On problems of active space debris removal using tethered towing
Линейные многошаговые методы
1. Методы вычислений
Линейные многошаговые методы
Кафедра теоретической механики
Талипова А.А.
Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
27 декабря 2012 г.
2. Содержание
1 Многошаговые методы Адамса
2 Экстраполяционные методы Адамса - Башфорта
3 Интерполяционные методы Адамса - Моултона
4 Методы прогноза и коррекции
5 Метод Милна четвертого порядка
6 Источники
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 2 / 24
3. Линейные многошаговые методы
Многошаговые методы Адамса
Рассмотрим численные методы решения начальной задачи
y = f (x, y), x ∈ [x0 , b], (1)
y(x0 ) = y0 . (2)
Для вычисления значения yi+1 ≈ y(xi+1 ) воспользуемся
интегроинтерполяционным подходом. Проинтегрируем левую и правую
часть уравнения (1) на промежутке [xi , xi+1 ]
xi+1
y(xi+1 ) = y(xi ) + f (x, y(x))dx (3)
xi
Вместо функции f (x, y(x)) подставим интерполирующий многочлен
Pk (x). Дополняя известные значения f (xj , yj ) ≈ f (xj , y(xj )) пока что
неизвестным значением fi+1 := f (xi+1 , yi+1 ), можно построить
таблицу конечных разностей
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 3 / 24
5. Линейные многошаговые методы
При интерполировании назад из узла xi по второй интерполяционной
формуле Ньютона
f (x) ≈ Pn (xn + qh) = yn + q∆yn−1 + q(q+1) ∆2 yn−2 + ...
2!
q(q + 1)...(q + n − 1) n
... + ∆ y0
n!
имеем
q(q + 1) 2
Pk (x) = Pk (xi + qh) = fi + q∆fi−1 + ∆ fi−2 +
2!
q(q + 1)(q + 2) 3 q(q + 1)...(q + k − 1) k
+ ∆ fi−3 + ... + ∆ fi−k
3! k!
а из узла xi+1 получаем многочлен
˜ ˜ q(q + 1) 2
Pk (x) = Pk (xi+1 + qh) = fi+1 + q∆fi + ∆ fi−1 +
2!
q(q + 1)(q + 2) 3 q(q + 1)...(q + k − 1) k
+ ∆ fi−2 + ... + ∆ fi−k+1
3! k!
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 5 / 24
6. Линейные многошаговые методы
˜
Постановка многочленов Pk (x) и Pk (x) в равенство (3) приводит к
формулам для вычисления очередного значения yi+1 ≈ y(xi+1 ) вида
xi+1
yi+1 = yi + Pk (x)dx (4)
xi
xi+1
yi+1 = yi + ˜
Pk (x)dx (5)
xi
В результате применения к интегралам в (4) и (5) формулы
Ньютона-Лейбница получается два семейства методов (с параметром
k ∈ N0 ), называемых многошаговыми методами Адамса.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 6 / 24
7. Линейные многошаговые методы
Экстраполяционные методы Адамса—Башфорта
xi+1
Сделаем в интеграле Pk (x)dx замену переменной x = xi + qh
xi
xi+1 1
Pk (x)dx = h Pk (xi + qh)dq
xi 0
Тогда формула (4) может быть переписана в виде
yi+1 = yi + hIk , (6)
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 7 / 24
9. Линейные многошаговые методы
Рассмотрим простые частные случаи метода Адамса—Башфорта:
при k = 0
I0 = fi =⇒ yi+1 = yi + hf (xi , yi ); (9)
при k = 1
1 3 1
I1 = fi + ∆fi−1 = fi − fi−1 =⇒
2 2 2
h
yi+1 = yi + [3f (xi , yi ) − f (xi−1 , yi−1 )]; (10)
2
при k = 2
5 2 23 16 5
I2 = I1 + ∆ fi−2 = fi − fi−1 + fi−2 =⇒
12 12 12 12
h
yi+1 = yi + [23f (xi , yi ) − 16f (xi − 1, yi − 1) + 5f (xi−2 , yi−2 )]; (11)
12
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 9 / 24
10. Линейные многошаговые методы
при k = 3
3 55 59 37 9
I3 = I2 + ∆3 fi−3 = fi − fi−1 + fi−2 − fi−3 =⇒
8 24 24 24 24
h
yi+1 = yi + [55f (xi , yi ) − 59f (xi−1 , yi−1 )+
24
+37f (xi−2 , yi−2 ) − 9f (xi−3 , yi−3 )] (12)
Формулы (9)—(12) определяют методы Адамса—Башфорта
соответственно первого, второго, третьего и четвертого порядка.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 10 / 24
11. Линейные многошаговые методы
Для k + 1 раз непрерывно дифференцируемой функции шаговая
ошибка может быть получена интегрированием остаточного члена
f (k+1) (ξ, y(ξ))
Rk (x) = Πk+1 (x)
(k + 1)!
интерполяционной формулы Лагранжа.
f (k+1) (ξ, y(ξ))
Rk (xi + qh) = q(q + 1)...(q + k)hk+1 , (13)
(k + 1)!
Функция Rx может считаться величиной O hk+1
Локальная погрешность метода типа (6) составляет величину
1
h Rk (xi + qh)dq = O hk+2 ,а глобальная — величину O hk+1 .
0
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 11 / 24
12. Линейные многошаговые методы
Интерполяционные методы Адамса — Моултона
xi+1
В интеграле ˜
Pk (x)dx делаем замену x = xi+1 + qh и подставляем в
xi
˜
него выражение для Pk (x) приходим к равенству
˜
yi+1 = yi + hIk ,
0
˜
Ik := ˜
Pk (xi+1 + qh)dq =
−1
q2 q3 q2 1 q4
= fi+1 q + ∆fi + + ∆2 fi−1 + + q 3 + q 2 ∆3 fi−2 +
2 6 4 6 4
0
q 5 3q 4 11q 3
1
+ + + + 3q 2 ∆4 fi−3 + ... =
24
5 2 3 −1
1 1 1 19 4
= fi+1 − ∆fi − ∆2 fi−1 − ∆3 fi−2 − ∆ fi−3 − ... (14)
2 12 24 720
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 12 / 24
13. Линейные многошаговые методы
Из (14) следует конечноразностная формула интерполяционного
метода Адамса — Моултона
1 1
yi+1 = yi + h fi+1 − ∆fi − ∆2 fi−1 −
2 12
1 19 4
− ∆3 fi−2 − ∆ fi−3 − ... . (15)
24 720
Рассмотрим следующие частные формулы:
при k = 0
yi+1 = yi + hf (xi+1 , yi+1 ), (16)
при k = 1
h
yi+1 = yi + [f (xi+1 , yi+1 ) + f (xi , yi )], (17)
2
при k = 2
h
yi+1 = yi + [5f (xi+1 , yi+1 ) + 8f (xi , yi ) − f (xi−1 , yi−1 )], (18)
12
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 13 / 24
14. Линейные многошаговые методы
при k = 3
h
yi+1 = yi + [9f (xi+1 , yi+1 ) + 19f (xi , yi )−
24
− 5f (xi−1 , yi−1 ) + f (xi−2 , yi−2 )], (19)
(16) и (17) определяют неявный метод Эйлера и метод трапеций, эти
методы являются одношаговыми, а (18) и (19) относятся к
двухшаговым и трехшаговым методам.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 14 / 24
15. Линейные многошаговые методы
Методы прогноза и коррекции
z
Обозначим через yi+1 приближенное значение решения y(xi+1 ),
подсчитываемое по явной экстраполяционной формуле
Адамса-Башфорта,составим несколько пар частных формул Адамса —
Башфорта и Адамса — Моултона
первого порядка
z
yi+1 = yi + hf (xi , yi ),
z
yi+1 = yi + hf (xi+1 , yi+1 );
второго порядка
y z = yi + h [3f (xi , yi ) − f (xi−1 , yi−1 )],
i+1
2
y
h z
i+1 = yi + [f (xi+1 , yi+1 ) + f (xi , yi )];
2
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 15 / 24
16. Линейные многошаговые методы
третьего порядка
y z = yi + h [23f (xi , yi ) − 16f (xi−1 , yi−1 ) + 5f (xi−2 , yi−2 )],
i+1
12
h z
[5f (xi+1 , yi+1 ) + 8f (xi , yi ) − f (xi−1 , yi−1 )];
y
i+1 = yi +
12
четвертого порядка
y z = y + h [55f (x , y ) − 59f (x , y )+
i+1
i i i i−1 i−1
24
+ 37f (xi−2 , yi−2 ) − 9f (xi−3 , yi−3 )],
h z
yi+1 = yi + [9f (xi+1 , yi+1 ) + 19f (xi , yi )−
24
− 5f (xi−1 , yi−1 ) + f (xi−2 , yi−2 )];
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 16 / 24
17. Линейные многошаговые методы
Главное достоинство методов прогноза и коррекции — это
возможность контролировать шаговую погрешность. Считая, что
расчетный шаг h достаточно мал и конечные разности с ростом их
порядка убывают, запишем два приближенных представления y(xi+1 ):
z 251
y(xi+1 ) ≈ yi+1 + h∆4 fi−4 (20)
720
M 19
y(xi+1 ) ≈ yi+1 − h∆4 fi−3 (21)
720
Приравнивая правые части приближенных равенств (21) и (22) и
отождествляя ∆4 fi−4 с ∆4 fi−3 ,имеем:
M z 19 251 3
yi+1 − yi+1 ≈ h∆4 fi−3 + h∆4 fi−4 ≈ h∆4 fi−3
720 720 8
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 17 / 24
18. Линейные многошаговые методы
Откуда
3 M
h∆4 fi−3 ≈ (yi+1 − yi+1 )
z
8
подставляя последнее в (22), получаем приближенное равенство
M 19 M z
y(xi+1 ) ≈ yi+1 − (y − yi+1 )
720 i+1
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 18 / 24
19. Линейные многошаговые методы
Метод Милна четвертого порядка
Для вывода первой формулы Милна(ф-лы предсказания)
проинтегрируем уравнение y = f (x, y) на промежутке [xi−3 , xi+1 ]
xi+1
y(xi+1 ) = y(xi−3 ) + f (x, y(x))dx (22)
xi−3
функцию f (x, y(x)) заменим первым интерполяционным многочленом
Ньютона P3 (x), построенным по четырем узлам xi−3 , xi−2 , xi−1 , xi с
предполагающимися уже известными приближенными значениями
fi−3 := f (xi−3 , yi−3 ) ≈ f (xi−3 , y(xi−3 ))
fi−2 := f (xi−2 , yi−2 ) ≈ f (xi−2 , y(xi−2 ))
fi−1 := f (xi−1 , yi−1 ) ≈ f (xi−1 , y(xi−1 ))
fi := f (xi , yi ) ≈ f (xi , y(xi ))
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 19 / 24
21. Линейные многошаговые методы
Для вывода второй формулы Милна проинтегрируем уравнение
y = f (x, y) на промежутке [xi−1 , xi+1 ]
xi+1
y(xi+1 ) = y(xi−1 ) + f (x, y(x))dx
xi−1
применим к интегралу простейшую формулу Симпсона, имеем
h
y(xi+1 ) = y(xi−1 ) + [f (xi+1 , y(xi+1 )) + 4f (xi , y(xi ))+
3
h5
+ f (xi−1 , y(xi−1 ))] − f IV (ξi ) (25)
90
Отбрасывая остаточный член и заменяя решения y(xi−1 ) и y(xi )
известными приближенными значениями yi−1 и yi , а стоящее в правой
части под знаком функции f неизвестное значение y(xi+1 ) тем
значением yi+1 , которое получается в результате вычислений по явной
ˆ
форуле Милна,приходим ко второй формуле Милна (уточнения)
h
yi+1 = yi−1 + [f (xi+1 , yi+1 ) + 4f (xi , yi ) + f (xi−1 , yi−1 )]
ˆ
3
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 21 / 24
22. Линейные многошаговые методы
Для вывода приближенной оценки шаговой погрешности воспользуеся
приближенны равенством
∆4 f
f IV (ξi ) ≈
h4
Исходя из точного равенства (26), локальную погрешность
приближенного значения yi+1 можно приближенно охарактеризовать
h
величиной − 90 ∆4 f , т.е.
h 4
y(xi+1 ) ≈ yi+1 − ∆ f (26)
90
h 4 h yi+1 − yi+1
ˆ
yi+1 − yi+1 ≈ 29
ˆ ∆ f =⇒ ∆4 f ≈
90 90 29
следовательно,
yi+1 − yi+1
ˆ
y(xi+1 ) − yi+1 ≈ (27)
29
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 22 / 24
23. Линейные многошаговые методы
Пример
Рассмотри уравнение y = 5y с начальным условием y(0) = 1.
Решим это уравнение методом прогноза и коррекции, и изобразим на
графике эти решения, а также точное решение y = e5x .
1 — точное решение, 2 — прогноз, 3 — коррекция.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 23 / 24
24. Линейные многошаговые методы
Список использованных источников
1 Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и
обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебное пособие
для вузов[текст]: В.М. Вержбицкий - М.: Высшая школа, 2004. -
382 с.
2 Волков Е.А. Численные методы[текст]: Е.А. Волков - М.: Наука,
1987. - 248 с.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 24 / 24