Conceptos generales de la existencia y unicidad de la solución de sistemas

1. Condiciones de existencia y unicidad
de la solución

2. La solución de un sistema de ecuaciones lineales, es uno de
los problemas básicos que ocurren con más frecuencia en la
práctica, dentro de lo que compete al análisis numérico.
Dado que un sistema pueda escribirse como Ax = b se podría
pensar que la solución de dicho sistema está dada fácilmente
por x = A-1b,
Sin embargo, obtener la inversa no es un proceso tan trivial,
por lo que se recurre a métodos creados para este fin.

3. Compatible
admite solución
Determinado
solución única
Sistema no
singular. Det  0
Triangular con
aii  0
Indeterminado
infinidad de
soluciones
Sistema
rectangular
Incompatible
no tiene solución.
Det = 0
Sistema singular
Vectores L.D.

4. Directos Número finito
operaciones
Gauss (-Jordan)
Intercambio
Particiones
M. pequeñas
Iterativos
x = Tx + C
Jacobi
Gauss-Seidel
Relajación
M. grandes

5. Número de operaciones
Error de redondeo
Equipo de cómputo disponible.
Espacio de almacenamiento
Tiempo requerido para completar los cálculos

6. 𝐴𝑥 = 𝑏
𝑥 = 𝐴−1
𝑥
𝐴−1
existe si A  0
A determina la
existencia y la unicidad
de la solución de los
sistemas de ecuaciones
lineales.
Para cada matriz A de nxn es
posible asociar un escalar A,
cuyo valor indicará si es o no
singular.

7. Sea A una matriz de nxn tal que aij  R  i, j = 1, 2, …, n
existe A  R conocido como determinante de A y el
cual se encuentra por medio de la siguiente
transformación:
• Si A es de 1x1, entonces A = a11.
• El menor, Mij, es el determinante de la submatriz de
orden (n-1)x(n -1) de una matriz A de nxn obtenida
suprimiendo el i-ésimo renglón y la j-ésima columna.
• El cofactor, Aij, asociado con Mij, se define como
Aij = (-1)i+j Mij.

8. El determinante de una matriz A de nxn donde n > 1
está dado por cualquiera de las siguientes
expresiones:
𝐴 =
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 para cualquier 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛
𝐴 =
𝑗=1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 para cualquier 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

9. 1. Si cualquier renglón o columna de A es el vector 0, A = 0
2. Si el i-ésimo renglón o la j-ésima columna de A se
multiplican por una constante c, A se multiplica por c.
𝐴 =
1 −1 2
3 1 4
0 2 5
→ 4𝑅1
3. Sean A y B dos matrices iguales, excepto por la j-ésima
columna, y sea C la matriz cuya j-ésima columna es la suma
de las j-ésimas columnas de A y B,  C = A + B. Vale un
enunciado análogo para los renglones.

10. 𝐴 =
1 −1 2
3 1 4
0 −2 5
, 𝐵 =
1 −6 2
3 2 4
0 4 5
, 𝐶 =
1 −7 2
3 3 4
0 2 5
4. Al intercambiar dos renglones o columnas cualesquiera de A, el
determinante de la matriz así obtenida es igual a A(-1).
𝐴 =
1 −1 2
3 1 4
0 −2 5
𝐴′ =
0 −2 5
3 1 4
1 −1 2

11. 5. Si A tiene dos columnas o renglones iguales  A = 0.
𝐴 =
1 −1 2
3 1 4
1 −1 2
𝐴 = 0
6. Si un renglón/columna de A es múltiplo constante de
otro renglón/columna de A,  A = 0.
𝐴 =
1 −1 2
3 1 4
2 −2 4
𝐴 = 0
7. Si el múltiplo de un renglón/columna de A se suma a
otro renglón/columna de A, entonces A no cambia.

12. • Definición: Se dice que una matriz A de nxn es no singular, si
existe una matriz A-1 tal que AA-1 = A-1A = I. La matriz A-1 se
llama inversa de A. Una matriz que no tiene inversa se llama
singular.
• La utilidad de la matriz inversa en la solución de sistemas de
ecuaciones se puede ver en la ecuación matricial:
Ax = b, x = A-1b
• No todas la matrices, poseen inversa, pero de existir es única.
• Si A y B son matrices cuadradas e invertibles, entonces su
producto también es invertible, además
(AB)-1 = B-1A-1.

13. • Sea A una matriz de 2x2, si A ≠ 0, entonces
A-1 =
1
𝐴
𝑎22 −𝑎12
−𝑎21 𝑎11
• Matriz adjunta: Sea A una matriz de nxn y Cof(A) la matriz de
cofactores de A, la matriz adjunta de A está dada por
Adj(A) = [Cof(A)]t.

14. 1. A Adj(A) = AI
2. A Adj(A) = An
3. Adj(A) = An-1
4. Adj(AB) = Adj(B) Adj(A)
5. Si existe A-1, entonces A-1 = Adj(A)/A
𝐴 =
3 2 1
2 0 1
−1 2 0
, 𝐵 =
1 2 −1
2 1 0
1 1 2