3. Geometria Plana
Resumo Teórico
Principais Fórmulas
Lei dos Senos
g
a b
R
b a
a b c
c = = = 2R
sena senb seng
Lei dos Cossenos
a2 = b2 + c2 – 2 × b × c ×cos a
g
a b2 = a2 + c2 – 2 × a × c ×cos b
b
a
b c2 = a2 + b2 – 2 × a × b ×cos g
c
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
h2=m × n b × c=a × h
b h c b2=a × m a2=b2 + c2
m n c2=a × n
a
Relações Métricas no Círculo
B
P
A
B A
A C
P D
C P
B D T
PA × PB = PC × PD PA × PB = PC × PD (PT)2 = PA × PB
1
4. Razões Trigonométricas
a
b
b c b
a sen a = , cos a = e tg a =
a a c
c
Polígonos Convexos
Sendo n= número de lados;
d= número de diagonais;
Si= soma dos ângulos internos e
Se= soma dos ângulos externos,
n(n – 3)
temos: d= Si = (n – 2) × 180º e Se = 360º
2
Teorema da Bissetriz Interna
A
b c
x y
S b c
=
x y
Teorema da Bissetriz Externa
A
b c
c
y
C S b c
B =
x y
x
2
5. Semelhança de Triângulos
Sendo k a razão de semelhança entre os DABC e DPQR, temos:
A
P
b
H c y
h z
B C Q R
a x
a b c H Área DABC
= = = =k = k2
x y z h Área DPQR
Comprimento da Circunferência
R R
a l
a
C = 2pR a em graus: l = ×(2pR)
360º
a em radianos: l = aR
Áreas
Círculo Setor Circular
R R R R
a a l
a ×p ×R2 a ×R2 l ×R
A = p ×R2 A= A= A=
360º 2 2
a em graus a em radianos
Exercícios
01. Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em
graus, do ângulo 3 é:
a. 50
b. 55
c. 60
d. 80
e. 100
3
6. 02. Considere um arco AB de 110º numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’
de 60º numa circunferência de raio 5cm. Dividindo–se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’
(ambos medidos em cm), obtém–se
11
a.
6
b. 2
11
c.
3
22
d.
3
e. 11
$
03. No quadrilátero ABCD abaixo, ABC = 150º, AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M e
N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é:
a. 10
b. 15
c. 20
d. 30
e. 40
04. O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe–se que A e B são extremidades
de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale
a. 24
b. 12
5 3
c.
2
d. 6 2
e. 2 3
05. A figura mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe–se que duas paredes
contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5m, BC = 1,2m,
EF = 4,0m, FG = 0,8m, HG = 3,5m e AH = 6,0m. Qual a área dessa sala em metros quadrados?
a. 37,2
b. 38,2
c. 40,2
d. 41,2
e. 42,2
4
7. 06. Do quadrilátero ABCD da figura, sabe–se que: os ângulos internos dos vértices A e C são retos; os
ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm.
Então os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
a. 6e 3
b. 5e 3
c. 6e 2
d. 6e 5
e. 3e 5
07. Na figura ao lado têm-se AB // CD, AB = 6cm, AD = 4 cm e os ângulos internos de vértices A e B têm
as medidas indicadas. A área do quadrilátero ABCD, em centímetros quadrados, é
a. 3
b. 2 3
c. 4 3
d. 6 3
e. 8 3
Dicas
01. Prolongue um dos segmentos entre as paralelas de forma a obter um triângulo.
Use o fato de ângulos alternos entre paralelas serem congruentes.
02. Se para 360º (uma “volta completa”) em torno da circunferência, é percorrida uma distância igual a
2pR, onde R é o raio da circunferência, qual seria a distância percorrida correspondente a 110º?
03. Teorema: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro
lado e mede a metade da medida do terceiro lado.
04. Use o fato de que todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo.
05. A seguinte figura pode ajudar:
Área do retângulo = base x altura
5
8. 06. Note que o triângulo BCD é isósceles.
Calcule seus lados e use razões trigonométricas (sen30º, cos30º) no DABD.
07. Considere a seguinte figura:
Resoluções
01. Alternativa e.
$ $ $
1. DBA = D = 1 (alternos internos)
$
2. DABC: 3 é ângulo externo, logo:
$ $ $
3 = 1+2
$
3 = 45º +55º
$
3 = 100º
02. Alternativa c.
360º 110º 55p
= Þ AB = cm
2p ×10 9
AB
360º 60º 5p
= Þ A' B'= cm
2p × 5 3
A' B'
55p
AB 11
= 9 =
5p 3
A' B'
3
03. Alternativa c.
M ponto médio de CD ü
1. ý Þ MN // BD; BD = 4cm
N ponto médio de BC þ
DADB é equilátero ü $
2. $ ý Þ DBC = 90º
ABC = 150º þ
3. Sendo ABCD a área do DBCD, tem-se:
(BC) × (BD) 10 × 4
ABCD = = Þ ABCD = 20cm2
2 2
6
9. 04. Alternativa a.
$
1. Se AB é diâmetro, o ângulo C é reto.
Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos:
AC2 + BC2 = AB2
AC2 + 62 = 102 Þ AC = 8 cm
(AC) × (BC) 8 × 6
2. ADABC = = ADABC = 24 cm2
2 2
05. Alternativa e.
1.a resolução:
AI = 6 × 2,5 = 15 m2
AII = 5 × 4,8 = 24 m2
AIII = 4 × 0,8 = 3,2 m2
AT: área total
AT = AI + AII + AIII
AT = 15 + 24 + 3,2 Û AT = 42,2 m2
2.a resolução:
Área A I E J = 7,5 × 6,8 = 51m2
Área B C D I = 1,2 × 5 = 6 m2
Área F G H J = 0,8 × 3,5 = 2,8 m2
Área da sala ABCDEFGH =
51 – 6 – 2,8 = 42,2 m2
06. Alternativa c.
1. DBCD
$
B= 45º Þ BC = 2 dm
BD2 = 22 + 22 Þ BD = 2 2
2. DBCD
x 3 x
cos 30º = Þ
= Û x = 6 dm
2 2 2 2 2
y 1 y
sen 30º = Þ = Û y = 2 dm
2 2 2 2 2
7
10. 07. Alternativa e
Consideremos E e F as projeções dos vértices D e C, nesta ordem, sobre a base AB do trapézio ABCD.
Temos:
1. DADE é congruente ao DBCF, pelo caso LAAo.
Logo, ABCD é trapézio isósceles
2. No triângulo ADE:
x 3 x
sen 60º = Þ = Û x = 2 3 cm
4 2 4
y 1 y
cos 60º = Þ = Û y = 2 cm
4 2 4
3. AB = 6 Þ 2y + EF = 6 Û 2 × 2 + EF = 6 Û EF = 2 cm = CD
4. Seja A a área do trapézio ABCD
(AB + CD) × DE (6 + 2) × 2 3
A= ÞA= Û A = 8 3 cm 2
2 2
8
