Deze presentatie wordt gebruikt tijdens het hoorcollege Nanotechnologie zoals dit wordt gedoceerd aan het departement Gezondheidszorg en Technologie van de Katholieke Hogeschool Leuven.

1. Hoofdstuk 2
Inleidende begrippen uit de kwantumchemie – deel 2
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
1

2. 2.2 Het golfkarakter van de materie
2.2.1 Golffuncties en waarschijnlijkheden
In de interpretatie van het beschrijven van de materie en straling door de dualiteit van het golf-
deeltjes model, kan men een deeltje in de ruimte beschrijven door een golf in de ruimte met de
golflengte gerelateerd aan het impulsmoment van het deeltje met behulp van de vergelijking van
de Broglie (λ = h/p).
In de kwantumchemie zal een deeltje moeten beschreven worden door een golffunctie ψ. De
golffunctie beschrijft tegelijkertijd alle gebieden in de ruimte waar het deeltje kan worden
gevonden.
Dit introduceert de idee van onzekerheid in de kwantumchemie. De exacte positie van een
deeltje in een gegeven punt in de ruimte is niet gedefinieerd. Enkel het ruimtegebied van alle
mogelijke posities dat het deeltje kan innemen kan men berekenen.
De exacte vorm van de golffunctie is belangrijk omdat de waarschijnlijkheid om een deeltje te
vinden in de ruimte proportioneel is aan ψ2 in dat punt.
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
2

3. 2.2.3 De Schrödingervergelijking
De Schrödingervergelijking is de fundamentele vergelijking van de kwantumchemie en heeft de
vorm
Hamiltoniaan Golffunctie Energieniveau
De Schrödingervergelijking kan worden geschreven voor elk mogelijk fysisch systeem. Voor
een deeltje met een massa m in één dimensie (langs de x-as) wordt de vergelijking:
waarbij -ħ/2m d2/dx2 en V(x) de operatoren zijn voor respectievelijk een kinetische en een
potentiële energie. Tezamen is dit de Hamiltoniaan operator.
Merk op
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
3

4. 2.2.4 De Schrödingervergelijking voor een vrij bewegend deeltje
We schrijven de Schrödingervergelijking voor een vrij bewegend deeltje dat enkel kinetische energie bezit
Een oplossing van bovenstaande differentiaalvergelijking is
Dit kan worden gecontroleerd door deze functie tweemaal te differentiëren
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
4

5. 2.2.4 De Schrödingervergelijking voor een vrij bewegend deeltje
De golflengte λ van een sinusfunctie met de vorm sin(kx) is
golfgetal
bijgevolg is de golflengte van de golffunctie van een vrij bewegend deeltje:
Deze bovenstaande uitdrukking wordt nu gesubstitueerd in de relatie tussen de kinetische energie
en het impulsmoment p
Herinner je bovendien dat ħ = h/2π
Dit finale resultaat is de vergelijking van de Broglie. De Schrödingervergelijking reproduceert de observatie
dat een vrij bewegend deeltje kan worden geschreven als een sinusfunctie waarbij de golflengte omgekeerd
evenredig is met het impulsmoment van het deeltje!
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
5

6. 2.2.5 Grensvoorwaarden
In principe zijn er 1 oplossingen voor de Schrödingervergelijking.
Als sin(kx) een oplossing is dan is asin(bkx) ook een oplossing voor alle waarden van a & b.
Nochtans zijn er maar sub-reeksen fysisch toegestaan die bepaald worden door grensvoorwaarden.die
opgelegd worden door het fysisch systeem die de Schrödingervergelijking zal beschrijven.
Voorbeelden
Deeltje in een doos (wij)
Uitwerking van de Schrödingervergelijking voor het elektron in een waterstofatoom (zie verder!)
s-orbitalen
Nodale vlakken
Nodaal vlak
Merk op!
Kwantisatie van de energie heeft zijn oorsprong in het feit dat er maar bepaalde waarden van E & ψ
toegestane oplossingen zijn van een specifieke Schrödingervergelijking.
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
6

7. 2.2.6 Het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg
Het is onmogelijk om tegelijkertijd het impulsmoment en de positie van een deeltje te kennen!
Stel een vrij bewegend deeltje met een impulsmoment p volgens de x-richting
Gelijke waarschijnlijkheid om het deeltje te vinden bij om
het even welk van een 1 aantal punten in de x-richting
1,5
1
0,5
ψ = sin(x)
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-0,5
-1
-1,5
x
Besluit: impulsmoment kan wel exact gekend zijn, maar de positie is onzeker!
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
7

8. 2.2.6 Het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg
Het is onmogelijk om tegelijkertijd het impulsmoment en de positie van een deeltje te kennen!
De golffunctie van een deeltje met een nauwkeurig De superpositie van een aantal golffuncties met
gedefinieerde positie. verschillende golflengtes. De superpositie van een
oneindig aantal golffuncties van verschillende
golflengtes is vereist om een nauwkeurig gedefinieerde
positie van het deeltje te bepalen.
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
8

9. 2.2.6 Het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg
Het is onmogelijk om tegelijkertijd het impulsmoment en de positie van een deeltje te kennen!
Grootte van de onzekerheid wordt kwantitatief gegeven door:
zeer klein
Niet observeerbaar bij alledaagse macroscopische lichamen
Voorbeeld – de onzekerheid in positie
mlichaam = 1,00 kg en vlichaam = 1,0 ×10-3 ms-1
melektron= 9,11×10-31 kg en vlichaam = 1,0×10-3 ms-1
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
9

10. 2.2.7 Een deeltje in een doos
De toepassing van de Schrödingervergelijking op een deeltje dat een ééndimensionale
translatiebeweging ondergaat tussen beperkte limietwaarden, demonstreert hoe deze
grenscondities leiden tot het begrip kwantisatie.
De twee “wanden” van de doos zijn op de
posities x = 0 en x = L langs de x-as V=1 V=0 V=1
weergegeven. In de doos beweegt het deeltje
(massa m) vrij in de x-richting waarbij de
potentiële energie V = 0.
De potentiële energie stijgt naar oneindig aan
de muren.
ψ=0 ψ=0
De Schrödingervergelijking voor een deeltje
in een doos is
ψ
0 L x
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
10

11. 2.2.7 Een deeltje in een doos
De Schrödingervergelijking voor een deeltje in een doos is
V=1 V=0 V=1
Een oplossing voor deze vergelijking is ψ=0 ψ=0
ψ
De algemene oplossing voor deze Schrödingervergelijking is 0 L x
waarbij elke waarde van E en a geschikte golffuncties vormen.
Het deeltje is echter gedefinieerd in een doos met een beperkte lengte. De wanden leggen
grenscondities op tussen dewelke de golffuncties fysisch zijn toegestaan.
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
11

12. 2.2.7 Een deeltje in een doos
Omdat de potentiële energie buiten de wanden stijgt naar oneindig is de waarschijnlijkheid om
een deeltje te vinden buiten de doos gelijk aan nul. Daarom moeten alle toegestane golffuncties
exact beschreven zijn in de doos (vergelijk dit met de vibraties van een snaar die aan beide
uiteinden vastzitten).
Om aan deze voorwaarde tegemoet te komen, zal de golflengte λ van alle toegestane
golffuncties één van de volgende waarden moeten bezitten
ofwel
De relatie tussen λ en de mathematische beschrijving van een sinusgolf is sin(2πx/λ)
De golflengte van de golffunctie is bijgevolg
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
12

13. 2.2.7 Een deeltje in een doos
De toegestane golffuncties van een deeltje in een doos, moeten dus voldoen aan
Na herschikking vinden we
Het deeltje kan enkel discrete energiewaarden bezitten (kwanta)
Het getal n is een voorbeeld van een kwantumgetal
De toegestane energieën van het systeem worden de energieniveaus genoemd.
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
13

14. Opmerking
De constante a wordt zodanig gekozen dat de totale waarschijnlijkheid om het deeltje te
vinden = 1 tussen x = 0 en x= L.
Normalizatie
Standaard integraal
Normalizatiefactor
De totale oplossing van de Schrödingervergelijking wordt dus
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
14

15. 2.2.7 Een deeltje in een doos
De toegestane energieniveaus en de corresponderende golffuncties voor een deeltje in een doos
~ n2
knoop
Energieniveaus Golffuncties
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
15

16. 2.2.7 Een deeltje in een doos
Knoop: de waarschijnlijkheid om een deeltje op deze posities te vinden is gelijk aan nul
Merk op!
De waarschijnlijkheid om een deeltje met één energiekwantum te vinden is juist in het
midden van de twee wanden. De waarschijnlijkheid om een deeltje met twee energiekwanta
terug te vinden op deze positie is nul.
Het verschil van aangrenzende energieniveaus met kwantumgetallen n en n+1 is
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
16

17. 2.2.7 Een deeltje in een doos
Twee algemene kenmerken van de kwantumchemische beschrijving van fysische systemen
i. De energieniveaus liggen dichter bij elkaar als de afmeting van het systeem (L) groter wordt
Energie Energie
Wand Wand Wand Wand
smalle doos brede doos
ii. De energieniveaus liggen dichter bij elkaar als de massa van het deeltje (m) groter wordt
Opmerking! Voor alledaagse objecten liggen de toegestane energieniveaus zo dicht bij
elkaar zodat het systeem kan beschreven worden als niet-gekwantiseerd!
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
17

18. 2.2.8 De nulpuntsenergie
Omdat het kwantumgetal n niet gelijk mag zijn aan nul, is de laagste energie dat een deeltje
kan bezitten niet gelijk aan nul zoals in het geval van de klassieke mechanica.
Voor een deeltje in een doos is dit n = 1
De nulpuntsenergie voor een deeltje in een doos is
Het bestaan van een nulpuntsenergie komt in principe uit het onzekerheidsbeginsel daar
een deeltje kinetische energie moet hebben als het is beperkt tot een eindig gebied
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
18

19. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doos
Het deeltje is beperkt tot translatiebewegingen binnenin de doos met dimensies Lx × Ly × Lz
Binnenin de doos: V =0
Buiten de doos: V = 1
Lz
z
y
x Ly
Lx
Analoge uiteenzetting zoals bij een deeltje in een ééndimensionale doos.
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
19

20. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doos
Buiten de doos:
Binnen de doos:
Met D een normalizatieconstante en
Het deeltje wordt nu beschreven door een reeks van gehele getallen (nx, ny, nz)
De energie van een deeltje met massa m is
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
20

21. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doos
Geval 1: Lx = Ly = Lz = L
De energie van een deeltje met massa m is dan
De kwantumtoestanden worden bepaald door elke unieke combinatie van een reeks
kwantumgetallen (nx, ny, nz)
Hieruit volgt dat een verschillende permutatie van de kwantumgetallen aanleiding geeft tot
toestanden met dezelfde energiewaarde = ontaarding
Voorbeeld
(nx, ny, nz) = (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2) = 6E0 met
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
21

22. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doos
Geval 1: Lx = Ly = Lz = L
Schematische weergave
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3)
14E0 (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
12E0 (2, 2, 2)
11E0 (3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3)
9E0 (2, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2)
6E0 (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)
3E0 (1, 1, 1)
Energieniveaus Kwantumgetallen
(nx, ny, nz)
Stel L zeer klein, dan is het potentiaalsysteem beperkt Stel L groot, dan liggen de energieniveaus zeer dicht
tot de potentiaalwanden in drie dimensies = tegen elkaar.
kwantumdots
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
22

23. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doos
Geval 2: Lx = Ly = L en Lz >> Lx en Ly
De kwantisatieconditie volgens de z-richting verloopt essentieel continu
Klein verschil voor kz en de energie voor z en nz+1
De energie van een deeltje met massa m is dan
De gekwantiseerde band is nu gekarakteriseerd door nx en ny terwijl kz een essentieel continu
variabele is
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
23

24. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doos
Geval 2: Lx = Ly = L en Lz >> Lx en Ly
Simulatie van de energiewaarden voor een dergelijk systeem in functie van kz
5,00
E
(1,3)
(2,2)
quantum wire (1,2)
(n x ,n y )= (1,1)
0,00
-6
k0z 6
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
24

25. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doos
Geval 3: Ly , Lz >> Lx = L
De kwantisatieconditie volgens de y- en z-richtingen verloopt essentieel continu
De energie van een deeltje met massa m is dan
De gekwantiseerde band is nu gekarakteriseerd door nx terwijl kz en kz een essentiële continu
variabelen zijn.
Wanneer het deeltje beperkt is door een potentiaalwand in één dimensie, maar vrij kan bewegen
in de twee andere dimensies staat dit gekend als een quantum well.
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
25

26. 2.2.10 Kwantumtunneling
Wanneer een deeltje met energie E beperkt is tot een niet-oneindige potentiële energiebarrière
V, toont de kwantumchemie dat er nog steeds een waarschijnlijkheid bestaat om het deeltje terug
te vinden aan de andere kant van de barrière, zelfs al is V > E.
In de klassieke mechanische beschrijving heeft
het deeltje te weinig energie om de barrière te
overbruggen en bezit het deeltje nul
waarschijnlijkheid om zich te bevinden aan de
andere kant.
De waarschijnlijkheid van deze
kwantumtunneling verlaagt als de hoogte en
de breedte van de potentiaalbarrière
verhoogt.
Kwantumtunneling ontstaat omdat de golffunctie niet abrupt naar nul zakt bij de wanden
(behalve als de potentiële energie oneindig is!). De maximum amplitude van de golffunctie zal
exponentieel afnemen in de ruimtezone van de potentiaalbarrière en na deze barrière ontstaat
er een golffunctie verschillend van nul waardoor er een kans is om het deeltje hier te vinden.
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
26

27. 2.2.10 Kwantumtunneling
Als een deeltje van links inslaat op een potentiaalbarrière, bestaat de golffunctie uit een
golf dat het lineaire impulsmoment naar rechts representeert en uit een gereflecteerde
component dat het impulsmoment naar links representeert. In de potentiaalbarrière varieert
de golf dan exponentieel (maar ze oscilleert niet) en uit de barrière bestaat de golffunctie
uit een beweging naar rechts
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
27

28. 2.2.10 Kwantumtunneling
Opmerking!
De tunnelingwaarschijnlijkheid verlaagt snel
- als de massa van een deeltje groter wordt
- de breedte van de barrière vergroot
Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier
28