コピュラと金融工学の新展開（？）

コピュラと金融工学の新展開
第９回データマイニング+WEB 勉強会＠東京
( TokyoWebmining 9)－1st Week
－大規模解析・機械学習・クオンツ祭り－

Presenter : @teramonagi(some web services)

コピュラと金融工学の新展開（？）
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１：コピュラって何だ？

TokyoWebmining #9(2011/01/16) 「コピュラと金融工学の新展開（？）」 Presenter : @teramonagi 3

コピュラ≒関係


コピュラ≒確率変数間の関係


確率変数間の関係≒結合分布


多変量正規分布∈結合分布


多変量正規分布って何だ？


多変量正規分布


多変量正規分布での関係
確率変数間
の関係は・・・

そうか！Σの
中に相関とし
て入っている
のか！

一方、周辺分布は

（１変量）正規分布

周辺分布と結合分布の関係
１変量１変量
正規分布正規分布

多変量正規分布

関係の一般化（コピュラ！）
１変量１変量
正規分布正規分布
コピュラ

何らかの結合分布

２変量結合分布の等高線

正規コピュラ t コピュラ

クレイトン・コピュラガンベル・コピュラ

周辺は標準正規・コピュラだけ違う

長所：周辺分布
とその関係（コ
ピュラ）を分けて
モデリングできる

短所：意味づけと
か解釈が難しい

Sklar’s Theorem

参考：wikipedia(コピュラ(統計学)-スクラーの定理)

正規コピュラ

周辺分布が正規分布の時、多
変量正規分布を再現

Source Code (R)
library(copula)
#ケンドールのτは全部一致（するようにした）
kendallsTau(normalCopula(0.5))
kendallsTau(tCopula(0.5))
kendallsTau(claytonCopula(1))
kendallsTau(gumbelCopula(1.5))
#plot
lim <- c(-3,3)
marginal <- c("norm", "norm")
parameter <- list(list(mean=0,sd=1), list(mean=0,sd=1))
par(mfrow=c(2,2),mar=c(2,2,1,1))
contour(mvdc(normalCopula(0.5), marginal,parameter),dmvdc, xlim=lim, ylim=lim)
contour(mvdc(tCopula(0.5), marginal,parameter),dmvdc, xlim=lim, ylim=lim)
contour(mvdc(claytonCopula(1), marginal,parameter),dmvdc, xlim=lim, ylim=lim)
contour(mvdc(gumbelCopula(1.5), marginal,parameter),dmvdc, xlim=lim, ylim=lim)

※動作前にパッケージのインストールInstall.packages(“copula”)は必要。
※この資料に出てくる他のコードも同様

２：金融での応用例


２－１
リターン分布のモデリング


米・独・中・日の
代表的な株価指
数のリターン分布

周辺分布のモデリング
≒正規分布


どのコ
ピュラが
合うだろ
うか・・・


T-コピュラ！


モデルパラメーターの決定
> fit.ml
The estimation is based on the maximum likelihood
and a sample of size 925.
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
rho.1 0.7155620 0.01621145 44.139295 0.000000e+00
rho.2 0.3177060 0.03710005 8.563493 0.000000e+00
rho.3 0.2515627 0.03968773 6.338551 2.319365e-10
rho.4 0.5159302 0.02766178 18.651374 0.000000e+00
rho.5 0.4672290 0.03002338 15.562172 0.000000e+00
rho.6 0.7427242 0.01413110 52.559528 0.000000e+00
df 9.4838458 0.92328625 10.271837 0.000000e+00
The maximized loglikelihood is 892.0507
The convergence code is 0

計算したパ
ラメーターを
使って将来
シミュレー
ションする
んだね


#海外の株価指数が取れるんでquantmod使う
Source Code (R)
library(quantmod)
library(copula)
#S&P500,DAX,香港ハンセン指数,NIKKEI225
symbols <- c("^GSPC","^GDAXI","^HSI","^N225")
#終値のみ取得用関数
getClose <- function(symbol, date.from){
x <- getSymbols(symbol, auto.assign=FALSE, from=date.from)
index.close <- grep("Close", colnames(x), ignore.case=TRUE)
return(x[, index.close])
}
#指数値のリスト、終値だけ取得
data.index <- sapply(symbols,getClose,"2007-01-01")
#１つのxtsへ＆欠損行削除
data.index <- do.call("merge",data.index)
data.index <- data.index[!apply(data.index,1,function(x)any(is.na(x))),]
#リターン系列へ
return.index <- data.index / lag(data.index)-1
return.index <- return.index[-1,]
pairs(as.matrix(return.index))
#基準化してuに倒してPLOT（周辺分布は正規だと仮定）
return.index.scaled <- apply(return.index,2,scale)
pairs(pnorm(return.index.scaled))
#パラメーターの最尤推定
dim.index <- ncol(return.index.scaled)
dim.param <- dim.index*(dim.index-1)/2
t.cop <- tCopula(rep(0,dim.param), dim = dim.index,dispstr = "un", df.fixed = FALSE)
fit.ml <- fitCopula(t.cop, pnorm(return.index.scaled), method="ml", start=c(rep(0,dim.param),10))
fit.ml

２－２

Collateralized Debt Obligation

CDOって何だ？


ざっくりとした図解
資産シニア吹
優 AAA っ貰
住宅先
AA メザニン飛え
劣
びる
後
社債構 BB 度お
造合金
ABS --- エクイティい

吹っ飛び度合い
ＶＳ
貰えるお金

に応じた貰えるお
金を計算したい

貰えるお金の期待値
||
損失の期待値

Pricing Formula

利子率（のようなもの）


無理


Approximated Pricing Formula

※ここから先の計算は参考文献[1]を追試する形

損失の関係
あるCDO証
券の損失シニア

メザニン

全体の
損失

a b

損失をモデリング
する必要性

資産間の吹っ飛
び度合いの関係
をコピュラで表現

そして

を計算

計算結果
スプレッド(Sのこと) 単位:bp

コピュラエクイティメザニンシニアスーパーシニア
正規 1,145.42 62.49 0.52 0.000
t(20) 1,055.28 86.07 2.18 0.004
t(6) 896.74 126.44 8.56 0.044
t(3) 733.31 165.90 23.56 0.191
クレイトン 857.64 135.73 12.83 0.084

※参考文献[1]P109・表7の値をほぼ再現

正規コピュラ
が業界標準

金融危機時には
リスクを過小評価
していた？

Source Code - 1 (R)
library(copula)
#CDOのスプレッド計算関数
SpreadOfCDO <- function(copula, default.probability, maturity,
recovery.rate, attachment, detachment, num.path, num.refdebt)
{
#コピュラによる乱数生成。これと倒産確率を比べて倒産判定実施
random.copula <- rcopula(copula,num.path)
#各パスごとのデフォルト件数
num.default <- rowSums(random.copula < default.probability)
#債務全体の損失率
loss.refdebt <- (1-recovery.rate)/num.refdebt*num.default
#トランシェの損失率
loss.tranche <- (pmax(loss.refdebt - attachment,0)-pmax(loss.refdebt - detachment,0))/(detachment-
attachment)
#トランシェの損失率の期待値（標本ベース)
expectation.loss.tranche <- sum(loss.tranche)/num.path
#スプレッド
spread <- -1/maturity*log(1-expectation.loss.tranche)
return(spread)
}


Source Code - 2 (R)
############### main #############
#parameter
NUM.PATH <- 10^5
NUM.REFDEBT <- 100
DEFAULT.PROBABILITY <- 0.05
MATURITY <- 5
RECOVERY.RATE <- 0.4
#使用するコピュラオブジェクトを生成しておく
COPULA <- list(normalCopula(0.15, dim = NUM.REFDEBT),
tCopula(0.15, dim = NUM.REFDEBT, df = 20),
claytonCopula(0.21, dim = NUM.REFDEBT)
)
#ある程度パラメーター固定したスプレッド計算関数
SpreadOfCDOWithFixedParameter <- function(copula,attachment, detachment){
SpreadOfCDO(copula, DEFAULT.PROBABILITY, MATURITY,
RECOVERY.RATE, attachment, detachment, NUM.PATH, NUM.REFDEBT)
}
result <- list()
#エクイティ
result[[1]] <- sapply(COPULA,SpreadOfCDOWithFixedParameter,0.0,0.06)
#メザニン
#シニア
#スーパーシニア
result[[4]] <- sapply(COPULA,SpreadOfCDOWithFixedParameter,0.36,1)
#行列&bp化
result <- 10^4*do.call("cbind", result)
colnames(result) <- c("エクイティ","メザニン","シニア","スーパーシニア")
rownames(result) <- c("正規","t(20)","t(6)","t(3)","クレイトン")
result


ご清聴ありがとうございました


参考
文献
[1]・金融危機時における資産価格変動の相互依存関係：コピュラに基づく評価
新谷幸平、山田哲也、吉羽要直
[2] ・CDOのプライシング・モデルとそれを用いたCDOの特性等の考察：CDOの商
品性、国内市場の概説とともに
小宮清孝
[3] ・コピュラの金融実務での具体的な活用方法の解説
戸坂凡展／吉羽要直

写真
・ morgueFile
・ Stock.XCHNG


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