1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERIA
CABUDARE ESTADO LARA
MATEMATICA II
INTEGRAL DEFINIDA
ALBA ALVARADO
NOVIEMBRE 2012

2. INTEGRAL DEFINIDA
RESUMEN DEL TEMA (PARTE PRÁCTICA)
1.-INTEGRAL DEFINIDA
El concepto de integral definida surge al intentar calcular el área encerrada bajo
una función continua , es decir, nuestro objetivo es calcular el área encerrada
entre el eje X, dos rectas paralelas al eje Y x = a y x = b , y la función continua:
Definición: Sea f una función continua en [a,b tal que f(x) 0 en el intervalo.
El área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las abcisas x = a y x=b, la
b
llamaremos integral definida de f(x) entre a y b y se designa por f ( x)dx .
a
b
Hay que hacer notar que el resultado de f ( x)dx no depende de la variable x ya
a
que se trata de un valor numérico puesto que es el resultado de calcular un área.
b b
Así f ( x)dx = f ( t )dt .
a a
2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
a
1. f ( x)dx = 0 cualquiera que sea f . Esta claro que su valor es 0 ya que no existe
a
un recinto del que podamos calcular un área.
2. Si f(x) > 0 y continua en [a,b , entonces
b
f ( x)dx > 0 y si f(x) < 0 y continua en [a,b ,
a
b
entonces f ( x)dx < 0.
a

3. b c c
3. Si a < b < c y f es continua en [a,c , entonces : f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx
a b a
Las propiedades 2 y 3 nos dan la clave para calcular el área bajo una función
que cambia de signo en el intervalo dónde lo estamos calculando, así en el
9
siguiente ejemplo si calculamos directamente f ( x)dx obtendremos 5-3+1 = 3
2
2
u lo cuál es falso ya que el área correspondiente a la
parte negativa también se debe sumar y no restar. Para
evitar esto debemos calcular la integral en cada uno de
los intervalos de forma que la función sea siempre
positiva o siempre negativa y cambiar de signo a la que
5
le corresponde la parte negativa: Área = f ( x)dx -
2
8 9
f ( x)dx f ( x)dx = 5+3+1=9 u2.
5 8
b b b
4. f ( x)dx + g( x)dx = ( f ( x) g( x))dx
a a a
b b
5. K· f ( x)dx = K • f ( x)dx Para K un número real cualquiera.
a a
b b
6. Si para cada x [a,b se cumple que f(x) g(x), entonces f ( x)dx g( x)dx .
a a
7. Si f es una función continua en [a,b , entonces existe c [a,b tal que:
b
f ( x)dx = f(c) (b-a) (Teorema del valor medio del cálculo integral)
a
3. LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA
x
Función área: Dada una función f continua en [a,b podemos calcular f ( t )dt
a
para cualquier x [a,b (corresponderá al área comprendida entre a y x). Por
x
tanto podemos considerar la función F(x) = f ( t )dt , que asigna a cada x [a,b
a
el valor del área bajo f(x) entre a y el punto x.

4. Teorema fundamental del cálculo integral: Si f es una función continua en
x
[a,b , entonces F(x) = f ( t )dt con x [a,b , es derivable y además F´(x) = f(x).
a
Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a,b y G(x) es una
b
primitiva suya, entonces : f ( x)dx = G(b) -G(a)
a
EJEMPLO
3
Queremos calcular (x2 x)dx :
1
2 x3 x2
1. Calculamos una primitiva de f(x) : ( x x)dx = = G(x)
3 2
2. Calculo G(1) = 5/6 y G(3) = 27/2
3
2 x3 x2 x 3
3. Calculo: ( x x)dx = x 1
= 27/2 -5/6 = 76/6 =38/3 u2
3 2
1
4. CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE INTEGRALES
A) CÁLCULO DEL ÁREA ENCERRADA BAJO UNA FUNCIÓN ENTRE
DOS PUNTOS:
EJEMPLO : Nos piden calcular el área comprendida entre f(x)= x3-9x , los
puntos de abcisa x=-2, x=3 y el eje X.
3
Para ello calcularemos: (x3 9 x)dx Si aplicamos directamente la regla de
2
Barrow obtendremos un resultado erróneo ya que no hemos comprobado si
existen tramos negativos de la función en el intervalo (-2, 3) .
Para calcular el área pedida seguiremos los siguientes pasos:

5. 1. Resolvemos la ecuación x3-9x = 0 para calcular dónde corta al eje X. El
resultado son los puntos -3, 0 y 3.
2. Seleccionamos las raíces afectadas en nuestro problema, que son las que
pertenezcan al intervalo [-2,3 : en nuestro caso 0 y 3.
0 3
3
3. Descomponemos Área = | ( x 9 x)dx | +| ( x 3 9 x)dx |
2 0
4. Calculamos una primitiva de x - 9x : G(x) = x4/4-9x2/2.
3
0
5. Calculamos cada una de las integrales definidas (x3 9 x)dx = 0 -(4- 18) =14
2
3
u2 y (x3 9 x)dx = 81/4 - 81/2 -0 = -81/4 y ya podemos concluir que el área
0
buscada es 14 + 81/4 = 137/4 u2
B) ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS
El área comprendida entre dos curvas f y g es igual al área de f menos el área de
g entre los puntos de corte de f y g.
En el dibujo tenemos f(x) = -x2 +6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de
corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x2 +5x -4 y calculamos el
área comprendida entre 1, 4 bajo f-g:
Resolvemos -x2 +5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la
integral definida .
Calculamos
4
x3 5x 2 4 64 1 5 3 2
x2 5x 5 )dx 5x 1 40 20 ( 5) u
3 2 3 3 2 2
1
B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN

6. Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b , se hace girar alrededor del eje
X y se engendra un cuerpo de revolución:
b
El volumen del cuerpo será igual a f 2 ( x)dx
a