1. 検定
適合度検定
独立性の検定
2003.07.11 講義後に修正
2003.07.16 ｒ ×c 分割表を追加
2011.08.20 カイ 2 乗分布パーセント点グラフを追加

2. 適合度検定
• 母集団がある分布に従っているか、度
数分布表にもとづいて検定
母集団 Π～F ( x)
H 0 : F = F0
H1 : F ≠ F0

3. 仮説
母集団 Π～F ( x)
H 0 : F = F0
H1 : F ≠ F0
度数分布表
a1 a2 … am Total
観測度数 f1 f2 … fm n
期待度数 e1 e2 … em n
期待度数 ei = n Pr( X = ai )

4. 検定統計量
( f1 − e1 ) 2 ( f 2 − e2 ) 2 ( f m − em ) 2
χ 02 = + ++
e1 e2 em
m
( f k − ek ) 2
∑
= ~ χ m −1
2
k =1 ek
帰無仮説のもとで自由度m − 1のχ 2分布
有意水準αより、
χ 2 > χ m −1 (α )) = α
Pr( 2
となる上側α点 χ m −1 (α )を数表から求める。
2
χ 0 > χ m −1 (α ) H 0を棄却
2 2
⇒
χ 0 < χ m −1 (α ) H 0を棄却しない
2 2
⇒

5. 例題
• サイコロを 60 回振ったところ、１から
６の目が次の表のように出現した。
このサイコロは「正しい」サイコロと
言えるか、有意水準 0.05 で検定せよ。
1 2 3 4 5 6 計
観測度数 14 10 11 8 9 8 60
期待度数 10 10 10 10 10 10 60
( f − e) 2 / e 1.6 0 0.1 0.4 0.1 0.4 2.6
χ = 2.6 < 11.07 = χ (0.05)
2
0
2
5
よりH 0は棄却できない

6. 演習
• 1876 年から 1894 年に「馬に蹴られて死んだプ
ロシア軍兵士の度数分布」
• 1 年間に死者の軍団数が次のデータである。
• これはポアソン分布に当てはまると言われてい
る。
• ポアソン分布と見なされるか適合度検定を行お
う
0 1 2 3 4 5 以上 計
観測度数 109 65 22 3 1 - 200

7. ポアソン (Poison) 分布
• ポアソン分布は一定時間、一定面積内
に起きるある事象の回数の分布などに
よく当てはまる。
• とりうる値 k は 0 以上の自然数
• 確率密度と期待値、分散
X ~ Po(λ )
λk −λ
Pr( X = k ) = e k = 0,1, 
k!
E ( X ) = Var ( X ) = λ

8. 演習のヒント
λ
• ポアソン分布のパラメータ は指定されて
いないので、データより推定する。
• データの平均値
ˆ = 1 (0 ×109 + 1× 65 + 2 × 22 + 3 × 3 + 4 ×1) = 0.61
λ
200
• Po(0.61) に従っているかを検定する
その時の期待度数を求める
• 3 人、 4 人、 5 人以上は度数が少ないので、
まとめて 3 人以上にするのがよい。
λ
• の値をデータから推定しているので、自
由度は１下がる

9. 0 1 2 3 4 5 以上 計
観測度数 109 65 22 3 1 - 200
確率密度 1.00
0.610 −0.61 0.611 −0.61 0.612 −0.61 0.613 −0.61 0.614 −0.61 ∞ 0.61k −0.61
0!
e e
1! 2!
e
3!
e
4!
e ∑ k! e
k =5
期待度数 108.7 66.3 20.2 4.1 0.6 0.1 200
( f − e) 2 / e

10. 独立性の検定
• 二つの属性 B と C との間が独立かどう
か H 0 : BとCとは独立
• 仮説 H : BとCとは独立ではない
1
• データC1 2×2 分割表
C2 計
B1 n11 n12 n1•
B2 n21 n22 n2•
計 n•1 n•2 n

11. ni• × n• j
• 観測度数 期待度数 =
eij
n
C1 C2 計 C1 C2 計
B1 n11 n12 n1• B1 e11 e12 n1•
B2 n21 n22 n2• B2 e21 e22 n2•
n•1 n•2 n n•1 n•2 n
計 計
• 検定 χ =
2
0
(n11 − e11 ) 2 (n12 − e12 ) 2
+
e11 e12
統計量 (n21 − e21 ) 2 (n22 − e22 ) 2
+ + Yates の補正
e21 e22
2 2 (nij − eij ) 2 n(n11n22 − n21n12 ) 2 n(n11n22 − n21n12 ± n / 2) 2
∑∑
= = =
i =1 j =1 eij n1• n2• n•1n•2 n1• n2• n•1n•2
χ12 自由度１の χ２ 分布
~

12. 例題
• 運動していると風邪をひきにくいことがあ
るか 風邪 風邪 計
かかった かからな
い
運動 16 36 52
している
運動 122 126 248
していな
い
計 138 162 300
300(16 ×126 − 122 × 36) 2
χ =
2
0 = 5.87
52 × 248 ×138 × 162

13. 演習
• インフルエンザに予防注射は効果があ
るか？
インフルエンザ
計
かかった かからな
かった
受けた 35 45 80
予防注射
受けてい 80 40 120
ない
115 85 200
計

14. r×c 分割表
C1 C2 Cc 計
B1 n11 n12 n1c n1•

B2 n21 n22 n2 c n2•


   
Br nr1 nr 2 nrc nr •

計 n•1 n•2 n•c n


15. ni•
pi = Pr( B = Bi ) =
ˆ
n
n• j
q j = Pr(C = C j ) =
ˆ
n
独立性を仮定すると
pij = Pr( B = Bi & C = C j )
ˆ
Pr( B = Bi ) Pr(C = C j )
=
ni• n• j
pi q j =
= ˆ ˆ
n n 検定統計量は
となり、期待度数は r c (nij − eij ) 2
χ 02 == ∑∑ ~ χ (2r −1)( c −1)
ni• n• j ni• n• j i =1 j =1 eij
e ij = npij = n
ˆ =
n n n 自由度(r − 1)(c − 1)の χ２ 分布
となる。