Bab 1 membahas tentang grup. Definisi grup dijelaskan sebagai himpunan yang memenuhi sifat tertutup, asosiatif, adanya unsur identitas, dan adanya unsur invers. Contoh grup diantaranya grup bilangan bulat di bawah penjumlahan, grup matriks, dan grup permutasi.

1. BAB I
GRUP
I.I Deskripsi
Struktur Aljabar merupakan suatu mata kuliah yang wajib ditempuh oleh
mahasiswa PPs UNSRI Program Studi Pendidikan Matematika. Sebelumnya
mata kuliah ini juga telah ditempuh di jenjang Strata 1. Struktur Aljabar
membahas beberapa materi, salah satunya adalah grup. Dikatakan grup jika
memenuhi syarat dari grup itu sendiri. Untuk lebih jelasnya, akan dibahas pada
Bab 1 ini.
Grup harus merupakan himpunan yang tak kosong, dimana dalam
kehidupan sehari-hari kita telah banyak mengenal himpunan. Seperti himpunan
hewan berkaki dua, himpunan nama buah-buahan yang berawalan huruf A dan
sebagainya. Contoh himpunan dalam matematika misalnya himpunan bilangan
bulat, himpunan bilangan real, himpunan bilangan asli dan lain-lain. Setelah
belajar grup, mahasiswa diharapkan mampu:
- Menjelaskan definisi dari grup
- Menentukan suatu himpunan merupakan grup
1.2 Materi
Sebelum mengetahui penjelasan dari grup ada beberapa istilah yang
diketahu terlebih dahulu.
Definisi 1.2.1
Suatu himpunan tidak kosong, G dengan operasi biner (*) didalamnya,
disebut grupoid dan dinyatakan dengan (G,*)
(Muchlisah, 2005:27)
contoh 1:
Misalkan G = dan operasi biner “*” dalam G ditentukan sebagai
berikut:
1

2. Tabel 1
Daftar Cayley G = terhadap Operasi Biner “*”
* x y z
X x y y
Y y x y
Z z y X
Table 1
Tabel ini dibaca dengan mengoperasikan unsur pada kolom pertama dengan
baris pertama sebagai berikut:
x * x = x, x * y = y, x * z = y dan seterusnya
(G,*) ini ternyata merupakan grupoid, karena operasi * merupakan operasi
biner dalam G.
Definisi 1.2.2
Suatu grupoid (G,*) disebut semi-grup, apabila terhadap operasi biner *
dalam G berlaku sifat asosiatif sebagai berikut: x,y,z G berlaku
(x * y) * z = x * (y * z)
(Muchlisah, 2005:28)
Contoh 2:
Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:
a*b = a + b + ab
Tunjukkan bahwa (N,*) adalah semigrup.
Penyelesaian:
1. Tertutup
Ambil sembarang a,b N, karena a,b N maka
a * b = a + b + ab N
jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
2. Assosiatif
2

3. Ambil sembarang a,b,c N, maka
(a * b) * c = (a + b + ab) * c
= (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c
= a + b + ab + c + ac + bc + abc
= a + b + c + ab + ac + bc + abc
a * (b * c) = a * (b + c + bc)
= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)
= a + b + c + bc + ab + ac + abc
= a + b + c + ab + ac + bc + abc
Maka untuk setiap a,b,c N berlaku
(a * b) * c = a * (b * c)
Jadi, (N,*) merupakan suatu semi grup
Definisi 1.2.3
A nonempty set of elements G is said to form a group if in G there is defined
a binary operation, called the product and donated by such that
1. a, b G implies that a b G (closed).
2. a, b, c G implies that a (b c) = (a b) c (associative law).
3. There exists an element a G such that a e = e a b = a for all a G
(the existence of an identity element in G)
4. For every a G there exist an element G such that
(the existence of inverse in G)
(Heirstein, 1975:28)
3

4. Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup, jika dalam G terdapat
operasi misalkan * dan unsur-unsur dalam G memenuhi syarat:
a) Tertutup: a,b G maka a * b = c dengan c G
b) Assosiatif: a,b,c G berlaku (a * b) * c = a * (b * c)
c) Terdapat unsur identitas e G a * e = e * a = a, a G
d) Untuk setiap a G terdapat G *a=a* =e
(Muchlisah, 2005:30)
Contoh 3:
Misalkan G = Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap
perkalian biasa (G,x)
Penyelesaian:
Daftar Cayley G = terhadap (G,x) sebagai berikut:
Tabel 2
Dfatra Cayley G = terhadap (G,x)
X -1 1
-1 1 -1
1 -1 1
a. Tertutup
G tertutup terhadap operasi perkalian biasa x karena
-1 x -1 = 1 G
-1 x 1 = -1 G
1 x -1 = -1 G
4

5. 1 x 1 =1 G
b. Assosiatif
Ambil sembarang nilai G, misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 G, maka
(a x b) x c = (-1 x (-1)) x 1 = 1 x 1 = 1
a x (b x c) = -1 x (-1 x 1) = 1 x 1 = 1
sehingga (a x b) x c = a x (b x c) = 1 maka G assosiatif
c. Adanya elemen identitas (e = 1) terhadap perkalian. Ambil sembarang
nilai dari G,
- Misalkan -1 G sehingga -1 x e = e x (-1) = -1
- Misalkan 1 G sehingga 1 x e = e x 1 = 1
Maka G mempunyai identitas
d. Adanya invers
- Ambil sembarang nilai dari G, misalkan -1 G, pilih -1 G, sehingga:
-1 x (-1) = 1 = e, maka invers dari -1 adalah -1
- Ambil sembarang nilai dari G, misalkan 1 G, pilih 1 G, sehingga:
1 x 1 = 1 x 1 = e, maka invers dari 1 adalah 1
Maka ada invers untuk setiap anggota G
Definisi 1.2.4
A group G is said to be abelian (or commutative) if for every a, b G,
. (Herstein, 1975:28)
Dalam suatu grup G bila berlaku sifat a b = b a untuk setiap anggota
5

6. a,b G, maka G disebut grup komutatif atau grup abel. Sifat a b = b a
disebut sifat komutatif.
(Muchlisah, 2005:34)
Contoh 4:
Misalkan G = Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup abelian
terhadap perkalian biasa (G,x).
Pada contoh 3 telah tebukti bahwa G = merupakan grup terhadap
perkalian biasa sehingga kita hanya membuktikan sifat komutatif
Penyelesaian:
-1 x 1 = -1 dan 1 x (-1) = -1 sehingga -1 x 1 = 1 x (-1) = 1
Jadi, (G,x) merupakan grup komutatif atau grup abel.
GLOSARIUM
Grupoid adalah suatu himpunan tidak kosong, G dengan operasi biner (*)
didalamnya, yang dinyatakan dengan (G,*)
Semi-grup adalah suatu grupoid (G,*) apabila terhadap operasi biner * dalam G
berlaku sifat asosiatif.
6

7. Grup adalah suatu himpunan tidak kosong G, jika dalam G terdapat operasi
misalkan * dan unsur-unsur dalam G memenuhi syarat tertutup, assosiatif,
identitas dan invers.
Grup komutatif atau grup abelian adalah jika dalam suatu grup G berlaku sifat
komutatif.
DAFTAR PUSTAKA
I. N, Heirsten. 1975. Topics in Algebra. New York.
Maddox, Randal. 2002. Mathematical Thinking and Writing. San Diego:
Academic Press.
7

8. Muchlisah, Nurul. 2005. Teori Grup dan Terapannya. Surakarta: LPP UNS dan
UNS Press.
SOAL – SOAL
1. Misalkan G = merupakan himpunan dari . Tunjukkan bahwa
G adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).
2. Himpunan bilangan rasional merupakan grup terhadap operasi + yang
dilambangkan (Q, + ) dengan Q = {a/b | a, b Z dan b 0}. Operasi
8

9. penjumlahan didefinisikan dengan aturan a/b + c/d = (ad + bc)/bd. Buktikan
bahwa Q merupakan grup.
3. Buktikan G adalah grup abelian, lalu untuk semua a,b G dan semua integer
n, (Buku Heirsten)
4. Misalkan G kumpulan semua real matrik 2 x 2 dimana ad – bc 0
merupakan sebuah bilangan rasional. Buktikan G membentuk sebuah grup
dengan perkalian matriks. (Buku Heirsten)
5. Misalkan G kumpulan semua real matriks 2 x 2 dimana ad .
Buktikan G membentuk sebuah grup dengan perkalian matriks. Apakah G
abelian? (Buku Heirsten)
: x → ax + b, a,b R
6.
G=
Akan dibuktikan bahwa G dengan operasi komposisi pemetaan adalah grup!
7. Define a binary operation * on Z by a * b = a + b + 1. Prove that Z with *
forms an abelian group. (Randall, 2002:214)
8. Give two reason why the set of odd integers under addition is not a group.
9. Referring to Example 13, verify the assertion that subtraction is not
associative.
10. Show that {1, 2, 3} under multiplication modulo 4 is not a group but that
{1, 2, 3, 4}under multiplication modulo 5 is a group
11. Find the inverse of the element in GL(2, Z11)
12. Tunjukkan bahwa grup GL(2, R) pada contoh 2 adalah non-Abelian, dengan
membuktikan sepasang matriks A dan B dalam GL(2, R) sehingga AB ≠ BA!
9

10. 13. Berikan sebuah contoh dari elemen-elemen grup a dan b dengan sifat bahwa
a–1ba ≠ b!
14. Artikan setiap ungkapan perkalian berikut ini kedalam pasangan
penjumlahan!
a. a2b2
b. a–2(b–1c)2
c. (ab2)–3c2
15. Suatu elemen a dan b dari sebuah grup dan suatu bilangan bulat, buktikan
bahwa (a–1ba)n = a–1bna!
16. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 2 × 2 dengan bilangan dari R dan
determinan +1 adalah sebuah grup di bawah perkalian matriks!
17. Ada bilangan bulat n > 2, tunjukkan bahwa ada paling sedikit 2 elemen dalam
U(n) yang memenuhi x2 = 1!
18. Dalam aljabar abstrak guru diharapkan memberikan seorang juru ketik sebuah
daftar dari 9 bilangan yang merupakan sebuah group di bawah perkalian
modulo 91. Sebagai ganti, 1 dari 9 bilangan secara acak dihilangkan sehingga
daftar yang muncul seperti 1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81. Bilangan manakah
yang dihilangkan? (ini benar-benar terjadi!)
19. Misalkan G sebuah grup dengan sifat berikut: Jika a, b, dan c anggota G dan
ab = ca, maka b = c. Buktikan bahwa G adalah Abelian!
20. (Hukum eksponen untuk grup Abelian). Misalkan a dan b elemen dari grup
Abelian dan misalkan n suatu bilangan bulat. Tunjukkan bahwa (ab)n = anbn.
Apakah ini juga benar untuk grup non-Abelian?
21. (Aturan kaos kaki-sepatu). Dalam sebuah grup, buktikan bahwa (ab)–1 = b–1a–
1
. Carilah contoh yang menunjukkan kemungkinan pada (ab)–2 ≠ b–2a–2.
Carilah contoh non-Abelian yang menunjukkan kemungkinan bahwa (ab)–1 =
b–1a–1 untuk beberapa elemen non-identitas berbeda a dan b. Gambarkan suatu
analogi antara pernyataan (ab)–1 = b–1a–1 dengan tindakan dari memakai dan
melepas kaos kaki dan sepatumu!
10

11. 22. Buktikan bahwa sebuah grup G adalah Abelian jika dan hanya jika (ab)–1 = a–
1 –1
b untuk semua a dan b dalam G!
23. Dalam sebuah grup, buktikan bahwa (a–1)–1 = a untuk semua a!
24. Tunjukkan bahwa himpunan {5, 15, 25, 35} adalah sebuah grup di bawah
perkalian modulo 40. Berapa elemen identitas dari grup ini? Dapatkah kamu
menunjukkan adanya hubungan antara grup ini dan U(8)!
25. Bilangan 5 dan 15 adalah koleksi diantara 12 bilangan yang membentuk
sebuah group di bawah perkalian modulo 56. Carilah semua bilangan-
bilangan itu!
26. Misalkan tabel berikut adalah sebuah tabel grup. Isilah bilangan-bilangan
yang kosong!
27. Buktikan bahwa jika (ab)2 = a2b2 dalam sebuah grup, maka ab = ba!
28. Misalkan a, b, dan c elemen dari sebuah grup. Sederhanakan persamaan axb
= c untuk x! Sederhanakan a–1xa = c untuk x!
29. Misalkan G sebuah grup terbatas. Tunjukkan bahwa bilangan dari elemen x
dari G sehingga x3 = e adalah ganjil. Tunjukkan bahwa jumlah elemen x dari
G sehingga x2 ≠ e adalah genap!
30. Buktikan bahwa jika G adalah sebuah grup dengan sifat bahwa penyiku dari
setiap elemen adalah identitas, maka G adalah Abelian!
31. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 3 × 3 dengan bilangan real dari
 1 a b
 
bentuk 0 1 c adalah grup. (Operasi perkalian didefinisikan sebagai:
 
 0 0 1
11

12. 1 ba   ba ''1  1 + aa ' b c'' ++ ba 
 10 c  c'10 = 0 1 c'+ 
   
 100   100  0 0 1 
Grup ini, sering disebut group Heisenberg setelah merain hadian Nobel ahli
fisika Werner Heisenberg, yaitu dengan akrab yang terkait Prinsip
Ketidakpastian Ilmu Pisika Kuantum Heisenberg).
32. Dalam grup terbatas, tunjukkan bahwa bilangan dari elemen non-identitas
yang memenuhi kesamaan x5 = e merupakan kelipatan dari 4!
  a a 
33. Misalkan G =
  a ∈ R,a ≠ 0 . Tunjukkan bahwa G adalah sebuah grup di
  a a 
bawah perkalian matriks!
PENYELESAIAN SOAL-SOAL
12

13. 1. Misalkan G = merupakan himpunan dari . Tunjukkan bahwa
G adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).
Penyelesaian:
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
Dari tabel daftar Cayley diatas akan ditunjukkan bahwa G =
merupakan suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+), yaitu:
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0,1,2,3,4,5 G
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=0
Karena hasilnya 0, 3, 4, 5 G, maka tertutup terhadap G.
13

14. b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari G
Misalkan a = 2, b = 4 dan c = 5 G
(a + b) + c = (2 + 4) + 5 = 0 + 5 = 5
a + (b + c) = 2 + (4 + 5) = 2 + 3 = 5
sehingga: (a + b) + c = a + (b + c) = 5, maka G assosiatif
c. Identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)
Ambil sebarang nilai dari G
• Misalkan 0 G, 0 + e = e + 0 = 0
• Misalkan 1 G, 1 + e = e + 1 = 1
• Misalkan 2 G, 2 + e = e + 2 = 2
• Misalkan 3 G, 3 + e = e + 3 = 3
• Misalkan 4 G, 4 + e = e = 4 = 4
• Misalkan 5 G, 5 + e = e + 5 = 5
Maka G ada identitas.
14

15. d. Invers
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G,
Sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 G, pilih 5 G,
Sehingga 1 + 5 = 0 = e, maka
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G,
Sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 3 G, pilih 3 G,
Sehingga 3 + 3 = 0 = e, maka
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G,
Sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 5 G, pilih 1 G,
Sehingga 5 + 1 = 0 = e, maka
Maka G ada invers.
15

16. Jadi, G = merupakan Grup terhadap penjumlahan (G,+).
2. Himpunan bilangan rasional merupakan grup terhadap operasi + yang
dilambangkan (Q, + ) dengan Q = {a/b | a, b Z dan b 0}. Operasi
penjumlahan didefinisikan dengan aturan a/b + c/d = (ad + bc)/bd. Buktikan
bahwa Q merupakan grup.
Penyelesaian:
Akan dibuktikan bahwa Q grup berdasarkan sifat-sifat bilangan bulat.
a. tertutup
Misalkan a/b , c/d Q. Berdasarkan definisi operasi penjumlahan pada
bilangan rasional didapat (ad + bc)/bd.
Karena operasi perkalian dan penjumlahan dalam bilangan bulat bersifat
tertutup maka pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat.
Karena b dan d tidak nol maka bd juga tidak nol.
Berarti penjumlahan bilangan rasional bersifat tertutup.
b. assosiatif.
Misalkan a/b, c/d dan e/f Q.
Akan ditunjukkan bahwa sifat assosiatif berlaku.
(a/b + c/d) + e/f = (ad + bc)/bd + e/f
= [(ad + bc)f + (bd)e] / (bd)f
= [(ad)f + (bc)f + (bd)e] / (bd)f
= [a(df) + b(cf) + b(de)] / b(df)
= a/b + (cf+de) / df
= a/b + (c/d + e/f)
Berarti sifat assosiatif berlaku.
c. identitas
16

17. 0/1 merupakan identitas karena 0/1 + a/b = (0.b + 1.a) / (1.b)
= (0 + a) / b
= a/b
Pada sisi lain, a/b + 0/1 = (a.1 + b.0) / (b.1)
= (a + 0) / b
= a/b
d. invers
Untuk sebarang anggota a/b Q akan ditunjukkan bahwa (-a)/b merupakan
inversnya. Jelas bahwa (-a)/b Q. Anggota (-a)/b merupakan invers a/b
karena a/b + (-a)/b = ab + b(-a)/bb
= (ab + (-a)b / bb
= 0.b / bb
=0/b
=0/1
Terbukti Q grup.
3. Diketahui : a,b G bilangan integer n,
Ditanya : buktikan G adalah grup abelian!
Penyelesaian:
a) Ambil sembarang G
G (tertutup)
b) Ambil G
17

18. c) Ambil 1 G
memiliki elemen e = 1
d) Ambil G
G
, mempunyai invers
e) Sifat komutatif
=
18

19. (komutatif)
Jadi, G adalah grup abelian
4. Diketahui: matriks 2 x 2 dengan a, b, c, d R
ad – bc Q
Ditanya: Buktikan G membentuk sebuah grup dengan perkalian matriks
Penyelesaian:
a) Ambil matriks 2 x 2 sembarang
, R
Jadi, (G, tertutup
b) Ambil matriks 2 x 2
Akan dibuktikan
Bukti
•
19

20. •
=
Terbukti bersifat assosiatif
c) Memiliki identitas
Ambil sembarang
Elemen identitas I =
Akan dibuktikan:
Bukti:
=
Terbukti elemen identitas berupa matriks satuan
20

21. d) Memiliki invers
Ambil sembarang
Missal: P =
Det P = ad – bc
=
=
=
Terbukti memiliki invers
Jadi, G membentuk sebuah grup
21

22. 5. Diketahui: matriks 2 x 2 dengan a, b, d R
ad
Ditanya: Apakah G abelian?
Penyelesaian:
a) Ambil matriks 2 x 2 sembarang
, R
Jadi, (G, tertutup
b) Ambil matriks 2 x 2
Akan dibuktikan
Bukti:
•
22

23. •
=
Terbukti bersifat assosiatif
c) Memiliki identitas
Ambil sembarang
Elemen identitas I =
Bukti:
=
Terbukti elemen identitas berupa matriks satuan
d) Memiliki invers
Ambil sembarang
23

24. Missal: M =
Det M = ad – 0 = 0
=
=
Terbukti memiliki invers
e) Ambil matriks 2 x 2 sembarang
Akan dibuktikan
bukti
24

25. Tidak sama
•
•
Terbukti tidak komutatif
Jadi, G bukan grup abelian karena tidak bersifat komutatif
6. Diketahui: : x → ax + b, a,b R
G=
Ditanya: G dengan operasi komposisi pemetaan adalah grup!
Penyelesaian:
a) Ambil ,
=
=
=
Karena dan , maka (sifat tertutup)
b) Ambil ,
25

26. =
= sifat assosiatif
c) Ambil ,
26

27. Jadi, elemen identitas pada G adalah x untuk setiap
d) Ambil ,
Terbukti memiliki invers
Jadi, G dengan operasi komposisi pemetaan adalah grup.
7. Define a binary operation * on Z by a * b = a + b + 1. Prove that Z with *
forms an abelian group.
Penyelesaian:
Sifat – sifat grup abelian:
a. tertutup
27

28. misal a, b Z, a * b = a + b + 1 Z (pasti tertutup)
b. assosiatif
misal a, b, c Z
(a * b) * c = a * (b * c)
(a * b) * c = (a + b + 1) * c
=a+b+1+c+1
=a+b+c+2
a * (b * c) = a * (b + c + 1)
=a+b+c+1+1
=a+b+c+2
Karena (a * b) * c = a * (b * c) maka assosiatif
c. identitas
misal a Z, a * e = e * a = a
a*e=a
a+e+1=a
e+1=0
e = -1 Z
28

29. misal diambil a = 2, maka a * e = a + e + 1 = 2 + (-1) + 1 = 2
jadi G ada identitas.
d. invers
misal a Z, = =e
=e
= -1
= -2
= -2 –
misal diambil = 2, maka =e
2+ + 1 = -1
= -4
(membuktikan bahwa e = -1)
=e
2 + (-4) + 1 = e
29

30. e = -1 (menghasilkan identitas)
jadi G ada invers.
e. Komutatif
a, b Z
a*b=b*a
a*b=a+b+1
b*a=b+a+1=a+b+1
karena a * b = b * a maka terpenuhi komutatif.
Jadi terbukti bahwa Z merupakan grup abelian.
8. Give two reason why the set of odd integer under addition is not a group.
Penyelesaian:
a. Tidak tertutup karena, ambil a,b odd integer
Dengan a = 2n + 1
b = 2m + 1
+
a + b = 2n + 2m + 2
= 2(n + m) + 2 odd integer
b. Tidak memiliki elemen identitas karena 0 odd integer.
9. Referring to Example 13, verify the assertion that subtraction is not
associative.
Penyelesaian:
30

31. Misal G = {1, 2’ 5}
?
Akan dibuktikan
Bukti:
= -6
=4
Terbukti G tidak assosiatif.
10. Show that {1, 2, 3} under multiplication modulo 4 is not a group but that
{1, 2, 3, 4} under multiplication modulo 5 is a group.
Penyelesaian:
Diketahui: Z4 = {1, 2, 3}
Z5 = {1, 2, 3, 4}
Ditanya: Buktikan bahwa a) Z4 bukan grup pada operasi perkalian
b) Z5 bukan grup pada operasi perkalian
Bukti
a) Z4 = {1, 2, 3}
1 2 3
1 1 2 3
2 2 0 2
3 3 2 1
Berdasarkan table cayley Z4 diatas, terbukti tidak tertutup karena 0 Z4
Sehingga Z4 terbukti bukan grup terhadap operasi perkalian.
b) Z5 = {1, 2, 3, 4}
31

32. 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
Berdasarkan table cayley bahwa Z5
1) Tertutup
2) Assosiatif
3) Elemenidentitasadalah 1
4) Setiapelemenmemilki invers yaitu 1 inversnya 1
2 inversnya 3
3 inversnya 2
4 inversnya 4
Sehingga terbukti Z5 adalah grup terhadap operasi perkalian.
11. Find the inverse of the element in GL(2, Z11).
Penyelesaian:
32

33. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9
3 0 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8
4 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7
5 0 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6
6 0 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5
7 0 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4
8 0 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3
9 0 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2
10 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
33

34. ………………(1)
……………….(2)
-
………………(3)
34

35. ………………….(4)
Jadi invers adalah
12. Grup GL(2, R) pada contoh 2 adalah non-Abelian, dengan membuktikan
sepasang matriks A dan B dalam GL(2, R) sehingga AB ≠ BA!
Bukti:
35

36.  1 ba 1  2 ba 2
A=   B=  
dc 1 1  2 dc 2
 1 ba 1 2 ba 2 a1 2+ b1c2 a1b2+ bd21 
AB =     =  
dc 1 1 2 dc 2 c1a2+ d1c2 c1b2+ d 21 
36

37.  2 ba 2 1 ba 1 a21+ b2c1 a2b1+ 2d1
BA=    =  
dc 2 2 1 dc 1 c2a1+ d2c1 c2b1+ d2 1
a1 2+ b1c2 a1b2+ b1d2 a2 1+ b2c1 a2b1+ b2d1
AB≠ BAkarena  ≠  
c 1a2+ d1c2 c1b2+ d1 2 c2a1+ d2c1 c2b1+ d2 1
∴ Terbukti GL(2, R) non-Abelian dengan AB ≠ BA
13. Sebuah contoh dari elemen-elemen grup a dan b dengan sifat bahwa a–1ba
≠ b!
37

38. Penyelesaian:
Contoh dari elemen-elemen grup a dan b dengan sifat bahwa a–1ba ≠ b adalah
untuk A dan B adalah matriks
Misalkan:
38

39.  1 2  1 
A=   B=  
0 1 1 2
−1 1 −2 1 −2 1 −2
A =  =  = 
detA0 1 0 1 0 1
39

40. −1 1 −21 2 12 1−− 4 2
A B =    =   
0 1 20 1 01 0++ 2 1
−1 31 2
=   
1 20 1
−1+0 −23 −1 5 40

41.  1 −− 5  11 
 1 4 21≠   yang menyebabkan A–1BA ≠ B
  
14. Setiap ungkapan perkalian berikut ini kedalam pasangan penjumlahan!
a. a2b2 = (a + a)(b + b) = 2a.2b = 4ab
b. a–2(b–1c)2 = [(– a) + (–a)]( –bc)2 = (–2a)[( –bc) + (–bc)] = (–2a)( –2bc) =
4abc
c. (ab2)–3c2 = e
(2ab)–32c = e
–3(2ab).2c = e
–12abc = e
15. Suatu elemen a dan b dari sebuah grup dan suatu bilangan bulat, buktikan
bahwa (a–1ba)n = a–1bna!
Bukti:
(a–1ba)n = (a–1.a.b)n = (e. b)n = b
a–1bna = a–1.a.bn = e.bn = bn
∴Terbukti bahwa (a–1ba)n = a–1bna
16. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 2 × 2 dengan bilangan dari R dan
determinan +1 adalah sebuah grup di bawah perkalian matriks!
Penyelesaian:
41

42.  a b 
Misal: SL( 2, R) =    , a,b,c, d ∈ R, ad − bc = 1 adalah sebuah grup di bawah
 c d 
perkalian matriks.
Bukti:
a. Assosiatif
42

43.   1 ba 1  a2 b2   a3 b3  a 21 + bc21 ab21 + bd21   3 ba 3
    =   
 dc c d  dc a c + c d b c + d dc
  1 1  2 2   3 3  12 12 12 21   3 3
 a a321 + abc213 + ab c321 + bc d231 a b321 + b c231 + ab d321 + bd 321 
= d
a c132 + a c d123 + b c 312 + c d 213 a bc132 + bc d123 + b cd312 + d 321 
43

44.  a1 b1   a2 b2  a3 b3   a1 b1  2aa 3 + b2c3 a2b3 + b2d3
      =    
 c d  c d c d  c d a c + c d b c + dd
 1 1   2 2   3 3   1 1  3 2 3 2 3 2 2 3
 a1 2a3+ a1b2c3+ a b13 c2 + b1c3d2 a1 2b3 + a1b2d3+ b1 3c2 + b1 2dd 3 
= ddd+dcb+dcb+cba
∴
a 2a c13 + b2c1 3 + a3c2d1+ c3d1 2 2 13 2 1 3 3 2 1 1 2 3
 a1 2a3+ a b13 c2 + a1b2c3+ b1c3d2 a1 2b3 + b1 3c2 + a1b2d3 + b1 2dd 3 
= ddd+dcb+dcb+cba
a 2a c13 + a3c2d1+ b2c1 3+ c3d1 2 2 13 3 2 1 2 1 3 1 2 3 44

45. 12 a3b123
 1 0
b. Elemen identitasnya adalah
 0 1
 
−b 
   =
 d
 ad − bc ad − bc 
c. Invers:  
 −c a 
 ad − bc ad − bc 
c d  c d 
a b 
∴Terbukti bahwa SL( 2, R) =    , a,b,c, d ∈ R, ad − bc = 1 adalah sebuah grup di
 c d 
12 3123
bawah perkalian matriks.
17. Ada bilangan bulat n > 2, tunjukkan bahwa ada paling sedikit 2 elemen dalam
U(n) yang memenuhi x2 = 1!
Penyelesaian:
U(10) = {1, 3, 5, 7, 9} perkalian modulo 10 yang memenuhi x2 = 1 adalah 1
dan 9 karena 12 = 1 dan 92 = 1
18. Dalam aljabar abstrak guru diharapkan memberikan seorang juru ketik sebuah
daftar dari 9 bilangan yang merupakan sebuah group di bawah perkalian
modulo 91. Sebagai ganti, 1 dari 9 bilangan secara acak dihilangkan sehingga
45

46. daftar yang muncul seperti 1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81. Bilangan manakah
yang dihilangkan? (ini benar-benar terjadi!)
Penyelesaian:
U(91) = {1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81}
Tabel Cayley
Mod 91 1 9 16 22 53 74 79 81
1 1 9 16 22 53 74 79 81
9 9 81 53 16 22 29 74 1
16 16 53 74 79 29 1 81 22
22 22 16 79 29 74 81 9 53
53 53 22 29 74 79 9 1 16
74 74 29 1 81 9 16 22 79
79 79 74 81 9 1 22 53 29
81 81 1 22 53 16 79 29 9
Berdasarkan tabel Cayley terlihat bahwa bilangan yang dihilangkan adalah 29.
19. Misalkan G sebuah grup dengan sifat berikut: Jika a, b, dan c anggota G dan
ab = ca, maka b = c. Buktikan bahwa G adalah Abelian!
Bukti:
Andaikan ab ≠ ca, maka b ≠ c, ini menunjukkan bahwa ab ≠ ba.
Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa ab = ca, maka b = c sehingga ab =
ba
∴Terbukti bahwa G adalah Abelian
20. (Hukum eksponen untuk grup Abelian). Misalkan a dan b elemen dari grup
Abelian dan misalkan n suatu bilangan bulat. Tunjukkan bahwa (ab)n = anbn.
Apakah ini juga benar untuk grup non-Abelian?
Penyelesaian:
Misalkan {0, 1, 2} di bawah operasi penjumlahan modulo 3 adalah grup
Abelian.
Bukti (ab)n = anbn
46

47. Contoh: (1.2)2 = 22 = 1
12.22 = 1.1 = 1
∴(1.2)2 = 12.22
(ab)n = anbn tidak untuk grup non-Abelian karena itu tidak berlaku untuk
matriks. Dalam hal ini, (ab)n ≠ anbn.
21. (Aturan kaos kaki-sepatu). Dalam sebuah grup, buktikan bahwa (ab)–1 = b–1a–
1
. Carilah contoh yang menunjukkan kemungkinan pada (ab)–2 ≠ b–2a–2.
Carilah contoh non-Abelian yang menunjukkan kemungkinan bahwa (ab)–1 =
b–1a–1 untuk beberapa elemen non-identitas berbeda a dan b. Gambarkan suatu
analogi antara pernyataan (ab)–1 = b–1a–1 dengan tindakan dari memakai dan
melepas kaos kaki dan sepatumu!
Penyelesaian:
a. Bukti bahwa (ab)–1 = b–1a–1
(ab)–1.ab = e
b–1a–1.ab = a–1.a.b–1.b = e.e = e2 = e
∴Terbukti ab)–1 = b–1a–1
b. Contoh yang menunjukkan kemungkinan pada (ab)–2 ≠ b–2a–2
Misalkan:
47

48.  1   1 0
A=   B=  
0 1 1 
−2 −2
−2 1  0 21
(AB)=  = 
0 1  1 
1 
111 5 3 48

49. c. Contoh non-Abelian yang menunjukkan kemungkinan bahwa (ab)–1 = b–1a–
1
untuk beberapa elemen non-identitas berbeda a dan b adalah jika salah
 − 1 0
satu elemen a dan b memuat
 0 − 1 .
 
Misalnya:
49

50. −10 1 
=  BA = 
0 −1 12
−1−10 −12−1
=  BA = 
0 −1 −1 
−1 −1
−1−10  −1  −2 1
(AB)=  = =  =
0 −1 2 −1 2 −1 1 −
50

51. d. Gambaran suatu analogi antara pernyataan (ab)–1 = b–1a–1 dengan tindakan
dari memakai dan melepas kaos kaki dan sepatu:
Misalkan:
a = memakai kaos kaki
b = memakai sepatu
a –1 = melepas kaos kaki
b–1 = melepas sepatu
Jika kita mempunyai kaos kaki dan sepatu yang akan dipakai. Terlebih
dahulu, kita memakai kaos kaki lalu memakai sepatu. Untuk melepasnya,
terlebih dahulu melepas sepatu lalu melepas kaos kaki.
22. Buktikan bahwa sebuah grup G adalah Abelian jika dan hanya jika (ab)–1 = a–
1 –1
b untuk semua a dan b dalam G!
Penyelesaian:
a. Jika grup G adalah Abelian, (ab)–1 = a–1b–1 untuk semua a dan b dalam G
Bukti:
Tabel Cayley
a b
a a b
b b a
• Berdasarkan tabel Cayley berlaku sifat tertutup dan assosiatif
• Elemen identitasnya adalah a
• Setiap elemen mempunyai invers.
Invers dari a adalah a
Invers dari b adalah b
• Komutatif karena ab = ba
Karena grup G adalah Abelian, maka (ab)–1 = a–1b–1
b. Jika (ab)–1 = a–1b–1 untuk semua a dan b dalam G, maka grup G adalah
Abelian
Bukti:
51

52. (ab)–1.ab = e
b–1a–1.ab = a–1.a.b–1.b = e.e = e2 = e
Karena (ab)–1 = a–1b–1, maka grup G adalah Abelian
23. Dalam sebuah grup, buktikan bahwa (a–1)–1 = a untuk semua a!
Bukti:
Misalkan a, a–1, dan (a–1)–1 memenuhi:
a.a–1 = e = a–1.a dan a–1. (a–1)–1 = e = (a–1)–1. a–1, maka:
a = a. e = a.[a–1. (a–1)–1] = (a. a–1). (a–1)–1 = e. (a–1)–1 = (a–1)–1
∴Terbukti bahwa (a–1) –1 = a
24. Tunjukkan bahwa himpunan {5, 15, 25, 35} adalah sebuah grup di bawah
perkalian modulo 40. Berapa elemen identitas dari grup ini? Dapatkah kamu
menunjukkan adanya hubungan antara grup ini dan U(8)!
Penyelesaian:
- Himpunan {5, 15, 25, 35} adalah sebuah grup di bawah perkalian modulo
40
Bukti:
Tabel Cayley
mod 40 5 15 25 35
5 25 35 5 15
15 35 25 15 5
25 5 15 25 35
35 15 5 35 25
• Berdasarkan tabel Cayley berlaku sifat tertutup dan assosiatif
• Elemen identitasnya adalah 25
• Setiap elemen mempunyai invers
Invers dari 5 adalah 5
Invers dari 15 adalah 15
Invers dari 25 adalah 25
Invers dari 35 adalah 35
52

53. ∴ Terbukti bahwa Himpunan {5, 15, 25, 35} adalah sebuah grup di bawah
perkalian modulo 40
- Elemen identitas dari grup U(40) adalah 25
- Hubungan antara U(40) dan U(8) adalah sama-sama mempunyai 4 anggota
masing-masing U(40) = {5, 15, 25, 35} dan U(8) = {1, 3, 5, 7} sehingga
elemen-elemen U(40) merupakan 5 kali dari elemen-elemen U(8).
25. Bilangan 5 dan 15 adalah koleksi diantara 12 bilangan yang membentuk
sebuah group di bawah perkalian modulo 56. Carilah semua bilangan-
bilangan itu!
Penyelesaian:
Tabel Cayley
mod 56 5 15 1 19 25 9 13 23 27 39 3 45
5 25 19 5 39 13 45 9 3 23 27 15 1
15 19 1 15 5 39 23 27 9 13 25 45 3
1 5 15 1 19 25 9 13 23 27 39 3 45
19 39 5 19 25 27 3 23 45 9 13 1 15
25 13 39 25 27 9 1 45 15 3 23 19 5
9 45 23 9 3 1 25 5 39 19 39 27 13
13 9 27 13 23 45 5 1 19 15 3 39 25
23 3 9 23 45 15 39 19 25 5 1 13 27
27 23 13 27 9 3 19 15 5 1 45 25 39
39 27 25 39 13 23 39 3 1 45 9 5 19
3 15 45 3 1 19 27 39 13 25 5 9 23
45 1 3 45 15 5 13 25 27 39 19 23 9
∴Berdasarkan tabel Cayley, 12 bilangan tersebut adalah {1, 3, 5, 9, 13, 15,
19, 23, 25, 27, 39, 45}
26. Misalkan tabel berikut adalah sebuah tabel grup. Isilah bilangan-bilangan yang
kosong!
e a b c d
e e a b c d
a a b c d e
53

54. b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c
27. Buktikan bahwa jika (ab)2 = a2b2 dalam sebuah grup, maka ab = ba!
Bukti:
(ab)2 = a2b2 × (ab)–1
(ab)2(ab)–1 = a2b2 (ab)–1
(ab)(ab)(ab)–1 = b2b–1a2a–1
ab.e = b.b.b–1.a.a.a–1
ab = b.e.a.e
ab = ba
∴Terbukti bahwa jika (ab)2 = a2b2 dalam sebuah grup, maka ab = ba
28. Misalkan a, b, dan c elemen dari sebuah grup. Sederhanakan persamaan axb
= c untuk x! Sederhanakan a–1xa = c untuk x!
Penyelesaian:
a. axb = c × (ab)–1
x.(ab)(ab)–1 = c(ab)–1
x.e = c(ab)–1
x = c(ab)–1
b. a–1xa = c
a–1.a.x = c
e.x = c
x=c
29. Misalkan G sebuah grup terbatas. Tunjukkan bahwa bilangan dari elemen x
dari G sehingga x3 = e adalah ganjil. Tunjukkan bahwa jumlah elemen x dari
G sehingga x2 ≠ e adalah genap!
Penyelesaian:
54

55. - Bilangan dari elemen x dari G sehingga x3 = e adalah ganjil yaitu misal x =
1, maka 13 = 1 = e (1 ganjil). Ini terbatas hanya untuk bilangan 1.
- Bilangan dari elemen x dari G sehingga x2 ≠ e adalah genap yaitu misal x =
2 maka 22 = 4 ≠ 1 (2 genap). Ini terbatas hanya untuk semua bilangan
genap.
30. Buktikan bahwa jika G adalah sebuah grup dengan sifat bahwa penyiku dari
setiap elemen adalah identitas, maka G adalah Abelian!
Bukti:
Dalam tabel grup, setiap elemen hanya muncul satu kali setiap baris dan
kolomnya. Misalkan a, b, c, d, ∈G, dengan tabel Cayley seperti berikut!
a B c d
a a B c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a
Berdasarkan tabel Cayley tersebut, terbukti bahwa jika G adalah sebuah grup
dengan sifat bahwa penyiku dari setiap elemen adalah identitas, maka G
adalah Abelian.
31. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 3 × 3 dengan bilangan real dari
 1 a b
 
bentuk 0 1 c adalah grup. (Operasi perkalian didefinisikan sebagai:
 
 0 0 1
55

56. 1 ba   ba ''1  1 + aa ' b c'' ++ ba 
 10 c  c'10 = 0 1 c'+ 
   
 100   100  0 0 1 
Grup ini, sering disebut group Heisenberg setelah merain hadian Nobel ahli
fisika Werner Heisenberg, yaitu dengan akrab yang terkait Prinsip
Ketidakpastian Ilmu Pisika Kuantum Heisenberg).
Penyelesaian:
a. Assosiatif
56

57. 1 a b 1 a'
 0
0 1 c  1
0 0 1 0 0
 
1 a +a' b'+a
0 1 c

0
 0
1 a + a '+a" b"
0 1

0
 0
1 a + a '+a" b+
0 1

0
 0 57

58. b. Identitas
 1 a b  1 0 0
   
Identitas dari 0 1 c adalah 0 1 0
   
 0 0 1  0 0 0
c. Invers
 1 a b
A =  0 1 c
 0 0 1
−1 1
A = Adj A
A
58

59.  1 0 0
AdA j −= a 1 0
 
 ac− b − c 1
A= 1
 1 0 0  1 0 0
− 1 1   
A  −= a 1 0  −= a 1 0
1
 ac− b − c 1  ac− b − c 1
59

60. ∴Terbukti himpunan semua matriks 3 × 3 dengan bilangan real dari
 1 a b
 
bentuk 0 1 c adalah group.
 
 0 0 1
32. Dalam grup terbatas, tunjukkan bahwa bilangan dari elemen non-identitas
yang memenuhi kesamaan x5 = e merupakan kelipatan dari 4!
Penyelesaian:
Bilangan dari elemen non-identitas yang memenuhi kesamaan x5 = e
merupakan kelipatan dari 4 adalah:
Misalkan grup itu adalah perkalian modulo 341, maka:
x5 = e di mana 45 = 1, sudah jelas bahwa 45 merupakan kelipatan dari 4.
  a a 
33. Misalkan G =
  a ∈ R,a ≠ 0 . Tunjukkan bahwa G adalah sebuah grup di
  a a 
bawah perkalian matriks!
Penyelesaian:
60

61. a1 2 a3  21a2 123a 4123 a123
    =  = 
a a 2a a 4 a
-
1 2 3  12 123 123 123
61

62. a1 2a3  a1 223 a23412a3 123
   =  = 
a a  a 2 a 4a
 1   2  3   1  2 3 2 3  1 2 3 1 2 3
62

63.  a a  1 0
- Elemen identitas dari
 a a adalah
 0 1
   
 a a
- Tidak mempunyai invers karena determinan dari
 a a adalah 0
 
  a a 
∴G =
  a ∈ R,a ≠ 0 bukan sebuah grup di bawah perkalian matriks
  a a 
63

64.  a a  1 0
- Elemen identitas dari
 a a adalah
 0 1
   
 a a
- Tidak mempunyai invers karena determinan dari
 a a adalah 0
 
  a a 
∴G =
  a ∈ R,a ≠ 0 bukan sebuah grup di bawah perkalian matriks
  a a 
63

65.  a a  1 0
- Elemen identitas dari
 a a adalah
 0 1
   
 a a
- Tidak mempunyai invers karena determinan dari
 a a adalah 0
 
  a a 
∴G =
  a ∈ R,a ≠ 0 bukan sebuah grup di bawah perkalian matriks
  a a 
63

66.  a a  1 0
- Elemen identitas dari
 a a adalah
 0 1
   
 a a
- Tidak mempunyai invers karena determinan dari
 a a adalah 0
 
  a a 
∴G =
  a ∈ R,a ≠ 0 bukan sebuah grup di bawah perkalian matriks
  a a 
63