11. Determinant
ทฤษฎีบท กาหนด โดย เป็นสเกลาร์ และ n Z , n ≥ 2 จะได้
เมื่อกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวที่ I
เมื่อกระจายโคแฟกเตอร์ตามหลักที่ j
ij nxn
a
A =
ij
a
23. การแก้ระบบสมการโดยใช้กฎของคราเมอร์
ทฤษฎีบท กฎของคราเมอร์
ถ้า A เป็นเมทริกซ์มิติ nxn โดยที่ det(A) ≠0 แล้วระบบสมการ
ที่เขียนในรูปสมการเมทริกซ์ Ax = b
เมื่อ x1, x2,…, xn เป็นตัวแปร และ b1, b2,…, bn เป็นค่าคงตัว
โดยที่
และ
มีคาตอบคือ
เมื่อ Ai คือเมทริกซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ I ของ A ด้วย b
1
2
n
X
X
X
X
=
1
2
n
b
b
b
b
=
1 2
1 2
det( ) det( ) det( )
, ,...,
det( ) det( ) det( )
n
n
A A A
A A A
X X X
= = =
33. Determinant
ทฤษฎีบท ให้ E เป็นเมทริกซ์มูลฐาน
1. ถ้า E เป็นผลจากการคูณเมทริกซ์ In ด้วยค่าคงที่ k แล้ว det(E) = k
2. ถ้า E เป็นการสลับแถวของสองแถวใดใน In แล้ว det(E) = -1
3. ถ้า E เป็นผลจากการคูณแถวใดแถวหนึ่งแล้วบวกกับแถวอื่นใน In แล้ว
det(E) = 1
39. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์
ถ้า A , B , C เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n และมีสมาชิกแตกต่าง
กันเพียงแถวเดียว แถวที่แตกต่างกันคือแถวที่ r ซึ่งสมาชิกแถว
ที่ r ของ C เกิดจากการบวกกันของสมาชิกแถวที่ r ของ A
และ B ที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกัน แล้ว
det(EA) = det(E)det(A)
46. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท กาหนดให้ A มีมิติ n x n ข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน
1. A มีอินเวอร์สการคูณ
2. Ax = 0 มีคาตอบชัดแจ้งเพียงคาตอบเดียว
3. A = I โดยที่ เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของเมท
ริกซ์ A
4. สามารถเขียน A ในรูปผลคูณของเมทริกซ์มูลฐานได้
5. Ax = b เป็นระบบคล้องจองสาหรับทุก b ที่มีมิติ n x 1
6. Ax = b มีคาตอบเดียว สาหรับทุก b ที่มีมิติ n x 1
7. det(A) ≠ 0