Exercícios de Pré-cálculo

1. Pré-Cálculo 2020-2 EP08 – GABARITO 1 de 5
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2
Profa. Maria Lúcia Campos
Profa. Marlene Dieguez
EP08 – Círculo Trigonométrico – Seno e Cosseno
GABARITO
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Exercício 1: Faça o que se pede em cada item.
a) Calcule o comprimento do arco de uma circunferência de raio 2 , cujo ângulo central é 30°.
Resolução: 𝑙 = 2.30.
𝜋
180
=
𝜋
3
.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Dê a medida em radianos dos ângulos 72°, 210°, 270° e 315°.
Resolução: 72° = 72.
𝜋
180
=
2𝜋
5
rad; 210° = 210.
𝜋
180
=
7𝜋
6
rad; 270° = 270.
𝜋
180
=
3𝜋
2
rad:
315° = 315
𝜋
180
=
7𝜋
4
rad.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) Determine o valor do raio 𝑟, tal que o comprimento do arco subtendido ao ângulo de 60° seja 3𝜋.
Resolução: 3𝜋 = 60
𝜋
180
. 𝑟 ⟹ 𝑟 = 9.
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Exercício 2:
a) Se sen 𝑥 = 3/5 e 𝑥 é um ângulo do 2º quadrante, determine cos 𝑥.
Resolução: (
3
5
)
2
+ cos2
𝑥 = 1 ⟹ cos2
𝑥 = 1 − (
3
5
)
2
⟹ cos 𝑥 = ±√1 − (
3
5
)
2
cos 𝑥 = −√1 − (
3
5
)
2
= −
4
5
, pois no 2º quadrante o cosseno é negativo.
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b) Determine o sinal de I) sen 282° II) cos 241° III) sen 148°
Resolução: I) 180° < 282° < 360° ⟹ 𝑠𝑒𝑛 282° < 0 ; II) 180° < 241° < 270° ⟹ cos 241° < 0;
III) 90° < 148° < 180° ⟹ sen 148° > 0.
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c) Determine o seno e o cosseno de I)
19𝜋
6
II) 1530° III) −
5𝜋
4
Resolução: I)
19𝜋
6
= 2𝜋 +
7𝜋
6
⟹ cos
19𝜋
6
= cos
7𝜋
6
, como
7𝜋
6
= 𝜋 +
𝜋
6
, temos por simetria, que cos
7𝜋
6
=
− cos
𝜋
6
= −
√3
2
e sen
7𝜋
6
= − sen
𝜋
6
= −
1
2
.
II) 1530° = 4 × 360° + 90°, logo cos 1530° = cos 90° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 1530° = 𝑠𝑒𝑛 90° = 1.
III) −
5𝜋
4
= −2 𝜋 +
3𝜋
4
, logo cos (−
5𝜋
4
) = cos (
3𝜋
4
) = −
√2
2
e sen (−
5𝜋
4
) = sen
3𝜋
4
=
√2
2
.

2. Pré-Cálculo 2020-2 EP08 – GABARITO 2 de 5
d) Localize os ângulos no círculo trigonométrico e coloque os valores em ordem crescente:
sen70°, sen160°, sen250°, sen300°. (Não precisa calcular os valores
exatos!)
Resolução: sen 250° < sen 300° < sen 160° < sen 70° .
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Exercício 3:
Resolva as equações em [0,4𝜋]:
a) sen 𝑥 =
√3
2
b) cos 𝑥 = −1.
Resolução: a) Por simetria no círculo trigonométrico,
dando 2 voltas, temos
𝑆 = {
𝜋
3
,
2𝜋
3
,
𝜋
3
+ 2𝜋 ,
2𝜋
3
+ 2𝜋} = {
𝜋
3
,
2𝜋
3
,
7𝜋
3
,
8𝜋
3
}.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) 𝑆 = {𝜋 , 𝜋 + 2𝜋} = {𝜋, 3𝜋}.
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Exercício 4:
Calcule o que se pede em cada item.
a) Calcule k, tal que sen 𝑥 = 1 + 4𝑘 𝑒 cos 𝑥 = 1 + 2𝑘.
Resolução: Usando a identidade trigonométrica fundamental, temos:
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 ⟹ (1 + 4𝑘)2
+(1 + 2𝑘)2
= 1 ⟺
(16 𝑘2
+ 8𝑘 + 1) + (4𝑘2
+ 4𝑘 + 1) = 1 ⟺ 20𝑘2
+ 12𝑘 + 2 = 1 ⟺
20𝑘2
+ 12𝑘 + 1 = 0 ⟹ 𝑘 =
−12 ± √122 − 4.20.1
2.20
⟹ 𝑘 =
−12 ± 8
40
⟹
𝑘 = −
1
2
𝑜𝑢 𝑘 = −
1
10
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Pré-Cálculo 2020-2 EP08 – GABARITO 3 de 5
b) Se sen 𝑥 + cos 𝑥 = 1 + 3𝑎 e sen 𝑥 − cos 𝑥 = 1 − 𝑎, calcule a.
Resolução: Somando as duas equações, temos 2 sen 𝑥 = 2 + 2𝑎 ⟹ sen 𝑥 = 1 + 𝑎.
Usando a 1ª equação, temos cos 𝑥 = 1 + 3𝑎 − sen 𝑥 = 1 + 3𝑎 − (1 + 𝑎) = 2𝑎.
Pela identidade trigonométrica fundamental, segue que
(1 + 𝑎)2
+ 4𝑎2
= 1 ⟺ 5𝑎2
+ 2𝑎 + 1 = 1 ⟺ 5𝑎2
+ 2𝑎 = 0 ⟺ 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑎 = −
2
5
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) Se cos 𝑥 = 2 sen 𝑥, calcule sen 𝑥.
Resolução: Pela identidade trigonométrica fundamental, segue que
4 sen2
𝑥 + sen2
𝑥 = 1 ⟺ 5 sen2
𝑥 = 1 ⟺ sen 𝑥 =
√5
5
ou sen 𝑥 = −
√5
5
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) Se sen2
𝑥 − sen 𝑥 = 2 cos2
𝑥, calcule cos 𝑥.
Resolução: Pela identidade trigonométrica fundamental, sen2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1 , segue que
sen2
𝑥 − sen 𝑥 = 2 − 2 sen2
𝑥 ⟺ 3 sen2
𝑥 − sen 𝑥 − 2 = 0.
Fazendo 𝑡 = sen 𝑥 na equação acima, e resolvendo a equação do 2º grau 3𝑡2
− 𝑡 − 2 = 0, as raízes são
𝑡 = 1 ou 𝑡 = −
2
3
. Assim, sen 𝑥 = 1 𝑜𝑢 sen 𝑥 = −
2
3
.
Se sen 𝑥 = 1, temos da equação original que cos 𝑥 = 0.
E se sen 𝑥 = −2/3, temos da equação original que:
4
9
+
2
3
= 2 cos2
𝑥 ⟺ cos2
𝑥 =
10
18
⟺ cos 𝑥 = ±√
5
9
.
Os possíveis valores do cos 𝑥 são 0 ou ±√
5
9
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e) Se sen 𝑥 . cos 𝑥 = 𝑎, calcule o valor de 𝑦 = (sen 𝑥 + cos 𝑥)2
em função de 𝑎.
Resolução: 𝑦 = (sen 𝑥 + cos 𝑥)2
= sen2
𝑥 + 2 sen 𝑥 cos 𝑥 + cos2
𝑥 = 1 + 2 sen 𝑥 cos 𝑥 = 1 + 2𝑎.
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Exercício 5:
O que você acha sobre a igualdade cos 3𝑥 = 3 cos 𝑥, é falsa ou verdadeira em ℝ?
Resolução: Podemos dar vários exemplos em que a igualdade acima é falsa, escolhendo um deles,
𝑥 =
𝜋
3
, temos que cos 3 ∙
𝜋
3
= cos 𝜋 = −1, mas 3cos
𝜋
3
= 3 ∙
1
2
=
3
2
.
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Exercício 6:
Calcule o valor de sen4
𝑥 − cos4
𝑥 + cos 2𝑥 .
Resolução:
sen4
𝑥 − cos4
𝑥 + cos 2𝑥 = (sen2
𝑥 + cos2
𝑥)
⏟
=1
(sen2
𝑥 − cos2
𝑥)
⏟
=−(cos2 𝑥−sen2 𝑥)
+ cos 2𝑥 = − cos 2𝑥 + cos 2𝑥 = 0.
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4. Pré-Cálculo 2020-2 EP08 – GABARITO 4 de 5
Exercício 7:
Simplifique as expressões abaixo:
a)
cos2 𝑥−sen2 𝑥
cos2 𝑥−sen𝑥 cos𝑥
b)
cos(
π
2
− x)sen(
π
2
− x)cos (π+x)
sen(π − x)cos(x − 2π)cos (
π
2
+ x)
Resolução:
a)
cos2 𝑥−sen2 𝑥
cos2 𝑥−sen𝑥 cos𝑥
=
(cos 𝑥− sen 𝑥)(cos 𝑥+sen𝑥)
cos𝑥(cos 𝑥−sen𝑥)
=
(cos𝑥+sen𝑥)
cos 𝑥
= 1 +
sen 𝑥
cos 𝑥
.
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b)
cos(
𝜋
2
− 𝑥)sen(
𝜋
2
− 𝑥)cos (𝜋+𝑥)
sen(𝜋 − 𝑥)cos(𝑥 − 2𝜋)cos (
𝜋
2
+ 𝑥)
=
sen𝑥 cos𝑥(− cos𝑥)
sen 𝑥 cos𝑥(− sen 𝑥)
=
cos 𝑥
sen 𝑥
.
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Exercício 8:
a) Calcule sen 105° .
Resolução:
Uma resolução:
sen 105° = sen(60° + 45°) = sen 60° cos 45° + sen 45° cos 60° =
√3
2
∙
√2
2
+
√2
2
∙
1
2
=
√6+√2
4
.
Outra resolução:
Pela fórmula do arco metade, sen2
105° =
1−cos210°
2
=
1−cos(180°+30°)
2
=
1−(− cos(30°))
2
=
1+
√3
2
2
=
2+√3
4
,
assim sen 105° = ±√2+√3
4
, mas como o ângulo 105° é do 2º quadrante, sen 105° > 0, logo sen 105° =
√2+√3
2
.
Aparentemente as respostas são diferentes, mas vamos verificar que as duas respostas são iguais. Como
ambas são positivas, basta verificar que os seus quadrados são iguais.
(
√2+√3
2
)
2
=
2+√3
4
e (
√6+√2
4
)
2
=
6+2√12+2
16
=
8+2∙2√3
16
=
8+4√3
16
=
4(2+√3)
16
=
2+√3
4
.
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b) Calcule cos 15°.
Resolução
Uma resolução:
cos 15° = cos(60° − 45°) = cos 60° cos 45° + sen 60° sen 45° =
1
2
∙
√2
2
+
√3
2
∙
√2
2
=
√6+√2
4
.
Outra resolução:

5. Pré-Cálculo 2020-2 EP08 – GABARITO 5 de 5
Pela fórmula do arco metade, cos2
15° =
1+cos30°
2
=
1+
√3
2
2
=
2+√3
4
, e como o ângulo é do 1º quadrante,
cos 15° > 0, logo cos 15° =
√2+√3
2
.
Já foi mostrado no item a) que os valores
√2+√3
2
e
√6+√2
4
são iguais.
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Exercício 9:
Mostre que sen 𝑥 + cos 𝑥 = √2 cos (𝑥 −
𝜋
4
).
Resolução:
√2 cos (𝑥 −
𝜋
4
) = √2 cos 𝑥 cos (
𝜋
4
) + √2 sen 𝑥 sen (
𝜋
4
) = √2.
√2
2
. cos 𝑥 + √2.
√2
2
. sen 𝑥 =
√2.
√2
2
. (sen 𝑥 + cos 𝑥) = sen 𝑥 + cos 𝑥.