Chuyên dề dấu tam thức bậc hai dành cho học sinh khá giỏi lớp 9, luyện thi 9 lên 10. Liên hệ gia sư tài đức việt: 0936 128 126

1. GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT: 0936 128 126
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT: 0936 128 126
Page 1
CHUYÊN ĐỀ: DẤU TAM THỨC BẬC HAI
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1/ Định lí về dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a # 0.
a/ Nếu ∆< 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi 𝑥 ∈ 𝑅.
b/ Nếu ∆= 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi 𝑥 ≠ −
𝑏
2𝑎
.
c/ Nếu ∆> 0 thì f(x) có hai nghiệm và:
- Với mọi x nằm trong khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu với a;
- Với mọi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với a;
Lưu ý: “Trong trái, ngoài cùng”.
2/ Giải bất phương trình bậc hai một ẩn:
Giả sử tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a > 0 có hai nghiệm x1 và x2
(x1 < x2). Từ định lí dấu của tam thức bậc hai, ta suy ra:
ax2 + bx + c < 0 ↔ x1 < x < x2
ax2 + bx + c > 0 ↔ [ 𝑥<𝑥1
𝑥>𝑥2
3/ Điều kiện để bất phương trình bậc hai có nghiệm là mọi x:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a # 0.
a/ f(x) > 0 có nghiệm là mọi x ↔ {
𝑎 > 0
∆< 0
b/ f(x) ≥ 0 có nghiệm là mọi x ↔ {
𝑎 > 0
∆≤ 0

2. GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT: 0936 128 126
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT: 0936 128 126
Page 2
c/ f(x) < 0 có nghiệm là mọi x ↔ {
𝑎 < 0
∆< 0
d/ f(x) ≤ 0 có nghiệm là mọi x ↔ {
𝑎 < 0
∆ ≤ 0
e/ {
𝑓( 𝑥) ≥ 0 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑙à 𝑚ọ𝑖 𝑥
𝑋ả𝑦 𝑟𝑎 đượ𝑐 𝑓( 𝑥) = 0
↔ {
𝑎 > 0
∆= 0
II/ VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví Dụ 1: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx c với a # 0. Chứng minh rằng:
a/ Nếu ∆< 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ 𝑅.
b/ Nếu ∆= 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ −
𝑏
2𝑎
.
c/ Nếu ∆> 0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 (giả sử x1 < x2) thỏa mãn:
- Với x1 < x < x2 thì f(x) trái dấu với a;
- Với x < x1 hoặc x > x2 thì f(x) cùngdấu với a.
Giải
Xét
𝑓(𝑥)
𝑎
= 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
= (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)2
−
𝑏2
4𝑎2
+
𝑐
𝑎
= (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
∆
4𝑎2
(1)
a/ Nếu ∆< 0 thì từ (1) suy ra
𝑓(𝑥)
𝑎
> 0, tức là f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ 𝑅.
b/ Nếu ∆= 0 thì từ (1) suy ra
𝑓(𝑥)
𝑎
= (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)2
≥ 0, tức là f(x) cùng dấu với a với
mọi x ≠ −
𝑏
2𝑎
.
c/ Nếu ∆> 0 thì từ (1) suy ra:
𝑓(𝑥)
𝑎
= (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)2
− (
√∆
2𝑎
)
2
= (𝑥 −
−𝑏−√∆
2𝑎
)(𝑥 −
−𝑏+√∆
2𝑎
) = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2).
- Với x1 < x < x2 thì (x – x1)(x – x2) < 0 nên f(x) trái dấu với a;
- Với x < x1 hoặc x > x2 thì (x – x1)(x – x2) > 0 nên f(x) cùng dấu với a.

3. GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT: 0936 128 126
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT: 0936 128 126
Page 3
Ví Dụ 2: Giải các bất phương trình:
a/ 2x2 – 3x + 5 > 0;
b/ x2 + 2x – 1 < 0;
c/ 3x2 – 4x – 1 > 0;
Giải
a/ Phương trình 2x2 – 3x + 5 = 0 có ∆= −31 < 0 nên với mọi x thì 2x2 – 3x + 5
cùng dấu với 2, tức là 2x2 – 3x + 5 > 0 với mọi x.
Tập nghiệm của bất phương trình là R.
b/ Phương trình x2 + 2x – 1 = 0 có hai nghiệm −1 − √2 𝑣à − 1 + √2.
Do đó: x2 + 2x – 1 < 0  −1 − √2 < 𝑥 < −1 + √2.
c/ Phương trình 3x2 - 4x – 1 = 0 có hai nghiệm
2−√7
3
𝑣à
2+√7
3
.
Do đó: 3x2 – 4x – 1 > 0 ↔ [
𝑥 <
2−√7
3
𝑥 >
2+√7
3
Ví Dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝐴 =
2
1−𝑥
+
1
𝑥
với 0 < x < 1.
Giải
Do 0 < x < 1 nên A > 3.
Ta có 𝐴 =
2
1−𝑥
+
1
𝑥
=
𝑥+1
𝑥− 𝑥2
.
Đặt
𝑥+1
𝑥− 𝑥2
= 𝑎 𝑣ớ𝑖 𝑎 > 3.
Viết thành phương trình bậc hai đối với x nhận a làm tham số
x + 1 = a.(x – x2)  ax2 + (1 - a)x + 1 = 0
∆= (1 − 𝑎)2
− 4𝑎 = 𝑎2
− 6𝑎 + 1.

4. GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT: 0936 128 126
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT: 0936 128 126
Page 4
Giải bất phương trình a2 – 6a + 1≥ 0 được:
𝑎 ≤ 3 − 2√2 ( 𝑙𝑜ạ𝑖 𝑣ì < 3)ℎ𝑜ặ𝑐 𝑎 ≥ 3 + 2√2
Do đó: Amin = 3 + 2√2 tại x = √2 − 1 (thỏa mãn 0 < x < 1)
Ví Dụ 4: Tìm giá trị của m để biểu thức sau có giá trị không âm với mọi x:
f(x) = x2 – (m + 2)x + 2m
Giải
Tam thức f(x) = x2 – (m + 2)x + 2m, đã có a = 1 > 0 nên 𝑓(𝑥) ≥ 0với mọi x ↔
∆≤ 0 ↔ ( 𝑚 + 2)2
− 8𝑚 ≤ 0 ↔ ( 𝑚 − 2)2
≤ 0 ↔ 𝑚 = 2.
Ví Dụ 5: Tìm giá trị của m để nghiệm của bất phương trình sau là một số thực x:
(m + 2)x2 + 4x + 3 < 0.
Giải
Với mọi x, ta có:
(m + 2)x2 + 4x + 3 < 0 ↔ {
𝑚 + 2 < 0
∆′
< 0
.
∆′
< 0 ↔ 4 − 3( 𝑚 + 2) < 0 ↔ −3𝑚 − 2 < 0 ↔ 𝑚 > −
2
3
Kết hợp m < -2, ta được các giá trị của m phải tìm là: −
2
3
< 𝑚 < −2 .