2
, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑧 ≤ 1
1 , 𝑠𝑒 𝑧 > 1
. O domínio da função ℎ é a união dos intervalos que estão na
definição da função partida: (−∞ , 0) ∪ [0 , 1] ∪ (1 , + ∞) = ℝ .
Assim, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ.
Observamos do gráfico que
Im(ℎ) = [0 , + ∞)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) 𝑟(𝑥) = {
𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < −1
−2𝑥, 𝑠𝑒 |𝑥| ≤ 1
−2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1
⟺ 𝑟(𝑥) = {
𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < −1
−2𝑥, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑧 ≤ 1
−2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1
⟺
O domínio da função 𝑟 é a união dos intervalos que estão
na definição da função partida:
(−∞ , −1) ∪ [−1 , 1] ∪ (1 , + ∞) = ℝ.
Assim, 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = ℝ.
Observamos do gráfico que Im(𝑟) = (−∞ , 2]
.

Exercício 6: Considere as funções 𝑓 , 𝑔 , ℎ , 𝑟 , 𝑠 , 𝑡 definidas por:
𝑓(𝑥) = √9 − |2𝑥 − 1 | 𝑔(𝑥) = √
𝑥2+𝑥−6
𝑥−1
ℎ(𝑥) = √𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑟(𝑥) =
1
𝑥2−16
𝑠(𝑥) =
1
√|𝑥 |−𝑥
𝑡(𝑥) = √1 − √1 − 𝑥2
a) Determine a expressão das funções 𝑢(𝑥) = 𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥) e 𝑣(𝑥) = ℎ(𝑥) ∙ 𝑟(𝑥).
b) Determine o domínio das funções: 𝑓 , 𝑔 , ℎ , 𝑟 , 𝑠 , 𝑡 , 𝑢 , 𝑣 .
Resolução:
a) 𝑢(𝑥) = 𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥) = √9 − |2𝑥 − 1 | + √𝑥2 + 2𝑥 − 3 .
𝑣(𝑥) = ℎ(𝑥) ∙ 𝑟(𝑥) = √𝑥2 + 2𝑥 − 3 ∙
1
𝑥2−16
.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Domínio da função 𝑓(𝑥) = √9 − |2𝑥 − 1 | :
Para que essa raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o radicando 9 − |2𝑥 − 1 | seja
positivo ou nulo. Temos que,
9 − |2𝑥 − 1 | ⟺ |2𝑥 − 1 | ≤ 9 ⟺ −9 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 9 ⟺ −8 ≤ 2𝑥 ≤ 10 ⟺ −4 ≤ 𝑥 ≤ 5
Donde, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−4 , 5].
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Domínio da função 𝑔(𝑥) = √
𝑥2+𝑥−6
𝑥−1
:
Para que essa raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o radicando
𝑥2+𝑥−6
𝑥−1
seja positivo ou
nulo e o denominador da fração não se anule.
Assim,
𝑥2+𝑥−6
𝑥−1
≥ 0 𝑒 𝑥 − 1 ≠ 0.
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2
+ 𝑥 − 6 :
𝑥 =
−1±√12−4.1.(−6)
2.1
=
−1±√25
2
=
−1±5
2
⟹ 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 2.
Assim, 𝑥2
+ 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) .
Devemos fazer o estudo do sinal da fração
𝑥2+𝑥−6
𝑥−1
:
função −∞ < 𝑥 < −3 𝑥 = −3 −3 < 𝑥 < 1 𝑥 = 1 1 < 𝑥 < 2 𝑥 = 2 2 < 𝑥 < ∞
𝑥2
+ 𝑥 − 6 =
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
+ + + + 0 − − − − − − − − − 0 + + + +
𝑥 − 1 − − − − − − − − − 0 + + + + + + + + +
𝑥2
+ 𝑥 − 6
𝑥 − 1
− − − − d
n − − − −
0 +
+
+
+ 0 +
+
+
+

Da tabela acima concluímos que :
𝑥2
+ 𝑥 − 6
𝑥 − 1
≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ [−3 , 1) ∪ [2 , +∞)
Observação: significa não definido.
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [−3 , 1) ∪ [2 , +∞)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Domínio da função 3
2
)
( 2
−
+
= x
x
x
h .
Para que essa raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o radicando 3
2
2
−
+ x
x seja positivo
ou nulo.
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2
+ 2𝑥 − 3 :
𝑥 =
−2±√22−4.1.(−3)
2.1
=
−2±√16
2
=
−2±4
2
⟹ 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 1.
Assim, 𝑥2
+ 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) e como o coeficiente do termo 𝑥2
é 1 , positivo, então
essa parábola tem concavidade voltada para cima e, portanto,
𝑥2
+ 2𝑥 − 3 > 0 ⟺ 𝑥 < −3 ou 𝑥 > 1 .
𝑥2
+ 2𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 1 .
Assim, 𝑥2
+ 2𝑥 − 3 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ ( −∞ , −3] ∪ [1 , +∞)
Assim, estudando o sinal desse trinômio do segundo grau, temos:
Logo, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = (−∞ , −3] ∪ [1 , +∞)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Domínio da função
16
1
)
( 2
−
=
x
x
r .
Para que essa fração possa ser calculada é preciso que o denominador seja diferente de zero.
Temos que,
𝑥2
− 16 ≠ 0 ⟺ 𝑥2
≠ 16 ⟺ 𝑥 ≠ −4 e 𝑥 ≠ 4 .
Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = ℝ − {−4 , 4}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Domínio da função 𝑠(𝑥) =
1
√|𝑥 |−𝑥
Para que a fração
1
√|𝑥 |−𝑥
e a raiz quadrada √|𝑥 | − 𝑥 possam ser calculadas é preciso que o
radicando |𝑥 | − 𝑥 seja positivo, ou seja |𝑥 | − 𝑥 > 0.
Temos que:
Se 𝑥 = 0 , |𝑥 | − 𝑥 = |0 | − 0 = 0. Portanto, 𝑥 = 0 , não satisfaz a condição |𝑥 | − 𝑥 > 0.
d
n

Se 𝑥 > 0 , |𝑥 | = 𝑥 então |𝑥 |– 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0. Portanto, 𝑥 > 0 , não satisfaz a condição |𝑥 | −
𝑥 > 0.
Se 𝑥 < 0 , |𝑥 | = −𝑥 e −𝑥 > 0 então |𝑥 | − 𝑥 = −𝑥 − 𝑥 = −2𝑥 > 0. Portanto, 𝑥 < 0 , satisfaz
a condição |𝑥 | − 𝑥 > 0.
Assim, 𝐷𝑜𝑚(𝑠) = (−∞ , 0).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Domínio da função 2
1
1
)
( x
x
t −
−
=
Para que 2
1
1 x
−
− possa ser calculada é preciso que 0
1 2

− x
Temos que,
1
1
1
1
1
0
1 2
2
2


−








− x
x
x
x
x e







 −


−


−
− 2
2
2
2
2
)
1
(
1
1
1
0
1
1 x
x
x
IR
0
0
1
1 2
2
2






−


− x
x
x
x
Portanto, a única exigência é que 1
1 

− x . E assim, 𝐷𝑜𝑚(𝑠) = [−1 , 1].
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Domínio da função =
+
= )
(
)
(
)
( x
h
x
f
x
u 3
2
1
2
9 2
−
+
+
−
− x
x
x .
O domínio da função )
(
)
(
)
( x
h
x
f
x
u +
= é
=

+

−

−

−
=

= }
)
,
1
[
]
3
,
{(
]
5
,
4
)
(
)
(
)
( [
h
Dom
f
Dom
u
Dom
]
5
,
1
[
]
3
,
4
[
}
)
,
1
[
]
5
,
4
{
}
]
3
,
(
]
5
,
4
{ 
−
−
=

+

−

−

−

−
= [
[
Usamos acima a propriedade distributiva de conjuntos, a saber,
}
{
}
{
}
{ C
A
B
A
C
B
A 


=

 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Domínio da função
16
1
3
2
)
(
)
(
)
( 2
2
−

−
+
=

=
x
x
x
x
r
x
h
x
v .
O domínio da função )
(
)
(
)
( x
r
x
h
x
v 
= é
=

= )
(
)
(
)
( r
Dom
h
Dom
v
Dom
  )
,
4
(
)
4
,
1
[
]
3
,
4
(
)
4
,
(
]
[
]
)
,
1
[
]
3
,
(
[ 
+


−
−

−

−
=


+

−

− 4
,
4
-
-
lR .
e
x 0
1
1 2

−
−

________________________________________________________________________________
Exercício 7: Encontre uma lei de formação (fórmula) para cada uma das funções cujos gráficos estão
abaixo.
a) 𝒚 = 𝑓(𝑥) b) 𝒚 = 𝑔(𝑥)
Resolução:
a) A função é uma função definida por partes:
• No intervalo )
0
,
( 
− : o gráfico é a semi reta 2
=
y
• No intervalo )
1
,
0
[ : o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos
)
0
,
1
(
)
2
,
0
( e . Vamos encontrar a equação da reta que contém esses pontos:
2
1
2
1
0
0
2
−
=
−
=
−
−
=
m 2
2
)
1
(
2 +
−
=

−
−
= x
y
x
y .
• No intervalo )
,
1
[ 
+ : o gráfico é uma semi-reta que contém os pontos )
3
,
4
(
)
0
,
1
( e .
Vamos encontrar a equação da reta que contém esses
pontos:
1
3
3
1
4
0
3
=
=
−
−
=
m .
Portanto uma lei de formação da função é:






−


+
−

=
=
1
,
1
1
0
,
2
2
0
,
2
)
(
x
se
x
x
se
x
x
se
x
f
y
Observação: o ponto )
2
,
0
( do gráfico satisfaz as fórmulas 2
=
y e 2
2 +
−
= x
y , que são fórmulas
que compõem a função partida )
( x
f
y = . Por esse motivo é indiferente em qual dos dois intervalos,
)
( x
f
y =
1
)
1
(
1 −
=

−
= x
y
x
y
)
( x
f
y =

)
0
,
( 
− ou )
1
,
0
( , o valor 0
=
x será incluído como extremo do intervalo. O mesmo comentário vale
para o ponto )
0
,
1
( do gráfico. Assim, existem outras opções para definir a lei de formação de uma
função que possui esse gráfico, uma delas é a encontrada acima, outra delas é:






−


+
−

=
=
1
,
1
1
0
,
2
2
0
,
2
)
(
x
se
x
x
se
x
x
se
x
f
y
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) A função )
( x
g
y = é uma função definida por partes:
• No intervalo )
1
,
0
[ : o gráfico é um segmento de reta de extremidade nos pontos )
1
,
1
(
)
1
,
0
( e
. Sua equação é 1
=
y .
• No intervalo )
2
,
1
[ : o gráfico é um segmento de reta com
extremidade nos pontos )
2
,
2
(
)
1
,
1
( e . Vamos encontrar a
equação desse segmento de reta:
1
1
1
1
2
1
2
=
=
−
−
=
m x
y
x
y =

−
=
− )
1
(
1
1 .
• No intervalo ]
3
,
2
( : o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos
)
2
,
3
(
)
1
,
2
1
1
1
2
3
1
2
=
=
−
−
=
m 1
)
2
(
1
1 −
=

−
=
− x
y
x
y .
• No intervalo )
4
,
3
( : o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos
)
2
,
4
(
)
2
,
3
( e . Sua equação é 2
=
y .
Portanto a lei de formação da função )
( x
g
y = é:











−




=
=
4
3
,
2
3
2
,
1
2
1
,
1
0
,
1
)
(
x
se
x
se
x
x
se
x
x
se
x
g
y
Outra opção de lei de formação da função que possui esse gráfico é, por exemplo:











−




=
=
4
3
,
2
3
2
,
1
2
1
,
1
0
,
1
)
(
x
se
x
se
x
x
se
x
x
se
x
g
y
________________________________________________________________________________
Exercício 8: Dado o gráfico da função )
( x
f
y = ao lado:
a) Obtenha os valores de )
1
(−
f , )
3
(
f , )
0
(
f ;
b) Estime o valor de )
2
(
f ;
Observação: estimar significa apresentar um valor aproximado ou um pequeno intervalo que
contém o valor procurado.

c) Encontre os valores de 𝑥 para os quais 2
)
( =
x
f ;
d) Obtenha o domínio e a imagem de f
Resolução:
a) Analisando o gráfico vemos que: 2
)
1
( −
=
−
f , 3
)
3
( =
f , 1
)
0
( −
=
f .
b) Analisando o gráfico vemos que: 3
)
2
(
5
,
2 
 f
c) Para encontrar os valores de 𝑥 para os quais
2
)
( =
x
f , devemos encontrar os pontos de interseção
da reta 2
=
y com o gráfico da função f .
Esses pontos são: )
2
,
3
( − , )
2
,
1
( , )
2
,
5
( . Logo, os
valores de x para os quais 2
)
( =
x
f , são:
5
,
1
,
3 =
=
−
= x
x
x .
d) O ]
5
,
3
[
)
( −
=
f
Dom e ]
3
,
2
[
)
(
Im −
=
f .
________________________________________________________________________________
Exercício 9: Dado o gráfico das funções 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) e 𝑦 = ℎ(𝑥), no mesmo para de
eixos, faça o que se pede:
a) Obtenha os valores de )
2
(
f , )
2
(
g , )
2
(
h ;
b) Para quais valores de x temos )
(
)
( x
g
x
f = ?
c) Obtenha o domínio e a imagem de f ;
d) Obtenha o domínio e a imagem de g ;
e) Para quais valores de x )
(
)
( x
g
x
f  ;
f) Para quais valores de x )
(
)
( x
f
x
h  ;
g) Dê o domínio, a imagem e a lei de formação da
função )
( x
h
y = .
Resolução:
a) 2
)
2
( =
f , 2
)
2
( =
g , 2
)
2
( =
h .
b) )
(
)
( x
g
x
f = são iguais para 2
2 =
−
= x
e
x
c) O ]
4
,
4
[
)
( −
=
f
Dom e ]
3
,
4
[
)
(
Im −
=
f ;
d) O ]
3
,
3
[
)
( −
=
g
Dom e ]
)
3
(
,
1
[
)
(
Im g
g −
= ;
e) )
(
)
( x
g
x
f  , para )
2
,
2
(−

 x
f) )
(
)
( x
f
x
h  , para )
2
,
2
(−

 x
g) O gráfico da função )
( x
h
y = é um segmento de reta que une os pontos )
1
,
2
(− e )
2
,
2
( .

Encontrando a equação desse segmento de reta:
4
1
2
2
1
)
2
(
2
1
2
=
+
=
−
−
−
=
m e )
2
(
4
1
2 −
=
− x
y
2
3
4
1
)
2
(
4
1
2 +
=

−
=
− x
y
x
y .
Logo,
2
3
4
1
)
( +
= x
x
h . ]
2
,
2
[
)
( −
=
h
Dom e ]
2
,
1
[
)
(
Im =
h
________________________________________________________________________________
Exercício 10: Dado o gráfico da função )
( x
f
y = e da função )
( x
g
y = no mesmo par de eixos, faça
o que se pede:
a) Dê uma lei de formação de cada função;
b) Obtenha o domínio e imagem de cada função;
c) Para quais valores de 𝑥 temos )
(
)
( x
g
x
f = ?
d) Para quais valores de x temos )
(
)
( x
g
x
f  ;
e) Para quais valores de x temos )
(
)
( x
g
x
f  ;
f) Encontre a solução da equação 1
)
( =
x
f .
Resolução:
a) A função )
( x
f
y = é uma função definida por partes:
• No intervalo )
2
,
4
[ −
− : o gráfico é um segmento de reta de extremidade nos pontos
)
0
,
2
(
)
2
,
4
( −
− e . Vamos encontrar a equação desse segmento de reta:
1
2
2
)
2
(
4
0
2
−
=
−
=
−
−
−
−
=
m 2
)
2
(
)
)
2
(
(
1 −
−
=

+
−
=

−
−
−
= x
y
x
y
x
y .
• No intervalo )
0
,
2
[− : o gráfico é um segmento de
reta com extremidade nos pontos )
2
,
0
(
)
0
,
2
( e
− .
Vamos encontrar a equação desse segmento de reta:
1
2
2
)
2
(
0
0
2
=
=
−
−
−
=
m
2
)
)
2
(
(
1 +
=

−
−
= x
y
x
y .
• No intervalo )
2
,
0
)
0
,
2
(
)
2
,
0
1
1
1
2
0
0
2
−
=
−
=
−
−
=
m 2
)
2
(
1 +
−
=

−
−
= x
y
x
y .
• No intervalo ]
4
,
2
)
2
,
4
(
)
0
,
2
( e .

Vamos encontrar a equação da reta que contém esses pontos:
1
2
2
2
4
0
2
=
=
−
−
=
m 2
)
2
(
1 −
=

−
= x
y
x
y .
Portanto uma lei de formação da função )
( x
g
y = é:









−


+
−


−
+
−


−
−
−
=
=
4
2
,
2
2
0
,
2
0
2
,
2
2
4
,
2
)
(
x
se
x
x
se
x
x
se
x
x
se
x
x
f
y
O gráfico da função )
( x
g
y = é um segmento de reta que contém os pontos )
0
,
2
(
)
2
,
4
( e
− .
Vamos encontrar a equação desse segmento de reta:
3
1
6
2
2
4
0
2
−
=
−
=
−
−
−
=
m )
2
(
3
1
−
−
= x
y .
Portanto, )
2
(
3
1
)
( −
−
= x
x
g .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) O domínio da função f é a união dos intervalos que estão na definição da função partida:
]
4
,
4
[
]
4
,
2
[
)
2
,
0
[
)
0
,
2
[
)
2
,
4
[ −
=


−

−
− .
Assim, ]
4
,
4
[
)
( −
=
f
Dom e ]
2
,
0
[
)
(
Im =
f .
]
4
,
4
[
)
( −
=
g
Dom Calculando
3
2
)
2
4
(
3
1
)
4
( −
=
−
−
=
g . Assim, ]
2
,
3
2
[
)
(
Im −
=
g ;
c) Temos que )
(
)
( x
g
x
f = para
2
1
,
4 =
−
=
−
= x
e
x
x ;
d) Temos que )
(
)
( x
g
x
f  para
]
4
,
2
(
)
2
,
1
( 
−

x ;
e) Temos que )
(
)
( x
g
x
f  para )
1
,
4
( −
−

x ;
f) Para encontrar os valores de x para os quais
1
)
( =
x
f , devemos encontrar os pontos de interseção da reta 1
=
y com o gráfico da função f .
Esses pontos são: (−3 , 1) , (−1 , 1) , (1 , 1) , (3 , 1). Logo, os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) =
1 , são: 𝑥 = −3 , 𝑥 = −1 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = 3.
________________________________________________________________________________

Exercício 11: Dado o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) abaixo:
Encontre
a) Domínio de 𝑓 : 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
b) Imagem de 𝑓 : 𝐼𝑚(𝑓) ;
c) 𝐷 = { 𝑓(𝑥) ∶ 𝑥 ∈ [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) } = 𝑓( [−1 , 2) ∪ (2 , 4] );
d) 𝐸 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) ∈ [−3 , 2) } (e) 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 } ;
f) 𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 3 } .
Resolução:
a) Domínio de 𝑓 : 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Projetando o gráfico da função no
eixo 𝒙, vemos que o domínio da
função 𝒇 é o conjunto no eixo 𝑥
indicado na figura em vermelho.
Seu domínio é a seguinte união de
intervalos [−𝟒. 𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = [−𝟒. 𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Imagem de 𝑓 : 𝐼𝑚(𝑓)
Projetando o gráfico da função no
eixo 𝒚, vemos que a imagem da
função 𝒇 é o intervalo no eixo 𝑦
indicado na figura em vermelho.
Sua imagem é o intervalo [−𝟒,
𝟖. 𝟑].
𝑰𝒎(𝒇) = [−𝟒, 𝟖. 𝟑].
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) 𝐷 = { 𝑓(𝑥) ∶ 𝑥 ∈ [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) } = 𝑓( [−1 , 2) ∪ (2 , 4] )
Em azul está o intervalo [−𝟏 , 𝟒] do eixo 𝒙 contido no domínio da função 𝒇 .

Parte do gráfico da função restrita
ao intervalo [−𝟏 , 𝟒] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) , no eixo 𝒙
Projeção no eixo 𝒚 da parte do
gráfico da função restrita
ao intervalo [−𝟏 , 𝟐) ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇)
Logo,
𝑰𝒎 ( [−𝟏 , 𝟐) ) = [−𝟒 , 𝟓)

Projeção no eixo 𝒚 da parte do
gráfico da função restrita ao intervalo
(𝟐 , 𝟒 ] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) .
Logo, 𝑰𝒎 ( (𝟐 , 𝟒] ) = [−𝟑 , 𝟑)
Portanto, 𝑰𝒎 ([−𝟏 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟒] ) = [−𝟒 , 𝟓) ∪ [−𝟑 , 𝟑) = [−𝟒 , 𝟓) .
________________________________________________________________________________
d) 𝐸 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) ∈ [−3 , 2) }
Em azul está o intervalo [−𝟑 , 𝟐)
do eixo 𝒚 contido na imagem da função 𝒇 .
Parte do gráfico da função restrita ao
intervalo [−𝟑 , 𝟐) ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) , no eixo 𝒚

Projeção sobre o eixo 𝒙 da parte do
gráfico da função restrita ao
intervalo [−𝟑 , 𝟐) ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) , no
eixo 𝒚 .
Logo,
{ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) ∈ [−𝟑 , 𝟐) ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) } = (−
𝟑𝟒
𝟏𝟎
, −𝟐] ∪ [𝟎 ,
𝟏𝟒
𝟏𝟎
) ∪ (
𝟕
𝟑
, 𝟗)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 }
𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 } = {−3.5 , 1.6 , 10 }
Gráfico da
função 𝑦 = 𝑓(𝑥)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f) 𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 3 }
A parte do gráfico da função que está acima da reta horizontal 𝒚 = 𝟑 está na figura abaixo

Projeção sobre o eixo 𝒙 da parte do gráfico da função que está acima da reta horizontal 𝒚 = 𝟑.
Logo, 𝑩 = { 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) > 3 } = [−𝟒. 𝟓 , −𝟑. 𝟓) ∪ (𝟏. 𝟔 , 𝟐) ∪ (𝟏𝟎 , 𝟏𝟏]
________________________________________________________________________________
Exercício 12: Para fazer este exercício você deve acessar o APPLET: FUNÇÃO QUADRÁTICA na Sala
da Disciplina de Pré-Cálculo, Aula 3.
Uma das possíveis telas que você verá será esta:
Neste applet temos três controles deslizantes: a , b , c .
a) Clique no controle deslizante horizontal a com o botão esquerdo do mouse, e com o botão
pressionado, arraste o mouse.
Descreva as modificações que o gráfico sofre. O que ocorre quando a > 0 ? Quando a = 0?
Quando a < 0?
b) Clique no controle deslizante horizontal c com o botão esquerdo do mouse, e com o botão
pressionado, arraste o mouse.

Descreva as modificações que o gráfico sofre. O que ocorre quando c > 0 ? Quando c = 0?
Quando c < 0?
Resolução:
(a)
• A concavidade da parábola está
voltada para cima quando 𝑎 > 0 ,
como mostra a tela ao lado.
• A concavidade da
parábola está voltada para
baixo quando 𝑎 < 0, como
mostra a tela ao lado.
• Quando 𝑎 = 0 , não temos mais
uma parábola, pois
𝑦 = 0𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑏𝑥 + 𝑐 ,
que é a equação de uma reta, como
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b)
• A interseção da parábola,
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, com o
eixo 𝑦 , que é no ponto,
(0 , 𝑐) está cima do eixo 𝑥
quando 𝒄 > 𝟎 , como
• A interseção da parábola, 𝑦 =
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, com o eixo 𝑦 , que
é no ponto (0 , 𝑐) , está sobre o
eixo 𝑥 quando 𝑐 = 0 , como
• A interseção da parábola,
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, com o eixo
𝑦 , que é no ponto (0 , 𝑐) , está
abaixo do eixo 𝑥 quando 𝑐 <
0 , como mostra a tela ao lado.
•

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