H Ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
H f είναι παραγωγίσιμη στο , 2  , με παράγωγο
 
   
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
 
     
   
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός α < -2 τέτοιος, ώστε
   
   
2 22
1 1 1 1
f α = -1 f α = -θ + + = θ
θ α α + 1 α + 2
   
Θεωρούμε τη συνάρτηση  g : , 2   με τύπο
 
   
2 22
1 1 1
g x
x x 1 x 2
    
 
  x
lim g x 0

   , άρα  1
g x 0 για κάποιο 1
x κοντά στο 
  x 2
lim g x

  , άρα  2
g x 0 για κάποιο 2
x 2  κοντά στο 2
 Η g είναι συνεχής στο  , 2  , άρα και στο 1 2
x ,x  
Οπότε η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα 1 2
x ,x   , άρα
υπάρχει    1 2
α x ,x , 2    τέτοιο, ώστε
 
   
2 22
1 1 1
g α = 0 + +
α α + 1 α + 2
  
Επιπλέον η g είναι παραγωγίσιμη στο , 2  , με παράγωγο
 
   
3 33
1 1 1
g x 2 0
x x 1 x 2
 
      
   
για κάθε x 2 
Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο  , 2  , οπότε ο αριθμός α είναι μοναδικός.
Λύνει ο Λάζαρος Ζαχαριάδης

2. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
2 2 2
3 3 3
1 1 1
f : A ( , 2) ,f(x) .
x x 1 x 2
ια κάθε x A,
1 1 1
f'(x) ,
x (x 1) (x 2)
2 2 2
f''(x) 0,
x (x 1) (x 2)
άρα η f' είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α.
Συνεπώς το σύνολο τιμών της
      
 
 
   
 
   
 
xx 2
xx 2
είναι το f'(A) ( lim f '(x), lim f '(x)).
Είναι
1
lim f '(x)=- -1-(+ )=- και lim f '(x)=0, οπότε f '(Α) = (- ,0).
4
θ > 0 -θ 0, άρα -θ f '(Α).
Άρα υπάρχει μοναδικό , εφόσον η





  
  
0
0
0 0 f
ζ 0
0
f ' είναι γνησίως φθίνουσα, x ( , 2),
τέτοιο ώστε f '(x ) = -θ.
Στο σημείο Μ(x ,f(x )) η εφαπτομένη ζ της C έχει συντελεστή διεύθυνσης
λ = f '(x ) = -θ.
1 1
Για την ευθεία ε : θy = x + 1 y x ,

  
  
 
0 0 f
f
1
άρα λ .
1
ίναι λ 1 .
Υπάρχει δηλαδή μοναδικό σημείο Μ(x ,f(x )) της C , στο οποίο η εφαπτομένη ζ
της C είναι κάθετη στην ευθεία ε .

 


           

Λύνει η Ντίνα Ψαθά

3. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Η ευθεία
1 1
: y x 1 y x      
 
έχει σ.δ
1

 

.
Η εφαπτομένη  της f
C στο σημείο της   0 0
M x ,f x έχει σ.δ  0
f x
  .
Για να είναι    πρέπει
   0 0
1
1 f x 1 f x 
            

.
Για κάθε  x , 2   είναι
 
   
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
    
 
και  
   
3 33
2 2 2
f x 0
x x 1 x 2
    
 
αφού x 2 
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο  , 2  .
Η f είναι συνεχής στο  , 2  ως πράξεις συνεχών και γνησίως φθίνουσα
σ’ αυτό οπότε          xx 2
f , 2 lim f x , lim f x ,0 
      
  
   
 2 22x 2 x 2
1 1 1 1
lim f x lim 1
x 4x 1 x 2
 
 
 
            
   
  
   
2 22x x
1 1 1
lim f x lim 0
x x 1 x 2 
 
      
   
Είναι 0 0     άρα το  ,0   δηλαδή στο σύνολο τιμών της f οπότε
υπάρχει  0
x , 2   ώστε  0
f x   και είναι μοναδικό γιατί η f είναι γνησίως
φθίνουσα στο  , 2  .
Λύνει o Τρύφωνας Ζωϊτσάκος

4. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Έχουμε:
1 1
( ) : y x  
 
, με συντελεστή διεύθυνσης
1
, 0
   

.
Έστω  0, 0
x f(x ) με  0
x , 2   το σημείο επαφής της εφαπτομένης της f
C , η οποία
έχει συντελεστή διεύθυνσης 0
f (x ) , για να είναι αυτή κάθετη στην   θα πρέπει
0 0 0 0
1
f (x ) 1 f (x ) 1 f (x ) f (x ) 0
                 

, έτσι λοιπόν αρκεί να
δείξουμε ότι η εξίσωση f (x) 0    έχει μοναδική ρίζα  0
x , 2   .
Είναι
   
 2 22
1 1 1
f (x) ,x , 2
x x 1 x 2
       
 
Θεωρούμε τη συνάρτηση
   
 2 22
1 1 1
g(x) f (x) ,x , 2
x x 1 x 2
           
 
.
Θα δείξουμε ότι η g έχει μοναδική ρίζα  0
x , 2   .
Ύπαρξη της ρίζας
 Επειδή
   
2 22x x
1 1 1
lim g(x) lim 0 0 0 0
x x 1 x 2 
 
               
   
, θα
υπάρχει ένας   «πολύ μικρός» , ( κοντά στο  ) έτσι ώστε g( ) 0 
 Ακόμη
   
2 22x 2 x 2
1 1 1 1
lim g(x) lim 1
x 4x 1 x 2
 
 
 
               
   
, οπότε θα
υπάρχει ένας   ,   ( κοντά στο 2 ) έτσι ώστε g( ) 0  .
Άρα η g στο διάστημα  , , 2       ως παραγωγίσιμη σ’ αυτό με
   
 3 33
2 2 1
g (x) ,x , 2
x x 1 x 2
      
 
είναι συνεχής και ισχύει: g( ) g( ) 0    , οπότε
ικανοποιεί πλήρως τις υποθέσεις του Θ. Bolzano και άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένας
   0
x , , 2      τέτοιος, ώστε 0
g(x ) 0.
Μοναδικότητα της ρίζας
Επειδή
 
 
 
 
 
 3 33
2 2 1
g (x) 0, x , 2
x x 1 x 2

 
        
 
η g είναι γνησίως φθίνουσα στο
 , 2  και άρα είναι "1 1" , οπότε η ρίζα  0
x , 2   είναι μοναδική.
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος

5. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
   2 2 2 3 3 3
1 1 1 2 2 2
f x f x 0 f
x (x 1) (x 2) x (x 1) (x 2)
           
   
 x
lim f x 0

  ,  x 2
lim f x

  .
Το σύνολο τιμών της f είναι το  ,0 , άρα παίρνει την αρνητική τιμή  μοναδική
φορά στο  , 2  .
Δηλαδή υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της f
C κάθετη στην .
Λύνει ο Κώστας Δεββές

6. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Η
1 1 1
f(x) , x ( , 2)
x x 1 x 2
       
 
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
2 2 2
1 1 1
f (x) , x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
         
 
και
3 3 3
2 2 2
f (x) 0, x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
         
 
άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο ( , 2)    και
xx 2
f ( ) ( lim f (x), limf (x)) ( ,0) 
      αφού
2 2 2x x x
1 1 1
lim 0, lim 0, lim
x (x 1) (x 2)  
 
 
και
2 2 2x 2 x 2 x 2
1 1 1 1
lim , lim 1, lim
x 4 (x 1) (x 2)
  
  
   
 
επομένως για κάθε (0, )    το
1
(0, )  

και το
1
( , 0) f (A)   

οπότε
υπάρχει 0
x ( , 2)     και μάλιστα μοναδικό λόγω μονοτονίας της f ώστε
0
1
f (x )  

άρα και μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της f το 0 0
(x , f(x )) με
εφαπτομένη κάθετη στην
1 1
y x 
 
Λύνει ο Βασίλης Κακαβάς

7. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Πρέπει      0 0 0
1
f' x 1 f' x 1 f' x
          

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη x 2   με
 
   
2 22
1 1 1
f' x 0
x x 1 x 2
    
 
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα x 2  
Επίσης η συνάρτηση f'είναι παραγωγίσιμη x 2   με
 
   
3 33
2 2 2
f'' x 0
x x 1 x 2
   
 
Άρα η συνάρτηση f είναι κοίλη και η συνάρτηση f'γνησίως φθίνουσα x 2  
Βρίσκοντας το σύνολο τιμών της f'έχουμε ότι:
         
f'
x 2 x
f' , 2 limf' x , lim f' x ,0

 
    αφού
  
   
2 22x 2 x 2
1 1 1 1
limf' x lim 2
x 4x 1 x 2 
 
           
   
  
   
2 22x x
1 1 1
lim f' x lim 0
x x 1 x 2 
 
     
   
Άρα για κάθε 0  υπάρχει 0
x μοναδικό, λόγω μονοτονίας της f' , τέτοιο ώστε
 0
f' x  .
Λύνει ο Παναγιώτης Βιώνης

8. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Επειδή θ>0 έχουμε ότι : ε
1
λ =
θ
οπότε αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικός
αριθμός  0
x , 2   τέτοιος ώστε να ισχύει :  0
f΄ x = θ
Η f είναι παραγωγίσιμη στο  , 2  οπότε έχουμε :
 
   
2 22
1 1 1
f΄ x =- - -
x x+1 x+2
Η f΄ είναι παραγωγίσιμη στο  , 2  άρα :
 
   
3 33
2 2 2
f΄΄ x = + +
x x+1 x+2
Για κάθε  x , 2   έχουμε ότι : 3
x 0 ,  
3
x+1 0 ,  
3
x+2 0
άρα  f΄΄ x 0 οπότε f ΄ γνησίως φθίνουσα στο  , 2 
Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f ΄
   
2 22x x
1 1 1 1 1 1
limf΄(x) lim - - - - - - 0
x x+1 x+2 
 
   
     
   
2 22x 2 x 2
1 1 1 1 1
lim f΄(x) lim - - - - -1-
x 4 0x+1 x+2
   
 
    
 
 
Άρα το σύνολο τιμών της f ΄ είναι :    xx 2
lim f΄(x) , lim f΄(x) ,0 
 
Επειδή  θ>0 -θ ,0  
Σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ υπάρχει αριθμός  0
x , 2   ώστε :  0
f΄ x = θ
και επειδή f ΄ γνησίως φθίνουσα στο  , 2  ο αριθμός 0
x είναι μοναδικός .
Λύνει ο Γιώργος Κουρεμπανάς

9. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Είναι για x 2  ,
1 1 1
f(x)
x x 1 x 2
  
 
,
2 2 2
1 1 1
f'(x)
x (x 1) (x 2)
   
 
,
3 3 3
2 2 2
f''(x) 0
x (x 1) (x 2)
   
 
.
Η συνάρτηση f'είναι συνεχής στο ( , 2)  ως άθροισμα συνεχών και είναι γνήσια
φθίνουσα διότι f''(x) 0 στο ( , 2)  .
Τώρα
x
lim f'(x) 0

 ,
x 2
lim f'(x)

  οπότε
πεδίο τιμών της f'είναι  f' ( , 2)  =( ,0) .
Όμως 0 0         f' ( , 2)  , συνεπώς 0
x 2   ώστε 0
f'(x )   .
Στο σημείο Α 0 0)
x ,f(x η εφαπτόμενη (η) της γραφικής παράστασης της f είναι κάθετη
στην ευθεία (ε), διότι
1

 

, 
   και 1 
    .
Επειδή η f'είναι γνήσια φθίνουσα στο ( , 2)  , το 0
x είναι μοναδικό.
Άρα υπάρχει μοναδικό σημείο Α 0 0)
x ,f(x στο οποίο η εφαπτόμενη της γραφικής
παράστασης της f είναι κάθετη στην ευθεία (ε).
Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς

10. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
1η Λύση
2 2 2
3 3 3
xx 2
1 1 1
Έ f (x) 0 ά x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
2 2 2
f (x) 0 ά x ( , 2)
x (x 1) (x 2)
ύ f ή ( , 2) f (x) 0 ά f ί ί
ύ ώ ί ( lim f (x), lim 
           
 
          
 
               
          f (x)) . ( ,0)  
Για να υπάρχει σημείο της συνάρτησης στο οποίο η εφαπτομένη να είναι κάθετη στην
0
x 1 έ f (x )       
Αφού το σύνολο τιμών της f είναι ( ,0)   άρα υπάρχει θ>0 τέτοιο ώστε 0
f (x )  
και είναι μοναδικό, αφού η f ί ί ί      
2η Λύση
2 2 2
x
x 2
1 1 1
έ h(x) ά ( , 2)
x (x 1) (x 2)
Έ ό lim h(x) 0 ά ά 0( ά ) έ ώ h( ) 0
ό έ ό lim h(x) 0 ά ά 0( ά 2) έ ώ h( ) 0.
ό . Bolz


             
 
                  
                   
    0 0
03 3 3
ano [ , ] ά x ( , 2) έ ώ h(x ) ή h
ί ί ύ
2 2 2
(h (x) 0 x ( , 2)) ά x ί ό
x (x 1) (x 2)
              
     
              
 
3η Λύση
Θα μπορούσαμε και με Θ.Ε.Τ. στο [κ,λ] (από 2η Λύση) να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη
0 0
03 3 3
ό x ( , 2) έ ώ h(x ) ή h ί ί ύ
2 2 2
(h (x) 0 x ( , 2)) ά x ί ό
x (x 1) (x 2)
                 
              
 
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος

11. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α΄ τρόπος
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο  , 2  με  
   
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
    
 
.
Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο   A ,f  τέτοιο , ώστε :  f   <0 .
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο  , 2  με  
   
3 33
2 2 2
f x 0
x x 1 x 2
    
 
για κάθε  x , 2   , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο  , 2  .
Επίσης  x
lim f x 0

  και  x 2
lim f x

   , άρα είναι     f , 2 ,0     .
Επειδή   f , 2    υπάρχει  , 2    :  f    και επειδή η f είναι γνησίως
φθίνουσα στο  , 2  το  είναι μοναδικό , άρα υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής
παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση
y x 1   .
β΄ τρόπος
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο  , 2  με  
   
2 22
1 1 1
f x
x x 1 x 2
    
 
.
Έστω συνάρτηση    g x f x   με  x , 2   , 0  .
Έχουμε     x x
lim g x lim f x 0
 
      και     x 2 x 2
lim g x lim f x 
 
     , άρα
υπάρχουν αριθμοί 2     τέτοιοι ώστε  g 0  και  g 0  .
Οπότε επειδή η g είναι συνεχής στο ,    και    g g 0    από Θ. Bolzano υπάρχει
μία τουλάχιστον τιμή    , , 2       τέτοια , ώστε :    g 0 f      .
Έστω ότι υπάρχουν δύο ρίζες 1 2
,  με 1 2
2     της εξίσωσης  g x 0 , δηλ.
   1 2
g g 0    . Τότε η g είναι συνεχής στο  1 2
, , 2       , παραγωγίσιμη στο
 1 2
,  με    
   
3 33
2 2 2
g x f x
x x 1 x 2
    
 
και    1 2
g g 0    , οπότε από
Θ.Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον  1 2
,    :  g 0   , άτοπο, αφού  g x 0  στο
 , 2  .
Άρα η    g x 0 f x    έχει μοναδική ρίζα στο  , 2  .
Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης

12. ___________________________________________________________________________
17 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18