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信号処理実応用入門

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信号処理実応用入門

  1. 1. 2022.02.08 Naoya Taguchi 株式会社ディー・エヌ・エー + 株式会社 Mobility Technologies 信号処理実応用入門 DS 輪講
  2. 2. 2 ▪ 信号処理の実応用における入門レベルの知見 ▪ フーリエ級数展開 ▪ フーリエ変換 ▪ デジタル信号処理 ▪ FIR filter と IIR filter 今日の話
  3. 3. 3 フーリエ級数展開
  4. 4. ▪ 周期関数は三角関数の重み付き和で表せる ▪ フランスの数学者ジョセフ・フーリエによって金属板の中での 熱伝導に関する研究において導入された 4 フーリエ級数展開 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Fourier2.jpg
  5. 5. ▪ 周期関数は三角関数の重み付き和で表せる ▪ フランスの数学者ジョセフ・フーリエによって金属板の中での 熱伝導に関する研究において導入された 5 フーリエ級数展開 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Fourier2.jpg 周期 T/n の三角関数 (T/n 進んだら一周) 各基本的な波をどれ くらいの割合でブレ ンドするか 級数展開式両辺を積分 すると、三角関数の直 交性からきれいに導出 される
  6. 6. ▪ 実際に試してみる ▪ 任意の曲線 (1周期 分のみを描く) が構築されていく様子 6 フーリエ級数展開 https://eman-physics.net/web_app/fourier/fourier.html
  7. 7. ▪ 複素数を用いて表記するとスッキリする ▪ オイラーの公式を想像すると繋がりが想像しやすい 7 フーリエ級数展開 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Fourier2.jpg 式変形しただけ!
  8. 8. ▪ 詳細知りたい方はここにいけばよくわかります 8 フーリエ級数展開 https://www.youtube.com/watch?v=HNHb0_mOTYw
  9. 9. 9 フーリエ変換
  10. 10. ▪ フーリエ級数展開の理論を周期関数以外にも拡張 ▪ フーリエ級数展開において周期を無限大にして導出 ▪ 正確にはフーリエ変換はスペクトル強度の部分の値 ▪ つまり、An, Bn, Cn に当たる部分 10 フーリエ変換 この部分がフーリエ変換
  11. 11. ▪ 例1. 周期信号 11 フーリエ変換
  12. 12. ▪ 例2. 非周期信号 (デルタ関数) 12 フーリエ変換
  13. 13. ▪ 例3. 非周期信号 13 フーリエ変換
  14. 14. ▪ フーリエ変換できたら何が嬉しい? ▪ 要は信号を周波数という観点で解釈可能 ▪ ★特定の周波数成分を抽出・除去することで目的を達成できる  ことがよくある ▪ 特定周波数帯がノイズである ▪ 抽出したい信号が特定周波数帯の信号により形成されている ▪ ML の特徴量計算? ▪ スペクトログラム ▪ 音声 ⇨ 画像の変換 ⇨ CNN みたいなケースを見ますよね 14 フーリエ変換
  15. 15. 15 デジタル信号処理
  16. 16. ▪ コンピューターで扱う場合、信号はデジタル化される ▪ 連続信号をサンプリングして離散的なデータとする ▪ フーリエ変換を離散的に行う必要がある 16 アナログ信号のデジタル化
  17. 17. ▪ フーリエ変換をコンピュータ上で扱うため工夫したもの ▪ 離散的に扱え、積分や ∞ の問題がなくなっている ▪ ★ 工夫の過程で、信号が周期的という前提が追加されている 17 離散フーリエ変換 (Discrete Fourier Transform)
  18. 18. ▪ 離散フーリエ変換を高速に行うアルゴリズム ▪ 愚直にやると O(N^2) のところ O(NlogN) で実行可能 ▪ python では numpy.fft.fft で実行可能 18 ▪ 高速フーリエ変換 (Fast Fourier Transform) https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FFT_Butterfly_radix8.svg
  19. 19. ▪ サンプリング周波数が元信号の2倍 (ナイキストレート) より大きければ、サンプリング結果から元信号を復元可 能 ▪ 10Hz でサンプリングしたら 2Hz 6Hz が同じに見えてしまう 19 サンプリング定理とナイキストレート
  20. 20. ▪ 高周波数成分があったらどうなる? ▪ 復元不可 & フーリエ変換結果がおかしくなる (エイリアシング) ▪ 実用上は信号にローパスフィルタを掛けて帯域制限をした後 FFT をかけるみたいなことをする 20 サンプリング定理とナイキストレート
  21. 21. ▪ DFT で周期関数を前提としたので、開始・終端をなめらか につなぐ必要がある ▪ 実用上は、窓関数をかけた後に FFT をする 21 窓関数
  22. 22. 22 FIR filter と IIR filter
  23. 23. ▪ 周波数領域で特定周波数をキャンセルして逆変換? ▪ 窓関数やその他の問題で難しい ⇨ 実は線形のフィルタで実現可能 23 FIR・IIR フィルタ FIR: IIR:
  24. 24. ▪ ~5Hz のローパスフィルタを設計 ▪ scipy.signal.iirdesign で設計 ▪ ボード線図で作ったフィルタの特性を見る ▪ 青線が周波数ごとの強度。5Hz までは残ることが可視化されている ▪ 緑線が周波数ごとの遅延。 24 フィルタの設計
  25. 25. ▪ 確かにきれいにかかっている ▪ 3Hz はほぼ失われず 30Hz 成分がなくなっている ▪ それっぽく (1rad 程?) 遅延が起きている 25 実際にフィルタをかけた結果
  26. 26. 26 EOF

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