Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Phương trình tích phân abel tổng quát trên trục thực, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ THỊ HỒNG ANH
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG
QUÁT TRÊN TRỤC THỰC
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI - NĂM 2015

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ THỊ HỒNG ANH
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG
QUÁT TRÊN TRỤC THỰC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
HÀ NỘI - NĂM 2015

3. Mục lục
Mở đầu 2
1 Tính chất của tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann 3
1.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Phương trình tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tính chất của tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Đổi biến và tính tích phân từng phần . . . . . . . . . 5
1.3.2 Tính liên tục H¨older của tích phân dạng Cauchy . . . 7
1.3.3 Công thức Sokhotski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 Giá trị biên của đạo hàm trong tích phân kỳ dị . . . . 17
1.3.5 Đạo hàm của giá trị biên trong tích phân kỳ dị . . . . 18
1.4 Bài toán bờ Riemann trong miền đơn liên . . . . . . . . . . . 19
1.5 Bài toán bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Chỉ số của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Bài toán thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Hàm chính tắc của bài toán thuần nhất . . . . . . . . 25
1.5.4 Bài toán bờ Riemann không thuần nhất . . . . . . . . 26
1.5.5 Bài toán bờ Riemann trên nửa mặt phẳng . . . . . . . 29
1.6 Phương trình đặc trưng của phương trình tích phân kỳ dị với
nhân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.1 Chuyển phương trình đặc trưng về bài toán bờ Riemann 34
1.6.2 Công thức nghiệm của phương trình đặc trưng . . . . 35
2 Phương trình tích phân Abel trên đoạn hữu hạn 39
2.1 Phương trình tích phân Abel cổ điển . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh bởi hàm số . . . . . 41
2.3 Phương trình tích phân Abel suy rộng trên đoạn hữu hạn . . 43
i

4. 2.3.1 Tích phân với nhân lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 Phương trình tích phân Abel suy rộng . . . . . . . . . 44
2.3.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Phương trình tích phân Abel trên toàn trục thực 50
3.1 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực . . . . . . . . . . 50
3.2 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực với phản xạ . . . . 52
3.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Kết luận 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59
ii

5. Mở đầu
Lý thuyết các toán tử tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann của hàm
giải tích biến phức đã được xây dựng và phát triển mạnh mẽ trong vòng
nửa thế kỷ 20, từ năm 1920 đến 1970. Các kết quả này gắn liền với tên tuổi
nhiều nhà toán học nổi tiếng như Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua,
Carleman. . . . Từ nhiều năm nay, chuyên đề về toán tử tích phân kỳ dị và
gắn với nó là các bài toán bờ của lý thuyết hàm giải tích đã được đưa vào
chương trình chính thống cho các sinh viên năm cuối bậc đại học, các học
viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích. Chính vì vậy, tác
giả đã chọn đề tài
"Phương trình tích phân Abel tổng quát trên trục thực."
Đề tài nhằm một phần nào đáp ứng nhu cầu mong muốn của bản thân về
một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng
dạy Toán cao cấp của mình trong một trường đại học. Luận văn được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Tác
giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến người thầy của
mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và mong muốn được học hỏi
thầy nhiều hơn nữa.
Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng
đào tạo Đại học và sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại
học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, gia đình,
bạn bè cùng toàn thể các học viên khóa 2013-1015 đã tạo mọi điều kiện, giúp
đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để tác giả hoàn thành
khóa học và hoàn thành bản luận văn này.
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1. Tính chất của tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann.
Chương 2. Phương trình tích phân Abel trên đoạn hữu hạn.
1

6. Chương 3. Phương trình tích phân Abel trên toàn trục thực.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và nghiêm túc trong quá trình nghiên cứu,
nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên kết quả đạt được trong luận
văn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi thiếu xót. Vì vậy tác giả mong
nhận được những ý kiến đóng góp, chỉ bảo quý báu của quý thầy cô, các bạn
học viên để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Học viên thực hiện
Vũ Thị Hồng Anh
2

7. Chương 1
Tính chất của tích phân kỳ dị và bài
toán bờ Riemann
1.1 Khái niệm phương trình tích phân
Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Phương trình tích phân là một phương trình mà
trong đó hàm số chưa biết có xuất hiện dưới dấu tích phân.
Ví dụ 1.1. Xét các phương trình tích phân
x
a
K(x, t)ϕ(t) dt = f(x) (1.1)
và
ϕ(x) +
x
a
K(x, t)ϕ(t) dt = f(x). (1.2)
Phương trình (1.1) được gọi là phương trình tích phân loại 1, còn phương
trình (1.2) được gọi là phương trình tích phân loại 2, trong đó K(x, t), f(x)
là các hàm đã biết, ϕ(x)là hàm chưa biết. Hàm K(x, t) được gọi là nhân của
phương trình tích phân.
1.2 Phương trình tích phân kỳ dị
Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích
phân có nhân K(x, t) là hàm không bị chặn trên miền lấy tích phân.
3

8. Dựa vào tính chất không bị chặn của nhân, chúng ta có thể phân loại phương
trình tích phân kỳ dị thành 2 loại. Phương trình tích phân kỳ dị mạnh và
phương trình tích phân kỳ dị yếu. Phương trình tích phân kỳ dị yếu là phương
trình tích phân với nhân K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân
b
a
K(x, t) dt
tồn tại theo nghĩa Riemann, với mọi x ∈ (a, b).
Phương trình tích phân kỳ dị mạnh là phương trình tích phân kỳ dị mà nhân
K(x, t) có tính chất là tồn tại x ∈ (a, b) sao cho
b
a
K(x, t) dt
không tồn tại theo nghĩa Riemann.
Ví dụ 1.2. Nhân K(x, t) =
L(x, t)
|x − t|α
,
với L(x, t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, t) = 0 và
α là hằng số (0 < α < 1). Khi đó tích phân
b
a
K(x, t) dt với a < x < b
tồn tại theo nghĩa Riemann. Do vậy tương ứng chúng ta có được phương
trình tích phân kỳ dị yếu.
Nhân
K(x, t) = L(x, t). ln |x − t|,
với L(x,t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) = 0. Khi
đó phương trình tích phân
ϕ(x) + λ
b
a
L(x, t). ln |x − t|.ϕ(t)dt = f(x)
là phương trình tích phân kỳ dị yếu.
Nhân
K(x, t) =
L(x, t)
x − t
với a < x < b,
4

9. với L(x, t) là hàm khả vi và L(x, x) = 0. Khi đó nhân K(x, t) nhận điểm
t = x là điểm kỳ dị mạnh. Do vậy phương trình tích phân tương ứng là
phương trình tích phân kỳ dị mạnh.
1.3 Tính chất của tích phân kỳ dị
1.3.1 Đổi biến và tính tích phân từng phần
Tích phân kỳ dị có một số tính chất hoàn toàn giống như đối với tích
phân thông thường, đó là tích phân của một tổng luôn bằng một tổng các
tích phân và hằng số nhân trong biểu thức tích phân có thể đưa ra ngoài dấu
tích phân. Tiếp theo ta xét công thức đổi biến và cách tính tích phân từng
phần.
Khái niệm về giá trị chính của tích phân dạng Cauchy quan trọng ở chỗ là
lân cận cần phải loại bỏ được chọn một cách đối xứng theo điểm khảo sát.
Thực vậy, trong trường hợp ε1 = ε2 thì limε1,ε2→0
ε1
ε2
= 1, và khi các điểm
t1, t2 nằm trên cùng đường tròn tâm t thì (|t2 − t| = |t1 − t|) và vì vậy
lim
t1→t
t2→t
t2 − t
t1 − t
= 1 (1.3)
Định lý 1.1 (Quy tắc đổi biến). Khi hàm số τ = α(ζ) có đạo hàm liên tục
α (ζ) không triệt tiêu và đồng thời là ánh xạ một - một từ chu tuyến Γ vào
chu tuyến Γ , thì
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ =
Γ
ϕ[α(ζ)]α (ζ)
α(ζ) − α(ξ)
dζ (1.4)
trong đó t = α(ξ)
Chứng minh. Ta loại bỏ phần cung l đủ nhỏ của chu tuyến Γ thuộc
đường tròn tâm tại điểm ξ. Giả sử ξ1 và ξ2 là các điểm đầu và cuối tương
ứng với các điểm của chu tuyến Γ là t1 và t2.
Ta xác định giá trị chính của tích phân như sau:
Γ
ϕ[α(ζ)]α (ζ)
α(ζ) − α(ξ)
dζ = lim
ξ1,ξ2→ξ
Γ −l
ϕ[α(ζ)]α (ζ)
α(ζ) − α(ξ)
dζ
Thực hiện phép đổi biến ζ = β(τ), trong đó β(τ) là hàm số ngược của
α(ζ) (theo điều kiện của định lí hàm ngược thì tồn tại duy nhất), ta thấy vế
5

10. phải của hệ thức đưa về được biểu thức
lim
t1,t2→t
Lt
ϕ(τ)
τ − t
dτ
Các điểm t1 và t2 là không đối xứng qua t trên Γ, tuy nhiên ta sẽ chỉ ra rằng
chúng vẫn thỏa mãn điều kiện (1.3).
Khai triển hàm số α(ζ) vào chuỗi Taylor tại điểm ζ đến số hạng thứ
hai, ta nhận được
t2 = α(ξ2) = t + [α (ξ) + ε2(ξ2, ξ)](ξ2 − ξ),
t1 = α(ξ1) = t + [α (ξ) + ε1(ξ1, ξ)](ξ1 − ξ).
Do đó, giả thiết về tính liên tục của α (ζ), thì ε1 và ε2 tiến tới zero kéo theo
ξ1, ξ2 → ξ.
Do đó
t2 − t
t1 − t
=
α (ξ) + ε2
α (ξ) + ε1
ξ2 − ξ
ξ1 − ξ
và ngược lại
lim
t1→t
t2→t
t2 − t
t1 − t
= lim
ξ1→t
ξ2→ξ
ξ2 − ξ
ξ1 − ξ
= 1
Điều kiện biến đổi trên là tương ứng một - một và đóng vai trò cốt yếu, vì
nó đảm bảo sự tồn tại của tích phân thường.
Định lý 1.2 (Công thức tích phân từng phần). Khi ϕ(τ) là hàm khả vi liên
tục và điểm t không trùng với đầu mút của chu tuyến Γ (a hoặc b) thì công
thức tích phân từng phần là đúng:
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ = ±iπϕ(t) + ϕ(b) ln(b − t) − ϕ(a) ln(a − t) −
Γ
ϕ (τ) ln(τ − t)dτ
(1.5)
Số hạng thứ nhất lấy dấu dương khi chọn lát cắt nối điểm t với điểm vô
cùng sao cho nhánh đơn trị của ln(τ − t) nhận giá trị dương ở phía bên phải
của Γ và nhận giá trị âm trong trường hợp ngược lại.
Chứng minh. Trước hết ta xét tích phân ở vế phải
Γ
ϕ (τ) ln(τ − t)dτ.
6

11. Để tính giá trị chính ta biến đổi nó như sau
Γ
ϕ (τ) ln(τ − t)dτ = lim
ρ→0
t1
a
ϕ (τ) ln(τ − t)dτ +
b
t2
ϕ (τ) ln(τ − t)dτ .
Tích phân từng phần đối với tích phân thường trong móc vuông, ta thu được
t1
a
ϕ (τ) ln(τ − t)dτ +
b
t2
ϕ (τ) ln(τ − t)dτ
= ϕ(b) ln(b − t) − ϕ(a) ln(a − t) + ϕ(t1) ln(t1 − t) − ϕ(t2) ln(t2 − t)
−
t1
a
ϕ(τ)
τ − t
dτ −
b
t2
ϕ(τ)
τ − t
dτ.
Chuyển qua giới hạn khi ρ → 0, ta thấy hai số hạng đầu là giới hạn dạng
thông thường, còn hai số hạng cuối cho ta tích phân bằng −
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ lấy
theo nghĩa giá trị chính. Để tính giới hạn của số hạng còn lại ta sử dụng biến
đổi
ϕ(t1) ln(t1 − t) − ϕ(t2) ln(t2 − t) = ϕ(t)[ln(t1 − t) − ln(t2 − t)]
+[ϕ(t1) − ϕ(t)] ln(t1 − t) − [ϕ(t2) − ϕ(t)] ln(t2 − t).
Hàm số ϕ(t) là hàm khả vi liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Vậy nên,
từ kết quả của giới hạn limx→0 x ln x = 0, ta thấy giới hạn của hai số hạng
cuối đều bằng 0.
Vậy giới hạn của ln(t1 − t) − ln(t2 − t) đã được khảo sát xong. Giới hạn
này bằng +iπ khi lát cắt được thực hiện ở bên phải của chu tuyến Γ, và
bằng −iπ trong trường hợp ngược lại. Vậy định lí được chứng minh.
Nhận xét rằng , khi Γ là chu tuyến đóng, trơn (a = b), thì công thức
(1.5) có dạng rất đơn giản
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ = ±iπϕ(t) −
Γ
ϕ (τ) ln(τ − t)dτ (1.6)
1.3.2 Tính liên tục H¨older của tích phân dạng Cauchy
Ta đã chứng minh được rằng giá trị Φ+
(t) và Φ−
(t) của tích phân dạng
Cauchy là các hàm liên tục trên chu tuyến Γ. Trong phần này, ta chỉ ra các
7

12. hàm số trên có tính chất tốt hơn tính liên tục thông thường, đó là nó thỏa
mãn điều kiện H¨older với một chỉ số xác định nào đó. Tính chất này được
mô tả bởi định lí sau.
Định lý 1.3. Khi Γ là chu tuyến đóng, đơn, trơn và ϕ(t) thỏa mãn trên Γ
điều kiện H¨older với chỉ số λ, thì giá trị của tích phân dạng Cauchy Φ+
(t)
và Φ−
(t) cũng thỏa mãn điều kiện H¨older với cùng chỉ số, khi 0 < λ < 1, và
đủ gần tới λ, khi λ = 1.
Chứng minh. Từ hệ thức (1.6), ta chỉ cần chứng minh định lý trên đối với
hàm số sau
ψ(t) =
1
2πi Γ
ϕ(τ) − ϕ(t)
τ − t
dτ.
Xét biểu thức
|ψ(t2) − ψ(t1)| =
1
2πi Γ
ϕ(τ) − ϕ(t2)
τ − t2
−
ϕ(τ) − ϕ(t1)
τ − t1
dτ (1.7)
đối với hai điểm tùy ý t1 và t2 đủ gần nhau.
Từ điểm t1 ta vẽ đường tròn bán kính δ sao cho nó cắt Γ tại hai điểm
a và b. Phần của chu tuyến Γ nằm trong đường tròn này được kí hiệu bởi
Γδ. Giả sử t2 là điểm cố định tùy ý trên cung Γ khác điểm a hoặc b. Ta đặt
δ = k |t2 − t1| , thì dễ thấy k > 1.
Gọi s = s(t, τ) là độ dài nhỏ nhất của hai cung của chu tuyến Γ, với
các đầu mút t và τ. Vì chu tuyến Γ trơn, nên ứng với mỗi cặp điểm t1 và t2,
ta đều có thể viết
s(t1, t2) ≤ m |t2 − t1| , (1.8)
trong đó m là hằng số dương.
Ta cắt cung Γδ của chu tuyến Γ, lấy trên cả hai phía của điểm t1 bằng
2 lần độ dài của cung s(t1, t2). Các đầu mút của cung này được kí hiệu bởi
a và b. Khi đó, tích phân (1.7) viết được như sau
ψ(t2) − ψ(t1) =
1
2πi l
ϕ(τ) − ϕ(t2)
τ − t2
dτ −
1
2πi l
ϕ(τ) − ϕ(t1)
τ − t1
dτ
+
1
2πi Γδ
ϕ(τ) − ϕ(t2)
τ − t2
−
ϕ(τ) − ϕ(t1)
τ − t1
dτ
=
1
2πi l
ϕ(τ) − ϕ(t2)
τ − t2
dτ −
1
2πi l
ϕ(τ) − ϕ(t1)
τ − t1
dτ
8

13. +
1
2πi Γδ
ϕ(t1) − ϕ(t2)
τ − t1
dτ +
1
2πi Γδ
[ϕ(τ) − ϕ(t2)](t2 − t1)
(τ − t1)(τ − t2)
dτ
= I1 + I2 + I3 + I4
Ta ước lượng tiếp đối với tích phân I2. Ta có
|I2| ≤
1
2π l
ϕ(τ) − ϕ(t1)
τ − t1
|dτ| ≤ C1
l
|dτ|
|τ − t1|1−λ
≤ C2
C|t2−t1|
0
ds
s1−λ
≤ C3sλ
(t1, t2) ≤ A1 |t2 − t1|λ
,
trong đó, mọi hệ số là hằng số dương.
Tương tự, ta cũng có
|I1| ≤ A2 |t2 − t1|λ
.
Đối với tích phân I3, thì ta có ước lượng sau
|I3| ≤
|ϕ(t1) − ϕ(t2)|
2π Γδ
dτ
τ − t1
≤
A |t2 − t1|λ
2π Γδ
dτ
τ − t1
.
Tích phân cuối tính được trực tiếp như sau
Γδ
dτ
τ − t1
= ln
a − t1
b − t1
.
Kết quả là, tích phân này giới nội với mọi t1 trên Γ. Do đó, ta ước lượng
|I3| ≤ A3 |t2 − t1|λ
.
Ta chuyển sang ước lượng tích phân I4 là dạng tích phân phức tạp nhất.
Sử dụng điều kiện H¨older, ta thu được
|I4| ≤ A
|t2 − t1|
2π Γ1
ds
|τ − t1| |τ − t2|1−λ
≤ A1 |t2 − t1|
Γ1
|τ − t1|λ−2 τ − t1
τ − t2
1−λ
|dτ| .
Do
|τ − t1| − |t1 − t2| ≤ |τ − t2|
và
|τ − t2| ≥ δ = k |t2 − t1| ,
9

14. nên
|τ − t1| ≤
k − 1
k
|τ − t2| .
Suy ra
|I4| ≤ A3
k − 1
k
1−λ
|t1 − t2|
δ
R
rλ−2
dr,
trong đó
R = max
τ∈Γδ
.
Khi A < 1, tính tích phân cuối, ta thu được
|I4| ≤ A4 |t2 − t1|λ
.
Khi A = 1, bằng phương pháp tương tự, ta nhận được ước lượng
|I4| ≤ A4 |t2 − t1| ln |t2 − t1| .
Để ý rằng tốc độ hội tụ khi x → 0 của hàm ln x chậm hơn mọi hàm lũy thừa
|x|−ε
(ε > 0), ta nhận được
|I4| ≤ A4 |t2 − t1|1−ε
.
Tập hợp tất cả các ước lượng đối với I1, I2, I3, I4 và chú ý rằng khi λ = 1,
chỉ số λ trong ước lượng của I1, I2, I3 cần lặp lại bởi 1 − ε, ta có điều cần
chứng minh.
Ta phát biểu lại tính chất trên của tích phân theo nghĩa giá trị chính
Cauchy
Khi ϕ(t) thỏa mãn điều kiện H¨older với chỉ số λ trên chu tuyến đóng,
trơn Γ, thì
Φ(t) =
1
2πi Γ
ϕ(τ)dτ
τ − t
cũng thỏa mãn điều kiện này, chỉ số là λ khi 0 < λ < 1, và chỉ số là 1 − ε
khi λ = 1, trong đó ε là số nhỏ tùy ý.
1.3.3 Công thức Sokhotski
Ta sẽ chứng minh tính chất sau đây, tích phân dạng Cauchy với hàm
mật độ thỏa mãn điều kiện H¨older cũng có cùng tính chất như thế vị lớp kép
với hàm mật độ liên tục, tức là, nó có giá trị biên liên tục trên chu tuyến từ
cả hai phía, nhưng các giá trị biên đó là phân biệt, vậy nên chu tuyến sinh
ra một bước nhảy.
10

15. Bổ đề 1.1 (Bổ đề cơ bản). Khi hàm mật độ ϕ(τ) thỏa mãn điều kiện H¨older
và điểm t không trùng với các điểm đầu mút của chu tuyến, thì hàm số
Φ(z) =
Γ
ϕ(τ) − ϕ(t)
τ − t
dτ
tại điểm z = t của chu tuyến là liên tục, tức là, hàm này có giá trị giới hạn
xác định trên điểm t đi từ z từ mọi phía của chu tuyến, dọc theo mọi đường
dẫn
lim
z→t
Φ(z) =
Γ
ϕ(τ) − ϕ(t)
τ − t
dτ = Φ(t).
Chứng minh. Ta xét hiệu
Φ(z) − Φ(t) =
Γ
(z − t)
ϕ(τ) − ϕ(t)
(τ − z)(τ − t)
dτ.
Chia tích phân thành hai số hạng. I1 lấy trên γδ của chu tuyến Γ, nằm trong
đường tròn với bán kính đủ nhỏ δ với tâm tại điểm t, và I2 lấy trên phần
còn lại Γδ := Γγδ
.
Ta xét số hạng I1. Giả sử z di chuyển tới t dọc theo đường dẫn không
tiếp xúc với chu tuyến. Khi đó, với δ đủ nhỏ, góc nhọn ω tại điểm t có cận
dưới ω0 > 0. Sử dụng định lý hàm số sin trong tam giác ztτ, ta nhận được
|z − t|
|τ − z|
=
sin β
sin ω
≤
1
sin ω0
= K (1.9)
trong đó K là số dương. Ta có
ϕ(τ) − ϕ(t)
τ − t
< A |τ − t|λ−1
= Arλ−1
, (1.10)
trong đó r = |τ − t| .
Ta sử dụng tính chất sau của chu tuyến Γ
Đối với chu tuyến trơn, thì tỷ số
ds
dr
, trong đó s là độ dài cung của chu
tuyến và r là độ dài của cung tương ứng, là giới nội, tức là,
ds
dr
≤ m, trong
đó m là hằng số dương. Vậy nên
|dτ| = |ds| ≤ m |dr| . (1.11)
Sử dụng đánh giá (1.9) đến (1.11), ta nhận được
|I1| ≤
γδ
|z − t|
|τ − z|
ϕ(τ) − ϕ(t)
τ − t
|dτ| < KAm
γδ
rλ−1
|dr|
11

16. = 2KAm
δ
0
rλ−1
dr =
2KAmδλ
λ
.
Chọn số tùy ý ε > 0 và δ sao cho |I1| <
ε
2
. Khi đã chọn được δ, ta tiếp tục
ước lượng tích phân I2 trên đoạn Γδ của chu tuyến Γ, τ = t, tích phân I2 tại
điểm t liên tục trong z. Với |z − t| đủ nhỏ, bất đẳng thức |I2| <
ε
2
là đúng.
Vậy nên |Φ(z) − Φ(t)| ≤ |I1| + |I2| < ε Vậy chỉ còn xét điều kiện khi z
tiến tới t dọc theo đường dẫn không tiếp xúc với chu tuyến.
Nhận xét rằng, ước lượng hiệu |Φ(z) − Φ(t)| là đúng và độc lập với t.
Kết quả là, Φ(z) hội tụ đều tới giới hạn của nó. Suy ra, giá trị giới hạn của
Φ(t) trên chu tuyến Γ (hàm số Φ(t)) là hàm số liên tục. Thực vậy, khi t và
t1 là hai điểm của chu tuyến Γ, thì
|Φ(t) − Φ(t1)| ≤ |Φ(t) − Φ(z)| + |Φ(z) − Φ(t1)| .
Vì Φ(z) hội tụ đều tới giới hạn, cả hai số hạng trong vế phải của bất đẳng
thức đều có thể làm nhỏ tùy ý, các điểm t, t1 và z đủ gần nhau.
Giả sử z tiến tới t dọc theo đường cong γ tiếp xúc với Γ. Ta lấy trên
đường cong γ điểm z đủ gần với t và đường cong γ1 qua nó sao cho nó cắt
chu tuyến Γ tại điểm t1 đủ gần với t, và nó không tiếp xúc với Γ. Đường γ1
có thể chọn sao cho độ dài của các cung zt và zt1 là đồng thời nhỏ tùy ý.
Sử dụng điều vừa chứng minh về sự tồn tại của giới hạn dọc theo đường
dẫn không tiếp xúc và tính liên tục của giá trị, ta thấy
|Φ(z) − Φ(t1)|
và
|Φ(t) − Φ(t1)|
là nhỏ tùy ý. Vậy nên
|Φ(z) − Φ(t)| ≤ |Φ(z) − Φ(t1)| + |Φ(t) − Φ(t1)|
cũng là nhỏ tùy ý. Điều này cho ta sự tồn tại của giới hạn dọc theo mọi
đường dẫn.
Ta khảo sát bài toán cơ bản về sự tồn tại giá trị của tích phân dạng
Cauchy trên chu tuyến của tích phân và đánh giá mối liên hệ giữa giá trị của
hàm số với tích phân kỳ dị.
12

17. Xét hàm số
Φ(z) =
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ, (1.12)
trong đó ϕ(t) thỏa mãn điều kiện H¨older.
Giả sử chu tuyến Γ là đóng. Trong trường hợp của chu tuyến mở ta bổ
sung đường cong tùy ý để nó đóng và đặt trên đường cong phụ đó ϕ(τ) = 0.
Để khảo sát giá trị của Φ(z) tại điểm t của chu tuyến, ta xét hàm số
Ψ(z) =
1
2πi
Γ
ϕ(τ) − ϕ(t)
τ − z
dτ. (1.13)
Kí hiệu giá trị của hàm giải tích Φ(z), Ψ(z) khi điểm z tiến tới điểm t
của chu tuyến từ phía trong Φ+
(z), Ψ+
(z), tương ứng, và từ phía ngoài bởi
Φ−
(z), Ψ−
(z), tương ứng (đối với chu tuyến mở sự tương ứng này được chọn
từ trái qua phải). Để mô tả hướng đi của giới hạn, ta viết z → t+
hoặc
z → t−
. Giá trị của hàm số tương ứng tại điểm t của chu tuyến được kí hiệu
bởi Φ(t), Ψ(t); trong đó Φ(t) là tích phân kỳ dị theo nghĩa giá trị chính
Φ(z) =
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ.
Xét hệ thức
Γ
dτ
τ − z
=



2πi khi z ∈ D+
0 khi z ∈ D−
πi khi z ∈ Γ
(1.14)
ta nhận được
Ψ+
(t) = lim
z→t+
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ −
ϕ(τ)
2πi
Γ
dτ
τ − z
= Φ+
(t) − ϕ(t),
Ψ−
(t) = lim
z→t−
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ −
ϕ(τ)
2πi
Γ
dτ
τ − z
= Φ−
(t),
Ψ(t) =
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ −
ϕ(τ)
2πi
Γ
dτ
τ − z
= Φ(t) −
1
2
ϕ(t).
Vì rằng, theo bổ đề cơ bản, hàm số Ψ(t) là liên tục, nên vế phải của hệ thức
là đồng nhất, tức là
13

18. Φ+
(t) − ϕ(t) = Φ−
(t) = Φ(t) −
1
2
ϕ(t) (1.15)
Vậy nên, ta nhận được



Φ+
(t) =
1
2
ϕ(t) +
1
2πi Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ
Φ−
(t) = −
1
2
ϕ(t) +
1
2πi Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ
(1.16)
trong đó tích phân kỳ dị được hiểu theo nghĩa giá trị chính.
Công thức (1.16) thường được gọi là công thức Sokhotski.
Định lý 1.4. Giả sử Γ là chu tuyến trơn (đóng hoặc mở) và ϕ(t) là hàm số
theo tọa vị trên chu tuyến và thỏa mãn điều kiện H¨older. Khi đó, tích phân
Cauchy
Φ(z) =
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ
có giá trị Φ+
(t), Φ−
(t) tại mọi điểm của chu tuyến Γ không trùng với các
đầu mút, trên chu tuyến chọn hướng từ bên trái hoặc từ bên phải dọc theo
hướng đi của đường dẫn, và giá trị biên này được biểu diễn theo hàm mật độ
của tích phân ϕ(t) và tích phân kỳ dị Φ(t) dưới dạng công thức Sokhotski
(1.16) Trừ và cộng các vế tương ứng của công thức (1.16) ta nhận được hai
công thức tương đương sau đây
Φ+
(t) − Φ−
(t) = ϕ(t) (1.17)
Φ+
(t) + Φ−
(t) =
1
πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ (1.18)
Nhận xét rằng trong phần trước ta xét sự tồn tại của tích phân kỳ dị và
giá trị biên của tích phân dạng Cauchy với giả thiết đường lấy tích là đường
cong trơn. Dễ thấy rằng giả thiết này không phải là điều kiện cốt yếu để tích
phân tồn tại. Ta thấy tính trơn của chu tuyến được sử dụng để ước lượng giá
trị của ln
t2 − t
t1 − t
,. Trong cả hai trường hợp trên thì tính trơn trong lân cận
của điểm khảo sát luôn được đặt ra. Đặc biệt, tính chất của chu tuyến được
khai thác là tỷ số của cung nhỏ của chu tuyến với cung tương ứng là giới nội.
Tuy nhiên, tính chất này chỉ đúng với các chu tuyến có hệ số của tiếp tuyến
biến thiên liên tục. Điều này vẫn đúng đối với chu tuyến trơn từng khúc có
14

19. góc nhọn. Vậy nên, mọi kết quả khảo sát ở phần trên cũng đúng trong trường
hợp này, tức là, khi điểm cần khảo sát là điểm góc của chu tuyến.
Tuy giả thiết về tính trơn là cốt yếu, song dễ thấy rằng nó cũng đúng
đối với điểm góc của chu tuyến. Giả sử α là góc giữa hai tiếp tuyến với chu
tuyến Γ tại điểm t. Ta có
lim
t1,t2→t
ln
t2 − t
t1 − t
= −iα.
Vậy nên
Γ
dτ
τ − t
= iα (1.19)
Hệ thức (1.13) có dạng
Φ+
(t) − ϕ(t) = Φ−
(t) = Φ(t) −
α
2π
ϕ(t) (1.20)
và kết quả là
Φ+
(t) = 1 −
α
2π
ϕ(t) +
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ (1.21)
Φ−
(t) = −
α
2π
ϕ(t) +
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ (1.22)
Kết quả này có thể phát biểu như sau
Định lý 1.5. Khi tích phân dạng Cauchy lấy theo chu tuyến có hữu hạn
điểm góc, thì giá trị giới hạn của tích phân tồn tại. Đối với điểm thường công
thức Sokhotski (1.16) vẫn đúng, còn đối với điểm góc, ta có công thức (1.21)
và (1.22).
Ta đi tìm điều kiện để hàm trên biên là giá trị biên của hàm giải tích
Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng, trơn Γ cho hàm biến phức liên tục ϕ(t)
và giả sử t = t(s) = t1(s) + it2(s) là phương trình của chu tuyến trong dạng
phức, t(s) là hàm số theo cung s đo từ một điểm tùy ý của chu tuyến. Thế
vào biểu thức của hàm ϕ(t) trong tọa độ phức rồi tách phần thực và phần
ảo, ta có
ϕ(t) = ϕ[t(s)] = ϕ1(s) + iϕ2(s).
Câu hỏi tự nhiên nảy sinh là tồn tại hay không tồn tại một hàm giải tích
trong miền D+
(hoặc D−
) sao cho một hàm biến phức ϕ(t) cho trước là giá
15

20. trị giới hạn của nó trên chu tuyến?
Dễ thấy rằng, nói chung câu trả lời là phủ định. Thực vậy, khi đã có phần
thực ϕ1(s), ta có thể dựng hàm số u(x, y) điều hòa trong miền D+
(hoặc
D−
) và giá trị của nó trên chu tuyến là đồng nhất với hàm ϕ1(s) (bài toán
Dirichlet). Khi hàm số u(x, y) được xác định, ta có thể xác định hàm điều
hòa liên hợp v(x, y) sai khác một hằng số tùy ý. Ta nhận được hàm số giải
tích f(z) = u(x, y) + iv(x, y) với ϕ1(s) là giá trị biên của phần thực của nó.
Tính giá trị giới hạn của phần ảo v(x, y) ta thấy, nói chung, nó không trùng
với hàm số đã cho ϕ2(s), kết quả là hàm biến phức ϕ(t) có thể không là giá
trị giới hạn của hàm số giải tích trong D+
(hoặc D−
). Lý do xảy ra điều này
là do khi đã cho trước một phần của hàm biến phức (có thể là phần thực
hoặc phần ảo) thì phần kia được xác định sai khác một hằng số. Vậy nên,
khi hàm biến phức đã cho là giá trị giới hạn của hàm số giải tích, nó phải
thỏa mãn thêm một số hệ thức bổ sung. Giả sử rằng ϕ(t) thỏa mãn điều kiện
H¨older. Xét tích phân dạng Cauchy với hàm mật độ ϕ(t) :
Φ(z) =
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ.
Khi z ∈ D+
và ϕ(t) là giá trị biên của hàm số giải tích trong D+
, thì
Φ(z) = ϕ(z)
Khi z ∈ D−
và ϕ(t) là giá trị biên của hàm số giải tích trong D−
, thì theo
công thức tích phân Cauchy đối với miền vô hạn, ta có
Φ−
(z) = ϕ(z) + ϕ(∞).
Lấy giá trị trên chu tuyến Γ và sử dụng của công thức Sokhotski (1.16), ta
nhận được
ϕ(t) =
1
2
ϕ(t) +
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ.
Khi ϕ(z) là giải tích trong D+
, thì
−
1
2
ϕ(t) +
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ = 0. (1.23)
Khi hàm là giải tích trong D−
, thì
16

21. 1
2
ϕ(t) +
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ − γ = 0(γ = ϕ(∞)) (1.24)
Ta xem (1.23), (1.24) là điều kiện cần đối với hàm số ϕ(t) là giá trị biên của
hàm số giải tích trong các miền D+
và D−
, tương ứng. Dễ chứng minh rằng
các điều kiện này cũng là đủ.
Thật vậy, giả thiết rằng ϕ(t) thỏa mãn điều kiện (1.23). Tức là, tích
phân Cauchy
Φ(z) =
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ,
theo công thức Sokhotski (1.16), thì Φ−
(t) = 0, và từ hệ thức (1.17) thì
ϕ(t) = Φ−
(t) − Φ+
(t) = Φ+
(t).
Ta phát biểu kết quả vừa nhận được dưới dạng
Định lý 1.6. Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng, trơn Γ cho hàm ϕ(t) thỏa
mãn điều kiện H¨older. Để hàm này là giá trị biên của hàm giải tích trong
miền trong D+
, điều kiện cần và đủ là điều kiện (1.23) được thỏa mãn. Để
ϕ(t) là giá trị biên của hàm giải tích trong miền ngoài D−
và tại vô cùng
nhận giá trị Λ, điều kiện cần và đủ là điều kiện (1.24) được thỏa mãn.
1.3.4 Giá trị biên của đạo hàm trong tích phân kỳ dị
Giả sử ϕ(t) là hàm số của vị trí trên chu tuyến đóng Γ, có đạo hàm cấp
m thỏa mãn điều kiện H¨older.
Ta sẽ chứng minh rằng đạo hàm cấp m của hàm số Φ(z) xác định bởi
tích phân dạng Cauchy
Φ(z) =
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − z
dτ
có giá trị biên trên chu tuyến và giá trị biên thỏa mãn hệ thức tương tự như
công thức Sokhotski (1.16)
Φ(m)+
(t) =
1
2
ϕ(m)
(t) +
1
2πi
Γ
ϕ(m)
(τ)
τ − z
dτ (1.25)
17

22. Φ(m)−
(t) = −
1
2
ϕ(m)
(t) +
1
2πi
Γ
ϕ(m)
(τ)
τ − z
dτ. (1.26)
Từ hệ thức (1.12), ta suy ra đạo hàm cấp m của tích phân dạng Cauchy
có dạng
Φ(m)
(z) =
m!
2πi
Γ
ϕ(τ)
(τ − z)m+1
dτ.
Ta tích phân từng phần vế phải m lần. Vì rằng chu tuyến là đóng, nên phần
đã lấy tích phân luôn triệt tiêu. Do đó, ta có
Φ(m)
(z) =
1
2πi
Γ
ϕ(m)
(τ)
τ − z
dτ.
Từ tích phân dạng Cauchy nhận được và công thức Sokhotski (1.16), ta thu
được hệ thức (1.25), (1.26).
1.3.5 Đạo hàm của giá trị biên trong tích phân kỳ dị
Ta sẽ chỉ ra rằng trong công thức (1.25) và (1.26) phép tính đạo hàm
và chuyển qua giới hạn trên chu tuyến là chuyển đổi thứ tự được, tức là giá
trị giới hạn trên chu tuyến của đạo hàm của tích phân Cauchy trùng với đạo
hàm của giá trị giới hạn của nó.
Ta minh họa thông qua đạo hàm bậc nhất. Ta chứng minh rằng
[Φ (t)]±
= [Φ±
(t)] .
Đặt
Ψ(z) =
1
2πi
Γ
ϕ (τ)
τ − t
dτ.
Ta chứng minh
[Φ (t)]±
= Ψ±
(t)
và
[Φ±
(t)] = Ψ±
(t).
Xét [Φ (t)]+
. Vì rằng [Φ+
(z)] là liên tục tới biên và thỏa mãn điều kiện
H¨older trên chu tuyến, [Φ+
(t)] cũng tồn tại và thỏa mãn điều kiện H¨older.
Ta có
[Φ+
(t)] = lim
∆t→0
Φ+
(t + ∆t) − Φ+
(t)
∆t
.
18

23. Theo định lý Cauchy, thì
Φ+
(t + ∆t) − Φ+
(t) =
t+∆t
t
[Φ+
(t)] dt =
L
[Φ+
(z)] dz
trong đó L là chu tuyến bao D+
.
L
[Φ+
(z)] dz =
L
Ψ+
(z)dz = Ψ+
(t)∆t +
L
[Ψ+
(z) − Ψ+
(t)]dz.
Ta chọn chu tuyến L sao cho độ dài của nó bằng 2 |∆t| với điều kiện
sau được thỏa mãn đối với ε > 0
Ψ+
(z) − Ψ+
(t) <
ε
2
.
Điều này là hiển nhiên do tính liên tục của Ψ+
(z) tới biên. Do đó, ta có
Φ+
(t + ∆t) − Φ+
(t)
∆t
− Ψ+
(t) < ε
và vì thế
[Φ+
(t)] = Ψ+
(t).
Cũng vậy đối với Φ−
(t). Lặp lại quá trình trên, ta nhận được
[Φ]±
(t)](m)
= [Φm
(t)]±
. (1.27)
ứng với hàm mật độ ϕ(m)
(t) ∈ H.
1.4 Bài toán bờ Riemann trong miền đơn liên
Giả thiết rằng Γ là chu tuyến đóng, đơn và trơn chia mặt phẳng phức
thành miền trong D+
và miền ngoài D−
(giả thiết ∞ ∈ D−
), và cho hai hàm
số trên chu tuyến, G(t) và g(t) thỏa mãn điều kiện H¨older, trong đó G(t)
không triệt tiêu trên biên. Ta cần xác định hai hàm số Φ+
(z), giải tích trong
miền D+
, và Φ−
(z), giải tích trong miền D−
, kể cả z = ∞, và thỏa mãn trên
chu tuyến Γ hệ thức thuần nhất (bài toán thuần nhất)
Φ+
(t) = G(t)Φ−
(t) (1.28)
19

24. hoặc hệ thức không thuần nhất (bài toán không thuần nhất)
Φ+
(t) = G(t)Φ−
(t) + g(t). (1.29)
Hàm số G(t) được gọi là hệ số của bài toán bờ Riemann, và hàm số g(t) là
phần tử tự do của bài toán.
1.5 Bài toán bước nhảy
Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng Γ cho hàm số ϕ(t) thỏa mãn điều
kiện H¨older. Ta cần xác định hai hàm số giải tích Φ(z) = Φ+
(z) với z ∈ D+
,
Φ(z) = Φ−
(z) với z ∈ D−
triệt tiêu tại vô cùng và thỏa mãn điều kiện
Φ+
(t) − Φ−
(t) = ϕ(t). (1.30)
ϕ(t) được gọi là bước nhảy của Φ(z) trên Γ
Từ công thức Sokhotski, hiển nhiên rằng hàm số
Φ(z) =
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ. (1.31)
là nghiệm của bài toán và hơn nữa là nghiệm duy nhất của bài toán.
Thật vậy, giả thiết rằng Φ1(z) và Φ2(z) là hai nghiệm của bài toán (1.31).
K+
(t) = Φ+
1 (t) − Φ+
2 (t); K−
(t) = Φ−
1 (t) − Φ−
2 (t)
Vì Φ1(z) và Φ2(z) là hai nghiệm của bài toán (1.30) nên ta có
K+
(t) − K−
(t) = 0 và K(∞) = 0. Vậy theo định lý Liouville, suy ra
K(z) = 0
Ta có thể tóm tắt nghiệm của bài toán (1.30) như sau
Định lý 1.7. Hàm số tùy ý ϕ(t) cho trên chu tuyến đóng và thỏa mãn
điều kiện H¨older, có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng hiệu của hàm số
Φ+
(t), Φ−
(t) là giá trị biên của hàm giải tích Φ+
(z), Φ−
(z), dưới giả thiết
Φ−
(∞) = 0 .
Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ−
(∞) = 0, thì nghiệm của bài toán được cho
20

25. bởi công thức
Φ(z) =
1
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ + const . (1.32)
Nhận xét 1.1. Đối với chu tuyến là khoảng hữu hạn Γ ≡ (α, β), bài toán
bước nhảy
Φ+
(t) − Φ−
(t) = ϕ(t) (1.33)
có nghiệm duy nhất là
Φ(z) =
1
2πi
β
α
ϕ(τ)
τ − t
dτ (1.34)
1.5.1 Chỉ số của hàm số
Giả sử Γ là một chu tuyến đóng và trơn và G(t) là một hàm số liên tục
và không triệt tiêu trên Γ
Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]). Chỉ số của hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ được
hiểu là tỷ số độ tăng trưởng (số gia) của argumen của nó khi chuyển động
hết một lượt dọc theo chu tuyến (theo chiều dương) và 2π.
Ký hiệu [ω]Γ là độ tăng trưởng của ω dọc theo Γ thì chỉ số của G(t) được
viết dưới dạng
κ = Ind G(t) =
1
2π
[arg G(t)]Γ.
Chỉ số dễ dàng tính được thông qua sự biến thiên logarit của hàm số, tức là
ln G(t) = ln |G(t)| + i arg G(t).
Sau khi chuyển động dọc theo Γ, |G(t)| trở lại giá trị ban đầu. Vậy nên
[arg G(t)]Γ =
1
i
[ln G(t)]Γ,
do vậy mà
κ =
1
2πi
[ln G(t)]Γ.
Chỉ số có thể tính theo tích phân
κ = Ind G(t) =
1
2π
Γ
d arg G(t) =
1
2πi
Γ
d ln G(t).
21

26. Vì hàm G(t) liên tục, nên sự tăng trưởng của argumen dọc theo chu tuyến
đóng sẽ là bội của 2π. Vậy nên ta có
1. Chỉ số của hàm số liên tục trên chu tuyến đóng và không triệt tiêu trên
đó luôn là một số nguyên.
2. Chỉ số của tích hai hàm số bằng tổng của các chỉ số. Chỉ số của một thương
bằng hiệu các chỉ số tương ứng.
Giả sử rằng G(t) là khả vi và là giá trị biên của hàm số giải tích từ bên trong
hoặc từ bên ngoài chu tuyến Γ. Khi đó
κ =
1
2πi
Γ
d ln G(t) =
1
2πi
Γ
G (t)
G(t)
dt.
Đây cũng chính là thặng dư logarit của hàm số G(t). Từ định lý về thặng
dư logarit, ta suy ra các tính chất sau đây của chỉ số.
3. Nếu G(t) là giá trị biên của hàm số giải tích từ bên trong hoặc từ bên
ngoài chu tuyến, thì chỉ số của nó bằng không điểm từ bên trong hoặc từ
bên ngoài chu tuyến, lấy dấu âm.
4. Nếu hàm số G(t) là giải tích từ bên trong chu tuyến từ ra hữu hạn điểm
có thể là các cực điểm, thì chỉ số bằng hiệu giữa số không điểm và số cực
điểm (kể cả bội).
Nhận xét rằng, chỉ số của hàm số liên hợp phức có dấu ngược lại so với hàm
đã cho.
Giả sử rằng
t = t1(s) + it2(s), 0 s l,
là phương trình chu tuyến Γ. Thay vào hàm số G(t), ta nhận được
G(t) = G[t1(s) − it2(s)] = ξ(s) + i.
1.5.2 Bài toán thuần nhất
Giả sử bài toán biên Riemann thuần nhất (1.28) giải được và có nghiệm
là Φ+
(z) và Φ−
(z). Ta ký hiệu N+
, N−
lần lượt là số các không điểm của hàm
số Φ+
(z),Φ−
(z) xác định trên D+
, D−
tương ứng. Ta có Φ+
(t) = G(t)Φ−
(t),
suy ra G(t) =
Φ+
(t)
Φ−(t)
Do đó chỉ số κ của G(t) là
κ = Ind G(t) = Ind Φ+
(t) − Ind Φ−
(t) = N+
− (−N−
) = N+
+ N−
(1.35)
22

27. Chỉ số κ của hệ số bài toán bờ Riemann được gọi là chỉ số của bài toán.
Nhận xét 1.2. Từ (1.28) ta có
i. Điều kiện cần để bài toán bờ Riemann thuần nhất giải được là chỉ số κ
của bài toán là một số không âm (theo giả thiết, hàm số Φ+
(z),Φ−
(z) không
có cực điểm).
ii. Nếu κ >0 hàm số Φ+
(z),Φ−
(z) là nghiệm của bài toán có κ không điểm.
iii. Nếu κ =0 hàm số Φ±
(z) không có không điểm.
Dựa vào nhận xét này ta sẽ tìm nghiệm của bài toán bờ Riemann thuần nhất.
Trước tiên, ta xét trường hợp κ = 0. Khi đó, ln G(t) là một hàm đơn trị,
ln Φ+
(z) và ln Φ−
(z) là những hàm giải tích, chúng ta có Φ+
(t) = G(t)Φ−
(t),
suy ra ln Φ+
(t) − ln Φ−
(t) = ln G(t).
Trong đó ln G(t) là nhánh liên tục tùy ý. Dễ dàng kiểm tra được kết quả nhận
được không phụ thuộc vào nhánh nào của logarit. Theo công thức (1.31) của
bài toán bước nhảy ta được
ln Φ(z) =
1
2πi
Γ
ln G(τ)
τ − z
dτ + ln A
trong đó A là một hằng số tùy ý. Ta đặt
Γ(z) =
1
2πi
Γ
ln G(τ)
τ − z
dτ (1.36)
Suy ra Φ(z) = AeΓz
. Như vậy, nghiệm của bài toán có dạng
Φ+
(z) = AeΓ+
(z)
, Φ−
(z) = AeΓ−
(z)
(1.37)
Do đó, nếu Φ−
(∞) = 0 suy ra A = 0 thì bài toán chỉ có một nghiệm tầm
thường là Φ ≡ 0.
Từ điều trên ta thu được kết quả sau
Định lý 1.8. Hàm số tùy ý G(t) cho trên chu tuyến Γ, thỏa mãn điều kiện
H¨older và có chỉ số bằng 0, luôn viết được dưới dạng thương của hàm số
Φ+
(t) và Φ−
(t) lần lượt là các giá trị biên của hàm số giải tích trong miền
D+
, D−
và luôn khác 0 trong miền đó. Hàm số này được xác định sai khác
một hằng số nhân tùy ý và được cho bởi công thức (1.36).
Trường hợp κ > 0. Giả thiết rằng gốc tọa độ nằm trong miền D+
. Hàm số
tκ
có chỉ số κ. Ta viết điều kiện biên dưới dạng
Φ+
(t) = tκ
[t−κ
G(t)]Φ−
(t) (1.38)
23

28. Hiển nhiên là hàm số G1(t) = t−κ
G(t) có chỉ số bằng 0 (vì Ind G1(t) =
Ind t−κ
+ Ind G(t) = −κ + κ = 0). Do đó, bài toán tìm Φ+
(z) giải tích
trên D+
và Φ−
(z) giải tích trên D−
, sao cho trên chu tuyến Γ thỏa mãn
Φ+
(t) = G1tΦ−
(t), ta có nghiệm là
Φ+
(z) = AeΓ+(z)
, Φ−
(z) = AeΓ−(z)
trong đó
Γ(z) =
1
2πi
Γ
ln[τ−κ
G(τ)]
τ − z
dτ. (1.39)
và A là hằng số tùy ý.
Ta có G1(t) =
Φ+
(t)
Φ−(t)
=
eΓ+
(t)
eΓ−(t)
. Do đó (1.35) được viết lại
Φ+
(t) = tκ eΓ+
(t)
eΓ−(t)
Φ−
(t)
Φ+
(t)
eΓ+(t)
= tκ Φ−
(t)
eΓ−(t)
Vì hàm
Φ+
(z)
eΓ+(z)
giải tích trên D+
và zκ Φ−
(z)
eΓ−(z)
giải tích trên D−
, ngoại trừ tại
∞, nơi nó có thể có cực điểm bậc không lớn hơn κ, là thác triển giải tích
của nhau qua Γ. Ngược lại, ta thấy chúng là nhánh của hàm số giải tích duy
nhất trong cả mặt phẳng phức, trừ ra một cực điểm bậc không quá κ tại vô
cùng. Theo định lý Liouville suy rộng ta được
Φ+
(z)
eΓ+(z)
= zκ Φ−
(z)
eΓ−(z)
= Pκ(z),
trong đó Pκ(z) là đa thức bậc không lớn hơn κ với hệ số phức nào đó. Vậy
nên, ta nhận được nghiệm tổng quát của bài toán là
Φ+
(z) = eΓ+(z)
Pκ(z), Φ−
(z) = eΓ−(z)
z−κ
Pκ(z). (1.40)
Ta phát biểu kết quả thu được dưới dạng định lý sau.
Định lý 1.9. Nếu chỉ số κ của bài toán bờ Riemann là số dương, thì bài
toán có κ + 1 nghiệm độc lập tuyến tính
Φ+
k (z) = zk
eΓ+(z)
, Φ−
k (z) = zk−κ
eΓ−(z)
(k = 0, 1, . . . , κ)
Nghiệm tổng quát chứa κ +1 hằng số tùy ý và được cho bởi công thức(1.40)
. Rõ ràng, trường hợp κ = 0 là một trường hợp riêng của định lý này.
24

29. Nhận xét 1.3. Nghiệm của bài toán hoàn toàn được xác định nếu biết thêm
κ + 1 điều kiện độc lập tuyến tính của những hàm Φ+
(z), Φ−
(z). Từ (1.40)
suy ra Φ−
(∞) bằng hệ số của zκ
trong đa thức Pκ(z). Do đó, nếu thêm vào
điều kiện Φ−
(∞) = 0 thì nghiệm tổng quát được biểu diễn dưới dạng
Φ+
(z) = eΓ+(z)
Pκ−1(z), Φ−
(z) = eΓ−(z)
z−κ
Pκ−1(z) (1.41)
trong đó Pκ−1(z) là đa thức bậc κ −1 với hệ số tùy ý. Vậy nên trong thường
hợp này, bài toán có κ nghiệm độc lập tuyến tính.
Nhận xét 1.4. Nếu chu tuyến Γ là khoảng hữu hạn thì ta cũng có kết quả
tương tự.
1.5.3 Hàm chính tắc của bài toán thuần nhất
Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]). Bậc của hàm số giải tích Φ(z) tại điểm z0 là lũy
thừa thấp nhất trong khai triển của Φ(z) thành chuỗi lũy thừa của (z − z0).
Từ định nghĩa này suy ra khi Φ(z) có không điểm bậc m tại điểm z0 thì m
là bậc của hàm số. Nếu z0 là cực điểm bậc m của Φ(z) thì bậc của Φ(z) tại
z0 là (−m). Nếu một hàm giải tích tại z0, z0 không là không điểm thì bậc
của Φ(z) tại z0 là 0.
Chú ý rằng tại vô cùng, ta có khai triển hàm theo
1
z
nên bậc của hàm số tại
vô cùng được hiểu là lũy thừa của bậc thấp nhất theo
1
z
trong khai triển của
hàm số.
Như vậy, bậc của một hàm tại vô cùng là số dương nếu nó là không điểm
của hàm và là số âm nếu nó là cực điểm của hàm.
Định nghĩa 1.5 ([1]-[2]). Tổng bậc của một hàm là tổng đại số của tất cả
các bậc trong miền.
Dễ thấy, tổng bậc của một hàm bằng hiệu số giữa số các không điểm và số
các cực điểm của hàm. Như vậy, nếu chúng ta thừa nhận nghiệm của bài
toán biên Riemann không có những cực điểm thì từ (1.34) suy ra bậc của
nghiệm bài toán biên Riemann thuần nhất bằng chỉ số của bài toán.
Định nghĩa 1.6 ([1]-[2]). Hàm chính tắc của bài toán Riemann thuần nhất
là hàm số giải tích từng khúc thỏa mãn điều kiện biên (1.26), có bậc 0 mọi
25

30. nơi trong hữu hạn phần của mặt phẳng và tại điểm z = ∞ bậc của nó bằng
κ
Khi κ ≥ 0, thì hàm chính tắc không có cực điểm và là nghiệm của bài toán
bờ. Ta vẫn gọi nó là nghiệm chính tắc của bài toán tương ứng.
Khi κ < 0, hàm chính tắc có cực điểm tại vô cùng và, ngược lại, ta thấy nó
không là nghiệm của bài toán bờ thuần nhất.
Tuy nhiên, hàm chính tắc sẽ đóng vai trò là hàm số bổ trợ trong việc giải
bài toán không thuần nhất tương ứng.
Nếu ta viết lại điều kiện biên của bài toán bờ Riemann dưới dạng
Φ+
(t) = tκ
[t−κ
G(t)]Φ−
(t)
thì ta dễ dàng thấy rằng với κ tùy ý, hàm chính tắc của bài toán X(z) được
cho bởi công thức
X+
(z) = eΓ+(z)
, X−
(z) = zκ
eΓ−(z)
, (1.42)
trong đó Γ(z) được cho bởi công thức (1.37)
Khi κ ≥ 0, nghiệm tổng quát của bài toán thuần nhất được biểu diễn qua
hàm chính tắc như sau
Φ(z) = X(z)Pκ(z). (1.43)
1.5.4 Bài toán bờ Riemann không thuần nhất
Điều kiện biên của bài toán bờ Riemann không thuần nhất là
Φ+
(t) = G(t)Φ−
(t) + g(t). (1.44)
Gọi X(z) là hàm chính tắc của bài toán biên Riemann thuần nhất tương
ứng. Khi đó ta có
G(t) =
X+
(t)
X−(t)
Như vậy (1.44) có thể biểu diễn dưới dạng
Φ+
(t)
X+(t)
=
Φ−
(t)
X−(t)
+
g(t)
X+(t)
.
Ta thấy, hàm số
g(t)
X+(t)
thỏa mãn điều kiện H¨older. Do đó theo bài toán bước
nhảy ta có
g(t)
X+(t)
= Ψ+
(t) − Ψ−
(t)
26

31. trong đó
Ψ(z) =
1
2πi
Γ
g(τ)
X+(τ)
dτ
τ − z
. (1.45)
Khi đó, điều kiện biên có thể viết dưới dạng
Φ−
(t)
X+(t)
− Ψ+
(t) =
Φ−
(t)
X−(t)
− Ψ−
(t).
Giả sử κ = Ind G(t). Khi đó z = ∞ là không điểm bậc κ của X(z).
Trường hợp khi κ 0, hàm số
Φ−
(t)
X−(t)
có cực điểm tại vô cùng. Ta có
Φ−
(t)
X+(t)
− Ψ+
(t) =
Φ−
(t)
X−(t)
− Ψ−
(t) = Pκ(z).
Do đó chúng ta có nghiệm
Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ(z)] (1.46)
trong đó X(z) và Ψ(z) lần lượt được cho bởi công thức (1.40), (1.45) và
Pκ(z) là một đa thức bậc κ với hệ số tùy ý.
Công thức (1.46) chính là công thức nghiệm của bài toán không thuần nhất
khi κ 0. Trường hợp κ 0. Khi đó z = ∞ là một cực điểm bậc −κ của
X(z). Do đó
Φ+
(z)
X−(z)
triệt tiêu tại z = ∞. Theo định lý Liouville, ta có
Φ+
(z)
X+(z)
− Ψ+
(z) =
Φ−
(z)
X−(z)
− Ψ−
(z) = 0.
Suy ra
Φ(z) = X(z)Ψ(z). (1.47)
trong đó X(z) được cho bởi công thức (1.40), nhận z = ∞ là một cực điểm
bậc −κ và Ψ(z) được cho bởi công thức (1.45), có thể nhận z = ∞ là không
điểm bậc 1.
Φ−
(z) có cực điểm tại vô cùng bậc không quá −κ − 1. Vậy nên khi κ < −1,
bài toán không thuần nhất trong trường hợp tổng quát sẽ không có nghiệm.
Nó giải được chỉ khi thành phần tự do phải thỏa mãn thêm một số điều kiện
áp đặt phù hợp.
Khai triển tích phân dạng Cauchy (1.47)thành chuỗi lũy thừa tại vô cùng
Ψ−
(z) =
∞
k=1
ckz−
k,
27

32. trong đó
ck = −
1
2πi
Γ
g(τ)
X+(τ)
τk−1
dτ.
Do Φ−
(z) giải tích tại vô cùng nên điều kiện cần trước tiên là −κ − 1 hệ
số trong khai triển của Ψ−
(z) triệt tiêu. Khi đó bài toán thuần nhất là giải
được.
Điều kiện cần và đủ để bài toán không thuần nhất giải được khi κ < −1 là
điều kiện sau được thỏa mãn
Γ
g(τ)
X+(τ)
τk−1
dτ = 0(k = 1, 2, . . . , −κ − 1). (1.48)
Các kết quả khảo sát ở trên cho ta kết luận
Định lý 1.10. Trong trường hợp κ 0 thì bài toán bờ Riemann không
thuần nhất giải được ứng với mọi thành phần tự do và nghiệm tổng quát của
nó được cho bởi công thức
Φ(z) =
X(z)
2πi
Γ
g(τ)
X+(τ)
dτ
τ − z
+ X(z)Pκ(z). (1.49)
trong đó hàm chính tắc X(z) được cho bởi và Pκ(z) là đa thức của bậc κ
với hệ số phức tùy ý.
Nếu κ = −1 thì bài toán không thuần nhất là giải được và có nghiệm duy
nhất.
Trong trường hợp κ < −1 thì bài toán không thuần nhất nói chung là không
giải được. Để nó có nghiệm, điều kiện cần và đủ là thành phần tự do của bài
toán thỏa mãn thêm −κ − 1 điều kiện (1.46). Nếu các điều kiện này được
thỏa mãn thì nghiệm duy nhất của bài toán được cho bởi công thức(1.49),
trong đó, ta coi P(z) ≡ 0.
Nhận xét 1.5. Nếu Φ−
(∞) = 0 ta có kết quả sau
i. Với κ > 0 nghiệm tổng quát của bài toán được cho bởi công thức
Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ−1(z)]. (1.50)
ii. Nếu κ = 0 bài toán có nghiệm duy nhất được cho bởi công thức
Φ(z) = X(z)Ψ(z) (1.51)
28

33. iii. Với κ < 0 bài toán không giải được trong trường hợp tổng quát. Điều
kiện cần và đủ để giải được là hạng tử tự do của bài toán thỏa mãn −κ điều
kiện sau
Γ
g(τ)
X+(τ)
τk−1
dτ = 0(k = 0, 1, 2, . . . , −κ). (1.52)
Khi đó, nghiệm của bài toán được cho bởi công thức (1.51). Trong đó X(z),
Ψ(z) lần lượt được cho bởi công thức (1.39), (1.42) và Pκ−1(z) là một đa
thức bậc κ − 1 với hệ số phức bất kì.
1.5.5 Bài toán bờ Riemann trên nửa mặt phẳng
Giả thiết rằng chu tuyến Γ là trục thực. Tương tự như đối với biên hữu
hạn, ta có thể phát biểu bài toán bờ Riemann, tìm cặp hàm số giải tích trong
nửa mặt phẳng trên và dưới, Φ+
(z) và Φ−
(z) (hàm giải tích từng khúc Φ(z)
), mà giá trị biên của chúng thỏa mãn trên chu tuyến Γ điều kiện biên
Φ+
(t) = G(t)Φ−
(t) + g(t). (1.53)
trong đó hai hàm số đã cho G(t) và g(t) thỏa mãn điều kiện H¨older trên chu
tuyến. Ta cũng giả thiết rằng G(t) = 0 trên biên. Lời giải thu được hoàn
toàn tương tự như trường hợp chu tuyến hữu hạn. Cái khác ở đây là chu
tuyến chứa điểm vô cùng và gốc tọa độ nằm trên chu tuyến. Vậy nên không
thể chọn điểm đặc biệt mà tại đó hàm chính tắc có bậc khác 0. Ta thấy hàm
số t có chỉ số bằng 1 dọc theo Γ. Ta xét hàm số phân tuyến tính
t − i
t + i
. Nó
có cùng tính chất trên trục thực. Argument của hàm này
arg
t − i
t + i
= arg
(t − i)2
t2 + i
= 2 arg(t − i)
thay đổi thêm 2π khi t chuyển dọc theo trục thực về hướng dương.
Vậy nên
Ind
t − i
t + i
= 1
Nếu Ind G(t) = κ thì hàm số G(t)
t − i
t + i
−κ
có chỉ số bằng 0 và khi đó
logarit là hàm số đơn trị trên trục thực.
Ta xây dựng hàm chính tắc với điểm đặc biệt được chọn là −i
X+
(z) = eΓ+
(z)
, X−
(z) =
z − i
z + i
−κ
eΓ−
(z)
. (1.54)
29

34. trong đó
Γ(z) =
1
2πi
∞
∞
ln
τ − i
τ + i
−κ
G(τ)
dτ
τ − z
Chuyển qua giá trị biên của hàm số này, ta chuyển điều kiện biên (1.50) về
dạng
Φ+
(t)
X+(t)
=
Φ−
(t)
X−(t)
+
g(t)
X+(t)
Tiếp theo, ta xét hàm số giải tích
Ψ(z) =
1
2πi
∞
∞
g(τ)
X+(τ)
dτ
τ − z
. (1.55)
Ta thu được điều kiện biên dưới dạng
Φ+
(t)
X+(t)
− Ψ+
(t) =
Φ−
(t)
X−(t)
− Ψ−
(t)
Ta thấy rằng Ψ−
(∞) = 0. Sử dụng định lý về thác triển giải tích và định lý
Liouville, chú ý đến đặc thù của hàm tại điểm z = −i có thể có cực điểm
bậc không quá −κ (khi κ > 0), ta thu được
Φ+
(t)
X+(t)
− Ψ+
(t) =
Φ−
(t)
X−(t)
− Ψ−
(t) =
Pκ(z)
(z + i)κ
trong đó Pκ(z) là đa thức bậc không quá κ, với hệ số tùy ý. Điều này suy
ra nghiệm tổng quát của bài toán
Φ(z) = X(z) Ψ(z) +
Pκ(z)
(z + i)κ
khi κ 0. (1.56)
Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + q] khi κ < 0. (1.57)
Khi κ < 0 thì hàm số X(z) có cực điểm tại điểm z = −i bậc −κ. Vậy nên
để bài toán giải được, ta thu được điều kiện q = −Ψ−
(−i)
Khi κ < −1, để bài toán giải được thì cần thêm điều kiện sau được thỏa
mãn ∞
−∞
g(τ)
X+(τ)
dτ
(τ + i)k
= 0(k = 2, . . . , −κ). (1.58)
Vậy nên ta cũng thu được kết quả như đối với trường hợp chu tuyến hữu hạn.
30

35. Định lý 1.11. Khi κ 0, bài toán bờ Riemann thuần nhất và không thuần
nhất cho cặp nửa mặt phẳng giải được vô điều kiện. Nghiệm của nó phụ
thuộc tuyến tính vào κ + 1 hằng số tùy ý.
Khi κ < 0 thì bài toán thuần nhất không có nghiệm. Bài toán không thuần
nhất luôn có nghiệm duy nhất trong trường hợp κ = −1 và khi κ < −1 đòi
hỏi thêm −κ − 1 điều kiện (1.55) cần được thỏa mãn.
Vậy ta đã thu được nghiệm của bài toán bờ Riemann triệt tiêu tại vô
cùng.
Ta xét trường hợp khi nghiệm không triệt tiêu tại vô cùng. Từ điều kiện biên
Φ+
(∞) = Φ−
(∞) = 0 , ta nhận được g(∞) = 0.
Ngược lại, ta thấy bài toán bờ Riemann có nghiệm triệt tiêu tại vô cùng,
thành phần tự do của điều kiện biên cũng phải triệt tiêu tại vô cùng.
Giả thiết rằng ta có điều này. Để nhận được nghiệm ta thay Pκ trong công
thức (1.54) bởi Pκ−1 và đặt q = 0 trong (1.55). Vậy nên:
Φ(z) = X(z) Ψ(z) +
Pκ−1(z)
(z + i)κ
. (1.59)
Khi κ 0 ta đặt Pκ−1 ≡ 0 trong công thức ở trên
Điều kiện giải được trở thành Ψ(−i) = 0. Vậy nên nó có dạng
∞
−∞
g(τ)
X+(τ)
dτ
(τ + i)k
= 0 (k = 1, . . . , −κ). (1.60)
Khi κ > 0 thì tồn tại nghiệm phụ thuộc vào κ hằng số tùy ý.
Khi κ 0 thì nghiệm là duy nhất, và khi κ < 0, để tồn tại nghiệm, điều
kiện cần và đủ là −κ điều kiện được thỏa mãn.
1.6 Phương trình đặc trưng của phương trình tích
phân kỳ dị với nhân Cauchy
Xét phương trình tích phân tuyến tính
ϕ(t) +
Γ
K(t, τ)ϕ(τ)dτ = f(t)
với nhân có dạng
K(t, τ) =
M(t, τ)
(τ − t)α
(0 α < 1),
31

36. trong đó M(t, τ) là hàm số liên tục, như đã biết, bằng cách xấp xỉ, ta có
thể đưa nó về phương trình tích phân với nhân liên tục. Phương trình dạng
này có mọi tính chất giống như phương trình Fredholm và được gọi là tựa
Fredholm hoặc đơn giản là phương trình Fredholm.
Khi α = 1 thì tích phân trở thành kỳ dị và phương pháp chuyển về phương
trình Fredholm không thực hiện trực tiếp được. Phương trình dạng này cần
có các phương pháp giải đặc biệt.
Ta sẽ xét phương trình với nhân Cauchy dạng
((Kϕ)(t))(t) ≡ a(t)ϕ(t) +
1
πi
Γ
M(t, τ)
τ − t
ϕ(τ)dτ = f(t), (1.61)
trong đó, tích phân (lấy theo nghĩa giá trị chính) dọc theo chu tuyến Γ mà
trong trường hợp tổng quát, nó gồm m + 1 đường cong đóng, đơn, Γ =
Γ0 ∪ Γ1 ∪ · · · ∪ Γm. Các hàm số a(t), f(t), M(t, τ) xác định trên Γ, được giả
thiết là thỏa mãn điều kiện H¨older, riêng hàm số cuối thỏa mãn điều kiện
H¨older với cả hai biến.
Thực hiện biến đổi
M(t, τ)
τ − t
=
M(t, τ) − M(t, t)
τ − t
+
M(t, t)
τ − t
và sử dụng ký hiệu
M(t, t) = b(t),
1
πi
M(t, τ) − M(t, t)
τ − t
= k(t, τ). (1.62)
Ta có thể viết phương trình (1.61) dưới dạng
(Kϕ)(t) ≡ a(t)ϕ(t) +
b(t)
πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ +
Γ
k(t, τ)ϕ(τ)dτ = f(t). (1.63)
Từ công thức (1.62) ta thấy hàm số b(t) thỏa mãn điều kiện H¨older trên chu
tuyến Γ và k(t, τ) cũng thỏa mãn khắp nơi trừ các điểm τ = t, trong đó
|k(t, τ)| <
A
|τ − t|1−λ
(0 < λ 1)
được thỏa mãn. Phương trình (1.63) được gọi là phương trình tích phân kỳ
dị đầy đủ. Khi f(t) không triệt tiêu, ta có phương trình không thuần nhất.
Biểu thức
Ko
ϕ ≡ a(t)ϕ(t) +
b(t)
πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ (1.64)
32

37. được gọi là phần chính của phương trình, còn số hạng
Γ
K(t, τ)ϕ(τ)dτ được
gọi là phần đều (không kỳ dị). Phương trình
Ko
ϕ ≡ a(t)ϕ(t) +
b(t)
πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ = f(t) (1.65)
được gọi là phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình đầy đủ (1.63),
và toán tử Ko
là toán tử đặc trưng.
Ký hiệu phần đều của phương trình là
(Kϕ)(t) ≡
Γ
K(t, τ)ϕ(τ)dτ
và
(Sϕ)(t) :=
1
πi
Γ
ϕ(τ)dτ
τ − t
là toán tử tích phân kỳ dị Cauchy.
Ta có thể viết phương trình đầy đủ dưới dạng
(Kϕ)(t) ≡ (Ko
ϕ)(t) + (kϕ)(t) = f(t).
Phương trình
((K ϕ)(t))(t) ≡ a(t)ϕ(t) −
1
πi
Γ
b(τ)ϕ(τ)
τ − t
dτ +
Γ
k(τ, t)ϕ(τ)dτ = 0 (1.66)
nhận được từ phương trình thuần nhất (Kϕ)(t) = 0 bởi đảo biến trong nhân,
được gọi là phương trình liên kết. Toán tử K là toán tử liên kết với K.
Trường hợp riêng, phương trình
((Ko
ϕ)(t))(t) ≡ a(t)ϕ(t) −
1
πi
Γ
b(τ)
τ − t
ϕ(τ)dτ = 0 (1.67)
là liên kết với phương trình đặc trưng (1.65).
Nhận xét rằng, toán tử Ko
, liên kết với toán tử đặc trưng Ko
không trùng
với toán tử K o
đặc trưng của toán tử liên kết. Về sau, chúng được cho bởi
công thức
((K o
ϕ)(t))(t) ≡ a(t)ϕ(t) −
b(t)
πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ. (1.68)
Ta sẽ đi tìm nghiệm này của phương trình tích phân kỳ dị, thỏa mãn điều
kiện H¨older.
33

38. 1.6.1 Chuyển phương trình đặc trưng về bài toán bờ Riemann
Xét lời giải của phương trình tích phân bằng cách đưa nó về lời giải của
bài toán bờ Riemann và kết quả có thể nhận được dưới dạng tường minh. Ta
xét hàm số giải tích từng khúc biểu diễn được bởi tích phân dạng Cauchy,
hàm mật độ của nó chính là lời giải của phương trình đặc trưng
Ko
ϕ ≡ a(t)ϕ(t) +
b(t)
πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ = f(t). (1.69)
Theo công thức Sokhotski, thì



ϕ(t) = Φ+
(t) − Φ−
(t),
1
πi Γ
ϕ(t)
τ − t
dt = Φ+
(t) + Φ−
(t)
(1.70)
Đặt giá trị của ϕ(t) và (Sϕ)(t) vào phương trình (1.69) và giải nó theo
Φ+
(t), ta nhận được hàm giải tích từng khúc Φ(z) là lời giải của bài toán bờ
Riemann
Φ+
(t) = G(t)Φ−
(t) + g(t), (1.71)
trong đó
G(t) =
a(t) − b(t)
a(t) + b(t)
, g(t) =
f(t)
a(t) + b(t)
. (1.72)
Vì hàm số Φ(z) biểu diễn theo tích phân dạng Cauchy nên nó phải thỏa mãn
điều kiện bổ sung
Φ−
(∞) = 0 (1.73)
Chỉ số của hệ số
a(t) − b(t)
a(t) + b(t)
của bài toán bờ Riemann (1.71) được gọi là chỉ
số của phương trình tích phân (1.69).
Ta giải bài toán bờ (1.71) bằng công thức (1.59), sau đó xác định lời giải của
phương trình (1.69).
Vậy nên, phương trình tích phân (1.69) đưa về được bài toán bờ Riemann
(1.71). Lời giải của phương trình ban đầu nhận được từ công thức thứ nhất
của (1.70). Để thiết lập tính tương đương của phương trình và bài toán bờ,
chỉ cần chứng minh rằng, ngược lại, lời giải của bài toán bờ ϕ(t) thỏa mãn
phương trình (1.69). Để có điều này, cần kiểm tra công thức thứ hai của
(1.70) xem có thỏa mãn hay không. Ta chứng minh là nó thỏa mãn.
Khi lời giải của bài toán (1.71) được biểu diễn bởi tích phân Cauchy, cả hai
34

39. công thức trong (1.70) thỏa mãn và một là của phương trình ban đầu của bài
toán bờ. Giả thiết rằng tồn tại hàm số Φ1(z) khác cũng thỏa mãn cùng điệu
kiện. Theo định nghĩa, các đẳng thức sau thỏa mãn Φ2(t) = Φ(t) − Φ1(t) và
Φ+
2 (t) − Φ−
2 (t) = 0.
Theo định lý Liouville và định lý thác triển giải tích, Φ2(z) ≡ 0. Do đó,
Φ1(z) = Φ(z) là hàm cần tìm.
Ta sẽ xét trường hợp giải chuẩn, khi hệ số G(t) của bài toán bờ Riemann
không triệt tiêu, tức phương trình (1.69) thỏa mãn điều kiện
a(t) ± b(t) = 0. (1.74)
Để đơn giản cách trình bày, ta chia hai vế của phương trình (1.69) cho
(a2(t) − b2(t)), tức là ta giả thiết hệ số của phương trình thỏa mãn điều
kiện
a2
(t) − b2
(t) = 1. (1.75)
Nhận xét rằng ta dễ dàng xây dựng được phương trình tích phân kỳ dị tương
ứng với bài toán bờ (1.71). Đặt vào điều kiện biên (1.71) giá trị giới hạn của
dạng tích phân Cauchy. Theo công thức Sokhotski, ta nhận được phương
trình tích phân kỳ dị đặc trưng
1
2
[1 + G(t)]ϕ(t) +
1 − G(t)
2πi
Γ
ϕ(τ)
τ − t
dτ = g(t). (1.76)
Theo công thức (1.70) nghiệm này của phương trình cuối chính là lời giải
của bài toán bờ Riemann. Vì rằng, tồn tại phương pháp để giải phương trình
đặc trưng độc lập với lời giải của bài toán bờ Riemann, phương trình (1.76)
được xem như phương pháp mới giải bài toán bờ Riemann. Tuy nhiên, công
thức trên cho phép xây dựng lời giải của phương trình tích phân kỳ dị đặc
trưng tương ứng với bài toán bờ Riemann.
1.6.2 Công thức nghiệm của phương trình đặc trưng
Ta đã biết, lời giải của bài toán bờ (1.71), với giả thiết κ ≥ 0, được tính
bằng công thức Sokhotski bởi giá trị giới hạn của hàm số tương ứng
Φ+
(t) = X+
(t)
1
2
g(t)
X+(t)
+ Ψ(t) −
1
2
Pκ−1(t) ,
35

40. Φ−
(t) = X−
(t) −
1
2
g(t)
X+(t)
+ Ψ(t) −
1
2
Pκ−1(t) ,
trong đó Ψ(t) là tích phân kỳ dị nhận được bởi thay thế z bởi t. Đa thức
tùy ý được chọn dưới dạng −
1
2
Pκ−1(t).
Do đó theo công thức (1.70) thì
ϕ(t) =
1
2
1 +
X−
(t)
X+(t)
g(t) + X+
(t) 1 −
X−
(t)
X+(t)
. Ψ(t) −
1
2
Pκ−1(t) .
Thay vào điều kiện biên [X−
(t)]/[X+
(t)] bởi 1/G(t). Ta nhận được
ϕ(t) =
1
2
1+
1
G(t)
g(t)+X+
(t) 1−
1
G(t)
.
1
2πi
Γ
g(τ)
X+(τ)
dτ
τ − t
−
1
2
Pκ−1(t) .
Thay X+
(t) vào biểu thức công thức nghiệm chính tắc và thay các giá trị
của G(t) và g(t) từ (1.70) ta nhận được
ϕ(t) = a(t)f(t) −
b(t)Z(t)
πi
Γ
f(τ)
Z(t)
dτ
τ − t
+ b(t)Z(t)Pκ−1(t), (1.77)
trong đó
Z(t) = [a(t) + b(t)]X+
(t) = [a(t) − b(t)]X−
(t) =
eΓ(t)
[txT(t)]
, (1.78)
Γ(t) =
1
2πi
Γ
ln τ−κ
T(τ)
a(τ) − b(τ)
a(τ) + b(τ)]
τ − t
dτ, (1.79)
và hệ số a(t), b(t) thỏa mãn điều kiện (1.75). Vì hàm số a(t), b(t), f(t) thỏa
mãn điều kiện H¨older, dựa vào tính chất của giá trị giới hạn của tích phân
dạng Cauchy, hàm số ϕ(t) cũng thỏa mãn điều kiện H¨older.
Số hạng cuối trong công thức (1.77) biểu diễn nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất (f(t) ≡ 0) và hai số hạng đầu là nghiệm riêng của phương
trình không thuần nhất.
So sánh công thức (1.77), ta nhận thấy hàm số
L(t, τ) :=
b(t)Z(t)
πiZ(τ)(τ − t)
đóng vai trò là kết thức của phương trình đặc trưng, và hàm riêng của nó
chính là ϕk(t) = b(t)Z(t)tk−1
(k = 1, 2, . . . , κ). Nghiệm riêng của phương
36

41. trình (1.69) có thể viết được dưới dạng Rf, trong đó R là toán tử xác định
bởi hệ thức
(Rf)(t) = a(t)f(t) −
b(t)Z(t)
πi
Γ
f(τ)
Z(t)
dτ
τ − t
.
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.69) có dạng
ϕ(t) = (Rf)(t) +
κ
k=1
c(Kϕ)(t)k(t). (1.80)
Xét trường hợp khi bài toán bờ (1.71) có thể giải trực tiếp bằng thức triển
giải tích, ta đi tìm lời giải của phương trình đặc trưng không ở dạng (1.77)
mà theo công thức (1.70).
Khi κ < 0, ta đã biết rằng bài toán bờ Riemann (1.71) nhìn chung là không
giải được. Điều kiện giải được là
Γ
g(τ)
X+(τ)
τk−2
dτ = 0(k = 1, 2, . . . , −κ) (1.81)
và cũng chính là điều kiện giải được đối với phương trình (1.69).
Đặt g(τ) và X+
(τ) vào biểu thức (1.72) và (1.78), ta có thể viết điều kiện
giải được dưới dạng
Γ
f(τ)
Z(τ)
τk−2
dτ = 0(k = 1, 2, . . . , −κ). (1.82)
Khi điều kiện được thỏa mãn, lời giải của phương trình không thuần nhất
(1.71) được cho bởi công thức (1.77) trong đó Pκ−1(t) ≡ 0. Ta trình bày các
kết quả trên như sau.
Định lý 1.12. Giả sử κ là chỉ số của phương trình. Khi đó
1. Khi κ > 0, phương trình thuần nhất Ko
ϕ = 0 có κ độc lập tuyến tính
nghiệm
ϕk(t) = b(t)Z(t)tk−1
(k = 1, 2, . . . , κ).
2. Khi κ 0, phương trình thuần nhất không giải được.
3. Khi κ 0, phương trình không thuần nhất là giải được với vế phải f(t)
tùy ý, và nghiệm tổng quát của nó phụ thuộc tuyến tính vào κ hằng số tùy
ý.
37

42. 4. Khi κ < 0, phương trình không thuần nhất là giải được khi và chỉ khi vế
phải f(t) thỏa mãn −κ điều kiện
Γ
ϕk(t)f(t)dt = 0, (1.83)
trong đó ϕk(t) = [1/Z(t)]tk−1
. So sánh các tính chất ở trên của phương
trình tích phân kỳ dị đặc trưng với tính chất của phương trình tích phân
Fredholm, ta nhận thấy một số khác biệt sau. Đối với phương trình Fredholm,
khi phương trình thuần nhất là giải được thì nhìn chung phương trình không
thuần nhất là không giải được, và ngược lại, khi phương trình đầu không giải
được thì phương trình cuối giải được vô điều kiện. Đối với phương trình tích
phân kỳ dị, thì khi phương trình thuần nhất là giải được thì không thuần
nhất cũng giải được vô điều kiện. Khi phương trình đầu không giải được, thì
phương trình cuối nhìn chung là không giải được.
Tương tự như trường hợp của phương trình Fredholm, ta đưa vào trong nhân
của phương trình đặc trưng tham số λ và xét phương trình
Ko
λϕ ≡ a(t)ϕ(t) +
λb(t)
πi
Γ
ϕ(t)
τ − t
dτ = 0.
Ta sẽ chứng minh phương trình là giải được khi
κ = Ind
a(t) − λb(t)
a(t) + λb(t)
> 0.
Chỉ số của hàm số liên tục biến thiên không liên tục, chỉ với các giá trị của
λ mà a(t) ± λb(t) = 0. Khi ta viết trên mặt phẳng phức λ = λ1 + iλ2 đường
cong λ = ±
a(t)
b(t)
, chia mặt phẳng thành miền có chỉ số hằng. Vậy nên, giá
trị riêng của phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng phủ đầy miền nguyên.
Do đó, phổ của phương trình này là khác phổ của phương trình Fredholm,
không rời rạc mà liên tục.
38

43. Chương 2
Phương trình tích phân Abel trên
đoạn hữu hạn
2.1 Phương trình tích phân Abel cổ điển
Xét phương trình Abel dạng
Aϕ ≡
x
α
ϕ(t)
(x − t)µ
dt = g(x), (0 < µ < 1). (2.1)
Sử dụng công thức
x
τ
(x − t)µ−1
(t − τ)−µ
dt =
π
sin µπ
. (2.2)
và phép thế t = τ + s(x − τ), ta thu được kết quả
1
0
s−µ
(1 − s)µ−1
ds =
Γ(µ)Γ(1 − µ)
Γ(1)
=
π
sin µπ
. (2.3)
Thay trong (2.1), τ bởi t và t bởi x, sau đó nhân với (x − t)µ−1
dt và lấy tích
phân từ α đến x, sử dụng công thức Dirichlet để đổi thứ tự tích phân, ta thu
được
x
α
dt
t
α
F(x, t, τ)dτ =
x
α
dτ
x
τ
F(x, t, τ)dt.
39

44. Ta có
x
α
g(t)dt
(x − t)1−µ
=
x
α
ϕ(τ)dτ
x
τ
(x − t)µ−1
(t − τ)
−µ
dτ =
π
sin µπ
x
α
ϕ(τ)dτ.
(2.4)
Vậy nên
ϕ(x) =
sin µπ
π
d
dx
x
α
g(t)dt
(x − t)1−µ
. (2.5)
Nếu g(x) là hàm khả vi, sau khi lấy tích phân từng phần và đạo hàm, nghiệm
có dạng
ϕ(x) =
sin µπ
π
g(α)
(x − α)1−µ
+
x
α
g (t)dt
(x − t)1−µ
. (2.6)
Sự tương đương của (2.5) và phương trình xuất phát (2.1) suy từ tính chất
sau
Phương trình sinh bởi toán tử biến đổi
Bψ ≡
x
α
ψ(t)dt
(x − t)1−µ
= 0
chỉ có nghiệm tầm thường. Điều này dễ thấy từ biến đổi tương tự như (2.4)
nhận được từ (2.1).
Giả thiết rằng (2.1) được xác định trên α x β và g (x) liên tục trên
cả đoạn kể cả đầu mút, ta nhận được (2.6) ứng với g(α) = 0 là nghiệm của
phương trình mà tại x = α có vô cùng bậc 1 − µ. Nghiệm cần tìm trong lớp
hàm dạng
ϕ(x) =
ϕ∗
(x)
(x − α)1−µ−e
(e > 0), (2.7)
trong đó ϕ∗
(x) là hàm thỏa mãn điều kiện H¨older trên [α, β].
Ta xét xem trong lớp nào cần phải lựa chọn đối với vế phải g(x).
Ta khảo sát lân cận điểm α. Đặt vào phương trình (2.1) biểu thức
ϕ(t) =
ϕ∗
(x)
(t − α)1−µ−e
.
và thế t = α + s(x − α), ta nhận được
g(x) = (x − α)e
1
0
ϕ∗
[α + s(x − α)]
s1−µ−e(1 − s)µ
ds.
40

45. Tích phân là hàm giới nội. Do đó g(x) có không điểm bậc e tại điểm ban
đầu α; tương ứng tại β. Vế phải, vì thế, có dạng
g(x) = (x − α)e
g∗
(x) (e > 0). (2.8)
Để xét g∗
(x) ta giả thiết rằng nó có đạo hàm thỏa mãn điều kiện H¨older
(điều kiện đủ). Công thức (2.6) chỉ ra rằng nghiệm ϕ(x) theo g(x) trong lớp
này thuộc lớp (2.7).
2.2 Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh bởi
hàm số
Trong phần này, ta khảo sát lớp các phương trình dạng Abel
Aϕ ≡
x
α
ϕ(t)
[g(x) − g(t)]µ
dt = f(x), (0 < µ < 1). (2.9)
Bài toán 2.1. Giải phương trình tích phân
x
a
y(t)dt
g(x) − g(t)
= f(x),
trong đó g(t) là hàm đơn điệu tăng có g (x) > 0.
Giải. Ta tìm nghiệm trong lớp hàm H¨older.
Đặt x = g(x), t = g(t), µ =
1
2
.
Khi đó phương trình có dạng
x
a
y(t)dt
(x − t)µ
= f(x).
Theo công thức (2.5) ta có nghiệm của bài toán là
ϕ(x) =
sin µπ
π
d
dx
x
a
f(t)dt
(x − t)µ
.
41

46. Thay x bởi g(x), t bởi g(t), µ =
1
2
vào công thức nghiệm ta có
y(x) =
sin
1
2
π
π
d
dx
x
a
f(t)d(g(t))
g(x) − g(t)
,
y(x) =
1
π
d
dx
x
a
f(t)gt(t)dt
g(x) − g(t)
.
Bài toán 2.2. Giải phương trình tích phân
x
a
eλ(x−t)
y(t)dt
g(x) − g(t)
= f(x),
trong đó g(t) là hàm đơn điệu tăng có g (x) > 0.
Giải. Ta tìm nghiệm trong lớp hàm H¨older.
Đặt x = g(x), t = g(t), µ =
1
2
.
Khi đó phương trình có dạng
x
a
eλ(x−t)
y(t)dt
(x − t)µ
= f(x).
Theo công thức (2.5) ta có nghiệm của bài toán là
ϕ(x) =
sin µπ
π
d
dx
x
a
f(t)dt
(x − t)µ
.
Thay x bởi g(x), t bởi g(t), µ =
1
2
vào công thức nghiệm ta có
y(x) =
sin
1
2
π
π
d
dx
x
a
f(t)d(g(t))
g(x) − g(t)
.
y(x) =
1
π
eλx d
dx
x
a
e−λt
f(t)gt(t)dt
g(x) − g(t)
.
42

47. 2.3 Phương trình tích phân Abel suy rộng trên đoạn
hữu hạn
2.3.1 Tích phân với nhân lũy thừa
Ta xét hàm giải tích biểu diễn bởi tích phân
Φ(z) = [(z − a)(β − z)]
1
2
µ−
1
2
β
α
ϕ(t)dt
(t − z)µ
. (2.10)
Hàm đa trị [(z − α)(β − z)]
1
2
µ−
1
2(t − z)−µ
được xác định trong mặt phẳng
với lát cắt dọc theo đoạn α x β bởi một số nhánh. Hàm mật độ của
tích phân ϕ(t) được lấy từ lớp các hàm dạng
ϕ(x) =
ϕ∗
(x)
[(x − α)(β − x)]1−µ−e
.
Rõ ràng Φ(z) là hàm giải tích trên mặt phẳng phức với lát cắt dọc theo đoạn
[α, β]. Tại mọi điểm của lát cắt khác đầu mút, hàm Φ(z) thỏa mãn điều kiện
H¨older khi ϕ(t) thuộc lớp (2.10). Tại lân cận điểm vô cùng và điểm đầu mút
α, β, ta nhận được từ (2.9) dáng điệu
Φ(z) = O
1
z
. (2.11)
Φ(z) = O (z − α)
−
1 − µ
2 . (2.12)
Φ(z) = O (β − z)
−
1 − µ
2 . (2.13)
Để đơn giản, ta đặt
[(z − α)(β − z)]
1
2
(1−µ)
= R(z). (2.14)
Khi đó (2.10) có dạng
Φ(z) =
1
R(z)
β
α
ϕ(t)dt
(t − z)µ
.
43

48. Ta đặt Φ+
(x) là các giá trị giới hạn của Φ(z) và viết Φ(z) như sau
Φ(z) =
1
R(z)
x
α
ϕ(t)dt
(t − z)µ
+
β
x
ϕ(t)dt
(t − z)µ
(2.15)
Ta viết các giá trị giới hạn Φ+
(x) dưới dạng biểu thức của tích phân ở vế
phải.
Từ (2.14) ta có
Φ+
(x) =
1
R(x)
eµπi
x
α
ϕ(t)dt
(x − t)µ
+
β
x
ϕ(t)dt
(t − x)µ
. (2.16)
Nếu z tiến tới x ở bờ dưới thì argumen của các số β−z và t−z với β > t > x
tiến tới cùng giá trị như đối với bờ trên, trong khi đó thì argumen của z − α
và t − z tiến tới 2π và π, tương ứng, khi α < t < x, tức là chúng tăng thêm
2π.
R−
(x) = e
2πi
1
2
(1−µ)
R(x) = −e−µπi
R(x).
Vậy nên
Φ−
(x) = −
1
R(x)
x
α
ϕ(t)dt
(x − t)µ
+ eµπi
β
x
ϕ(t)dt
(t − x)µ
.
Xét hệ thức (2.15), ta nhận được cặp công thức
x
α
ϕ(t)dt
(x − t)µ
=
eµπi
Φ+
(x) + Φ−
(x)
e2µπi − 1
R(x). (2.17)
β
x
ϕ(t)dt
(x − t)µ
= −
Φ+
(x) + eµπi
Φ−
(x)
e2µπi − 1
R(x).
2.3.2 Phương trình tích phân Abel suy rộng
Xét phương trình tích phân
a(x)
x
α
ϕ(t)dt
(x − t)µ
+ b(x)
β
x
ϕ(t)dt
(t − x)µ
= f(x) (0 < µ < 1). (2.18)
44

49. Giả thiết rằng hàm a(x), b(x) xác định trên [α, β] không triệt tiêu đồng thời
và chúng thỏa mãn điều kiện H¨older. Ta lấy vế phải dưới dạng
f(x) = [(x − a)(b − x)]e
f∗
(x) (e > 0), (2.19)
trong đó f∗
(x) có đạo hàm thuộc lớp hàm H¨older trên [α, β]. Nghiệm cần
tìm trong lớp hàm thỏa mãn điều kiện
ϕ(x) =
ϕ∗
(x)
[(x − a)(b − x)]1−µe
(e > 0), (2.20)
trong đó ϕ∗
(x) thỏa mãn điều kiện H¨older trên [α, β]. Để tìm nghiệm, ta sử
dụng phương pháp thác triển giải tích trong mặt phẳng phức. Ta xét hàm
giải tích được biểu diễn bởi tích phân với nhân lũy thừa đối với nghiệm như
là hàm mật độ của tích phân
Φ(z) =
1
R(z)
β
α
ϕ(t)dt
(t − z)µ
.
Thế vào phương trình (2.17) giá trị của tích phân từ công thức (2.16) ta được
hệ thức thỏa mãn trên [α, β].
Φ+
(x) =
eµπi
b(x) − a(x)
eµπia(x) − b(x)
Φ−
(x) +
(e2µπi
− 1)f(x)
R(x)[eµπia(x) − b(x)]
. (2.21)
Đây chính là điều kiện biên của bài toán Riemann với chu tuyến [α, β]. Giải
bài toán bờ này ta nhận được nghiệm của phương trình tích phân xuất phát
(2.18) từ công thức (2.17) theo lời giải phương trình tích phân Abel cổ điển.
Nghiệm của phương trình tích phân (2.18) tìm trong lớp (2.19) được xác định
qua nghiệm của bài toán bờ Riemann (2.21) thỏa mãn điều kiện (2.11)-(2.13)
và do đó là nghiệm của phương trình Abel (2.17) trong lớp của hàm(2.20).
Chứng minh sự tương đương của các bài toán này dựa trên bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.1. Nếu các giá trị giới hạn của hàm Φ(z) là giải tích trong mặt
phẳng với lát cắt dọc theo [α, β] và thỏa mãn điều kiện (2.11)-(2.13) tương
ứng với ϕ(x) bởi hệ thức (2.17) thì biểu diễn (2.10) thỏa mãn đối với Φ(z).
Chứng minh. Hiển nhiên rằng, hàm Φ+
(x) và Φ−
(x), sinh bởi biểu diễn
(2.10) thỏa mãn hệ thức (2.17). Giả thiết rằng tồn tại hàm Φ1(z) khác (2.10)
cũng thỏa mãn (2.17). Thế thì hiệu Φ2(z) = Φ(z) − Φ1(z) phải thỏa mãn
45

50. điều kiện của bài toán bờ Riemann thuần nhất.
Φ+
2 (x) = −e−µπi
Φ−
2 (ψ). (2.22)
Ta tìm nghiệm trong lớp các hàm có bậc vô hạn lớn nhất có thể có tại cả hai
đầu mút
G(t) = e(1−µ)πi
, κ = 1, Pκ−1(z) = C = const,
Γ(z) =
1
2πi
β
α
ln G(t)
t − z
dt =
(1 − µ)πi
2πi
ln
z − β
z − α
.
Vậy nên từ công thức (2.5), ta có
X(z) = (z − β)−1
eΓ(z)
= (z − β)
−
1
2
(1+µ)
(z − α)
−
1
2
(1−µ)
.
Nghiệm tổng quát của bài toán được viết dưới dạng
Φ2(z) = C(z − α)
−
1
2
(1−µ)
(β − z)
−
1
2
(1+µ)
. (2.23)
Điều kiện (2.13) thỏa mãn khi C = 0.
Vậy nên Φ2(z) = 0 tức là Φ1(z) ≡ Φ(z).
Tiếp theo ta thiết lập sự tương đương
Khi ϕ(x) là nghiệm của phương trình (2.18) trong lớp (2.20), thì hàm Φ(z)
theo biểu diễn (2.10) phải thỏa mãn điều kiện (2.11)-(2.13) và nó phải là
nghiệm của bài toán bờ (2.21).
Ngược lại, giả sử Φ(z) là nghiệm của bài toán bờ (2.21) thỏa mãn điều
kiện (2.11)-(2.13). Hàm ϕ(t) thuộc lớp (2.20) tìm được từ phương trình Abel
(2.17) và ta thu được điều kiện tồn tại nghiệm đơn trị. Ta nhân bởi a(x) và
b(x) tương ứng và cộng chúng lại với nhau, ta thu được điều kiện biên (2.21)
và phương trình (2.18). Như vậy sự tương đương đã được thiết lập.
Bài toán bờ thuần nhất (2.21) tương ứng với phương trình thuần nhất (2.18)
(f ≡ 0).
Ta sẽ thiết lập hệ thức giữa lớp các nghiệm của chúng.
Ta đặt
eµπi
b(x) − a(x)
eµπia(x) − b(x)
= G(x).
Giả sử G(α) = eiθ
. Theo công thức (2.23), ta nhận được nghiệm trong lớp
các hàm giới nội trong α bởi cách chọn θ = argG(α) với 0 < θ < 2π, trong
46

51. đó khi −2π < θ 0, ta có nghiệm không giới nội. Nếu θ là số dương bé nhất
thỏa mãn điều kiện θ (1 − µ)π, thì cả hai lớp nghiệm của các bài toán bờ
là lời giải của phương trình.
Tuy nhiên khi θ > (1 − µ)π, điều kiện (2.11) là cần để loại nghiệm không
giới nội.
Vế phải của phương trình Abel (2.17) thuộc lớp đang xét, do thêm nhân
tử R(x) vào lớp (2.9) và vì vậy nghiệm của phương trình (2.18) thuộc lớp
(2.11). Các nghiệm của phương trình xuất phát (2.18) luôn tương ứng, theo
công thức (2.7), với nghiệm không giới nội của bài toán bờ.Tuy nhiên ứng với
nghiệm giới nội của bài toán bờ, có thể là nghiệm giới nội hoặc nghiệm không
giới nội của phương trình xuất phát, tùy thuộc cách chọn θ = arg G(α).
Ta xét một trường hợp đặc biệt. Khi a(x) = b(x) = 1, phương trình (2.18)
trở thành
β
α
ϕ(t)dt
|1 − t|µ
= f(x). (2.24)
Đây là phương trình tích phân Abel với khoảng hữu hạn. Bài toán bờ tương
ứng (2.21) là bài toán bước nhảy
Φ+
(x) − Φ−
(x) =
eµπi
+ 1
R(x)
f(x). (2.25)
Nghiệm duy nhất được xác định bởi tích phân Cauchy
Φ(z) =
eµπi
+ 1
2πi
β
α
f(t)
R(t)
dt
t − z
.
Điều kiện (2.13) thỏa mãn suy từ tính chất của tích phân Cauchy. Ta chỉ còn
phải giải phương trình tích phân Abel cổ điển
β
α
ϕ(t)
(x − t)α
dt =
1
2
f(x) −
cot µπ
2π
R(x)
β
α
f(t)
R(t)
dt
t − x
. (2.26)
Khi f(x) thuộc lớp (2.19), công thức (2.6) cho ta nghiệm của phương trình
xuất phát (2.24) thuộc lớp (2.20).
47

52. 2.3.3 Ví dụ
Giải phương trình
x
α
(x − t)µ
ϕ(t)dt = f(x), 0 < µ < 1.
Sử dụng công thức
x
τ
(x − t)µ−1
(t − τ)−µ
dt =
π
sin µπ
.
Đặt t = τ + s(x − τ).
Ta có
1
0
[x − τ − s(x − τ)]µ−1
[τ − τ − s(x − τ)]−µ
(x − τ)ds
=
1
0
(1 − s)µ−1
(x − τ)µ−1
− s−µ
(x − τ)−µ
(x − τ)ds
=
1
0
(1 − s)µ−1
− s−µ
ds =
π
sin µπ
.
Thay t bởi τ, x bởi t, đặt µ = −λ, ta có
x
α
(x − t)µ
ϕ(t)dt =
t
α
(t − τ)−λ
ϕ(τ)dτ.
Nhân với (x − t)λ−1
và lấy tích phân từ α đến x, ta được
x
α
dτ
t
α
ϕ(τ)(t − τ)−λ
(x − t)λ−1
dt
=
x
α
ϕ(τ)dτ
x
τ
(t − τ)−λ
(x − t)λ−1
dt.
Ta có
x
α
g(t)dt
(x − t)1−λ
=
x
α
ϕ(τ)dτ
x
τ
(t − τ)−λ
(x − t)λ−1
dt =
π
sin λπ
x
α
ϕ(τ)dτ,
48

53. d
dx
x
α
g(t)dt
(x − t)1−λ
=
π
sin λπ
ϕ(x).
Suy ra ϕ(x) =
sin λπ
π
d
dx
x
α
g(t)dt
(x − t)1−λ
=
sin µπ
π
d
dx
x
α
g(t)dt
(x − t)1+µ
.
49

54. Chương 3
Phương trình tích phân Abel trên
toàn trục thực
3.1 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực
Phương trình Abel suy rộng dạng
a(t)
t
−∞
ϕ(τ)dτ
(t − τ)µ
+ b(t)
+∞
t
ϕ(τ)dτ
(τ − t)µ
= f(t), 0 < µ < 1. (3.1)
t
−∞
a(τ)ϕ(τ)dτ
(t − τ)µ
+
+∞
t
b(τ)ϕ(τ)dτ
(τ − t)µ
= g(t), 0 < µ < 1. (3.2)
Phương trình (3.1) và (3.2) được gọi tương ứng là phương trình Abel với hệ
số trong và phương trình Abel với hệ số ngoài. Trong mục này, ta chỉ ra rằng
phương trình (3.1) và (3.2) cho mọi nghiệm dưới dạng hiển. Phương pháp sử
dụng là biến đổi phương trình này vào phương trình tích phân kỳ dị với biến
đổi Hilbert.
Ta có đẳng thức sau thỏa mãn
1
π
+∞
−∞
dτ
τ − t
τ
−∞
ϕ(σ)dσ
(t − σ)µ
= cot(µπ)
t
−∞
ϕ(τ)dτ
(t − τ)µ
+ cosec(µπ)
+∞
t
ϕ(τ)dτ
(τ − t)µ
.
50

55. Suy ra
1
sin(µπ)
+∞
t
ϕ(τ)dτ
(τ − t)µ
=
1
π
+∞
−∞
dτ
τ − t
τ
−∞
ϕ(σ)dσ
(t − σ)µ
− cot(µπ)
t
−∞
ϕ(τ)dτ
(t − τ)µ
.
(3.3)
Đặt
(Sϕ)(t) =
1
π
+∞
−∞
ϕ(τ)dτ
(τ − t)
,
(Kϕ)(t) =
t
−∞
ϕ(τ)dτ
(t − τ)µ
.
Khi đó công thức (3.3) trở thành
1
sin(µπ)
+∞
t
ϕ(τ)dτ
(τ − t)µ
= (SK − cot(µπ)K)(ϕ).
Đặt Kϕ(t) = ψ(t), phương trình (3.1) có dạng
(a(t) − b(t) cos(µπ))ψ(t) + b(t) sin(µπ)(Sψ)(t) = f(t).
Ta viết lại (3.1) như sau
u(t)ψ(t) + v(t)(Sψ)(t) = f(t), (3.4)
trong đó
u(t) = a(t) − b(t) cos(µπ))ψ(t),
v(t) = b(t) sin(µπ).
Theo công thức Sokhotski, thì



ϕ(t) = Φ+
(t) − Φ−
(t),
1
πi Γ
ϕ(t)
τ − t
dt = Φ+
(t) + Φ−
(t)
(3.5)
Phương trình (3.4) trở thành
f(t) = Φ+
(t)(u(t) + iv(t)) + Φ−
(t)(−u(t) + iv(t)).
Suy ra
Φ+
(t) =
f(t)
u(t) + iv(t)
+ Φ−
(t)
u(t) − iv(t)
u(t) + iv(t)
.
51

56. Đặt
g(t) =
f(t)
u(t) + iv(t)
,
G(t) =
u(t) − iv(t)
u(t) + iv(t)
.
ta đưa về bài toán bờ Riemann
Φ+
(t) = G(t)Φ−
(t) + g(t). (3.6)
Khi đó theo công thức (1.46) ta thu được nghiệm
Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ(z)],
trong đó X(z), Ψ(z) cho bởi công thức (1.42), (1.45).
3.2 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực với
phản xạ
Phương trình Abel suy rộng dạng
(Aαϕ)(t) :=
∞
−∞
a0(t) + a1(t)sign(τ − t)
|τ − t|1−α
ϕ(τ)dτ = f(t), 0 < α < 1.
(Aα
ϕ)(t) :=
∞
−∞
a0(τ) + a1(τ)sign(τ − t)
|τ − t|1−α
ϕ(τ)dτ = g(t), 0 < α < 1.
được nghiên cứu bởi Samko và nhiều người khác. Trong mục này, ta xét
phương trình Abel suy rộng với phản xạ, dạng sau
t
−∞
u(t)ϕ(τ) + r(t)ϕ(−τ)
(t − τ)1−α
dτ +
+∞
t
r(t)ϕ(τ) + v(t)ϕ(−τ)
(τ − t)1−α
dτ = f(t). (3.7)
t
−∞
u(τ)ϕ(τ) + r(τ)ϕ(−τ)
(t − τ)1−α
dτ +
+∞
t
r(τ)ϕ(τ) + v(τ)ϕ(−τ)
(τ − t)1−α
dτ = g(t). (3.8)
Phương trình (3.7) và (3.8) được gọi tương ứng là phương trình Abel với hệ
số trong và với phản xạ và phương trình Abel với hệ số ngoài và với phản xạ.
52

57. Phương trình Abel suy rộng với phản xạ và hệ số hằng được giải bởi Vasilev.
Ta cũng chỉ ra rằng phương trình (3.7) và (3.8) cho mọi nghiệm dưới dạng
hiển. Phương pháp sử dụng là biến đổi phương trình này vào phương trình
tích phân kỳ dị với biến đổi Hilbert
(Hϕ)(t) =
1
π
∞
−∞
ϕ(τ)dτ
τ − t
và với phản xạ như trong mục trước.
Giả thiết rằng 0 < α < 1, X = Lp(R), 1 < p <
1
α
, u ∈ Hµ
(R), a < µ < 1.
Ta xét phương trình (3.1) và (3.2) trong X.
Giả thiết rằng f(t), g(t) ∈ Iα
(X), tức là, f, g ∈ Lq(R), q = (1 − αp)−1
p và
supε>0||Dα
ε f||p < ∞, trong đó
(Dα
ε f)(t) =
+∞
ε
f(t) − f(t − τ)
τα+1
dτ
Nếu f ∈ Iα
(X), thì phương trình
t
−∞
ϕ(τ)dτ
(t − τ)1−α
= f(t) (3.9)
có nghiệm duy nhất dạng
ϕ(t) =
α sin(1 − α)π
π
τ
−∞
f(t) − f(τ)
(t − τ)1+α
dτ. (3.10)
Ta đã biết rằng toán tử Aα và Aα
ánh xạ Lp(R) vào Lq(R), khi a0 và a1 là
giới nội. Hơn nữa, các đẳng thức sau thỏa mãn
1
π
+∞
−∞
dτ
τ − t
τ
−∞
ϕ(σ)dσ
(t − σ)µ
= cot(µπ)
t
−∞
ϕ(τ)dτ
(t − τ)µ
+ cosec(µπ)
+∞
t
ϕ(τ)dτ
(τ − t)µ
.
Suy ra
1
π
+∞
−∞
dτ
τ − t
τ
−∞
ϕ(−σ)dσ
(t − σ)µ
= cot(µπ)
t
−∞
ϕ(−τ)dτ
(t − τ)µ
+ cosec(µπ)
+∞
t
ϕ(−τ)dτ
(τ − t)µ
.
53

58. Vậy nên nếu ta giả thiết
ψ(t) =
+∞
−∞
ϕ(τ)dτ
(t − τ)1−α
thì phương trình (3.7) có dạng
a(t)ψ(t) + b(t)ψ(−t) +
c(t)
πi
+∞
−∞
ψ(τ) + ψ(−τ)
τ − t
dτ = f(t), (3.11)
trong đó
a(t) = u(t) + r(t) cos(1 − α)π,
b(t) = v(t) + r(t) cos(1 − α)π,
c(t) = 2i[sin(1 − α)π]r(t). (3.12)
Xét phương trình (3.11) trong X. Ta viết
(Q1ψ)(t) =
1
2
[ψ(t) + ψ(−t)], (Q2ψ)(t) =
1
2
[ψ(t) − ψ(−t)].
Dễ thấy rằng
Q1 + Q2 = I, Q1Q2 = Q2Q1 = 0, Q2
1 = Q1, Q2
2 = Q2,
X = X1 ⊕ X2, Xj = QjX, j = 1, 2
Ta viết lại (3.8) như sau
a+(t)(Q1ϕ)(t) + a−(t)(Q2ϕ)(t) + b+(t)(SQ1ϕ)(t) = f(t),
trong đó
a+(t) = (t) + b(t), a−(t) = a(t) − b(t), b+(t) = c(t), (3.13)
(Sϕ)(t) =
1
πi
+∞
−∞
ϕ(τ)dτ
τ − t
= −i(Hϕ)(t).
Định lý 3.1. Giả sử ϕ1(t) là nghiệm của phương trình
ˆu(t)ϕ1(t) + ˆv(t)(Sϕ1)(t) = c1(t)f1(t) − c2(t)f2(t),
54

59. trong X, trong đó
ˆu(t) =
1
2
[a+(t)a−(t) + a+(−t)a−(−t)],
ˆv(t) =
1
2
[b+(t)a−(−t) + a−(t)b+(−t)],
c1,2(t) =
1
2
[a−(t) + a−(−t)], f1,2 =
1
2
[f(t) + f(−t)].
Nếu
ϕ2(t) = [ˆu(t)]−1
[−ˆv1(t)(Sϕ1)(t) + A1(t)f1(t) − A2(t)f2(t)],
trong đó
ˆv1 =
1
2
[a+(t)b+(−t) + a+(−t)b+(t)],
thì phương trình (3.8) có nghiệm dạng
ϕ(t) =
α sin(1 − α(π))
π
t
−∞
ϕ(t) − ϕ(τ)
(t − τ)1−α
dτ,
trong đó
ϕ(t) = (Q1ϕ1)(t) + (Q2ϕ2)(t).
Hệ quả 3.1. Phương trình (3.1) cho mọi nghiệm dưới dạng hiển.
Tương tự nếu ta áp dụng công thức
1
π
t
−∞
dτ
(t − τ)µ
+∞
−∞
ϕ(σ)dσ
(σ − τ)
= cot(µπ)
t
−∞
ϕ(τ)dτ
(t − τ)µ
+
1
sin(µπ)
+∞
t
ϕ(τ)dτ
(τ − t)µ
,
1
π
t
−∞
dτ
(t − τ)µ
+∞
−∞
ϕ(−σ)dσ
(σ − τ)
= cot(µπ)
t
−∞
ϕ(−τ)dτ
(τ − t)µ
+
1
sin(µπ)
+∞
t
ϕ(−τ)dτ
(τ − t)µ
.
Ta có thể viết mở rộng phương trình Abel (3.2) dưới dạng
a(t)ϕ(t) + b(t)ϕ(−t) +
c(t)
πi
+∞
−∞
ϕ(τ) + ϕ(−τ)
τ − t
dτ = g1(t),
trong đó
g1(t) =
α sin(1 − α)π
π
t
−∞
g(t) − g(τ)
(t − τ)1−α
dτ.
Từ định lý 3.1, ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 3.2. Phương trình (3.8)cho mọi nghiệm dưới dạng hiển.
55

60. 3.3 Ví dụ áp dụng
Giải phương trình tích phân
x
α
ϕ(t)dt
(x − t)µ
+
β
x
ϕ(t)dt
(t − x)µ
= x2
(0 < µ < 1). (3.14)
Ta có từ phương trình (2.18) a(x) = b(x) = 1 và f(x) = x2
thỏa mãn điều
kiện (2.19) tương ứng.
Khi đó phương trình trở thành
β
α
ϕ(t)
|x − t|µ
dt = x2
.
Theo công thức (2.20) ta có điều kiện biên của bài toán Riemann với chu
tuyến [α, β] là
Φ+
(x) =
eµπi
− 1
eµπi − 1
Φ−
(x) +
(e2µπi
− 1)x2
R(x)[eµπi − 1]
.
Khi đó G(t) = 1, κ = 0.
Bài toán Riemann tương ứng là bài toán bước nhảy
Φ+
(x) − Φ−
(x) =
(eµπi
+ 1)x2
R(x)
.
Theo công thức Sokkhotski ta có nghiệm duy nhất được xác định bởi tích
phân Cauchy
Φ(z) =
eµπi
+ 1
2πi
β
α
t2
R(t)
dt
t − z
.
Từ tính chất của tích phân Cauchy ta có điều kiện (3.13) thỏa mãn
Khi đó ta chỉ cần giải phương trình Abel cổ điển
β
α
ϕ(t)
(x − t)µ
dt =
1
2
f(x) +
cot µπ
2π
R(x)
β
α
t2
R(t)
dt
t − x
.
Theo công thức (3.6), ta có nghiệm của bài toán
ϕ(x) =
1
2π
cot
kπ
2
d
dx
x
α
t2
(x − t)1−k
dt −
1
π2
cos2 kπ
2
x
α
R(t)F(t)
(x − t)1−k
dt,
56

61. trong đó
R(t) = [t(1 − t)]
1
2
(1−µ)
,
F(t) =
d
dt
t
α
dτ
(t − τ)µ
β
τ
s2
ds
R(s)(s − τ)1−µ
.
57

62. Kết luận
Luận văn đã trình bày các vấn đề chính sau đây
- Trình bày cách giải tường minh của bài toán tích phân Abel và mở
rộng của nó.
- Trình bày cách giải tường minh của phương trình tích phân Abel suy
rộng trên trục thực.
- Xét một số ví dụ minh hoạ.
58

63. Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
1. Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử và phương trình tích phân
kỳ dị, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
Tiếng Anh
2. B.N. Mandal, A. Chakrabarti (2011), Applied singular integral equations,
Sci. Publishers.
3. D.Przeworska-Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, Amsterdam-Warsaw.
4. D. Przeworska-Rolewicz and S. Rolewicz (1968), Equations in linear
spaces, Warsaw Pub.
5. F.D. Gakhov (1966), Boundary value problems, Pergamon Press, Oxford.
6. Nguyễn Văn Mậu (2005), Algebraic elements and boundary value
problems in linear spaces, VNU Pub. House.
59