calcula para la vida

2. PREFACIO
Elementos de C´lculo Diferencial est´ dirigido fundamental-
a a
mente a los estudiantes de Secundaria, aunque tambi´n, por su
e
amplitud y profundidad acad´micas, a los universitarios que nece-
e
siten una s´lida introducci´n al C´lculo Diferencial e Integral: in-
o o a
strumento fundamental para todas las ciencias y la tecnolog´ mod-
ıa
ernas.
Este libro posee varias caracter´
ısticas que lo hacen especial-
mente util en lma ense˜anza y aprendizaje de los conceptos y m´todos
´ n e
del C´lculo:
a
• Contiene un repaso selectivo de la geometr´ el algebra, la
ıa, ´
trigonometr´ y las funciones necesarias para el desarrollo
ıa,
de los temas del C´lculo. Este recuento se hace por medio
a
de recuadros intercalados debidamente a lo largo del texto y,
tambi´n, cuando se requiere m´s amplitud, con peque˜as sec-
e a n
ciones introductorias especiales (por ejemplo: trigonom´tricas,
e
exponenciales y logar´ıtmicas).
• La aproximaci´n es intuitiva y no formal; es decir: no se fa-
o
vorece las definiciones y demostraciones formales, que son de
inter´s sobre todo para los matem´ticos. M´s bien se enfa-
e a a
tiza la comprensi´n de las ideas principales y se promueve
o
un sentido pr´ctico, operatorio y visual de las matem´ticas.
a a
Se suele iniciar los temas con ejemplos y situaciones de los
que arrancan las ideas matem´ticas, para luego ascender a
a
los conceptos generales. Por eso mismo es que se da una gran
relevancia a la representaci´n gr´fica, una gran utilizaci´n de
o a o
la geometr´ anal´
ıa ıtica, con el prop´sito de que el estudiante
o
pueda visualizar constantemente los conceptos y m´todos y,
e
por ello mismo, facilitar su comprensi´n y dominio. No ob-
o
stante, para quienes requieran o deseen un conocimiento de
las definiciones y m´todos formales matem´ticos, hemos in-
e a
cluido un cap´ıtulo espec´ ıfico al final del Volumen II.
• Se pone un especial cuidado en los aspectos de c´lculo num´rico
a e
y aproximativo, con el prop´sito de evidenciar esta dimensi´n
o o
de las matem´ticas.
a
• Para hacer ver la cercan´ entre el C´lculo y otras areas del
ıa a ´
conocimiento, hemos incluido un cap´ ıtulo especial de apli-
caciones de los l´ ımites y la derivada (Cap´ ıtulo 8) tanto en
las ciencias f´
ısicas, qu´ ımicas, biol´gicas, econ´micas, sociales,
o o
en la tecnolog´ como en otras dimensiones de las mismas
ıa,

3. matem´ticas. Las aplicaciones se incluyen cuando su inclusi´n
a o
tiene sentido te´rico y pedag´gico (no artificialmente), es de-
o o
cir: una vez que se posee el conocimiento de los conceptos y
los m´todos matem´ticos que se van a aplicar. El nivel de las
e a
aplicaciones es introductorio, y solo se busca que el estudiante
aprecie el tipo de usos que tiene el C´lculo.
a
• Para favorecer un sentido de realidad y “terrenalidad” del
C´lculo y de las matem´ticas, hemos incluido notas y sec-
a a
ciones hist´ricas a lo largo de todos los cap´
o ıtulos. La historia
de las matem´ticas permite comprender que sus resultados no
a
son verdades infalibles o absolutas, sino construcciones real-
izadas por personas de carne y hueso y en sociedades partic-
ulares.
• El Cap´ ıtulo 9, “Temas adicionales: una introducci´n”, busca
o
crear una ventana por la que el y la estudiante puedan mirar
hacia otras partes del mundo de las matem´ticas, y formarse
a
una visi´n con una perspectiva m´s amplia. Por eso la aprox-
o a
imaci´n que se le ha imprimido es apenas introductoria.
o
• Las secciones de ejercicios han sido divididas conforme a tipos
distintos de pr´ctica y evaluaci´n: selecci´n unica, falso y
a o o ´
verdadero, desarrollo. Esto favorece la comprensi´n de los
o
conceptos (y no solo la mera aplicaci´n de procedimientos y
o
“recetas”), pero, adem´s, prepara a los estudiantes para las
a
diferentes evaluaciones que tendr´n que realizar (como en las
a
pruebas del Bachillerato). Para beneficio de la autoevalu-
aci´n ofrecemos las respuestas de todos los ejercicios impares
o
propuestos.
El primer volumen contiene un tratamiento completo del tema
de los l´
ımites, pero lo hace d´ndole significado al concepto de l´
a ımite
dentro del C´lculo Diferencial. Es decir, los m´todos infinitesimales
a e
solo tienen significado en su utilizaci´n tanto en las derivaci´n como
o o
en la integraci´n; en s´ mismos resultan abstractos y vac´ Por eso
o ı ıos.
es que en el Cap´ ıtulo 1 del Volumen I se introduce intuitivamente
la derivada, lo que conduce a la necesidad de los l´ ımites y luego,
en el ultimo cap´
´ ıtulo de este volumen, se desarrolla la derivada
plenamente usando los l´ ımites. De esta manera el estudiante com-
prender´ mejor la utilidad de los m´todos infinitesimales.
a e
El segundo volumen desarrolla plenamente el C´lculo en las fun-
a
ciones trigonom´tricas, exponenciales y logar´
e ıtmicas (cap´
ıtulos 6 y
7). Hasta aqu´ llega el tronco del libro. Los ultimos tres cap´
ı ´ ıtulos
de este volumen son complementarios y buscan fortalecer los resul-
tados estudiados o abrir una perspectiva m´s amplia del C´lculo.
a a
vi

4. Estos cap´ıtulos, al igual que todas las secciones hist´ricas del li-
o
bro, se prestan muy bien para trabajarlos en grupo o en proyectos
especiales para algunos educandos.
Hemos escrito este libro con la conciencia de que las necesidades
de los estudiantes o las instituciones educativas a lo largo del pa´
ıs
son diferentes. Por eso se puede seguir estrategias distintas en la
utilizaci´n de este texto; proponemos tres opciones:
o
• Completa: Vol´menes I y II completos (excepto el Cap´
u ıtulo
10, que debe quedar solo para algunas personas interesadas
especialmente).
• B´sica: Volumen I, y Secciones 8.2 y 8.3 del Volumen II.
a
• Reducida: Cap´ ıtulos 1, 2 y 3, Secciones 4.1, 4.2, y 5.1, y 5.2.,
del Volumen I.
Como complemento y apoyo adicionales, puede usarse nuestro
libro Elementos de C´lculo Diferencial: Historia y Ejercicios resuel-
a
tos, publicado por la misma Editorial de la Universidad de Costa
Rica, que contiene una amplia historia de los principales temas del
C´lculo Diferencial e Integral (dentro del contexto m´s amplio de
a a
la historia de la ciencia y el pensamiento) y, adem´s, la soluci´n
a o
detallada de una parte de los ejercicios propuestos en el texto que
usted tiene en sus manos.
Por ultimo, los autores deseamos expresar nuestro agradecimiento
´
a la Editorial de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la
publicaci´n de este libro de texto. Esperamos que Elementos de
o
C´lculo Diferencial pueda servir a los prop´sitos de fortalecer la
a o
formaci´n matem´tica nacional de cara a un nuevo milenio donde
o a
las matem´ticas, las ciencias, y la tecnolog´ jugar´n un papel de-
a ıa a
cisivo para el progreso individual y colectivo.
Angel Ruiz
Hugo Barrantes
Escuela de Matem´tica,
a
Universidad de Costa Rica,
Ciudad Universitaria Rodrigo Facio,
11 de Octubre de 1996.
vii

6. CONTENIDO
VOLUMEN I
PREFACIO v
´
INTRODUCCION ix
CAP´
ITULO 1: LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA 2
Se introduce de modo intuitivo el concepto de derivada como justifi-
caci´n de la necesidad del concepto de l´
o ımite. Esto se hace mediante
el uso del concepto de velocidad instant´nea y de la pendiente de la
a
recta tangente a una curva en un punto. En el aspecto hist´rico se
o
presenta una breve rese˜a sobre la vida y la obra de Galileo Galilei.
n
.... ....
....................................
..... ... 1.1 Razones de cambio 3
..........(5,................... .. 122.5)
s
.
.. 1.2 Ca´ libre y c´lculo de rectas tangentes
ıda a 9
.
....
....
.
..
.........
....
secantes.. ................%..
. ... .....
.. .. . ..
. .I...
..
.. .
........ .. 1.3 La derivada como raz´n de cambio instant´neo
o a 16
. .... ... .
.c .. .
.. .
... .. .
.. ..
... .. .
.. . .... tangente
... ... ..
... .. ............
... .%
.s
.
... ...... 1.4 Galileo, la ciencia moderna y las matem´ticas
a 22
... ... ..
.
... .... ..
... ... .
... ..... .. (4.5, 99.225)
................ ....... ....
(4, 78.4) ...... . . .
.s
...
.
1.5 Ejercicios del Cap´tulo 1
ı 23
..
. .
. .
.
L1 L2 L3

7. CAP´
ITULO 2: L´
IMITES 27
Se hace un tratamiento m´s extensivo de los l´
a ımites, d´ndole prioridad
a
al aspecto gr´fico. Se estudian las propiedades de los l´
a ımites y se
calculan utilizando tanto esas propiedades como la transformaci´n de
o
expresiones algebraicas en otras equivalentes. En la parte hist´rica se
o
proporciona una breve rese˜a del desarrollo de la Geometr´ Anal´
n ıa ıtica
y su importancia en el desarrollo del C´lculo.
a
y
T
2.1 Funciones y representaci´n gr´fica
o a 27
.............
.............
............. 2.2 El proceso del l´
ımite 32
e
f tiende c.............
.............
12 .............
.............
a 12 .............
............. 2.3 C´lculo de l´
a ımites 39
.............
.............
T
2.4 Coordenadas y Geometr´ Anal´
a ıtica 51
3
Ex 2.5 Ejercicios del Cap´tulo 2
ı 54
b 3i
x tiende a 3
CAP´
ITULO 3: L´
IMITES LATERALES Y CONTINUIDAD 61
En este cap´ıtulo se introduce el estudio de uno de los conceptos cen-
trales del C´lculo: la continuidad de las funciones; para ello se in-
a
troduce en primera instancia el estudio de los l´ ımites laterales. Se
proporciona, adem´s, alguna informaci´n sobre uno de los creadores
a o
del C´lculo: Issac Newton.
a
y
T
3.1 Los l´
ımites laterales 61
3.2 Continuidad 65
3.3 Funciones discontinuas 70
p c
5
f tiende a 5
p s
f tiende a 2 3.4 Newton, las matem´ticas y la revoluci´n cient´
a o ıfica 74
2 p
p p p Ex
p 3.5 Ejercicios del Cap´tulo 3
ı 77
123

8. CAP´
ITULO 4: L´
IMITES INFINITOS Y AL INFINITO 81
Se complementa el estudio de los l´ ımites introduciendo los conceptos
de l´
ımites infinitos y l´
ımites al infinito y el concepto de recta as´ıntota
(horizontal y vertical) ligado con estos tipos de l´
ımites. Adem´s, me-
a
diante el concepto de ´rea del rect´ngulo, se hace una brev´
a a ısima in-
troducci´n a una de las grandes ramas del C´lculo: la integraci´n.
o a o
y
T
4.1 L´
ımites infinitos y as´
ıntotas verticales 81
4.2 L´
ımites al infinito y as´
ıntotas horizontales 88
Ex
1 4.3 L´
ımites al infinito y c´lculo de areas
a ´ 96
4.4 Ejercicios del Cap´tulo 4
ı 100
CAP´
ITULO 5: LA DERIVADA 105
En este cap´ ıtulo regresamos al concepto de derivada, defini´ndola a
e
trav´s de un l´
e ımite. Se estudian las reglas de derivaci´n y se utilizan
o
para calcular derivadas de diferentes funciones algebraicas. Utilizando
el c´lculo de derivadas se determinan velocidades y rectas tangentes y
a
normales. Se proporcionan algunos datos hist´ricos sobre otro de los
o
creadores del C´lculo: Gottfried Leibniz.
a
y
5.1 La definici´n de derivada
o 107
T
(x, f (x)) s
(c, f (c)) s f (x) − f (c) 5.2 Reglas de derivaci´n
o 117
x−c
E x
5.3 Derivaci´n implı’cita
o 124
c x
5.4 Leibniz y el C´lculo
a 127
f (x) − f (c) 5.5 Ejercicios del Cap´ulo 5
t 129
f (c) = lim
x→c x−c
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 135
´
INDICE 139

9. VOLUMEN II
CAP´ ´
ITULO 6: LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
´
Y EL CALCULO 1
6.1 Repaso sobre funciones trigonom´tricas
e 4
sen x
6.2 Un l´
ımite especial: lim 11
x→0 x
6.3 Derivadas de las funciones trigonom´tricas
e 17
6.4 Ejercicios del Cap´ulo 6
t 22
CAP´
ITULO 7: LAS FUNCIONES LOGAR´
ITMICAS,
´
EXPONENCIALES Y EL CALCU-
LO 25
7.1 Repaso sobre las funciones logar´
ıtmicas 26
7.2 Repaso sobre las funciones exponenciales 29
7.3 L´
ımites especiales 30
7.4 Derivadas de las funciones logar´
ıtmicas y exponenciales 33
7.5 La importancia de las notaciones 44
7.6 Ejercicios del Cap´tulo 7
ı 46
CAP´
ITULO 8: ALGUNAS APLICACIONES 49
8.1 Algunas situaciones donde se aplican los l´
ımites 50
8.2 Funciones discontinuas aplicadas 52
8.3 Velocidad y aceleraci´n
o 54
8.4 La construcci´n de las gr´ficas de las funciones
o a 57
8.5 Calcular l´
ımites usando la derivada: La regla de L’H¨pital
o 63
8.6 Euler y las matem´ticas aplicadas
a 67
8.7 Ejercicios del Cap´tulo 8
ı 69
xi

10. CAP´
ITULO 9: TEMAS ADICIONALES: UNA INTRO-
´
DUCCION 71
9.1 Series infinitas 72
9.2 La integraci´n y la antiderivaci´n
o o 75
9.3 Ecuaciones diferenciales 83
9.4 Funciones de varias variables y derivadas parciales 88
9.5 Ejercicios del Cap´tulo 9
ı 92
CAP´ ´
ITULO 10: DEFINICIONES Y METODOS FOR-
MALES 97
10.1 El concepto de l´
ımite 99
10.2 El concepto de continuidad 104
10.3 El concepto de derivada 106
10.4 Infinitesimales y an´lisis no–standard
a 112
10.5 Ejercicios del Cap´tulo 10
ı 113
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 115
´
INDICE 119
xii

12. ´
INTRODUCCION
El C´lculo Diferencial e Integral constituye una de las grandes
a
conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez que se con-
struy´, la historia de las matem´ticas ya no sera igual: la ge-
o a
ometr´ el ´lgebra y la aritm´tica, la trigonometr´ se colocar´
ıa, a e ıa, ıan
en una nueva perspectiva te´rica. Los nuevos conceptos y m´todos
o e
tendr´n tambi´n un impacto extraordinario en la descripci´n y ma-
a e o
nipulaci´n de la realidad f´
o ısica. El objetivo de este libro es, precisa-
mente, iniciar al lector en el estudio de los conceptos y m´todos del
e
C´lculo Diferencial, transmitir esa perspectiva radicalmente nove-
a
dosa con relaci´n a las matem´ticas cl´sicas (que ocupa la mayor´
o a a ıa
de las matem´ticas preuniversitarias), y sugerir el significado de sus
a
aplicaciones en nuestra relaci´n con el mundo.
o
Lo primero que debe quedar claro es que el C´lculo no significa
a
un poco m´s de algebra (unas nuevas f´rmulas), o una consecuen-
a ´ o
cia especial de la geometr´ euclidiana o de la trigonometr´ usual;
ıa ıa
el C´lculo cristaliza conceptos y m´todos cualitativamente difer-
a e
entes, que la humanidad estuvo tratando de dominar por m´s de a Arqu´medes de Sira-
ı
20 siglos. Una larga lista de personas lidiaron con los m´todos “in-
e cusa
finitesimales”, como Zen´n de Elea, Eudoxo de Cnido, Arqumedes
o ´
de Siracusa desde la Grecia Antigua. Pero se tuvo que esperar, sin
embargo, hasta el siglo XVII para tener la madurez social, cient´ ıfica
y matem´tica que permitir´ construir el C´lculo que hoy aprende-
a ıa a Conceptos y m´todos
e
mos en los colegios y universidades. cualitativamente
diferentes
Aplicaciones
Sus aplicaciones son dif´
ıciles de cuantificar porque toda la matem´tica
a
moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las di-
ferentes partes del edificio matem´tico interact´an constantemente
a u
con las ciencias naturales y la tecnolog´ moderna.
ıa
Para dar una primera idea: mencionemos problemas sencillos
que se resuelven f´cilmente con los m´todos del C´lculo:
a e a
Si una nave espacial pesa en la superficie del planeta Tierra
150 toneladas, ¿cu´nto trabajo (t´rmino f´
a e ısico W = Fuerza ×
Distancia recorrida) se requiere para elevarlo de la superficie
de la Luna a una altura de 80 metros?
Un finquero de Para´ de Cartago quiere construir un corral
ıso
en forma de rect´ngulo y dividirlo por una valla paralela a
a
ix

13. uno de los lados. Tiene 160 metros de valla. ¿Cu´les son las
a
dimensiones del corral de ´rea m´xima que puede construir?
a a
Una erupci´n volc´nica hace que la ceniza caiga de manera
o a
gradual al suelo. A una distancia l del volc´n, la altura de
a
−Kl
la ceniza depositada es Be metros, con B y K constantes
positivas. Determinar el volumen total de ceniza que cae den-
tro de una distancia a del volc´n.
a
Se inyecta intramuscularmente una sustancia farmac´utica a
e
un paciente. Despu´s de t horas la concentraci´n del f´rmaco
e o a
en la sangre viene dada por
t + 4t2
S=
60 + t3
¿Cu´ndo ser´ m´xima la concentraci´n?
a a a o
Tacos Costa Rica sabe que la demanda por mes de sus tacos
se describe por
40 000 − X
y=
18 000
Cu´ndo el n´mero de tacos X es 18 000 ¿cu´l ser´ el aumento
a u a ıa
de ingresos por cada taco?
La Mutual San Juan tiene 60 condominios para alquilar en
Alajuela. Se sabe que cuando el alquiler es de 60 000 colones
todos se ocupan. Pero cada vez que la Mutual aumenta en
8 000 colones el alquiler, queda vac´ un condominio. Para
ıo
cada uno de los condominios alquilados se gasta c 9 000 al
||
mes en mantenimiento. ¿Cu´l ser´ el alquiler que se debe
a ıa
cobrar para que la Mutual obtenga el m´ximo beneficio?
a
A h kil´metros de altura, la presi´n de nuestra atm´sfera es
o o o Cohete despegando
de
1 000(0, 88)h milibares.
Un cohete sube a 10 kil´metros por segundo de manera verti-
o
cal. ¿Si la altura del cohete es 80 kil´metros con qu´ rapidez
o e
cambia la presi´n atmosf´ica?
o r
Los conceptos y m´todos del C´lculo son parte del lenguaje
e a
actual de la ingenier´ la biolog´ la f´
ıa, ıa, ısica, la farmacia, la electr´nica, Lenguaje de las cien-
o
la demograf´ la econom´ y, en general, de todas las areas del cias y la tecnolog´
ıa, ıa ´ ıa
conocimiento te´rico y aplicado. Pero ¿cu´l fue el origen del C´lculo? modernas
o a a
x

14. Un poco de historia
Los grandes creadores del C´lculo diferencial fueron el ingl´s Isaac
a e
Newton (1642–1727) y el alem´n Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–
a
1716). De manera diferente pero independientemente estos grandes
intelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaron y gener-
alizaron ideas y procedimientos que hab´ sido abordados (de
ıan
diferentes maneras) y con ´xito parcial desde la Antigedad. Antes
e
de Newton y Leibniz fueron realizados diversos aportes de impor-
tancia asociados al nombre de grandes personalidades, como por
ejemplo: Gilles de Roberval (1602–1675), Johannes Kepler (1571–
´
1630), RenDescartes (1596–1650), Pierre de Fermat (1601–1665), Newton y Leibniz cul-
Galileo Galilei (1564–1642), Christiaan Huygens (1629–1695, amigo minan una fase en la
de Leibniz), John Wallis (1616–1703, amigo de Newton), Bonaven- historia del C´lculo
a
tura Cavalieri (1598–1647, disc´ ıpulo de Galileo), Evangelista Tor-
ricelli (1608–1647, disc´ ıpulo de Galileo), Isaac Barrow (1630–1677,
maestro de Newton).
Para tener la perspectiva cient´ ıfica e hist´rica apropiada, debe
o
decirse que una de las contribuciones previas decisivas para el tra-
bajo de Newton y Leibniz fue la Geometr´ Anal´ ıa ıtica (la expresi´no
de puntos geom´tricos en coordenadas y el uso de m´todos alge-
e e
braicos), creado independientemente por Descartes y Fermat.
La construcci´n del C´lculo fue parte importante de la Rev-
o a
oluci´n Cient´
o ıfica que vivi´ la Europa del siglo XVII.
o
Aparte de los nombres que hemos mencionado, los de William
Harvey (1578–1657), Francis Bacon (1561–1626), Pierre Gassendi
(1592–1655), Robert Boyle (1627– 1691), Robert Hooke (1635–
1703) est´ vinculados a grandes contribuciones en la anatom´ la
n ıa,
f´
ısica, la qu´ımica y los nuevos m´todos en el conocimiento.
e
Debemos se˜alar que el nombre de Newton no solo se asocia
n
a la creaci´n del C´lculo, sino tambi´n a lo que fue la principal
o a e
expresi´n de la Revoluci´n Cient´
o o ıfica del siglo XVII: la s´ ıntesis
de la astronom´ y la mec´nica que realiz´ en su obra Principios
ıa a o
matem´icos de la Filosof´ Natural, publicada en 1687. Al mostrar
t a
matem´ticamente que el sistema del mundo se sosten´ por la Ley
a ıa
de la Gravitaci´n Universal, sus textos se convirtieron en la “bib-
o
lia” de la nueva ciencia. La f´ ısica newtoniana solo va a empezar
a ser “superada” por la f´ ısica relativista de Albert Einstein en los
comienzos del siglo XX.
Los nuevos m´todos enfatizaban la experiencia emp´
e ırica y la
descripci´n matem´tica en nuestra relaci´n con la realidad. La Re-
o a o
voluci´n Cient´
o ıfica supuso una ruptura con las formas de pensar,
estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolu- El C´lculo en los fun-
a
tamente en Europa entre los siglos V y XV d.C. Estas ruptura y damentos de la nueva
salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las sociedad y la nueva
cultura
xi

15. importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV
y XVI con el Renacimiento y la Reforma protestante. Los cambios
intelectuales, culturales, pol´
ıticos y sociales, que se dieron en el
Renacimiento y, al mismo tiempo, aquellos que se cristalizaron en
la revoluci´n cient´
o ıfica y matem´tica, constituyeron los fundamen-
a
tos de la sociedad occidental moderna. En esa medida el C´lculo
a
Diferencial e Integral est´ en el coraz´n del tipo de conocimiento,
a o
cultura y de sociedad del que, esencialmente, somos parte.
Problemas de partida
Cuatro tipos de problemas fueron los que de manera directa moti-
varon la creaci´n del C´lculo:
o a
Uno de ellos fue la determinaci´n de la velocidad y la acel-
o
y punto m´ximo
eraci´n de un cuerpo si se conoce la distancia en funci´n del
o o T
a
tiempo. …r
Otro fue el c´lculo de longitudes, areas y vol´menes determi-
a ´ u f
nados por curvas o superficies.
E x
El tercer problema era determinar cu´ndo una funci´n (que
a o
describe un fen´meno real) alcanzaba un valor m´ximo o
o a
y recta tangente
m´ınimo. T z
El cuarto problema estaba asociado a la geometr´ y era c´mo
ıa, o
calcular las rectas tangentes y normales a una curva en un rP y = f (x)
punto. E x
'
Newton y Leibniz demostraron que con m´todos infinitesimales
e recta normal
se resolv´ los cuatro tipos de problemas planteados.
ıan
El C´lculo infinitesimal fue ampliamente desarrollado durante
a
el siglo XVIII en sus m´todos propiamente matem´ticos como,
e a
tambi´n, en sus aplicaciones a las diferentes ciencias de la nat-
e
uraleza. Los nombres de Leonhard Euler, los hermanos Jacques
(1654–1705) y Jean Bernoulli (1667–1748) , Alexis Claude Clairaut
(1713–1765), el mismo Leibniz y muchos otros, est´n asociados a ese
a
per´ıodo. No podr´ ıamos olvidarnos de mencionar en el per´ ıodo de
fines de siglo XVIII y principios del XIX a los grandes matem´ticos
a
franceses Joseph L. Lagrange (1736–1813), Adrien M. Legendre
(1752–1833) y Pierre Simon Laplace (1749–1827), Lazare Carnot
(1753–1823), el Marqu´s de Condorcet (1743–1794) y Gaspard Monge
e
(1746–1818).
El siglo XIX abrir´ una nueva etapa en la historia del C´lculo,
ıa a
enfatizando, si se quiere, la necesidad de dotarlo de un mayor rigor
l´gico que el que hab´ exhibido antes. Los nombres de Niels
o ıa
H. Abel (1802–1829), Bernhard Bolzano (1781–1848), Augustin
xii

16. Cauchy (1789–1857), Karl Weierstrass (1815–1897) se refieren a
algunos de los muchos matem´ticos que realizaron sus trabajos en
a
esta nueva fase.
En Costa Rica
Para ir dando fin a esta introducci´n, resulta interesante men-
o
cionar que el C´lculo diferencial e integral aparentemente se em-
a
pez´ ense˜ar en Costa Rica en 1864. Le correspondi´ el honor
ıa n o
de su introducci´n al ingeniero mexicano Angel Miguel Vel´zquez,
o a
quien hab´ sido contratado para la apertura de las carreras de In-
ıa
genier´ Civil, Arquitectura y Agrimensura de la Universidad de
ıa
Santo Tom´s.
a
Las matem´ticas tienen un rostro humano
a
Es necesaria una per-
Con la perspectiva hist´rica que hemos sugerido en los p´rrafos
o a spectiva hist´rica
o
anteriores y que nos acompa˜ar´ siempre en este libro, buscamos
n a
compartir con el lector una visiø’n del C´lculo y de las matem´ticas
a a
en general. Una visi´n que entiende los resultados matem´ticos
o a
como construcciones intelectuales realizadas por hombres de carne y
hueso, part´ıcipes de comunidades cient´ ıficas con los vicios y virtudes
presentes en todo colectivo humano.
Los resultados de las matem´ticas deben verse como el producto
a
del trabajo de muchas personas en diferentes momentos y no como
conjuntos de verdades fuera del “mundanal ruido”, no “contami-
nadas” o producidas exclusivamente por mentes privilegiadas. Las Las matem´ticas:
a
creaciones o descubrimientos matem´ticos tienen una historia, a
a parte del “mundanal
veces muy larga, antes de ser definitivamente formuladas. Muchas ruido”
veces nos presentan las matem´ticas ya acabadas y libres del error,
a
tratando de hacernos olvidar todos los andamios, todos los inten-
tos, las pruebas fallidas, los errores, que antecedieron los resultados
finales. Con la recurrencia a la historia de las matem´ticas bus-
a
caremos mostrar, en alguna medida, el rostro humano que siempre
ha tenido esta disciplina (al igual que las otras ciencias), que no
siempre ha sido mostrado en la mayor´ de textos de matem´ticas,
ıa a
pero que es fundamental para comprenderlas y aprenderlas de la
mejor manera.
xiii

18. 2 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
CAP´
ITULO 1
LAS RAZONES DE CAMBIO
Y LA DERIVADA
El verdadero viaje hacia el descubrimiento no
consiste en buscar nuevos horizontes sino en
tener nuevos ojos
Marcel Proust
Muchos de los aspectos de nuestra vida diaria como los de las
ciencias y las t´cnicas tienen que ver con el cambio de las cosas,
e
y en especial con el cambio de una cosa con relaci´n a otras. La
o
velocidad de un autom´vil, por ejemplo, representa un cambio de su
o
posici´n con respecto al tiempo (que tambi´n cambia). La raz´n de
o e o
cambio de la poblaci´n o de la demanda de un producto industrial
o
o de la inflaci´n con relaci´n al tiempo son otros ejemplos que nos
o o
reafirman que continuamente, a veces sin darnos cuenta, estamos
usando razones de cambio.
Las matem´ticas y en particular la rama de ellas que se llama
a
C´lculo ofrecen la posibilidad de establecer modelos que permiten
a
estudiar este tipo de fen´menos. En este Cap´tulo discutiremos
o ı
algunos de estos problemas y veremos c´mo ellos motivaron la
o
definici´n de ciertos conceptos matem´ticos, que han resultado ser
o a
de mucha importancia tanto en el desarrollo de la matem´tica a
misma como en sus aplicaciones.
Se puede decir que el concepto central en el estudio del C´lculo
a
es el concepto de variaci´n o cambio continuos.
o
“No existe el movimiento”
En el siglo V a.C., en la Grecia Antigua vivi´ un famoso fil´sofo
o o
(disc´
ıpulo de otro fil´sofo: Parm´nides) llamado Zen´n de Elea.
o e o
Una de las cosas que se propuso fue demostrar que el movimiento

19. 3 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
no era posible.
Para ello formul´ una “paradoja” que ha despertado el inter´s
o e La paradoja de la Di-
de los matem´ticos y cient´
a ıficos de todos los tiempos. Esta paradoja cotom´a de Zen´n
ı o
la podemos reformular de la siguiente manera:
Un corredor debe alcanzar una tortuga que se encuentra parada
a 1 km de distancia.
Zen´n dir´ Para alcanzar a la tortuga el corredor deber´ recor-
o ıa: a
rer una primera distancia
d1 = la mitad de la distancia = 500 m.
Tambi´n deber´ recorrer la distancia:
e a
d2 = la mitad de la mitad = 250 m.
Y sucesivamente una tercera distancia:
d3 = la mitad de la mitad de la mitad = 125 m.
Una cuarta: d4 = 62, 5 m.
Una quinta: d5 = 31, 25 m.
Una sexta: d6 = 15, 625 m.
Podr´
ıamos resumir la situaci´n anterior en una tabla
o
Tabla 1.1
d1 d2 d3 d4 d5 d6
500 m 250 m 125 m 62, 5 m 31, 25 m 15, 625 m
y podr´
ıamos calcular
Tabla 1.2
d7 d8 d20 d50 d100
7, 8125 m 3, 90625 m 0, 00095367432 m 8, 8817842−13 m 7, 8886091−28 m
Como el proceso se puede repetir indefinidamente, el corredor
deber´ recorrer un n´mero infinito de distancias en un tiempo finito.
a u
Zen´n dir´ eso no es posible; entonces no hay movimiento.
o ıa:
Aquiles y la tortuga
En realidad Zen´n formul´ cuatro paradojas parecidas a la anterior.
o o
Otra de las m´s famosas se llama la de Aquiles y la tortuga. El
a
gran escritor argentino Jorge Luis Borges la plante´ de la siguiente
o
manera:

20. 4 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
“Aquiles, s´
ımbolo de rapidez, tiene que alcanzar la tor-
tuga, s´ımbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces
m´s ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja.
a
Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno;
Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un dec´ ımetro;
Aquiles corre ese dec´
ımetro, la tortuga corre un cent´
ımetro;
Aquiles corre ese cent´ımetro, la tortuga un mil´ ımetro;
Aquiles el mil´
ımetro, la tortuga un d´cimo de mil´
e ımetro,
y as´ infinitamente, de modo que Aquiles puede correr
ı
para siempre sin alcanzarla. As´ la paradoja inmortal.”
ı
Jorge Luis Borges
“La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”
1930.
¿Qu´ piensa usted? ¿Es el movimiento producto de nuestra
e
imaginaci´n?
o
Los m´todos que condensar´ el C´lculo Diferencial e Integral
e ıa a
en el siglo XVII responder´ con toda precisi´n a este tipo de
ıan o
paradojas. Pero para eso la humanidad tuvo que atravesar un El C´lculo responde a
a
largo per´
ıodo desde el siglo V a. C. la paradoja de la Dico-
tom´a de Zen´n
ı o
Se repasa en esta secci´n, en
o
primer lugar, el concepto de
variaci´n de una cantidad.
o
1.1 RAZONES DE CAMBIO Luego se estudia el concepto
de raz´n de cambio, con es-
o
¿C´mo se mide la variaci´n?
o o pecial ´nfasis en el caso par-
e
Podemos distinguir algunas maneras de medir la variaci´n o cam-
o ticular de la velocidad.
bio, por ejemplo el cambio absoluto o incremento y el cambio
relativo.
Ejemplo 1. Variaci´n absoluta
o
Juan abri´ una cuenta de ahorros con c 500, al cabo de dos meses
o ||
Juan fue al Banco a averiguar su saldo. Le dijeron que ahora ten´ıa
c 520. Esto es, Juan tiene ahora c 20 m´s; el cambio absoluto en la
|| || a
cuenta de ahorros de Juan fue de c 20. Por otra parte, Juan tiene
||
ahora un 4% m´s de lo que ten´ en un principio; el cambio relativo
a ıa
en su cuenta fue de 4%.
El cambio absoluto o incremento es una diferencia: lo que tiene Incrementos

21. 5 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
al final menos lo que ten´a al comienzo. Si Cf es la cantidad final y
ı
Ci es la cantidad inicial entonces el cambio absoluto se denota por
∆C y se calcula como
∆C = Cf − Ci .
∆C
En el caso de la cuenta de ahorros de Juan se tiene que Cf = 520,
0 Ci Cf
Ci = 500 y entonces
Figura 1.1. Cambio abso-
∆C = Cf − Ci = 520 − 500 = 20. luto
El cambio relativo es un cociente: El cambio absoluto dividido
entre lo que ten´a al comienzo, es decir
ı
∆C
.
Ci
En el caso de Juan:
∆C 20
= = 0, 04,
Ci 500
que se escribe como 4%.
Otra forma de medir la variaci´n es comparando el incremento
o
de una cantidad variable con relaci´n al incremento de otra canti-
o
dad variable. Esto se conoce como variaci´n promedio o raz´n
o o
promedio de cambio de una cantidad con respecto a la otra.
Ejemplo 2. Variaci´n promedio
o
Volvamos a la cuenta de ahorros de Juan. El incremento en la
cantidad de dinero fue
∆C = c 20.
||
Si consideramos el momento en que abri´ la cuenta de ahorros como
o
el mes 0, entonces el momento en que hizo la consulta fue el mes 2.
La variaci´n absoluta en el tiempo fue
o
∆t = 2 − 0 = 2 meses
(es decir, transcurrieron 2 meses). Podemos calcular el cociente Raz´n promedio
o
∆C c 20
||
= = c 10/mes.
||
∆t 2 meses
Este resultado es un promedio y se puede interpretar diciendo
que la cantidad de dinero en la cuenta de ahorros de Juan creci´ a
o
una raz´n promedio de c 10 por mes.
o ||

22. 6 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
En las aplicaciones a las ciencias muchas veces estamos intere-
sados en c´mo se comporta una variable y cuando otra variable x
o
se aproxima a un valor dado c, esto es, cuando x var´ de manera
ıa
que sus valores son cada vez m´s pr´ximos a c.
a o
En estas circunstancias ambas variables tienen que estar rela-
cionadas: y debe ser una funci´n de x (vea el recuadro sobre fun-
o
ciones). Esto se presenta por ejemplo cuando tratamos con veloci-
dades, aceleraciones, etc.
´
EL CONCEPTO DE FUNCION
Recuerde que una funci´n es una relaci´n que asocia a cada elemento de un conjunto A (llamado dominio
o o
de la funci´n) un unico elemento en un conjunto B (llamado codominio de la funci´n). Si la funci´n
o ´ o o
se denota por f entonces se escribe f : A −→ B. Si x es un elemento de A, su elemento asociado y de B
se llama la imagen de x, a su vez se suele decir que x es preimagen de y. Los dos elementos x e y son
variables, es decir, pueden tomar diferentes valores; x se llama variable independiente porque puede
tomar cualquier valor en A, por su parte, y se llama variable dependiente porque una vez que usted
le da un valor a x, el valor de y es la imagen de x y no cualquier elemento de B.
Por lo general, cuando se trata con funciones reales de variable real, esto es, funciones en las que tanto el
dominio como el codominio son subconjuntos del conjunto de los n´meros reales R, es posible describir la
u
relaci´n mediante una f´rmula que permite encontrar la imagen de cada elemento particular del dominio.
o o
Por ejemplo, si decimos,
f : R −→ R con f (x) = x2 − 2,
entonces lo que se est´ indicando es que tenemos una funci´n f cuyo dominio es R, cuyo codominio es
a o
R y se dice adem´s que para cada valor x de R su imagen se calcula mediante la f´rmula f (x) = x2 − 2.
a o
As, si x = 2 entonces su imagen es
f (2) = 22 − 2 = 4 − 2 = 2;
la imagen de x = −5 es
f (−5) = (−5)2 − 2 = 25 − 2 = 23.
Recuadro 1.1: Funciones
.
Ejemplo 3. Variaci´n de una funci´n en un punto
o o
x2 − 1
Sea f (x) = , ¿qu´ sucede con los valores de f (x) si x est´
e a
x−1
cada vez m´s pr´ximo a 1?
a o

23. 7 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
Soluci´n: La primera observaci´n que se puede hacer es que x = 1
o o
no est´ en el dominio, pues si se sustituye x = 1 en la expresi´n
a o
x2 − 1
x−1
se obtiene
12 − 1 0
= ,
1−1 0
lo que no est´ definido (es una forma indeterminada). Sin embargo,
a
sigamos adelante: utilizamos una calculadora para calcular los val-
ores de f (x) con x cercano a 1. Tome en primer lugar x = 2 (2 est´
a
alejado una unidad de 1, hacia la derecha); tenemos
22 − 1 4−1
f (2) = = = 3,
2−1 1
tomemos ahora x = 0 (0 est´ alejado una unidad de 1, hacia la
a
izquierda); tenemos
(0)2 − 1 0−1
f (0) = = = 1.
0−1 −1
Hagamos lo mismo con x = 1, 5 (media unidad hacia la derecha de
1):
(1, 5)2 − 1 2, 25 − 1 1, 25
f (1, 5) = = = = 2, 5
1, 5 − 1 0, 5 0, 5
y con x = 0, 5 (media unidad a la izquierda de 1):
(0, 5)2 − 1 0, 25 − 1 −0, 75
f (0, 5) = = = = 1, 5.
0, 5 − 1 −0, 5 −0, 5
Podemos continuar de esta manera. En la siguiente tabla de
valores aparecen los resultados utilizando valores de x cada vez Aproximaci´no con
m´s pr´ximos a 1 tanto por la izquierda (menores que 1) como por
a o tablas de valores
la derecha (mayores que 1).
Tabla 1.3
x se acerca a 1 por
.
x se acerca a 1 por
.
..
.. .
..... .. ...
.
. . ..
..... .. . .....
la izquierda .. .. .
... .. . . .. ...
.. ... ..... la derecha
.... .....
.......... .............
.
..... .
.......
.........
.. ..........
. ......
... .
. ....
1
x 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1
f (x) 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1
.. .
.........
.......
2 .........
. ....
........
....... .
........ .
. .
............
............
f se acerca ... .. ..
... .. . . . .. ..
. .. ... f se acerca a 2
..... ...
.... ..
.. ... ...
... ..
.
.
..
.
. .
.
a 2 por la izquierda por la derecha

24. 8 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
As´ de la tabla 1.3 deducimos que lo que sucede con f (x) es
ı,
que sus valores se aproximan cada vez m´s a 2 cuando los valores
a
de x se aproximan a 1.
Tome usted una calculadora y haga varios c´lculos tomando
a
cada vez valores m´s pr´ximos a 1, por ejemplo tome
a o
x = 1, 0001, luego
x = 1, 000001 y
x = 1, 0000001
¿qu´ sucede?, ¿c´mo explicar´ esta situaci´n?
e o ıa o
Veamos ahora lo que sucede de manera gr´fica:
a
f se acerca a 2
y
T )j
2
U
c
2 e z 1'
T x se acerca a 1
Ex
z 1W
x2 −1
Figura 1.2. f (x) = x−1
Como se ve, hay un “hueco” en el punto (1, 2), pero la funci´n
o
cuando x se acerca a 1, ir´ “naturalmente” al valor y = 2.
ıa
La velocidad es una raz´n de cambio
o
Sabemos que viajando por carretera la distancia entre San Jos´ y
e
Puntarenas es La velocidad es una
La rapidez es la magnitud de la velocidad. cantidad vectorial, esto
Cuando en el lenguaje corriente decimos que la velocidad de un ob- es, tiene magnitud y di-
jeto es de 10m/seg sin especificar la direcci´n, en realidad nos estamos
o recci´n.
o
refiriendo a la rapidez. de aproximadamente 120 km. Suponga que
un amigo suyo viaj´ de San Jos´ a Puntarenas; sali´ de San Jos´ a
o e o e
las 2 : 00 pm y lleg´ a Puntarenas a las 4 : 00 pm.
o
Su amigo recorri´ 120 km en un lapso de 2 horas. La velocidad
o
promedio fue de

25. 9 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
120 km
= 60 km/h.
2 h
En general, la velocidad promedio es el cociente: distancia
recorrida entre tiempo transcurrido:
distancia recorrida
velocidad promedio = .
tiempo transcurrido
Se acostumbra a denotar la velocidad promedio como vprom , la
distancia recorrida por ∆d y el tiempo transcurrido por ∆t, de
modo que podemos escribir:
∆d
vprom =
∆t
D
100 km
Ejemplo 4. Velocidades promedio
La figura 1.3 representa las ciudades A, B, C, D y las correspon- B
60 km
dientes distancias entre ellas. 40 km
Un viajero sali´ cierto d´ a la 1 : 00 pm de la ciudad A, lleg´
o ıa o A
C
a la ciudad B a la 1 : 30 pm y sigui´ hacia la ciudad C a la cual
o
lleg´ a las 2 : 30 pm, sin detenerse continu´ su camino y lleg´ a la
o o o Figura 1.3. Camino recorri-
ciudad D a las 4 : 30 pm (todo el mismo d´ ıa). do
a) ¿Cu´l fue su velocidad promedio entre la ciudad A y la ciudad
a
B?
b) ¿Cu´l fue su velocidad promedio entre la ciudad C y la ciudad
a
D?
c) ¿Cu´l fue su velocidad promedio en todo el recorrido real-
a
izado?
Soluci´n
o
a) La distancia entre A y B es de 40km y el tiempo que tard´ fue
o
de 30 minutos, es decir 0, 5 horas. Aqu´ la velocidad promedio
ı
fue
40km
vprom = = 80km/h.
0, 5h

26. 10 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
b) La velocidad promedio entre C y D fue
100km
vprom = = 50km/h.
2h
c) La distancia total de A a D es
40km + 60km + 100km = 200km,
el tiempo transcurrido fue de 3 horas y media, es decir 3, 5h,
por lo tanto la velocidad promedio del recorrido entre A y D
fue
200km
vprom = = 57, 1428km/h.
3, 5h
¿Es suficiente la velocidad promedio?
Enfatizamos el t´rmino velocidad promedio puesto que lo que se da
e
es una medida promedio de la variaci´n. Sin embargo, por ejem-
o
plo, en el caso de su amigo que viaj´ a Puntarenas no sabemos
o
con certeza su velocidad en cada momento. No podemos, con la
informaci´n dada, saber cu´l fue su velocidad al ser las 2 : 30 pm.
o a
En alg´n momento posiblemente se detuvo, desde luego en ese mo-
u
mento su velocidad fue de 0 km/h; en otras ocasiones de seguro
super´ los 60 km/h.
o
El conductor de un autom´vil puede darse cuenta de la veloci-
o
dad a la que va en alg´n momento dado observando el veloc´
u ımetro
del carro (si tal instrumento se encuentra en buen estado). Pero
nosotros, con la informaci´n del tiempo transcurrido y la distancia
o
recorrida, solo podemos calcular un promedio y no podemos saber
lo que sucedi´ en cada instante.
o Velocidad promedio y
Otro de los aspectos importantes de las ciencias es la predicci´n.
o velocidad instant´nea
a
Esto es, a partir de datos dados referidos a una situaci´n, poder
o
predecir con un grado aceptable de aproximaci´n algunas cosas que
o
podr´ suceder en esa situaci´n o en otra situaci´n semejante.
ıan o o
As´ por ejemplo, para el movimiento de un objeto podr´ resultar
ı, ıa
importante saber cu´l es su velocidad en alg´n instante preciso
a u
dado y no la velocidad promedio en ese momento.

27. 11 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
Calcular las velocidades y aceleraciones instant´neas fue uno de
a
los problemas que cautiv´ la atenci´n de los principales matem´ticos
o o a
del siglo XVII.
Aqu´ se estudia, en primera
ı
instancia, el concepto de
velocidad instant´nea medi-
a
1.2 CA´ ´
IDA LIBRE Y CALCULO DE ante el caso de un cuerpo
RECTAS TANGENTES en ca´ıda libre. Posterior-
mente se estudia la pendi-
Uno de los asuntos m´s interesantes en la historia de las ciencias
a ente de una recta tangente a
fue el de la ca´ libre de los cuerpos. La pregunta es: si se lanzan
ıda una curva en un punto dado.
dos cuerpos de diferente peso desde lo alto de un edificio ¿cu´l a
cae m´s r´pido? Sup´ngase que el aire no produce resistencia ni
a a o
fricci´n en ninguno de los dos cuerpos. Antes de seguir leyendo:
o
¿c´mo contestar´ usted esa pregunta?
o ıa
La respuesta correcta fue dada por el gran cient´ ıfico italiano
Galileo Galilei (1564–1642), quien descubri´ que en el vac´ (sin
o ıo
resistencia ni fricci´n del aire) los cuerpos caen con la misma ve-
o
locidad, caen al mismo tiempo. Es interesante se˜alar que Galileo
n
descubri´ este principio observando que las velocidades con la que
o
caen dos cuerpos difieren menos en el aire que en el agua. Algo as´ ı
como que si disminuye la resistencia del medio, la diferencia entre Galileo descubri´ la
o
las velocidades de dos cuerpos disminuye, llegando esta diferencia ley de los cuerpos en
a ser nula en el vac´ıo. ca´da libre
ı
Galileo no solo descubri´ eso sino que describi´ el movimiento
o o
en ca´ libre matem´ticamente:
ıda a
d = 4, 9t2
(si el cuerpo se deja caer).
Suponga que usted se para en lo alto de un edificio y deja caer
una piedra hacia el suelo (note que no la lanza, solo abre su mano
para que caiga) y suponga que la unica fuerza que act´a sobre la
´ u
piedra es la gravedad. Sea t el tiempo (medido en segundos) que
transcurre desde el momento en que usted deja caer la piedra y
alg´n instante determinado, y d la distancia (medida en metros)
u
recorrida por la piedra hasta ese instante. Como d depende de t,
escribimos d(t) en vez de d. Como dijimos antes, Galileo descubri´
o
que se tiene la relaci´n
o Torre de Pisa
d(t) = 4, 9t2 .

28. 12 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
Por ejemplo, 1 seg despu´s de haber soltado la piedra, ´sta ha recor-
e e
rido
d(1) = 4, 9(1)2 = 4, 9 m.
A los 2 seg la distancia recorrida por la piedra habr´ sido
a
d(2) = 4, 9(2)2 = 4, 9 · 4 = 19, 6 m.
En la tabla 1.4 se dan algunos tiempos y la correspondiente
distancia recorrida.
Tabla 1.4
t seg 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
d(t) m 4,9 11,025 19,6 30,625 44,1 60,025 78,4 99,225 122,5 148,225 176,4
¿Podemos predecir cu´l ser´ la velocidad de la piedra exacta-
a a
mente 5 segundos despu´s de haberla soltado?
e
Aproximaci´n de la velocidad instant´nea
o a
Sabemos que esta velocidad instant´nea no se puede calcular como
a
una velocidad promedio, pero vamos a ver c´mo a partir de ella
o
encontramos la velocidad instant´nea.
a
• Podemos suponer que la velocidad a los 5 segundos no andar´ a
muy lejos de la velocidad promedio un poco antes de los 5 se-
gundos; por ejemplo, en el ultimo segundo transcurrido antes
´
de los 5 segundos.
En el segundo 4, la piedra ha recorrido 78, 4 metros (vea la
tabla anterior).
En el segundo 5, la piedra ha recorrido 122, 5 metros (vea la
tabla anterior).
La distancia recorrida en ese segundo fue 122, 5 − 78, 4 m =
44, 1 m
La velocidad promedio fue
44, 1 m
= 44, 1 m/seg Primera aproximaci´n
o
1 seg
a la velocidad
Esta es solamente una aproximaci´n de la velocidad buscada.
o

29. 13 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
• Podemos suponer que nos acercaremos mejor a la velocidad
en el segundo 5 con la velocidad promedio en el intervalo que
transcurre entre el tiempo 4, 9 seg y 5 seg. Calculemos:
En t = 4, 9 seg tenemos
d = 4, 9(4, 9)2 m = 117, 649 m
La nueva velocidad promedio es
122, 5 m − 117, 649 m 4, 851 m
= = 48, 51 m/seg Segunda aproxi-
5 seg − 4, 9 seg 0, 1 seg
maci´n
o
Esta es una nueva aproximaci´n a la velocidad en 5 seg.
o
N´tese la considerable diferencia que existe entre ambas
o
aproximaciones.
Calculemos ahora la velocidad promedio en un intervalo a´n
u
m´s cercano a 5: entre 4, 99 y 5.
a
´
GRAFICAS DE FUNCIONES
Dada una funci´n real de variable real, generalmente podemos
o x f (x) = 2 − x2
hacer una representaci´n gr´fica que nos permita conocer mejor
o a
-2 -2
la funci´n. Existen t´cnicas en el C´lculo que nos permiten dibu-
o e a
-1 1
jar una funci´n con bastante detalle. Sin embargo, para ciertas
o
funciones “simples” podemos dibujar su gr´fica a partir de unos
a 0 2
cuantos puntos. 1 1
Si tenemos la funci´n f : A −→ B, con y = f (x), representamos en
o 2 -2
un sistema de ejes coordenados pares ordenados de n´meros reales
u
(x, y), donde y es la imagen de x (siendo x elemento de A). y
T
2p
Por ejemplo, para representar la funci´n f : R −→ R tal que f (x) =
o
2−x 2 , consideramos una tabla de valores.
p 1 p
De la tabla se obtienen varios pares ordenados de n´meros reales que
u Ex
−2 −1 0 1 2
corresponden a puntos que van a estar en la gr´fica de la funci´n.
a o
Estos son: (−2, −2), (−1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, −2). De modo que
en el sistema de ejes dibujamos esos puntos y luego trazamos una p −2 p
curva que los contenga. El dibujo resultante es un bosquejo de la
gr´fica de la funci´n dada.
a o
Recuadro 1.2: Gr´ficas
a
.

30. 14 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
Si t = 4, 99 entonces tenemos
d = 4, 9(4, 99)2 m = 122, 01049 m
La velocidad promedio es:
122, 5 m − 122, 01049 m 0.48951 m
= = 48, 951 m/seg Tercera aproximaci´n
o
5 seg − 4, 99 seg 0, 01 seg
• Si calculamos la velocidad promedio entre 4, 999 y 5 seg ob-
tendremos:
122, 5 m − 122, 451 m 0, 0489951 m
= = 48, 9951 m/seg Cuarta aproximaci´n
o
5 seg − 4, 999 seg 0, 001 seg
Calcule usted la velocidad promedio entre 4, 9999 y 5. Use la
calculadora.
Si seguimos el proceso con intervalos de tiempo cada vez m´s
a
peque˜os nos aproximaremos m´s a la velocidad instant´nea en 5
n a a
segundos, que se aproxima m´s y m´s a un n´mero fijo:
a a u La velocidad in-
stant´nea
a
49
El l´
ımite y la velocidad
Tenemos entonces una sucesi´n de varias velocidades promedio:
o
44, 1 48, 51 48, 951 48, 9951
que se aproximan al valor
49
49.
Este ultimo valor fijo decimos que es la velocidad instant´nea de
´ a
la piedra en el tiempo t = 5 seg.
Este valor se llama el l´mite de las velocidades promedio.
ı
Se podr´ criticar con justicia que la escogencia de los tiempos
ıa
es muy arbitraria. Por eso veamos ahora c´mo se generalizar´ este
o ıa
procedimiento para calcular velocidades instant´neas:
a

31. 15 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
Un m´todo m´s general
e a
Consideremos la misma ecuaci´n d = 4, 9t2 . Llamemos D la dis-
o
tancia recorrida por la piedra en 5 seg, es decir
D = 4, 9(5)2 = 122, 5.
Ahora vamos a designar
con la letra T un intervalo de tiempo, de tal manera que (5 + T )
es un tiempo que puede estar antes o despu´s de 5 seg.
e
Por ejemplo: si T = 0, 1 seg entonces T es un intervalo
cualquiera de tiempo
5 + T = 5 + 0, 1 = 5, 1 seg,
si T = −0, 1 seg, entonces
5 + T = 5 + (−0, 1) = 4, 99 seg.
La distancia recorrida en (5 + T ) seg es:
DT = 4, 9(5 + T )2
= 4, 9(52 + 2 · 5 · T + T 2 )
= 122, 5 + 49T + 4, 9T 2 .
La distancia que se recorre en el intervalo de T seg, es decir entre
5 y (5 + T ), es:
DT − D = (122, 5 + 49T + 4, 9T 2 ) − 122, 5 = 49T + 4, 9T 2 .
Entonces la velocidad promedio entre 5 seg y (5 + T ) seg es:
La velocidad promedio
DT − D 49T + 4, 9T 2 en t´rminos de T
e
Vprom = = = 49 + 4, 9T.
T T
Ahora obs´rvese: si T se hace muy peque˜o entonces 4, 9T
e n
tambi´n se hace muy peque˜o y si T se hace muy cercano de 0,
e n
4, 9T tambi´n estar´ cercano a 0.
e a
Por ejemplo: si T = 0, 0000000001 = 10−10 , tenemos que 4, 9T =
0, 00000000049, y entonces tenemos Vprom = 49, 00000000049 lo
que es pr´cticamente 49 Podemos decir que las velocidades prome-
a 49.
dio se aproximan a 49 Esta es la velocidad instant´nea en t = 5.
49. a
Note que en nuestro caso el valor instant´neo 49 se encontr´
a o
poniendo T = 0 en la ecuaci´n Vprom = 49 + 4, 9T . Veremos luego
o
Figura 1.4. Secantes y tan-
que esta sustituci´n no se puede hacer en todos los casos.
o
gentes

32. 16 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
El problema de las tangentes
Retomemos la situaci´n descrita en el ejemplo de la velocidad de la
o
piedra en ca´ libre.
ıda
All´ consideramos un desplazamiento que satisface la relaci´n
ı o
funcional d(t) = 4, 9t2 , donde la variable independiente t repre-
senta el tiempo y la variable dependiente d representa la distancia
recorrida. La tabla 1.5 nos permite hacer un bosquejo de la gr´fica
a
de la funci´n.
o
Tabla 1.5: Valores de d(t) = 4, 9t2
t segundos 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
d(t) metros 4,9 11, 025 19,6 30,625 44,1 60,025 78,4 99,225 122,5 148,225 176,4
El problema de la velocidad que estudiamos en esa ocasi´n
o
puede verse, desde el punto de vista gr´fico, como un problema
a
de rectas tangentes.

33. 17 Elementos de c´lculo, volumen 1
a
´
LA ECUACION DE LA RECTA
Recuerde que la ecuaci´n de una recta (no vertical) est´ dada por y = mx + b.
o a
El valor m se llama la pendiente de la recta y es una medida de la inclinaci´n de la recta con respecto al
o
eje x;
el valor b se llama y−intersecci´n y determina la ordenada del punto en que la recta corta al eje y.
o
y
Si los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) pertenecen a la recta T
entonces podemos calcular la pendiente mediante la : y = mx + b
f´rmula
o
y2 − y1 s
p
m= (x1 , y1 )
x2 − x1
b qps
(x2 , y2 )
y la intersecci´n se puede calcular mediante
o
b = y1 − mx1 o b = y2 − mx2 . θ Ex
y2 − y1
m=
Por ejemplo si una recta contiene los puntos (−1, 3) x2 − x1
y (2, 4), entonces
4−3 1 1 2 10
m= = y b=4− ·2=4− = .
2 − (−1) 3 3 3 3
De manera que la ecuaci´n de la recta es
o
1 10
y = x+ . y
3 3 T
Recuadro 1.3: Rectas
.
La figura 1.5 corresponde a la gr´fica de la funci´n y = 4, 9x2 .
a o
Esta es la misma funci´n que vimos antes solo que usando otros
o 19, 6 p
nombres para las variables. Considere las tres rectas que se dan en
la figura 1.6. p
4, 9
p Ex
0 1 2
Figura 1.5. d(t) = 4, 9t2