2. Como se podrá observar en algunos ejemplos de
representación de las curvas en coordenadas polares, sólo
es preciso definir las mismas de cada punto: r (distancia al
polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las
coordenadas cartesianas x e y.
3. Sistemas de Coordenadas
Un sistema de coordenadas es un conjunto de
valores que permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de un espacio
geométricorespecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o
planos que confluyen en el origen y a partir de los
cuales se calculan las coordenadas de cualquier
punto, constituyen lo que se denomina sistema de
referencia.
4. Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa
por el origen. La primera coordenada es la distancia
existente entre el origen y el punto, mientras que la
segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que
pasa por ambos puntos.
Las coordenadas polares son un sistema que
definen la posición de un punto en un espacio
bidimensional consistente en un ángulo y una
distancia.
5. Ejemplo
Por conveniencia, comencemos con un sistema dado de coordenadas xy, tomemos
después el origen como polo y el semieje no negativo de las x como eje polar. Dado
el polo O y el eje polar, el punto P cuyas coordenadas polares so r y q , escritas como
par ordenado ( r, q ), se localiza como sigue.
Encuentre el lado terminal del ángulo q, dado en radianes, medido en sentido
contrario de las manecillas del reloj ( si q > 0 ) a partir del semieje positivo de
abscisas ( eje polar) como lado inicial.
Si r ³ 0 , P estará en el lado terminal a la distancia r del origen.
Si r < 0, el punto P estará en ei rayo opuesto al lado terminal, a la distancia |r| = - r
del polo. Se puede describir la coordenada radial r como la distancia dirigida de P al
polo, sobre el lado terminal del ángulo q.
Si r es positivo, el punto P estará en el mismo cuadrante que q .
Si r es negativo, P estará en el cuadrante opuesto.
Si r = 0, no importa cual sea el ángulo q, las coordenadas polares (
0, q ) representan al origen cualquiera que sea la coordenada angular q. Por
supuesto, el origen o polo es el único punto para el cual r = 0 para ejemplos ver el
archivo al final de la unidad
6. Conversión de Coordenadas
La representación de un punto en el plano o el
espacio, se puede hacer mediante diferentes sistemas
de coordenadas. En estos momentos nos ocupan los
sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una equivalencia entre
los diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos
de la conversión del rectangular al polar y viceversa.
En este tópico se incluyen algunas gráficas para
mostrar la ubicación de un punto en cada uno de los
sistemas respectivos.
7. Gráfica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos
(x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En
otros términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el
plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen
la ecuación dada.
Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La
clave para dibujar las mismas de una ecuación polar, es mantener
siempre presente que representan las coordenadas polares.
Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el
sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no
sólo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es θ
y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El
método para graficar estas funciones es el siguiente, primero
graficamos la función r = r(θ) en coordenadas rectangulares y a
partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares.
Guiándonos con la dependencia de r con respecto a θ.
8. Calcular el área de una región Plana
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al
de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un
círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la
figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene
dada por: A= ½.°. R al cuadrado, donde ° en radianes.
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no
negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para
hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n
subintervalos iguales a = q < q < q <........< q < q = b
A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las
mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la
fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una
función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si
f toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ] .
9. Ejemplo De Graficas
CARDIOIDES
A continuación se
presenta el tipo de
gráfico que se denomina
cardioide. Para este
ejemplo se presenta una
cardioide simétrica con
respecto al eje poplar y
que apunta hacia la
derecha. Podemos
observar que se distingue
una figura como de un
corazón, razón por la
cual se llama este gráfico
cardioide. La función que
lo ha generado es:
