2. Sistema de
Coordenadas Polares
Gráficas de Ecuaciones
en Coordenadas Polares
Intersección de
Gráficas
Calcular el Área de
una Región Plana en
Coordenadas Polares
¡Llego la hora del
Entretenimiento!
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3. Un sistema de
coordenadas es un
conjunto de valores que
permiten definir
unívocamente la posición
de cualquier punto de un
espacio geométrico
respecto de un punto
denominado origen. El
conjunto de ejes, puntos o
planos que confluyen en el
origen y a partir de los
cuales se calculan las
coordenadas de cualquier
punto, constituyen lo que
se denomina sistema de
referencia.
Las coordenadas polares son
un sistema que definen la posición de
un punto en un espacio bidimensional
consistente en un ángulo y una
distancia.
En muchos casos es útil utilizar las
coordenadas cartesianas para definir
una función en el plano o en el
espacio. Aunque en muchos otros,
definir ciertas funciones en dichas
coordenadas puede resultar muy
tedioso y complicado. En dichos casos,
hacer uso de las coordenadas polares o
esféricas puede simplificarnos la vida.
Un sistema de coordenadas es un
conjunto de valores que permiten
definir unívocamente la posición de
cualquier punto de un espacio
geométrico respecto de un punto
denominado origen.
Hasta aquí hemos usado siempre
coordenadas cartesianas. En ocasiones
es conveniente usar otros sistemas
de las mismas.
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4. Formado por dos ejes en el plano, tres en
el espacio, mutuamente perpendiculares
que se cortan en el origen. Las
coordenadas de un punto cualquiera
vendrán dadas por las proyecciones de la
distancia entre el punto y el origen sobre
cada uno de los ejes.
Este sistema de referencia está
constituido por un eje que pasa por el
origen.
Por conveniencia, comencemos con un sistema dado de
coordenadas xy, tomemos después el origen como polo y el semieje
no negativo de las x como eje polar. Dado el polo O y el eje polar, el
punto P cuyas coordenadas polares so r y q .
Encuentre el lado terminal del ángulo q, dado en radianes, medido en
sentido contrario de las manecillas del reloj ( si q > 0 ) a partir del
semieje positivo de abscisas ( eje polar) como lado inicial.
Si r ³ 0 , P estará en el lado terminal a la distancia r del origen.
Si r < 0, el punto P estará en ei rayo opuesto al lado terminal, a la
distancia |r| = - r del polo. Se puede describir la coordenada radial r
como la distancia dirigida de P al polo, sobre el lado terminal del
ángulo q.
Si r es positivo, el punto P estará en el mismo cuadrante que q .
Si r es negativo, P estará en el cuadrante opuesto.
Si r = 0, no importa cual sea el ángulo q, las coordenadas polares ( 0,
q ) representan al origen cualquiera que sea la coordenada angular
q. Por supuesto, el origen o polo es el único punto para el cual r = 0
CARDIOIDES
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5. La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el
conjunto de puntos (x,y) para los cuales x = r cos θ , y =
r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecuación
polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas
coordenadas polares satisfacen la ecuación dada.
Comience por dibujar dos
gráficas sencillas ( y familiares). La
clave para dibujar las mismas de una
ecuación polar, es mantener siempre
presente que representan las
coordenadas polares.
Con estos conceptos básicos de
localización de puntos en el sistema de
coordenadas polares, podemos
graficar funciones y no sólo puntos. En
este tipo de funciones la variable
independiente es θ y la dependiente
es r, así que las funciones son del tipo r
= r(θ). El método para graficar estas
funciones es el siguiente, primero
graficamos la función r = r(θ) en
coordenadas rectangulares y a partir
de esa gráfica trazamos la
correspondiente en polares.
Guiándonos con la dependencia de r
con respecto a θ.
ROSA DE CUATRO
HOJAS/PÉTALOS
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6. Ahora que ya conoces las coordenadas polares y
observó una variedad de gráficas de las mismas, el próximo paso
consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de
intersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares, con el
propósito de buscar todos los puntos de dicha intersección.
Puesto que un punto
puede representarse de formas
diferentes en coordenadas
polares, debe tenerse especial
cuidado al determinar los puntos
de intersección de dos gráficas
polares, por lo que se sugiere
realizar el dibujo de las
ecuaciones, inclusive cuando más
adelante calculemos el área de
una región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de
intersección de dos gráficas polares con el de encontrar los
puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la
tierra, dichos satélites no entrarían en colisión en tanto lleguen
a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores de
q).
La colisión se producirá solamente en aquellos puntos
de intersección que sean "puntos simultáneos", aquellos a los
que se llega en el mismo instante (valor de q).
PARÁBOLA
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7. El desarrollo de
una fórmula para el área de
una región polar va paralelo
al de zonas en sistema de
coordenadas rectangulares,
pero con sectores de un
círculo en lugar de
rectángulos como
elementos básicos de dicha
área. En la figura se observa
que la superficie de un
sector circular de radio r
viene dada por:
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es
continua y no negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada
por la gráfica para hallar el área de esta región, partimos el intervalo
[ a , b ] en n subintervalos iguales a = q < q < q <........< q < q = b
A continuación aproximamos el área de la región por la
suma de las mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos
decir que usar la fórmula para hallar el área de una región limitada
por la gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, no
es necesariamente válida si f toma valores positivos y negativos en
el intervalo [ a , b ] .
Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área de una
región polar es determinar los límites de integración. Un buen
dibujo de la región puede ayudar mucho en estos casos.
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8. La conversión de coordenada es la
representación de un punto en el plano o el espacio,
se puede hacer mediante diferentes sistemas de
coordenadas. En estos momentos nos ocupan los
sistemas de coordenadas rectangulares y polares. Es
lógico pensar que existe una equivalencia entre los
diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos de
la conversión del rectangular al polar y viceversa.
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