1. Методы вычислений
Решение краевых задач. Метод конечных элементов.
Кафедра теоретической механики
студент группы 1405, Кишов Ю. Ю.
Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
30 декабря 2012 г.

2. Решение линейных краевых задач Постановка задачи
Двухточечные линейные краевые задачи для
дифференциальных уравнений второго порядка
Рассмотрим линейную краевую задачу вида:
L[y] := y + p(x)y + q(x)y = f (x), x ∈ [a, b] (1)
la [y] := α0 y(a) + α1 y (a) = A (2)
lb [y] := β0 y(b) + β1 y (b) = B (3)
к коэффициентам краевых условий (2),(3) предъявляется требование:
|α0 | + |α1 | = 0, |β0 | + |β1 | = 0 (4)
а функции p = p(x),q = q(x) и f = f (x) в уравнении (1) должны быть
такими чтобы задача имела единственное решение y = y(x).
Будем рассматривать решение смешанной краевой задачи.
Определяется из краевых условий (2),(3) и включает в себя первую
(α1 = β1 = 0) и вторую (α0 = β0 = 0) краевые задачи.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 2 / 19

3. Решение линейных краевых задач Классификация приближенных методов
Классификация приближенных методов решения
краевых задач
Методы сведения к задаче Коши:
метод пристрелки;
метод дифференциальной прогонки;
метод редукции;
Метод конечных разностей;
Метод балансов (интегро-интерполяционный метод);
Метод коллокации;
Проекционные методы:
Метод моментов;
Метод Галёркина;
Вариационные методы:
Метод наименьших квадратов;
Метод Ритца;
Проекционно-разностные методы (метод конечных элементов);
Методы сведения к интегральным уравнениям Фредгольма и др.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 3 / 19

4. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ)
Достоинства и недостатки
Достоинства
Универсальность (можно описать любую область)
Регулирование точности на участках (за счет плотности сетки)
Недостатки
Сложность
Большое время решения задач (проигрывает методу конечных
разностей)
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 4 / 19

5. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Общая схема алгоритма МКЭ
Дискретизация рассматриваемой области
В данной презентации будет рассматриваться случай МКЭ на
равномерной сетке. При необходимости формулы расчета можно
обобщить для случая неравномерной сетки.
Первый этап алгоритма - разбиение заданной области на конечные
элементы. Введем на отрезке [a, b] равномерную сетку с шагом
b−a
h = n+1 , состоящую из n внутренних точек (узлов) и двух крайних:
xi = a + ih (i = 1, 2, ..., n)
x0 = a, xn+1 = b
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 5 / 19

6. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Общая схема алгоритма МКЭ
Выбор финитных функций
Будем искать приближенное решение yn (x) данной краевой задачи
(2),(3) в виде линейной комбинации финитных функций:
1 − |t|, если |t| ≤ 1,
φ(t) = (5)
0, если |t| > 1.
x−xi
Полагая t = h , из (5) получим:
= x−xi−1 ,
 x−xi
1 +
 h h если x ∈ [xi−1 , xi ];
x−xi x−xi+1
φi = 1 − h = − h , если x ∈ [xi , xi+1 ]; (6)

0, если x ∈ [xi−1 , xi+1 ].

Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 6 / 19

7. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Общая схема алгоритма МКЭ
Система финитных функций и их производных
Для дальнейший конкретизации МКЭ нужно уточнить вид системы
линейных алгебраических уравнений, относительно коэффициентов ci ,
c этой целью продифференцируем (6):

1
h,
 при x ∈ [xi−1 , xi ];
1
φi = − h , при x ∈ [xi , xi+1 ]; (7)

0, при x ∈ [xi−1 , xi+1 ].

Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 7 / 19

8. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Общая схема алгоритма МКЭ
Графическое отображение системы финитных функций и их производных
Система финитных функций φ1 , φ2 , . . . , φi :
φ1 φ2 φi-1 φi φi+1 φn
1
x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn xn+1
Система производных финитных функций φ1 , φ2 , . . . , φi :
' ' ' '
φ1 φ2 φi φ i+1
1/h
x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn xn+1
-1/h
' ' ' '
φ1 φ i-1 φi φn
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 8 / 19

9. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Общая схема алгоритма МКЭ
Составление СЛАУ
Пусть ищется решение ДУ (1) с однородными краевыми условиями:
y(a) = 0, y(b) = 0. (8)
Для получение решения в виде:
n
yn (x) = ci φi (x) (9)
i=1
Необходимо составить линейную алгебраическую систему:
n
aij cj = di , i = 1, 2, . . . , n (10)
j=1
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 9 / 19

10. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Общая схема алгоритма МКЭ
Составление СЛАУ
Правые части для (10) находятся по формуле:
xi xi+1
1
di = f (x)(x − xi−1 ) dx − f (x)(x − xi+1 ) dx (11)
h xi−1 xi
Исходя из выбранных финитных функций матрица A = aij системы
(10) является трехдиаганальной. Это означает что:
aij = 0 при |i − j| > 1 (12)
Формула для диагональных элементов:
xi xi
2 1
aii = − + 2 p(x)(x − xi−1 ) dx + q(x)(x − xi−1 )2 dx +
h h xi−1 xi−1
xi+1 xi+1
+ p(x)(x − xi+1 ) dx + q(x)(x − xi+1 )2 dx (13)
xi xi
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 10 / 19

11. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Общая схема алгоритма МКЭ
Составление СЛАУ
Выражения элементов правой побочной диагонали матрицы A для
системы (10) (j = i + 1):
xi+1 xi+1
1 1
ai,i+1 = − p(x)(x−xi+1 ) dx+ q(x)(x−xi )(x−xi+1 ) dx
h h2 xi xi
(14)
При j = i − 1 - для левой:
xi xi
1 1
ai,i−1 = − 2 p(x)(x − xi−1 ) dx + q(x)(x − xi−1 )(x − xi ) dx
h h xi−1 xi−1
(15)
Таким образом формулы (11),(13)-(15) полностью задают систему
(10), для получения коэффициентов c1 , . . . , cn приближенного решения
(9) для краевой задачи (1),(8). Общая схема алгоритма МКЭ описана.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 11 / 19

12. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Применение МКЭ
Пример решения задач
Решить методом конечных элементов ДУ:
6 3
y + x2 y − xy = 4
− , x ∈ [1, 2] (16)
x x
при краевых условиях первого рода:
y(1) = 1, y(2) = 0.25 (17)
1
Данная задача уже имеет точное решение y(x) = x2 с которым мы и
будет сравнивать полученное МКЭ приближенное решение.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 12 / 19

13. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Применение МКЭ
Пример решения задач
1 Выполним преобразование данной задачи к задаче с однородными
условиями:
u + x2 u − xu = F (x), x ∈ [1, 2], u(1) = 0, u(2) = 0 (18)
заменим y = u + v, где:
0.25 − 1 7 3
v =1+ (x − 1) = − x (19)
2−1 4 4
следовательно, получим:
6 3 6 3 7
F (x) = 4
− − x2 v + xv = 4 − + x (20)
x x x x 4
2 Введем на отрезке [1,2] равномерную сетку с шагом h = 1 :
3
4 5
x0 = 1, x1 = , x2 = , x3 = 2 (21)
3 3
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 13 / 19

14. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Применение МКЭ
Пример решения задач
3 Запишем выражение приближенного решения задачи:
u2 (x) = c1 φ1 (x) + c2 φ2 (x) (22)
где φ1 и φ2 соответствующие сетке (21) финитные функции (6)
4 Составим СЛАУ:
a11 c1 + a12 c2 = d1 ,
(23)
a21 c1 + a22 c2 = d2 .
5 Найдем числовые данные этой системы:
4 4
3 3
2
a11 = −6 + 9 x (x − 1) dx + (−x)(x − 1)2 dx +
1 1
5 5
3
2 5 3 5
x (x − ) dx + (−x)(x − )2 dx ≈ −6.5926 (24)
4 3 4 3
3 3
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 14 / 19

15. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Применение МКЭ
Пример решения задач
Продолжение нахождения числовых данных системы (23):
5 5
3 4 3 4 2
a22 = −6 + 9 x2 (x − ) dx + (−x)(x − ) dx +
4 3 4 3
3 3
2 2
x2 (x − 2) dx + (−x)(x − 2)2 dx ≈ −6.7407 (25)
5 5
3 3
5 5
3 5 3 4 5
a12 = 3 − 9 x2 (x − ) dx + (−x)(x − )(x − ) dx ≈ 3.9630 (26)
4 3 4 3 3
3 3
5 5
3 4 3 4 5
a21 = 3 − 9 x2 (x − ) dx + (−x)(x − )(x − ) dx ≈ 1.7037 (27)
4 3 4 3 3
3 3
4 5
3 6 3 7 3 6 3 7 5
d1 = 3 − + x (x − 1) dx + 3 − + x x− dx ≈ 0.7256 (28)
1 x4 x 4 4 x4 x 4 3
3
5 2
3 6 3 7 4 6 3 7
d2 = 3 − + x x− dx + 3 − + x (x − 2) dx ≈ 0.6446 (29)
4 x4 x 4 3 5 x4 x 4
3 3
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 15 / 19

16. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Применение МКЭ
Пример решения задач
6 Найдем коэффициенты c1 , c2 . Подставим числа (24)-(29) в
систему (23):
c1 ≈ −0.1976, c2 ≈ −0.1456 (30)
7 Конечный вид приближенного решения:

4
2.3428 − 1.3428x, если x ∈ [1, 3 ],

y2 (x) ≈ 1.3444 − 0.5940x, если x ∈ [ 4 , 5 ],
3 3
(31)

0.8764 − 0.3132x, если x ∈ [ 5 , 2].

3
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 16 / 19

17. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Применение МКЭ
Графики точного решения задачи (16)-(17) приближения к нему МКЭ (31) и
соответствующих ему базисных функций
y
1
y(x) y2(x)
φ1 φ2
1/2
0 1 4/3 5/3 2 x
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 17 / 19

18. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Расчетные задания
Дана краевая задача:
√
(x + 3)2 y + (2x + 6)y + 0.25y = x + 3, x ∈ [0, 1] (32)
y(0) = 0, y(1) = 0.5 (33)
Примените метод конечных элементов на равномерной сетке.
Сравните полученное приближенное значение и точное решение
x
y(x) = √x+3 .
Обобщите расчетные формулы метода конечных элементов на
случай неравномерной сетке.
Примените метод конечных элементов на неравномерной сетке и
сравните конечные результаты.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 18 / 19

19. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементов
Список использованных источников
1 Вержбицкий В.М. Численные методы, (математический анализ и
обыкновенные дифференциальные уравнения) М.: Высшая школа,
2001.382 с.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 19 / 19