2. Funciones que dependen de varias variables las utilizamos a diario. Veamos aquí algunos
ejemplos:
El ingreso que se obtiene al vender ciertas cantidades de dos o más productos de
diferentes tipos. El beneficio, depende de los ingresos y de los costos del producto. La
producción depende de varias variables, entre esas tenemos el número de horas de mano
de obra y es el capital invertido.
El índice temperatura-humedad, el cual es la temperatura del aire que se percibe a una
temperatura y humedad determinadas, es una función que depende de dos valores, el de
la temperatura y el de la humedad.
El área de la superficie del cuerpo humano depende de su peso y de su altura.
En esta sección, además de presentar la definición formal de una función de varias variables,
veremos varios ejemplos y hallaremos su dominio y rango, como en el caso de funciones reales.
1 58
3. Definición
Una función de varias variables es una función cuyo dominio es un subconjunto de Rn, con
n ≥ 2, y su contradominio es R.
La función f transforma cada punto (x1, . . . , xn) de A en un número real f(x1, . . . , xn). En
este caso, las variables, x1, . . . , xn son independientes y z = f(x1, . . . , xn) es la variable
dependiente. En la Figura 0.1 presentamos un diagrama para el caso n = 2. El dominio de
una función de varias variables f, el cual es el conjunto formado por todos los puntos de Rn
en donde está definida la función, será denotado por Dom(f). Así, escribimos
f : Dom(f) → R.
Figura 0.1: f envía cada punto (a, b) de A al número real f(a, b).
2 58
4. El rango de f, el cual es el conjunto formado por las imágenes de f, será denotado por Ran(f).
Así,
Ran(f) = {f(x1, x2, . . . , xn) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ Dom(f)}.
Ejemplo
Tomemos f(x, y) = 3x2 − 4y − 1. Entonces f es una función de dos variables: a cada par (x, y)
en R2, f le asigna el número real 3x2 − 4y − 1.
Por ejemplo,
f(1, 1) = 3(1)2
− 4(1) − 1 = 3 − 4 − 1 = −2
f(0, −3) = 3(0)2
− 4(−3) − 1 = 0 + 12 − 1 = 11
f(4, 2) = 3(4)2
− 4(2) − 1 = 3(16) − 8 − 1 = 48 − 9 = 39.
Observe que esta función no presenta inconvenientes cuando le damos cualquier valor a x y a y.
Por lo tanto, Dom(f) = R2.
Note que si fijamos x = 0, entonces f(0, y) = −4y − 1, la cual es una función cuyo rango es R.
Luego Ran(f) = R.
3 58
5. Ejemplo (Ver video)
Hallar el dominio de f(x, y) =
√
2x−3y+5
x−2y−4 . Entonces
f(0, −4) =
p
2(0) − 3(−4) + 5
0 − 2(−4) − 4
=
√
12 + 5
4
=
√
17
4
f(3, 1) =
p
2(3) − 3(1) + 5
3 − 2(1) − 4
= −
√
8
3
f(4, 2) =
p
2(4) − 3(2) + 5
4 − 2(2) − 4
= −
√
7
4
f(−2, 1) =
p
2(−2) − 3(1) + 5
−2 − 2(1) − 4
= −
√
−2
8
.
En este caso, (0, −4), (3, 1) y (4, 2) pertenecen al dominio de f, ya que
f(0, −4) =
√
17
4
, f(3, 1) = −
√
8
5
y f(4, 2) = −
√
7
4
son números reales.
4 58
6. Ejemplo
El punto (−2, 1) no pertenece al dominio de f ya que f(−2, 1) no es un número real. Así,
Dom(f) ̸= R2. Hallemos entonces Dom(f).
Primero, para que la raíz
√
2x − 3y + 5 esté definida, debemos tener que 2x − 3y + 5 ≥ 0.
Podemos despejar a y de esta inecuación:
2x − 3y + 5 ≥ 0 =⇒ 2x + 5 ≥ 3y =⇒
2x + 5
3
≥ y,
esto es y ≤ 2x+5
3 .
Analicemos el denominador de la función: como el denominador no puede ser cero, debemos
tener que x − 2y − 4 ̸= 0. Despejando y tenemos y ̸= x−4
2 .
Luego, los puntos (x, y) en el dominio de f deben satisfacer las dos condiciones:
y ≤
2x + 5
3
y y ̸=
x − 4
2
.
Así,
Dom(f) =
(x, y) ∈ R2
: y ≤
2x + 5
3
y y ̸=
x − 4
2
.
5 58
7. Ejemplo
Grafiquemos Dom(f). La recta y = 2x+5
3 divide al plano en dos regiones: la región que está por
debajo de esta recta y la región que está por encima de esta recta. Una de estas dos regiones
corresponde a los puntos (x, y) tales que y ≤ 2x+5
3 .
Para determinar cuál es la región con esta propiedad, escojamos un punto cualquiera que está,
por ejemplo, por encima de esta recta. Digamos (0, 10) (x = 0, y = 10).
Entonces
y = 10 y
2x + 5
3
=
2(0) + 5
3
=
5
3
.
Dado que 10 5
3, el punto (0, 10) no está en el dominio de f.
Luego, los puntos (x, y) tales que y ≤ 2x+5
3 son los que se encuentran en la parte inferior de la
recta y = 2x+5
3 , los cuales conforman la región de color azul en la Figura 0.2.
Ahora, al conjunto de puntos que satisfacen y ≤ 2x+5
3 debemos excluirle los puntos en la recta
y = x−4
2 , la cual está sombreada de color rojo en la Figura 0.2.
6 58
8. Figura 0.2: Dom(f) consiste de los puntos en la región en azul (y ≤ 2x+5
3 ) excepto los que están en la
línea sombreada en rojo (y = x−4
2 ).
7 58
9. Ejercicios
1. Un fabricante ha modelado su producción anual como una función P, el cual es el valor
monetario de toda su producción física en millones de dólares, como una función de
Cobb-Douglas
P(L, K) = 1.01L
3
4 K
1
4 ,
donde L es el número de horas de mano de obra (en miles) y K es el capital invertido (en
millones de dólares). Compruebe que la producción se duplica si tanto la mano de obra
como la cantidad de capital se duplican. Determine si esto es también válido para la
función general de la producción
P(L, K) = bLα
K1−α
.
2. Hallar y dibujar el dominio de la función f(x, y) =
√
x +
p
9 − x2 − y2
3. Hallar y dibujar el dominio de la función f(x, y) =
√
x+
√
y
√
xy . Además de eso, hallar su
rango.
8 58
10. Ejemplo (Ver video)
Describir y graficar el dominio de la función f(x, y) = ln(3y − x2). Hallar Ran(f).
Solución. El logaritmo está definido sólo para números reales estrictamente positivos, debemos
tener que 3y − x2 0. Despejando y tenemos y x2/3. Así,
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2
: y x2
/3}.
Grafiquemos Dom(f). La curva y = x2/3 divide al plano en dos regiones, la que queda por
encima de esta curva y la que queda por debajo. Veamos que la región que está por encima es la
que corresponde al Dom(f).
Tome un punto cualquiera que esté por encima, digamos (0, 2). Entonces y = 2 y x2
3 = 0. Luego
el punto (0, 2) satisface la condición y x2
3 , pues 2 0. Así, (0, 2) ∈ Dom(f). Todos los puntos
que están por encima de la curva y = x2
3 satisfacen la condición y x2
3 , y por lo tanto están en
el dominio de f (ver Figura 0.3).
9 58
11. Ejemplo
Tomando x = 0, obtenemos la función auxiliar
g(y) = f(0, y) = ln(3y),
el cual está definido para todo y 0.
Los pares de la forma (0, y) con y 0 pertenecen al dominio de f. Dado que el rango de ln es R,
tenemos que el rango de f es todo R.
10 58
12. Ejemplo
Tomando x = 0, obtenemos la función auxiliar
g(y) = f(0, y) = ln(3y),
el cual está definido para todo y 0.
Los pares de la forma (0, y) con y 0 pertenecen al dominio de f. Dado que el rango de ln es R,
tenemos que el rango de f es todo R.
Figura 0.3
10 58
13. Ejemplo (Ver video)
Sea V (x, y) = 1
√
4−x2−y2
. Describir y graficar el dominio de V . Hallar Ran(V ).
Solución: Para el dominio, primero debemos tener 4 − x2 − y2 ≥ 0, ya que está dentro del
radical. Además, como esta cantidad aparece en el denominador, 4 − x2 − y2 no puede ser cero.
Luego debemos tener 4 − x2 − y2 0, o bien 4 x2 + y2. Luego
Dom(V ) = {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
4}.
Este conjunto corresponde a la región que está en el interior de la circunferencia x2 + y2 = 4
(ver Figura 0.4). Los puntos en la circunferencia no están en Dom(V ).
Figura 0.4: Dom(V ) es la región que se encuentra en el interior de la circunferencia
11 58
14. Ejemplo
Note que
V (0, 0) = 1
2, es decir, el potencial eléctrico en el punto (0, 0) es de 0.5V .
V (1, 0) = 1
√
3
, es decir, el potencial eléctrico en el punto (1, 0) es de aproximadamente
0.58V .
V (0, 1) = 1
√
3
, es decir, el potencial eléctrico en el punto (0, 1) es de aproximadamente
0.58V .
Hallemos el rango de V . Note que el valor máximo que puede tomar la expresión
4 − x2 − y2 = 4 − (x2 + y2) es 4 y se obtiene en (x, y) = (0, 0) ∈ Dom(V ). Por lo tanto, para
todo (x, y) ∈ Dom(V ) tenemos que
0 4 − x2
− y2
≤ 4 y así 0
p
4 − x2 − y2 ≤ 2, de donde
1
2
≤
1
p
4 − x2 − y2
.
Ahora, note que si x = 0 y y toma valores cercanos a 2 el denominador se aproxima a cero, así
1
√
4−x2−y2
toma valores tan grandes como queramos. Luego, podemos concluir que
Ran(V ) = [1
2, ∞).
12 58
15. Ejercicios
Describir y graficar el dominio de las siguientes funciones
1. f(x, y) = ln(x2 + y2 − 1).
2. f(x, y) = ln (1 − xy).
3. f(x, y) = ln(y − x) +
p
1 − x2 − y2.
13 58
16. Ejemplo (ver video)
La temperatura T, dada en grados centígrados, en cada punto (x, y) de cierta región en el plano
está dada por T(x, y) = 1
4x2+25y2−9
.
1. Hallar la temperatura en los puntos (0, 0), (1, 2) y (−3, 1).
2. Describir y graficar el dominio de T.
Solución:
1. Tenemos que
▶ T(0, 0) = − 1
9 , es decir, la temperatura en (0, 0) es de −1
9
◦
C.
▶ T(1, 2) = 1
4+100−9 = 1
95 , es decir, la temperatura en (1, 2) es de 1
95
◦
C.
▶ T(−3, 1) = 1
36+25−9 = 1
52 , es decir, la temperatura en (−3, 1) es de 1
52
◦
C.
2. Hallemos el dominio de T. Ya que el denominador tiene que ser diferente de cero, debemos
tener
4x2
+ 25y2
− 9 ̸= 0, o bien 4x2
+ 25y2
̸= 9.
Luego
Dom(T) = {(x, y) ∈ R2
: 4x2
+ 25y2
̸= 9}.
Observe que los puntos (x, y) tales que 4x2 + 25y2 = 9 forman una elipse en el plano.
14 58
17. Ejemplo
El dominio de T consiste en todos los puntos que no están en esta elipse (ver Figura 0.5). Los
puntos que satisfacen 4x2 + 25y2 9 se encuentran en el exterior de la elipse y los puntos que
satisfacen 4x2 + 25y2 9 se encuentran en la parte interior de la elipse.
Figura 0.5: Dom(T) consiste de las dos regiones 4x2
+ 25y2
9, 4x2
+ 25y2
9
15 58
18. Ejemplo (Ver video)
Describir y graficar el dominio de la función f(x, y) =
√
1 − x2 +
p
1 − y2.
Solución. Todo punto (x, y) en el dominio de f debe satisfacer las condiciones
1 − x2
≥ 0 y 1 − y2
≥ 0, o bien x2
≤ 1 y y2
≤ 1.
Luego
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2
: x2
≤ 1 y y2
≤ 1}.
De x2 ≤ 1, tenemos que −1 ≤ x ≤ 1 (la inecuación cuadrática puede ser resuelta usando el
diagrama de signos).
Los puntos (x, y) que satisfacen −1 ≤ x ≤ 1 son todos los que se encuentran en la franja verde
de la Figura 0.6.
De y2 ≤ 1, tenemos que −1 ≤ y ≤ 1. Los puntos (x, y) que satisfacen −1 ≤ y ≤ 1 son todos los
que se encuentran en la franja violeta Figura 0.6. Dom(f) es la intersección de estas dos franjas,
es decir, una región rectangular.
16 58
19. Figura 0.6: Dom(f) es la intersección de las franjas verde y violeta.
17 58
20. Ejercicios
Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones:
1. f(x, y) = 1
x2−y2 .
2. f(x, y) = 3x+2y
x2+y2 .
3. f(x, y) =
√
1 − x2 +
p
y2 − 1.
18 58
21. Ejemplo (Ver video)
Determinar y dibujar el dominio de f(x, y, z) =
q
1 − x2
16 − y2
16 + z2
9 .
Solución. Todo punto (x, y, z) en el dominio de f debe satisfacer la inecuación
1 −
x2
16
−
y2
16
+
z2
9
≥ 0, o bien
x2
16
+
y2
16
−
z2
9
≤ 1.
Luego
Dom(f) =
(x, y, z) ∈ R3
:
x2
16
+
y2
16
−
z2
9
≤ 1
.
La ecuación x2
16 + y2
16 − z2
9 = 1 corresponde a un hiperboloide. El dominio de f es el sólido
encerrado por esta hiperboloide (ver Figura 0.7).
19 58
23. Ejemplo
La ley de la gravitación de Newton establece que la magnitud de la fuerza F gravitacional
entre dos objetos con masas m y M es dado por
F(x, y, z) = ∥F(x, y, z)∥ =
GMm
x2 + y2 + z2
,
donde G es la constante gravitacional, ∥(x, y, z)∥ =
p
x2 + y2 + z2 es la distancia entre el
cuerpo de masa m y el cuerpo de masa M, suponiendo que este último está ubicado en el origen.
Note que el dominio de F es R3 {(0, 0, 0)}.
Ejemplo
La ley de Coulomb establece que la magnitud F(x, y, z) de la fuerza eléctrica F(x, y, z) que
ejerce una carga eléctrica Q, ubicada en el origen de R3, sobre una carga q de coordenadas
(x, y, z) es dada por
F(x, y, z) = ∥F(x, y, z)∥ =
εQq
x2 + y2 + z2
,
donde ε es una constante. Note que el dominio de F es R3 {(0, 0, 0)}.
21 58
24. Ejercicios
Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones:
1.
2. f(x, y) =
q
x−1
y+2 .
3. f(x, y, z) =
p
x − y2 ln z
22 58
26. Definición (Gráfico de funciones de varias variables)
Si f : Dom(f) → R es una función de varias variables, el gráfico de f, denotado por Graf(f)
es el conjunto de puntos de la forma (w, f(w)) con w ∈ Dom(f), esto es,
Graf(f) = {(w, f(w)) : w ∈ Dom(f)}.
Observación
Para realizar el gráfico de una función de dos variables f(x, y), consideramos z = f(x, y). Así,
Graf(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : z = f(x, y), (x, y) ∈ Dom(f)}.
23 58
27. Ejemplo (Ver video)
Hallar el dominio y realizar el gráfico de la función f(x, y) =
q
4 − x2
9 − y2
4 .
Solución. El dominio de f es el conjunto
Dom(f) =
(x, y) ∈ R2
: 4 −
x2
9
−
y2
4
≥ 0
=
(x, y) ∈ R2
:
x2
9
+
y2
4
≤ 4
,
el cual es la región limitada por la elipse x2
9 + y2
4 = 4.
Para hallar el gráfico de f tomamos
z = f(x, y) =
r
4 −
x2
9
−
y2
4
o bien z =
r
4 −
x2
9
−
y2
4
.
Elevando al cuadrado tenemos
z2
= 4 −
x2
9
−
y2
4
y así
x2
9
+
y2
4
+ z2
= 4.
24 58
28. Ejemplo
Dividiendo entre 4 esta última ecuación, tenemos x2
36 + y2
16 + z2
4 = 1, la cual es la ecuación de
una elipsoide.
El gráfico de f es la parte superior de la elipsoide, ya que de la ecuación z =
q
4 − x2
9 − y2
4 , z
no puede tomar valores negativos.
Observe que el rango de la función es el intervalo [0, 2], ya que los valores que toma z van desde
0 hasta el punto más alto de la hiperboloide, que en este caso es cuando z = 2.
25 58
29. Ejemplo
Dividiendo entre 4 esta última ecuación, tenemos x2
36 + y2
16 + z2
4 = 1, la cual es la ecuación de
una elipsoide.
El gráfico de f es la parte superior de la elipsoide, ya que de la ecuación z =
q
4 − x2
9 − y2
4 , z
no puede tomar valores negativos.
Observe que el rango de la función es el intervalo [0, 2], ya que los valores que toma z van desde
0 hasta el punto más alto de la hiperboloide, que en este caso es cuando z = 2.
Figura 0.8: Gráfico de f(x, y) =
q
4 − x2
9 − y2
4 .
25 58
31. Ejemplo (Ver video)
Realizar el gráfico de la función f(x, y) = x2
6 − y2
8 .
Tomando z = f(x, y) = x2
6 − y2
8 , obtenemos z = x2
6 − y2
8 , la cual es la ecuación de un
paraboloide hiperbólico:
Figura 0.9
27 58
32. Definición (Funciones lineales)
Las funciones del tipo f(x, y) = ax + by + c, donde a, b y c son constantes, son llamadas
funciones lineales.
Tomando z = ax + by + c, obtenemos la ecuación ax + by − z + c = 0, la cual es la ecuación
de un plano. Consecuentemente, el gráfico de una función lineal es un plano. El dominio de
una función lineal es todo R2.
Ejemplo (ver video)
Realizar el gráfico de la función f(x, y) = −4x − 2y + 4.
Solución. Tomando z = −4x − 2y + 4, tenemos 4x + 2y + z − 4 = 0. El gráfico de esta
función es el plano mostrado en la Figura 0.10.
El lector puede verificar que se tienen las siguientes intersecciones con los ejes:
la intersección del plano con el eje x es el punto (1, 0, 0);
la intersección del plano con el eje y es el punto (0, 2, 0);
la intersección del plano con el eje z es el punto(0, 0, 4).
28 58
34. Si f(x, y) = g(x), donde g es una función que sólo depende de x, o si f(x, y) = h(y), donde
h es una función que sólo depende de y, entonces el gráfico de f es una superficie cilíndrica.
A continuación veremos un ejemplo de este tipo de funciones.
Ejemplo (Ver video)
El gráfico de la función f(x, y) = y2 es una superficie cilíndrica ya que en este caso z =
f(x, y) = y2 es una ecuación en la que no aparece la variable x, por lo tanto el eje x es la
generatriz de esta superficie.
Figura 0.11: f(x, y) = y2
30 58
35. Ejercicios
Realice la gráfica de las siguientes funciones:
1. f(x, y) = 10 − 4x − 5y.
2. f(x, y) = 1 + y.
3. f(x, y) = cos x.
31 58
37. Recordemos que para graficar funciones reales podemos construir una tabla en la que la
primera columna escribimos valores arbitrarios de la variable independiente y en la segunda
columna sus imágenes correspondientes, obteniendo así pares ordenados. Estos pares ordena-
dos se ubican en el plano y trazamos una curva pasando por ellos.
Este método no es eficiente para graficar una función de dos variables, ya que el dominio
de estas funciones son regiones en el plano y al construir una tabla y al ubicar estos puntos
obtenidos en el espacio tridimensional no se reflejará el verdadero comportamiento de la
función.
Un método efectivo para graficar una función de varias variables es por medio de las curvas
de nivel, como veremos en esta sección.
Definición (Conjunto de nivel)
Sea k un número real en el rango de una función f de varias variables. El conjunto de nivel de
f para el valor de k es el conjunto
Ck = {w ∈ Dom(f) : f(w) = k}.
32 58
38. Si f es una función de dos variables, entonces la curva de nivel relativa a k es una curva en el
plano, dada por
Ck = {(x, y) ∈ Dom(f) : f(x, y) = k},
y en este caso es llamada curva de nivel.
Si f es una función de tres variables, entonces el conjunto de nivel relativa a k es una superficie
en el espacio tridimensional, dada por
Sk = {(x, y, z) ∈ Dom(f) : f(x, y, z) = k}.
y en este caso es llamada superficie de nivel.
Así, las curvas de nivel para un k dado en el rango de una función f son todos los puntos en
el dominio de f tales que su imagen es k.
Para hallar la curva de nivel relativa a k hacemos f(x, y) = k y encontramos todos los puntos
(x, y) que satisfagan esta ecuación.
33 58
39. Ejemplo (Ver video)
Obtener las curvas de nivel de la función
f(x, y) =
r
4 −
x2
9
−
y2
4
.
Solución. Como vimos en el Ejemplo 0.18, el dominio de f es el conjunto
Dom(f) =
(x, y) ∈ R2
:
x2
9
+
y2
4
≤ 4
,
el cual es la región de color azul de la figura.
Todas las curvas de nivel quedan dentro de esta región. Además de eso, mostramos que el rango
de f es el intervalo [0, 2]. Por lo tanto, k no puede tomar valores fuera del intervalo [0, 2].
Dado k ∈ [0, 2], hacemos
k = f(x, y) =
r
4 −
x2
9
−
y2
4
, de donde k =
r
4 −
x2
9
−
y2
4
.
34 58
40. Ejemplo
Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos
k2
= 4 −
x2
9
−
y2
4
y así
x2
9
+
y2
4
= 4 − k2
. (0.1)
Esta ecuación corresponde a una elipse.
Sustituyendo k = 0 en (0.1), tenemos la ecuación de una elipse x2
9 + y2
4 = 4.
Sustituyendo k = 1 en (0.1), tenemos la ecuación de una elipse x2
9 + y2
4 = 3.
Para k = 2, obtenemos x2
9 + y2
4 = 0. En este caso, la curva de nivel sólo consta del punto
(x, y) = (0, 0).
En la figura se muestra las curvas de nivel para los valores de k = 0, 1,
√
2.5,
√
3,
√
3.5,
√
3.8, 2.
Para obtener el gráfico de f a partir de las curvas de nivel, primero dibujamos estas curvas de
nivel obtenidas para un valor de k en el plano z = k de R3.
35 58
41. Ejemplo
Al graficar las curvas de nivel en R3 estamos construyendo el “esqueleto” de nuestro gráfico.
El gráfico a partir de estas curvas es obtenido cubriendo este esqueleto con un manto. Observe
que todos los puntos de las curvas de nivel están sobre la superficie obtenida del gráfico de f.
(a) Curvas de nivel (b) Curvas de nivel en R3
(c) Gráfico de f
Figura 0.12: Curvas de nivel f(x, y) =
q
4 − x2
9 − y2
4 . k = 0,1,
√
2.5,
√
3,
√
3.5,
√
3,8, 2.
36 58
42. Ejercicios
Realice algunas curvas de nivel de las siguientes funciones:
1. f(x, y) = (y − 2x)2, k = 0, 1, 2, 3, 4.
2. f(x, y) = exy, k = 1, 2, 4, 6, 8.
3. f(x, y) =
p
y2 − x2, k = 0, 1, 4, 6.
37 58
43. Ejemplo (Ver video)
Obtener las curvas de nivel de la función
f(x, y) =
x2
6
−
y2
8
.
Solución. El dominio de f es todo R2, por lo tanto las curvas de nivel pueden extenderse en todo
el plano.
Note también que el rango de f es todo el conjunto de números reales (verifique), así, k puede ser
cualquier número real.
Dado k ∈ R, tomamos
k =
x2
6
−
y2
8
,
la cual es la ecuación de la hipérbola siempre que k ̸= 0.
Si k 0, la hipérbola se abre en la dirección del eje x y si k 0 se abre en la dirección del eje y.
38 58
44. Ejemplo
Si k = 0, obtenemos
0 =
x2
6
−
y2
8
, así
x2
6
=
y2
8
, luego y2
=
8x2
6
=
4x2
3
, de donde y = ±
2x
√
3
,
las cuales son ecuaciones de rectas que pasan por el origen, una con pendiente negativa y otra
con pendiente positiva.
(d) Curvas de nivel (e) Curvas de nivel en R3
(f) Gráfico de f
39 58
46. Ejemplo (Ver video)
Hallar las curvas de nivel del plano f(x, y) = −4x − 2y + 4.
Solución. Tomando k = −4x − 2y + 4, al despejar y obtenemos
y =
−4x + 4 − k
2
= −2x + 2 −
k
2
,
la cual es la ecuación de una recta en el plano.
La pendiente de las rectas de cada curva de nivel es -2 (las rectas son paralelas).
La intersección de la recta y = −2x + 2 − k
2 con el eje y es el punto (0, 2 − k
2 ).
En la siguiente figura se muestran las curvas de nivel de f para diferentes valores de k y su
gráfico.
40 58
47. (g) Curvas de nivel (h) Curvas de nivel en R3
(i) Gráfico de f
41 58
48. Ejercicios
Hallar el rango de las siguientes funciones. Realice las curvas de nivel para los valores de k
dados.
1. f(x, y) = 1
x2
4
+y2
9
, k = 1, 2, 3, 4, 5.
2. f(x, y) = xy, k = −2, −1, 0, 1, 2.
3. f(x, y) = y
x2+1
, k = 0, 1, 2, 3, 4.
42 58
49. Ejemplo (Ver video)
Considere la función f(x, y) = x2y, con (x, y) ∈ R2. Usando curvas de nivel, realice un
bosquejo del gráfico de f.
Solución: Note que el rango de la función es todo el conjunto de los números reales (verifique),
así, k puede ser cualquier número real. Dado k ∈ R, tenemos k = x2y. Surgen los siguientes
casos:
Caso k = 0 : Si k = 0, entonces πx2y = 0, de donde x = 0 (eje y) o y = 0 (eje x). Esto
implica que para k = 0, las curvas de nivel son los ejes x y y.
Caso k 0: Si k 0, entonces x y y son diferente de cero. Así, y = k
x2 para x ̸= 0. En este
caso las curvas de nivel quedan por encima del eje y.
Caso k 0: Si k 0, entonces x y y son diferente de cero. Así, y = k
x2 para x ̸= 0. En este
caso las curvas de nivel quedan por debajo del eje y.
43 58
50. (j) Curvas de nivel (k) Curvas de nivel en R3
(l) Gráfico de f
Figura 0.13: Curvas de nivel y gráfico de f(x, y) = x2
y.
44 58
51. Ejemplo (ver video)
Obtenga las curvas de nivel de f(x, y) = 1
x2+y2 .
Solución: El lector puede verificar que Ran(f) = (0, ∞). Sea k ∈ (0, ∞). Tomando
k = f(x, y) tenemos
k =
1
x2 + y2
, de donde x2
+ y2
=
1
k
.
Así, las curvas de nivel de f son circunferencias de radio 1
√
k
con centro en el origen. A medida
que k aumenta, el radio disminuye (ver Figura 0.14).
45 58
52. (a) Curvas de nivel (b) Gráfico de f
Figura 0.14: f(x, y) = 1
x2+y2
46 58
53. Ejercicios
Hallar el rango de las siguientes funciones. Realice las curvas de nivel para los valores de k
dados.
1. f(x, y) = x2y2, k = 0, 1, 2, 3, 4.
2. f(x, y) = ln(x2 + 4y2), k = −2, −1, 0, 1, 2.
3. f(x, y) = y
x2+y2 , k = −10, −3, 0, 3, 10.
47 58
54. Ejemplo (Ver video)
Hallar y dibujar las superficies de nivel de
f(x, y, z) =
r
1 −
x2
16
−
y2
16
+
z2
9
Solución. Como vimos en el Ejemplo 0.13, el dominio de f es el sólido encerrado por la
hiperboloide de ecuación x2
16 + y2
16 − z2
9 = 1 (ver Figura 0.7).
Así, las superficies de nivel de f se ubican dentro de este sólido.
Haciendo
k =
r
1 −
x2
16
−
y2
16
+
z2
9
obtenemos
k2
= 1 −
x2
16
−
y2
16
+
z2
9
o bien
x2
16
+
y2
16
−
z2
9
= 1 − k2
.
48 58
55. Ejemplo
Para valores de k en [0, 1) tenemos que 1 − k2 es positivo. Por lo tanto, si k ∈ [0, 1), la superficie
x2
16 + y2
16 − z2
9 = 1 − k2 es una hiperboloide de una hoja, como podemos ver en la figura
(superficies verde y roja de la Figura).
Si k = 1, entonces tenemos la ecuación x2
16 + y2
16 − z2
9 = 0, la cual es un cono elíptico (superficie
violeta de la Figura).
Si k 1, entonces 1 − k2 0. Podemos escribir la ecuación x2
16 + y2
16 − z2
9 = 1 − k2 como
−x2
16 − y2
16 + z2
9 = k2 − 1, donde k2 − 1 0 para k 1.
Así, si k 1, −x2
16 − y2
16 + z2
9 = k2 − 1 corresponde a una hiperboloide de dos hojas (superficies
amarilla y violeta de la derecha).
49 58
59. Además de ayudarnos a graficar una función de varias variables, las curvas de nivel nos
brindan cierta información de gran utilidad en problemas prácticos, como veremos en esta
sección.
Si T representa la temperatura en una región del plano, las curvas de nivel de T se llaman
isotermas. En cada punto de una isoterma (curva de nivel) la temperatura se mantiene
constante.
Ejemplo (Ver video)
Una plancha delgada de metal, situada en el plano xy, está a una temperatura T(x, y) =
10
1+3x2+2y2 dada en grados centígrados. Trace algunas isotermas para T y realice un bosquejo de
su gráfico.
Solución: De k = T(x, y) = 10
1+3x2+2y2 (note que k siempre es positivo) obtenemos
1 + 3x2
+ 2y2
=
10
k
o bien 3x2
+ 2y2
=
10
k
− 1.
Esta última expresión sólo tiene sentido si 10
k − 1 ≥ 0, o bien , si k ≤ 10. Luego k ∈ (0, 10] =
Ran(T) (así 10◦C es la temperatura máxima en la plancha). Si k = 10 entonces la curva de nivel
C10 sólo consiste del punto (0, 0) ((0, 0) es el único punto cuya temperatura es de 10◦C).
52 58
60. Ejemplo
Si k ∈ (0, 10), tenemos que
3x2
10
k − 1
+
2y2
10
k − 1
= 1 o bien
3kx2
10 − k
+
2ky2
10 − k
= 1
las cuales corresponden a elipses. A medida en que k aumenta, la elipse obtenida de la curva de
nivel correspondiente es más pequeña hasta llegar al punto (0, 0) que se obtiene en k = 10. Esto
implica que a medida que nos aproximamos al origen la temperatura va aumentando. En las
Figuras 0.16 podemos ver las isotermas y el gráfico de la función T.
(a) Isotermas (b) Gráfico de T
53 58
61. Si V (x, y) es el potencial eléctrico en un punto (x, y) del plano xy, entonces las curvas de
nivel de V se llaman curvas equipotenciales. En todos los puntos de dicha curva el potencial
eléctrico es el mismo.
Ejemplo (ver video)
Trace algunas curvas equipotenciales de V (x, y) = 1
√
4−x2−y2
.
Solución: En el Ejemplo 0.8 obtuvimos que
Dom(V ) = {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
4} y Ran(V ) = [1/2, ∞).
Dado k ∈ [1
2, ∞), tenemos
k = V (x, y) =
1
p
4 − x2 − y2
de donde k2
=
1
4 − x2 − y2
4 − x2
− y2
=
1
k2
y así x2
+ y2
= 4 −
1
k2
.
Si k = 1
2 tenemos que C1
2
consiste del punto (0, 0) (en el punto (0, 0) el potencial es de 0.5V ).
54 58
62. Ejemplo
Si k 1
2, entonces las curvas de nivel Ck consisten de circunferencias con centro en el origen y
radio
q
4 − 1
k2 .
A medida que k aumenta este radio aumenta (el potencial aumenta a medida que nos alejamos
del origen), aproximándose a 4 (todos los radios de estas circunferencias son menores que 4).
En la siguiente figura mostramos estas curvas equipotenciales de V para os valores
k = 1
2, 2
3, 1, 2, 3, 4 y el gráfico de V .
(g) Curvas equipotenciales (h) Equipotenciales en R3
(i) Gráfico de V
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63. Ejercicios
1. En cada punto (x, y) de una plancha delgada de metal, situada en el plano xy, se tiene
una temperatura
T(x, y) =
100
1 + x2 + 2y2
.
Halle la imagen de T y trace algunas isotermas de T para obtener su gráfico.
2. En cada punto (x, y) de cierta región en el plano xy, el potencial eléctrico está dado por
V (x, y) =
5
p
9 − x2 − y2
.
Hallar el dominio y la imagen de V y trace algunas curvas equipotenciales de este
potencial.
56 58
64. Ejemplo
En el Ejemplo 0.14 vimos que la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos objetos con masas
m y M es dado por
F(x, y, z) =
GMm
x2 + y2 + z2
,
donde G es la constante gravitacional, M está ubicado en el origen y la ubicación de m tiene
coordenadas (x, y, z). Para k 0 tenemos que las superficies de nivel son las esferas de ecuación
x2
+ y2
+ z2
=
GMm
k
.
Note que ∥(x, y, z)∥2 = x2 + y2 + z2. A medida que k aumenta (la fuerza aumenta) el radio de
la esfera disminuye (la distancia entre M y m disminuye), esto es, a medida que los cuerpos
están más distantes la fuerza ejercida de uno sobre el otro es cada vez menor. La magnitud de la
fuerza F se mantiene en cada superficie de nivel (a fuerza gravitacional ejercida por M sobre
cuerpos a igual distancia se mantiene constante).
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65. Ejercicios
1. Hallar las superficies de nivel para cada una de las siguientes funciones:
1.1 f(x, y, z) = y2
+ z2
.
1.2 f(x, y, z) = x2
− y2
− z2
.
2. Considere la magnitud de la fuerza eléctrica que ejerce una carga Q ubicada en el origen
sobre una carga q ubicada en el punto (x, y, z) (ver Ejemplo 0.15):
F(x, y, z) =
εQq
x2 + y2 + z2
.
2.1 Hallar las superficies de nivel de F.
2.2 Muestre que si dos cargas q1 y q2 se encuentran a la misma distancia de Q entonces la
fuerza F sobre cada una de ellas es la misma.
2.3 Muestre que a medida que una carga q se aleja de Q, la fuerza disminuye.
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