Proiect functii trigonometrice simple,directe si inverse. Detalii,grafice,domenii definitie,valori,evolutie pe cardane.

1. 






2. Pardon…

3. Urmeaza o prezentare
realizata de
Angelescu Andrei
Delaport Teodor
Nastase Remus
Petrescu Vlad

4. Functiile
trigonometrice
simple

5. (Nu va lasati
pacaliti de
nume… Sunt
grele rau)

6. 1)Functia sin

7. Graficul functiei sin
Tabelul de valori al functiei sin
Grafic

8. 2)Functia cos

9. Graficul functiei cos
Tabelul de valori al functiei cos
Grafic

10. 3)Functia tg

11. Graficul functiei tg
Tabelul de valori al functiei tg
Grafic

12. 4)Functia ctg

13. Graficul functiei ctg
Tabelul de valori al functiei ctg
Grafic

14. 1.Functia arcsin
Functia f(x) = sinx; f :
(Fig 1.) este bijectiva,
deci este inversabila. Functia inversa f -1 se noteaza f -1(x)=
arcsinx unde arcsinx : [-1,1] →
si a graficului sau
(Fig.2) este simetricul graficului functiei f(x) = sinx, f :
fata de prima bisectoare a axelor de coordonate y=x.

15. Observatii :
 Este inversabila orice restrictie a functiei sin cu conditia ca aceasta sa fie bijectiva,dar
numai inversa
restrictiei la intervalul
( f
o
se numeste arcsin.
f -1 )( x ) = x => sin( arcsinx ) , pentru x є [-1,1].
 ( f -1 0 f ) ( x ) = x => arcsin( sinx ) = x , pentru x є
 Functia f -1 este impara,adica arcsin( -x ) = - arcsinx,
x є [-1,1].

16. 2.Functia arccos
In mod analog functia f : [ 0,π ] → [ -1,1 ], f(x) = cosx (Fig.4)
este bijectiva,deci inversabila si atunci functia inversa f -1
notam cu arccos x,unde : f -1( x ) = arccos : [-1,1] → [0, π].
Observatii :
A. Graficul functiei f -1 (x) = arccosx : [ -1,1 ] → [ 0,π ] ( Fig. 5 ) este
simetricul graficului functiei f(x) = cosx, f :[ 0,π ] → [-1,1].fata de prima
bisectoare.

17. B. ( f o f -1 )( x ) = x => cos(arccosx) = x,
C. ( f -1 0 f ) ( x ) = x => arccos(cosx)= x,
D. arccos(-x) = π – arccosx,
x є [-1,1].
x є [ 0,π ]
x є [-1,1]

18. 3.Functia arctg
Functia f :
,f(x) = tgx,este surjectiva,dar nu este
injectiva.Restrictia sa la intervalul
injectiva si deci bijectiva si atunci f :
,fiind monoton crescatoare,este
,f(x)= tgx este
inversabila(Fig. 6)
Inversa sa f -1 se numeste arctgx si se noteaza : f -1
arctgx (Fig. 6 – linia rosie ).Graficul sau este simetricul functiei
f(x) = tgx :
,fata de prima bisectoare.
,
f -1(x) =

19. Se observa ca dreptele
si
sunt asimptote orizontale pentru
graficul functiei arctgx.
Aceste asimptote sunt simetricele asimptotelor verticale
graficului functiei directe. Scriem arctg
ca arctg 0=0 pentru ca tg0 = 0; arctg
arctg
etc.
Observatii :
1.arctg(tgx) = x,
xє
2.tg(arctgx) = x,
xє
3.arctg(-x) = -arctgx, x є
si
si arctg
,pentru ca
ale
. Se deduce usor
;

20. 4.Functia arcctg
Restrictia bijectiva a functiei f(x) = ctgx; f :
este functia f : ( 0,π ) →
,f(x) = ctgx.Inversa sa se numeste
arcctg x si se scrie : f -1( x ) = arcctgx ; f -1 :
→ ( 0,π ).
Graficul sau este simetricul functiei f(x) = ctgx : ( 0,π ) →
fata de prima bisectoare (Fig. 7).
Se observa ca functia arcctgx este pozitiva pe
,iar
graficul sau are dreptele y=0 si y=π asimptote orizontale care
sunt simetricele fata de prima bisectoare a asimptotelor
verticale x=0 si x=π la graficul functiei directe.
Avem : arcctg 0 =
;arcctg
;arcctg
=0;arcctg
Observatii :
1.arcctg(ctgx) = x ,
x є ( 0,π ).
2. ctg(arcctgx) = x,
xє
.

21. Multumim
pentru atentie!
…………..
Publicitate