Vat ly Dai cuong

1. Chương III
ĐỘNG LỰC HỌC
HỆ CHẤT ĐiỂM

2. Nội lực là lực do các phần tử bên trong hệ tác dụng
lên nhau. Ngoại lực là lực bên ngoài hệ tác dụng lên
các phần tử bên trong hệ.
Theo ĐL Newton III thì tổng các nội lực bằng
không.
Từ đó suy ra tổng momen của các nội lực cũng
bằng không.
1
2
3

3. I. Động lượng hệ chất điểm
1. Định nghĩa:
2. Định lý và định luật ĐLHCĐ
a)
Fi là tổng các ngoại lực tác dụng vào chất điểm i
F’i là tổng các nội lực tác dụng vào chất điểm i
 
i
ii
i
i vmpP
,
;i i
i i
i
d p d pdP
F F
dt dt dt
  
 
 
,
i i i
i i i
d P
F F F F
dt
     

  

4. • Vậy:
là tổng các ngoại lực tác dụng vào HCĐ
b)
c) Nếu
d P
F
dt



i
i
F F 
 
 
2
1
12
2
1
2
1
t
t
t
t
p
p
dtFPPdtFPd
0F p const  
 

5. d) Nếu nhưng hình chiếu của lên một
phương nào đó bằng không thì động lượng được
bảo toàn theo phương đó .
Ví dụ: Fx = 0 thì Px = const
Ví dụ: Một khẩu đại bác không có bộ phận
chống giật, nhả đạn dưới một góc α = 45o so với
mặt phẳng nằm ngang. Viên đạn có khối lượng m
= 10kg và có vận tốc ban đầu vo = 200m/s. Đại
bác có khối lượng M = 500kg. Hỏi vận tốc giật lùi
của súng nếu bỏ qua ma sát
0F 

F


6. Giải: Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực và
phản lực của mặt đường có phương thẳng đứng.
Nên hình chiếu của chúng lên phương ngang
bằng không
Áp dụng ĐLBTĐL theo phương ngang cho hệ
gồm súng và đạn
sm
M
mv
V
MVmv
/5,3
cos
0cos





7. Một người có khối lượng m = 60kg
đứng trên một con thuyền dài 3m có
khối lượng M = 120kg, đang đứng yên
trên mặt nước yên lặng. Người đó bắt
đầu đi từ mũi thuyền đến chỗ lái
thuyền (đuôi thuyền). Hỏi khi người đó
đi tới chỗ lái thuyền thì thuyền đã đi
được một đoạn bao nhiêu? Bỏ qua sức
cản của nước.

8. Áp dụng ĐLBTĐL cho hệ người và thuyền:
là vận tốc của người đối với bờ
là vận tốc của thuyền đối với bờ
Gọi là vận tốc của người so với thuyền thì:
Ta có:
l là chiều dài thuyền, s là đoạn đường thuyền đi
được trong thời gian t.
1 2 2 10
m
mv M v v v
M
    
   
1v

2v

'
1v

' '
1 1 2 1 1 2v v v v v v    
 
'
1 2;
l s
v v
t t
 

9. Do đó:
Mà:
'
1 1 2
l s
v v v
t

  
1 2
1
l s s
mv Mv m M
t t
ml
s m
m M

  
  


10. II. Khối tâm
1.Định nghĩa: Khối tâm G của hệ chất điểm là vị trí
thỏa mãn hệ thức:
Mi là vị trí chất điểm i
2. Vị trí khối tâm : đối với điểm O trong HQC nào
đó được xác định bởi vectơ vị trí
0i
ii GMm
OGrG 

11. Ta có:
với






i
i
i
i
i
i
ii
i
ii
i
i
ii
m
OMm
OG
GMmOMmOGm
GMOMOG
M
rm
r
ii
G

 ;i i i
i
r OM M m  
 

12. Tọa độ khối tâm trong hệ tọa độ Descartes:
Khối tâm của vật rắn: chia VR ra làm các phần
tử khối lượng dm VCB coi như chất điểm:
x, y, z là tọa độ của phần tử khối lượng dm
; ;
i i i i i i
i i i
G G G
m x m y m z
x y z
M M M
  
  
. . .
; ;G G G
dm x dm y dm z
x y z
M M M
  
  

13. Lưu ý:
* Với các vật đồng chất mà dạng hình học có yếu tố
đối xứng thì khối tâm nằm trên các yếu tố đó.
* Trong trọng trường khối tâm trùng với trọng
tâm, tuy nhiên khái niêm khối tâm có ý nghĩa cơ
bản hơn trọng tâm bởi vì trong tình trạng không
trọng lực trọng tâm không còn nhưng khối tâm
vẫn có.
* Trong trọng trường đồng nhất có gia tốc g thế
năng của VR bằng thế năng của khối tâm mang
tổng khối lượng.

14. Nếu hệ S gồm hai hệ S1 và S2 thì:
• G, G1, G2 là khối tâm của S, S1, S2
• m1, m2 là khối lượng của S1, S2
21
2211
mm
OGmOGm
OG




15. 3) Vận tốc khối tâm
4) Gia tốc khối tâm:
M
P
M
p
M
vm
M
dt
rd
m
dt
rd
v
i
i
i
ii
i
i
i
G
G




M
F
dt
Pd
Mdt
vd
a G
G 
1

16. 5) Phương trình chuyển động của khối tâm
Vậy khối tâm của hệ chuyển động như một chất
điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ
và chịu tác dụng của một lực bằng tổng các ngoại
lực tác dụng lên hệ đặt tại khối tâm.
6) Nếu thì :
Khối tâm của hệ hoặc đứng yên hoặc chuyển động
thẳng đều
GaMF 
0F constva GG  0

17. Ví dụ 1: Tại ba đỉnh của một tam
giác đều cạnh a có đặt ba chất điểm,
khối lượng lần lượt bằng m1, m2,
m3. Xác định khối tâm của hệ ba
chất điểm đó.

18. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, ta có:
321
2
321
332211
321
32
321
332211
0
2
3
0
2
0
mmm
a
m
mmm
ymymym
y
mmm
am
a
m
mmm
xmxmxm
x
G
G












y
x●
●
●
m1
m2
m3
O

19. Ví dụ 2: Xác định vị trí khối
tâm của một sợi dây đồng
chất, khối lượng m được uốn
thành một cung tròn AB tâm
O bán kính R với góc mở
AÔB = 2αo

20. Vì sợi dây đối xứng qua đường phân giác của góc
AÔB nên khối tâm của nó nằm trên đường phân
giác này. Chọn trục Ox trùng với đường phân
giác. Tọa độ khối tâm:
o
o
o
o
o
G
o
G
R
d
R
x
Rx
dR
R
m
dl
l
m
dm
xdm
m
x









sincos
2
cos
..
2.
.
1







O
R
A
α
dα
x
B

21. Ví dụ 3: Xác định vị trí khối tâm của
một hình quạt đồng chất, khối lượng
m, bán kính R với góc mở AÔB = 2αo

d r
dr
rd
dS rdrd

22. Vì hình quạt đối xứng qua đường phân giác của
góc AÔB nên khối tâm của nó nằm trên đường
phân giác này. Chọn trục Ox trùng với đường
phân giác. Tọa độ khối tâm:
2
2
2
0
1
.
; cos
.
1
cos
2
sin
3
o
o
G
o
R
G
o
o
o
x dm x
m
m m
dm dS rdrd x r
S R
x r dr d
R
R


 

 





  
 


  O
A
dα
α
R
r
dr
x
B
dS

23. Ví dụ 4: Trên một đĩa tròn đồng
chất bán kính R có khoét một lỗ
tròn nhỏ bán kính r; tâm của lỗ
khoét nằm cách tâm của đĩa một
đoạn bằng R/2. Xác định vị trí khối
tâm của đĩa trên.

24. Vì đĩa trên đối xứng qua đường thẳng đi qua OO’
nên khối tâm của nó nằm trên đường này, chọn
trục Ox đi qua OO’. Áp dụng công thức:
XG là tọa độ khối tâm của đĩa nguyên
XG1 và m1 là tọa độ khối tâm và khối lượng của
đĩa bị khoét
21
2211
mm
xmxm
x GG
G



O O’
x
R

25. XG2 và m2 là tọa độ khối tâm và khối lượng của
đĩa tâm O’ bán kính r
Vì đĩa đồng chất nên khối lượng tỉ lệ với diện tích
do đó:
2
20
1
2
1
21
211 R
m
m
x
mm
R
mxm
G
G




2
)(
22
2
1
22
2
1
2
R
rR
r
x
rR
r
m
m
G







26. • Cho một sợi dây dài L đặt một phần trên mặt bàn
láng nằm ngang. Phần còn lại có chiều dài d rũ
xuống cạnh bàn như hình vẽ. Giả sử ta thả dây ở
trạng thái nghĩ (coi như không có ma sát). Xác
định vận tốc của sợi dây ở thời điểm nó hoàn
toàn rời khỏi mặt bàn.
L-d
d

27. • Khối lượng phần dây chiều dài d rũ xuống mặt
bàn:
• Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, chọn gốc thế
năng ở mặt bàn
'
m
m d
L

2
2
2 2
1
'
2 2 2
1
2 2 2
( )
d L
m g mv mg
m d L
dg mv mg
L
g L d
v
L
  
  

 

28. III. Mômen ĐLHCĐ
1. ĐN:
2. Các định lý và ĐLMMĐLHCĐ:
a) (1)
b) (2)
c) Nếu (3)
là tổng mômen của các ngoại lực tác dụng
lên hệ chất điểm đối với điểm O.
Chiếu (1), (2), (3) lên một trục nào đó đi qua O ta
được các ĐLí và ĐLuật tương ứng với trục đó.

i
iLL
d L
dt



M
2 2 2
1 11
2 1
L t t
t tL
dL Mdt L L dt     


    
M
0 L const  
 
M

M

29. ;
( ')
' '
'
i
i i i
i
i i i
i i i i i
i ii i i i
i ii
i i i
d Ld L
L r p
dt dt
d L dr d p
p r r F F
dt dt dt
r F r F
d L
dt
  
      
     
   

  

  
  
    
     

   
M M
M M M M

30. IV. Mômen quán tính
1.Định nghĩa: mômen quán tính của HCĐ đối với
một trục là đại lượng định nghĩa
là mômen quán tính của chất điểm i đối
với trục, ri là khoảng cách từ chất điểm i đến trục
2.Mômen QT của vật rắn đối với một trục
r là khoảng cách từ phần tử khối lượng VCB dm
đến trục
 
i
i
i
ii IrmI 2
2
iii rmI 

VR
rdmI 2
.

31. 3.ĐLí Steiner-Huyghen:
I là mômen QT đối với trục bất kỳ
I0 là MMQT đối với trục đi qua
khối tâm của VR và song song
với trục
d là khoảng cách giữa hai trục
d
2
0 MdII 



G

32. • Xác định momen quán tính của một thanh đồng
chất dài l, khối lượng m đối với các trục sau:
a) Trục đi qua điểm giữa của thanh và tạo với
thanh một góc α.
b) Trục đi qua điểm giữa của thanh và thẳng góc
với thanh
c) Trục vuông góc với thanh và đi qua một đầu
thanh
d) Trục song song với thanh và cách thanh một
đoạn d.

33. a) Chia thanh thành các phần tử khối lượng dm,
chiều dài dx coi như chất điểm
2
2 2
2
2
2 2 2 2
2
. .( sin )
1
sin sin
12
l
l
l
l
m
I dm r dx x
l
m
x dx ml
l

 


 
 
 

x dx
r

34. b)
c)
d)
21
2 12
I ml

   
2
2 2
2
2 2
0
.
1
3
l
l
l
m
I dm x x dx
l
m
x dx ml
l

 
 
 

2 2 2
.I dm d d dm md   
x dx
x dx
d

35. Ví dụ : Xác định mômen quán tính của:
1) Một vành tròn ( hình trụ rỗng) đồng
chất khối lượng m, bán kính R đối
với trục đi qua tâm và thẳng góc với
mặt phẳng của vành.
2) Một đĩa tròn ( hình trụ đặc) đồng
chất khối lượng m, bán kính R đối
với trục đi qua tâm và thẳng góc với
mặt phẳng của đĩa.

36. 1)
2
2
2
.I dm R
R dm
I mR






37. 2)
2
2
2
3
2
0 0
2
. ;
1
2
R
m
I dm r dm rdrd
R
m
I r dr d
R
I mR





 



 

38. Ví dụ : Xác định mômen quán tính của:
1) Một vành tròn đồng chất khối lượng
m, bán kính R đối với trục đi qua tâm
và nằm trong mặt phẳng của vành.
2) Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m,
bán kính R đối với trục đi qua tâm và
nằm trong mặt phẳng của đĩa.

39. a)
α
2
2 2
2
2
22
2 2
0
.( sin )
. sin
2
sin
2
1
sin
2 2
dI dm R
m
Rd R
R
mR
d
mR
I dI d mR


 

 

 




   

40. b) Chia đĩa thành các vành tròn bán kính r bề dày
dr, khối lượng của nó là:
2 2
2
2
m mrdr
dm rdr
R R


 
3
2
2
3 2
2
0
1
2
1
4
R
mr dr
dI dmr
R
m
I dI r dr mR
R
 
   

41. 3)Một đĩa bằng đồng khối lượng
riêng ρ có bề dày b, bán kính R.
Đĩa bị khoét thủng hai lỗ tròn
bán kính R/2 như hình vẽ.
Tìm mômen quán tính của đĩa đã bị khoét đối với
trục vuông góc với đĩa và đi qua tâm O của đĩa
O

42. Ta có:
Io, I1, I2 lần lượt là MMQT của đĩa khi chưa bị
khoét và mỗi phần khoét đối với trục vuông góc
với đĩa và đi qua tâm O của đĩa. Ta có:
Với
)( 21 IIII o 
2
2 2
1 2 1 1
2
2 4
1
1
2
1
2 2 2
5
2 16
o o
o
I m R
R R
I I m m
m b R
R bR
m b I
 

 

   
     
   

 
   
 

43. 4) Tìm mômen quán tính của bản
mỏng đồng chất hình chữ nhật
khối lượng m, các cạnh là a và b
đối với trục vuông góc với mặt
bản và đi qua một đỉnh của bản.

44. Momen QT đối với trục đi qua khối tâm và thẳng
góc với mặt bảng
dx
a
m
bdx
ab
m
dm
xdmbdmdI

 22
..
12
1
 
2 2
2 2
2 2
2 2
1
12
1
12
a a
o
a a
m m
I dI b dx x dx
a a
m a b
 
  
  
  

45. MMQT đối với trục đi qua một đỉnh của bảng và
thẳng góc với mặt bảng. Áp dụng ĐL Steiner –
Huyghen
 22
22
3
1
44
bam
ba
mII o 










46. V. Chuyển động của Vật Rắn:
1) Chuyển động tịnh tiến:
Vật rắn chuyển động tịnh tiến khi vectơ nối hai
điểm M,N bất kỳ của nó không đổi trong quá
trình chuyển động
Lấy đạo hàm hai vế, ta suy ra
M
M MN
N
N
;N M M NV V a a 
   
cOMONcMN 

47. Vậy các chất điểm của VR đều có cùng vectơ vận
tốc và gia tốc. Do đó để xác định chuyển động
tịnh tiến của VR, ta chỉ cần xác định chuyển động
của một điểm trên VR, thường chọn khối tâm.
Chú ý: Trong chuyển động tịnh tiến QĐ của các
chất điểm của vật rắn có thể là các đường cong
Phương trình chuyển động tịnh tiến của VR
M là khối luợng của VR
là tổng các ngoại lực tác dụng vào VR
aMF 
F


48. 2. Chuyển động quay quanh một trục cố định
VR (cố thể) chuyển động quay quanh một trục cố
định nếu có hai điểm đứng yên. Mọi chất điểm
nằm trên đường nối hai điểm này, gọi là trục
quay của VR, cũng đứng yên. Các chất điểm
không nằm trên trục quay chuyển động tròn có
tâm nằm trên trục và bán kính bằng khoảng cách
từ chất điểm đến trục quay.
Khi VR quay quanh một trục cố định thì:
* Trong cùng khoảng thời gian, mọi điểm của VR
đều quay được cùng một góc θ.

49. * Tại cùng một thời điểm, mọi điểm của VR đều
có cùng:
vận tốc góc :
và gia tốc góc :
dt
d
 
dt
d
 

50. a)MMĐL của HCĐ quay quanh một trục cố
định:
Ta đặt trục z trùng với trục quay cố định. Trên
trục z ta lấy một điểm O
O
z
ir

i i ip m v
 

51. MMĐL của chất điểm i đối với điểm O, theo ĐN là:
MMĐL của HCĐ đối với điểm O:
MMĐL của HCĐ đối với trục z
i i i iL r m v 
  

i
iLL

i
izz LL

52. Môđun của là
trong đó Ri là khoảng cách từ chất điểm i đến
trục quay. Vì nằm trên trục z nên hình chiếu
của lên trục z là:
Vậy
nếu cùng chiều với trục z và âm nếu
ngược lại
2
i i i i i i i i i i i i iL mrv mr R mr I     
iL

iL

iL

iiiiz ILL 
 
i
ii
i
izz ILL 
0i i

53. b)Mômen ĐL của VR quay quanh một trục cố
định
Khi đó mọi chất điểm của VR đều có cùng vận tốc
góc nên các đều bằng nhau và bằng nên :
với I là mômen QT của VR đối với trục quay.
Vì và cùng phương chiều nên:
i 
 IIL
i
iz 





 
L



L I
 

54. c) Tác dụng của lực trong chuyển động quay của
VR quanh một trục cố định: Giả thiết có một lực
tác dụng lên vật rắn, phân tích ra hai thành
phần: , ┴ trục ; | | trục.
Lực nằm trong mặt phẳng vuông
góc với trục đi qua M lại được
phân tích ra hai thành phần:
F

21 FFF  2F

1F
1F
nt FFF 1
M
O
∆
1F
2F

F

tF

nF


55. Trong đó ┴ bán kính OM nghĩa là nằm theo
tiếp tuyến của vòng tròn tâm O bán kính OM còn
nằm theo bán kính OM.
Kết quả ta có:
Ta thấy rằng :
- không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác
dụng làm vật rắn trượt dọc theo truc quay
- không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác
dụng làm vật rắn dời khỏi trục quay.
Vậy trong chuyển động quay của một vật rắn xung
quanh một trục chỉ những thành phần lực tiếp
tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng
thực sự.
tF

nF

2FFFF nt 
2F

nF


56. d) Momen của lực đối với trục quay
nằm trên trục
Nên:
2( ) ( ) ( ) ( )O O O Ot nF F F F  
       
M M M M
2( ) ( ) ( ) ( )t nF F F F      
   
M M M M
( ) ( )O Ot t tF OM F F  
     
M M 
( ) . sin( , ) .t t t tF OM F OM F r F  
  
M
( ) 0 ( ) 0O n n nF OM F F    
    
M M
2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0O OF OM F F F    
      
M M M

57. Vậy
Momen lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng
của lực trong chuyển động quay.
Momen của lực đối với trục sẽ bằng không khi lực
đó bằng không hoặc khi lực đó đồng phẳng với
truc ∆.
( ) ( ) .t tF F r F  
 
M M

58. e)Phương trình cơ bản của VR quay quanh trục cố
định
Ta có MMĐL của VR đối với trục quay:
Đây là phương trình cơ bản của VR quay quanh
trục cố định
Trong đó là tổng mômen của các ngoại lực tác
dụng lên vật rắn đối với trục quay, I là momen
quán tính của VR đối với trục quay.
Chú ý: Mômen lực đối với trục có trị đại số
dL d
L I I I
dt dt
I

 

   
 M
M

59. Bài 1: Một đĩa tròn khối lượng m1 = 100kg
quay với vận tốc góc ω1 = 10 vòng/phút.
Một người khối lượng m2 = 60 kg đứng ở
mép đĩa. Hỏi vận tốc góc của đĩa khi người
đi vào đứng ở tâm đĩa.

60. Áp dụng ĐLBTMMĐL đối với trục cho hệ gồm
đĩa và người:
phútvòng
m
mm
RmRmRm
II
/22
2
2
1
2
1
1
1
21
2
2
2
11
2
2
2
1
2211















61. Bài 2: Một thanh có chiều dài l quay
xung quanh một trục nằm ngang đi
qua một đầu thanh. Lúc đầu, thanh ở
vị trí nằm ngang, sau đó được thả ra.
Tìm gia tốc góc của thanh lúc bắt đầu
thả rơi và lúc thanh đi qua vị trí thẳng
đứng

62. Phương trình chuyển động quay của thanh
Với
a) Lúc bắt đầu thả rơi
b) Lúc thanh đi qua vị trí thẳng đứng
IM
2
3
1
mlI 
23
14,7 /
2 2
l g
mg rad s
l
   M
0 0  M

63. Bài 3: Một cột đồng có chiều cao h,
đang ở vị trí thẳng đứng thì bị đổ
xuống. Xác định:
a) Vận tốc dài của đỉnh cột khi nó
chạm đất
b) Vị trí của điểm M trên cột sao cho
khi M chạm đất thì vận tốc của nó
đúng bằng vận tốc chạm đất của một
vật thả rơi tự do từ vị trí M.

64. a) Áp dụng ĐLBTCN:
smghhv
h
g
mhI
h
mg
EE
/2,123
3
3
1
2
1
2
1
2
222
21








65. b) Gọi x là độ cao của điểm M khi cột ở vị trí thẳng
đứng
Vận tốc chạm đất của vật thả rơi tự do từ vị trí M
là:
Theo đầu bài thì :
gxvM 2
hx
h
g
xgxxvM
3
2
3
2

 

66. 3.Chuyển động song phẳng:
Chuyển động song phẳng của vật thể là chuyển
động trong đó tất cả các điểm đều di chuyển song
song với một mặt phẳng cố định P nào đó.
Ta xét tiết diện S của vật bị cắt bởi mặt phẳng
Oxy nào đó song song với mặt phẳng P. Vì trong
chuyển động song phẳng, tất cả các điểm của vật
nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt cắt S
đều chuyển động như nhau, nên để xác định
chuyển động của toàn vật thể chỉ cần nghiên cứu
chuyển động của mặt cắt S của vật thể trên mặt
phẳng Oxy.

67. Giả sử mặt cắt S là tam giác với các đỉnh ban đầu
ở vị trí A, B, C trong mặt phẳng Oxy, sau khoảng
thời gian ∆t khá bé chúng chiếm các vị trí A’, B’,
C’ cũng thuộc mặt phẳng này. Chuyển động của
tam giác có thể thực hiện như sau: - Tịnh tiến
tam giác từ vị trí ban đầu đến vị trí (I) sao cho A
đến trùng với A’, khi đó ABC dời đến A’B”C”.
-Quay tam giác ở vị trí (I)
quanh trục qua A’ và
vuông góc với mặt phẳng
hình vẽ (Oxy) đến vị trí
(II) sao cho B” đến trùng với B’, khi đó C” đến
trùng với C’.
A
A’
B
C
B’’
C’’
B’
C’

68. Tổng quát, người ta chứng minh được rằng:
Chuyển dịch bất kỳ của VR từ vị trí này đến vị trí
khác trong khoảng thời gian khá bé, có thể thực
hiện được nhờ chuyển động tịnh tiến, tương ứng
với chuyển dịch của một điểm và sự quay quanh
trục đi qua điểm ấy.
Điểm được chọn để lấy sự dịch chuyển của nó
làm chuyển dịch tịnh tiến gọi là điểm cực.

69. • Xác định vân tốc của các điểm của vât rắn:
Ký hiệu A là cực, vị trí của điểm M thuộc VR:
Lấy đạo hàm theo thời gian:
Trường hợp VR có một điểm cố định thì chuyển
động tức thời của VR là chuyển động quay quanh
trục, trục tức thời luôn đi qua điểm cố định.
AMOAOM 
( ) ( ) ( )
M A
d OM d OA d AM
dt dt dt
v v AM
 
   
  
   

70. • Ttrường hợp chuyển động của VR là chuyển động
lăn không trượt
Khi VR chuyển động lăn không trượt, mặt cắt S
của VR là hình tròn thẳng góc với trục quay.
Nếu chuyển động củaVR là chuyển động lăn
không trượt của một vật thể ví dụ hình trụ trên
bề mặt của một vật thể cố định khác thì:
Điểm tiếp xúc A có vận tốc tức thời bằng 0 ( VA = 0
vì các tiếp điểm của hai vật khi không trượt lên
nhau phải có cùng vận tốc, mà vật thứ hai là cố
định)
Trong chuyển động lăn không trượt, lực ma sát
không sinh công

71. Nếu chọn khối tâm G của VR làm điểm cực thì
phương trình động lực học miêu tả chuyển động
lăn không trượt của VR là:
* PTCĐTT của khối tâm G :
* PTCĐ quay quanh trục đi qua G
là tổng các ngoại lực tác dụng lên VR.
là tổng momen của các ngoại lực đối với trục
I là momen quán tính của VR đối với trục
GaMF 
IM
F

M

72. Vận tốc và gia tốc khối tâm trong chuyển động
lăn không trượt.
• VG = Rω
• aG = Rβ
ω và β là vận tốc
và gia tốc góc của VR
G
A
M
N
P

73. VI. Động năng của HCĐ
1.Động năng của HCĐ:
2.ĐN của VR CĐ tịnh tiến: trong chuyển động tịnh
tiến vận tốc của các chất điểm đều bằng nhau nên
là khối lượng của VR
21
2
i i
i
K mv
2 2 21 1 1
2 2 2
i i
i i
K m v m v Mv
 
   
 
 

i
imM

74. 3) ĐN của VR quay quanh trục cố định:
 
22
2 2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
i i i i
i
i i
i
K m v m R
m R I

 
 
 
  
 
 


75. 4) ĐN của VR lăn không trượt:
là ĐN chuyển động tịnh tiến của khối tâm
là ĐN chuyển động quay quanh trục qua
khối tâm
2 21 1
2 2
GK M v I 
2
2
1
GMv
2
2
1
I

76. VII. Công và công suất của VR quay quanh trục cố
định
Xét trường hợp một VR quay xung quanh một
trục cố định dưới tác dụng của lực tiếp tuyến Ft.
Công vi phân của lực tiếp tuyến là: dA = Ft .ds
Trong đó ds = rdα , dα là góc quay ứng với
chuyển dời ds.
Vậy :
Công suất:
Tổng quát:
tdA rF d d   M


M
dt
d
M
dt
dA
P 
.P M 
 

77. Bài 1: Trên một hình trụ đặc đồng chất có khối
lượng M và bán kính R người ta quấn
một sợi chỉ mảnh. Một đầu sợi chỉ có
buộc một vật có khối lượng m.
Tại lúc t = 0 hệ bắt đầu chuyển động.
Bỏ qua sự ma sát ở trục hình trụ, tìm sự phụ
thuộc theo thời gian của:
a) Vận tốc góc của hình trụ;
b) Động năng của toàn hệ.
M
m

78. a) PT Newton 2 cho vật:
Chiếu lên phương chuyển động:
mg – T = ma (1)
PT chuyển động quay của ròng rọc:
Từ (1) và (2) suy ra:
amTgm 
21 1
(2)
2 2
I
a
TR MR T Ma
R

  
M
T
T
mg
2
mg
a
M
m



79. Vận tốc của vật tại thời điểm t:
b) Động năng của hệ tại thời điểm t:










2
;
2
M
mR
mgt
R
v
M
m
mgt
atv 















2
)(
2
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2222
M
m
mgt
v
M
m
R
v
MRmvImvW 

80. Bài 2: Một quả cầu đồng chất có khối lượng m và
bán kính R lăn không trượt trên một mặt phẳng
nghiêng tạo thành một góc α với mặt phẳng nằm
ngang. Tìm:
a) giá trị của hệ số ma sát sao cho sự trượt không
xảy ra
b) động năng của quả cầu sau t giây kể từ lúc bắt
đầu chuyển động.

81. PT chuyển động tịnh tiến của khối tâm:
Chiếu lên phương chuyển động của khối tâm:
PT chuyển động quay quanh trục qua KT:
amFNgm ms 
maFmg ms sin
22
.
5
2
5
ms
ms
I
a
R F mR
R
F ma


 
M
mg
Fms
N

82. Điều kiện để vật không trượt:
b) Động năng của vật sau t giây:
 sin
7
2
sin
7
5
gFga ms 
 tgkkmggkNFms
7
2
cossin
7
2



222
2
2
2
2222
sin
14
5
sin
7
5
10
7
5
2
2
1
2
1
2
1
2
1
tmgWgtatv
mv
R
v
mRmvImvW
đ
đ



83. Bài 3: Từ đỉnh một mặt phẳng
nghiêng cao h, người ta cho một đĩa
tròn lăn không trượt trên mặt
phẳng nghiêng đó. Tìm vận tốc dài
của đĩa ở cuối mặt phẳng nghiêng

84. Cách 1:
Chiếu lên phương chuyển động của khối tâm:
(2)
PT chuyển động quay quanh trục qua KT:
msmg N F ma  
   
maFmg ms sin
21 1
(2)
2 2
ms ms
I
a
RF mR F ma
R

  
M
ghv
h
gasv
ga
3
4
sin
.sin
3
2
22
sin
3
2
2






85. Cách 2:
Áp dụng ĐLBTCN:
2
2 2 2 2
2
2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 4
4 3
v
mgh mv I mv mR
R
mv v gh
   
  
mg
Fms
N

86. VII. Va chạm
Khảo sát bài toán va chạm của hai quả cầu nhỏ
chuyển động trên đường thẳng nối liền hai tâm
của chúng ( va chạm xuyên tâm)
Khối lượng của hai quả cầu lần lượt là m1 và m2.
Trước va chạm chúng có vectơ vận tốc là và
(cùng phương).
Sau va chạm, chúng có vectơ vận tốc là và
(cùng phương như ban đầu). Giả thiết hệ (m1 +
m2) cô lập.
1v
2v

'
1v

'
2v


87. Động lượng của hệ được bảo toàn nên
Chiếu lên phương chuyển động ta được
(1)
Ta xét hai trường hợp:
1.Va chạm đàn hồi: Động năng của hệ (m1 và m2)
trước và sau va chạm được bảo toàn. Do đó:
(2)
22112211 '' vmvmvmvm 
'
22
'
112211 vmvmvmvm 
2'
22
2'
11
2
22
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
vmvmvmvm 

88. Giải hệ PT (1) và (2) ta được:
21
22121'
1
2)(
mm
vmvmm
v



21
11212'
2
2)(
mm
vmvmm
v




89. 2.Va chạm mềm: Sau va chạm hai quả cầu dính
vào nhau chuyển động cùng vận tốc .
Vậy (1) trở thành:
Trong va chạm mềm động năng không được bảo
toàn mà bị giảm đi. Có một phần động năng biến
thành nhiệt.
vvv  '
2
'
1
21
2211
212211 )(
mm
vmvm
v
vmmvmvm





90. Ví dụ 1: Hai quả cầu được treo ở đầu hai sợi dây
song song dài bằng nhau. Hai đầu kia của các sợi
dây được buộc vào một cái giá sao cho các quả
cầu tiếp xúc với nhau và tâm của chúng cùng
nằm trên một đường nằm ngang. Khối lượng của
các quả cầu lần lượt bằng 200g và 100g. Quả cầu
thứ nhất được nâng lên độ cao h = 4,5cm rồi thả
xuống. Hỏi sau va chạm, các quả cầu được nâng
lên độ cao bao nhiêu nếu:
a) Va chạm là hoàn toàn đàn hồi;
b) Va chạm là mềm.

91. Vận tốc quả cầu 1 ngay trước va chạm:
a) Va chạm là hoàn toàn đàn hồi
Vận tốc của quả cầu 1 ngay sau va chạm
Vận tốc của quả cầu 2 ngay sau va chạm
2
1 1 1
1
2
2
m v mgh v gh  
' 1 2 1 2 2
1 1
1 2
( ) 2 1 1
2
3 3
m m v m v
v v gh
m m
 
  

' 2 1 1 1
2 1
1 2
( ) 2 4 4
2
3 3
m m m v
v v gh
m m
 
  


92. Áp dụng ĐLBTCN cho quả cầu 1 và 2
b) Va chạm mềm:
Vận tốc của (m1 + m2) ngay sau va chạm:
Áp dụng ĐLBTCN cho m1 + m2
,2
,2 1
1 1 1 1 1
,2
,2 2
1 2 1 2 2
1
0,5
2 2 9
1 16
8
2 2 9
v h
m v m gh h cm
g
v h
m v m gh h cm
g
    
    
1 1
1 2
2
2
3
m v
V gh
m m
 

2
2
1 2 1 2
1 4
( ) ( ) 2
2 2 9
V h
m m V m m gH H cm
g
      