2. CONCEPTO.
Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso
repasar los siguientes conceptos:
Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.
Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier
valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las
variables pero no para otros, la ecuación es condicional.
Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de
constantes y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos.
La parte numérica de un término se denomina coeficiente.
Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, – 1, y 3.
Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si
contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un
trinomio.
Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.
En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un
polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3
+ bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado.
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación poli nómica de primer
grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.
3. Factorización y productos notables
Así como los números naturales pueden ser expresados como producto
de dos o más números, los polinomios pueden ser expresadas como el
producto de dos o más factores algebraicos.
Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En
los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como
el producto del número 1 por la expresión original.
Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le
denomina factorización.
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso
de multiplicar.
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a
todos los términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando
a todos los términos de una expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por
letras.
Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).
Algunos ejemplos:
De la expresión ab2 + 3cb - b3 podemos factorizar b
y obtenemos la expresión: b(ab + 3c - b2) (1)
4. MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de
factorización se deben seguir los siguientes pasos:
Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.
Después en el primer factor se pone el signo del segundo término del trinomio.
Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la multiplicación
del signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.
Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo término y
multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos números se pueden
encontrar sacando el mínimo común múltiplo de 187.
Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se están
multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de los dos
factores es 0, ya que cualquier numero multiplicado por 0, da como resultado 0,
por lo que se procede a igualar dos factores a 0.
Después se despeja X en los dos factores.
Por lo que el resultado para X, es X1 y X2.
Por ejemplo. Resolver la siguiente ecuación:
x2 - 28x + 187 = 0
(X ) (X ) = 0
(X - ) (X ) = 0
(X - ) (X - ) = 0
187 11
17 17
5. FACTOR COMUN
Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea
número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.
Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio
es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada
término por ese factor.
Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto
para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el
menor exponente de todas.
Ejemplo:
Ejemplos:
Encontrar el factor común de los siguientes términos:
6. Factor Común Monomio
El factor común de un polinomio es una expresión algebraica, donde:
La parte numérica es el mcd entre los coeficientes.
La parte literal o variable, es la formada por las variable que
hay en común en los términos del polinomio, con su menor exponente.
Ejemplo: Factorizar los siguientes polinomios.
a. 3x + 9xy.
Solución:
En 3x + 9xy el factor común es 3x, por que:
mcd (3, 9) = 3
Parte literal común entre x, xy = x
Entonces para factorizar el binomio 3x + 9xy se divide cada término entre el
factor común, como se muestra a continuación
3x = +1 9xy = +3y
3x 3x
De ahí que: 3x + 9xy = 3x(1 + 3y)
