Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp dạy toán với đề tài: Vai trò của hình vẽ trong hình học giải tích ở lớp 10, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Trường Tồn
VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG HÌNH
HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2. 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Trường Tồn
VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG HÌNH
HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10
Chuyên ngành: Lý Luận Và Phương Pháp dạy Học
Môn Toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐOÀN HỮU HẢI
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

3. 1
LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Đoàn Hữu Hải, hiệu
trưởng trường TH – THCS – THPT Trương Vĩnh Ký, Q.11, TP. Hồ Chí Minh, nguyên
trưởng phòng đào tạo trương Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã dành
nhiều công sức hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi hoàn thành luận văn này
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,
TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy,
truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức didactic toán. Xin trân trọng cảm ơn các
thầy cô khác đã tham gia giảng dạy lớp didactic toán khóa 19.
Tôi cũng chân thành cảm ơn:
* Ban Giám Hiệu trường Đại Học Sư Phạm đã tạo điều kiện tốt nhất về điều
kiện học tập trong suốt thời gian tôi học tập tại trường
* Phòng Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp tôi
hoàn tất chương trình và các thủ tục bảo vệ luận văn
* Ban giám hiệu trường TH – THCS – THPT Đại Việt, Gò Vấp TP. Hồ Chí
Minh đã tạo điều kiện tốt nhất về mặt thời gian để tôi hoàn thành khóa học
* Các bạn giáo viên đồng nghiệp: Nguyễn Thị Kim Cúc (trường THPT Bình
Sơn, Hòn Đất, Kiên Giang), Trần Nguyễn Quang Thái (trường THPT Thanh Bình I,
Thanh Bình, Đồng Tháp), Cao Bảo Đằng (trường THPT Thủ Khoa Nghĩa, Châu Đốc,
An Giang) đã hỗ trợ tôi hoàn thành bài thực nghiệm
* Các bạn cùng khóa didactic toán khóa 19 đã chia sẽ những niềm vui cũng
như những khó khăn trong suốt khóa học

4. 2
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
ĐS: đại số
HH: hình học
HS: học sinh
GV: giáo viên
SBT: sách bài tập
SGK: sách giáo khoa
SGV: sách giáo viên
HHGT: hình học giải tích
THCS: trung học cơ sở
THPT: trung học phổ thông
[X, tr.Y]: tài liệu tham khảo X, trang Y
X/SBT/Y: bài tập X của SBT trang Y
X/SGK/Y: bài tập X của SGK trangY

5. 3
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................... 1
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT..............................................................2
MỤC LỤC................................................................................................ 3
MỞ ĐẦU ................................................................................................. 5
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ....................................................... 5
2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................. 6
3. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ................................................ 7
3.1. Phương pháp nghiên cứu:............................................................................. 7
3.2. Cấu trúc của luận văn .................................................................................. 7
CHƯƠNG 1: HÌNH VẼ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 9
1. Hình vẽ trong dạy hình học .................................................................................... 9
1.1. Hình hình học và hình vẽ ............................................................................. 9
1.1.1. Hình hình học........................................................................................ 9
1.1.2. Hình vẽ ................................................................................................ 10
1.2. Hình vẽ trong các công trình đã nghiên cứu .............................................. 10
2. Hình học giải tích ................................................................................................. 13
CHƯƠNG II: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG THỂ CHẾ DẠY – HỌC HÌNH
HỌC GIẢI TÍCH LỚP 10 ..........................................................................16
A. Phân tích chương trình......................................................................................... 16

6. 4
B. Phân tích SGK, SBT, SGV HH10 ....................................................................... 17
I. Tìm hiểu SGV ................................................................................................ 17
II. Tìm hiểu SGK............................................................................................... 20
1.Hình vẽ trong giới thiệu các khái niệm...................................................... 20
2. Hình vẽ trong dạy - học các bài tập........................................................... 26
CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM.............................................67
1. Mục đích............................................................................................................... 67
2. Giới thiệu bài toán thực nghiệm........................................................................... 67
3.1. Các chiến lược............................................................................................ 68
3.2. Phân tích các bài toán thực nghiệm............................................................ 68
4. Phân tích a posteriori............................................................................................ 80
4.1. Thống kê bài toán 1................................................................................... 80
4.2. Thống kê bài toán 2.................................................................................... 81
4.3. Thống kê bài toán 3.................................................................................... 84
4.4. Phân tích bài toán 4 .................................................................................... 86
KẾT LUẬN ............................................................................................ 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 92
PHỤ LỤC ……………………………………………………………………………96

7. 5
MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong chương trình toán trung học ở Việt Nam hiện hành, các phương pháp để
tiếp cận hình học đã giới thiệu đầy đủ. Ở cấp THCS, phương pháp tổng hợp là duy
nhất. Đến cấp THPT, bên cạnh phương pháp tổng hợp (lớp 11 và 12) HS được giới
thiệu thêm phương pháp vectơ (lớp 10) và phương pháp tọa độ (lớp 10, 12).
- SGV HH10 có ghi nhận sau:
”Trong chương trình Hình học 10, HS làm quen với một phương pháp tư duy
mới: tư duy hình học bằng những con số, tìm hiểu tính chất của các đường thẳng,
đường cong, đường elip thông qua phương trình của chúng
Việc đưa “vectơ và phương pháp tọa độ” vào chương trình Hình học lớp 10
giúp cho học sinh sớm tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại mang tính khoa
học cao, giúp cho HS có thêm những công cụ mới để suy luận và tư duy một cách chặt
chẽ và chính xác, tránh được các hiểu lầm do trực giác mang tới”[19, tr 8]
- Trong thực tế giảng dạy bài toán: “Cho tam giác ABC biết đỉnh (4; 1)B − ,
phương trình đường cao : 2 3 12 0CH x y− + − = và trung tuyến : 2 3 0CK x y+ =. Lập
phương trình các cạnh của tam giác ABC ” chúng tôi nhận thấy có hiện tượng sau:
+ Khi giải bài toán này, phần lớn HS đều có sử dụng đến hình vẽ. Khi được hỏi
lí do tại sao lại dùng hình vẽ vào làm bài toán này, HS cho rằng chưa xác định được
điểm đi qua cũng như vectơ pháp tuyến của các đường thẳng trong đề bài. Do đó, hình
vẽ là cần thiết để biểu diễn các quan hệ mà từ đó ta chỉ ra được điểm đi qua và vectơ
pháp tuyến. Chẳng hạn, khai thác giả thiết về đường trung tuyến CK, hình vẽ sẽ chỉ ra
hai đặc điểm của điểm K: trung điểm của AB, giao điểm của AB và CK. Giải hệ
phương trình gồm hai phương trình của hai đường thẳng CK và AB (vừa tìm ra). Khi

8. 6
đó ta tìm được tọa độ của điểm K, rồi suy ra tọa độ của A. Khi đó, viết phương trình
đường thẳng AC là viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và C (tìm được
ban đầu).
+ Khi trao đổi với đồng nghiệp về việc hướng dẫn giảng dạy bài toán này cho
HS chúng tôi ghi nhận được ý kiến là nên dùng hình hình vẽ để hướng dẫn HS. Theo
họ, hình vẽ sẽ mang đến cho HS yếu tố trực quan dể tiếp thu kiến thức. Tính “đại số”
trong hình học giải tích là mỗi đường gắn với một phương trình. Họ cũng khẳng định
là hình vẽ cũng cần thiết trong dạy hình học giải tích đặc biệt là hình học giải tích
phẳng (hình học giải tích lớp 10). Và thực tế là họ đã thành công khi gợi ý (nếu HS
làm không được khi không dùng hình vẽ) cho HS dùng một hình vẽ để phân tích bài
toán.
Như vậy, ta thấy mục đích của chương trình HH10, đặc biệt phần phương pháp
tọa độ, thể chế có đưa ra một phương pháp khác để nghiên cứu HH mà không phụ
thuộc vào hình vẽ. Tuy nhiên trong quá trình dạy – học thực tế về nội dung này chúng
tôi lại thấy sự xuất hiện của hình vẽ trong bài làm của HS, trong bài giảng của GV. Từ
thực tế này làm nảy sinh một số câu hỏi: Hình vẽ là gì? Hình vẽ có vai trò như thế nào
trong dạy và học hình học? Đặc trưng khoa học luận của hình học giải tích là gì? Hình
vẽ có được thể chế đưa ra khi nghiên cứu hình học giải tích lớp 10 không? Nếu có, các
hình vẽ được các tác giả SGK lựa chọn đưa ra trong tình huống nào? Mục đích của
việc đưa ra các hình vẽ là gì? Trong quá trình đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên
tạo điều kiện cho chúng tôi có một nghiên cứu “vai trò của hình vẽ trong hình học giải
tích ở lớp 10”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là tìm câu trả lời cho những câu hỏi được nêu ra ở trên.
Chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:
- Q1: Những kiểu nhiệm vụ nào của thể chế sẽ tạo điều kiện cho học sinh sử
dụng hình vẽ trong hình học giải tích ? Khi đó hình vẽ được sử dụng với
chức năng nào ?

9. 7
Q2: Điều kiện ràng buộc của thể chế lên việc dạy – học hình học giải tích là gì?
Cụ thể là vai trò của hình vẽ trong dạy – học hình học giải tích lớp 10.
Các câu hỏi này sẽ được được đề cập đến trong thể chế dạy - học toán hình học
giải tích lớp 10. Để trả lời các câu hỏi này, chúng tôi cần sử dụng lí thuyết nhân chủng
học (mối quan hệ thể chế, quan hệ các nhân) làm lí thuyết tham chiếu. Bên cạnh đó,
chúng tôi chọn thêm lí thuyết tình huống làm lí thuyết tham chiếu.
4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
4.1. Phương pháp nghiên cứu:
Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, để trả lời các câu hỏi đã đề ra,
chúng tôi sẽ tiến hành những nghiên cứu sau:
- Tìm hiểu một vài đặc trưng khoa học luận của hình vẽ
- Tổng hợp các công trình nghiên cứu về vai trò của hình vẽ trong nghiên cứu
hình học
- Tìm hiểu chương trình, SGK toán HH10 để làm rõ mối quan hệ thể chế đối
với đối tượng hình vẽ
- Xây dựng tình huống thực nghiệm cho phép trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra
hay để hợp thức giả thuyết nghiên cứu
4.2. Cấu trúc của luận văn
- Mở đầu: chúng tôi trình bày vài ghi nhận ban đầu, mục đích của đề tài, khung
lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
- Chương 1: chúng tôi trình bày về vai trò của hình vẽ trong dạy - học hình học.
Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày thêm một vài đặc trưng khoa hoc học luận của hình
học giải tích

10. 8
- Chương 2: chúng tôi tiến hành tìm hiểu chương trình và phân tích SGK HH10
để làm rõ mối quan hệ thể chế với hình vẽ trong hình học giải tích. Tổng hợp kết quả
chương 1, chương 2 để đề xuất giả thuyết nghiên cứu
- Chương 3: chúng tôi tiến hành một thực nghiệm: mục đích nhằm kiểm chứng
tính hợp thức của các giả thuyết nghiên cứu
- Kết luận: chúng tôi tóm tắt các kết quả đã đạt được trong chương 1, 2, 3 và
nêu lên hướng mở ra từ luận văn này

11. 9
CHƯƠNG 1: HÌNH VẼ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC.
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Mục đích của chương: Tổng hợp lại các công trình nghiên cứu về hình vẽ
trong dạy – học hình học chúng tôi sẽ tóm tắt lại các vai trò của hình vẽ trong dạy –
học hình học mà các công trình nghiên cứu trước đã chỉ ra. Bên cạnh đó, trong chương
này chúng tôi còn có một nghiên cứu về hình học giải tích.
Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để tóm tắt
- Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT của PGS.TS Lê Thị Hoài
Châu
- Nghiên cứu didactique về hình vẽ trong dạy học hình học trường hợp: bước
chuyển từ tiểu học sang trung học cơ sở của Trần Thị Kim Nhung (luận văn thạc sĩ)
- Các chức năng của hình vẽ trong dạy học hình học không gian. Trường hợp:
các bài toán dựng hình và mối quan hệ của giáo viên đối với những bài toán này của
Abdelhamid Chaachoua, người dịch TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên
- Hình học và không gian, Đoàn Hữu Hải (bài giảng trong chương trình thạc sĩ
didactic toán, ĐHSP TP. Hồ Chí Minh)
1. Hình vẽ trong dạy hình học
1.1. Hình hình học và hình vẽ
1.1.1. Hình hình học
- Hình học là một khoa học về không gian, sinh ra từ việc giải quyết những vấn
đề của không gian. Mọi khái niệm cơ sở của hình học – đường thẳng, sự song song,
khoảng cách, góc, quan hệ vuông góc, … đều được hình thành từ những tình huống,
những hiện tượng rất đa dạng của không gian vật lý. [4, tr203]

12. 10
- Đối tượng nghiên cứu của hình học là các hình hình học. Chúng được mô tả
qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất. [4, tr.203]
- Hình hình học là tập hợp các điểm khác rỗng của không gian. Hình hình học
là một đối tượng lí tưởng, tất cả những hình vẽ cụ thể của nó có thể vẽ được chỉ là
những phép biểu diễn không hoàn chỉnh. [3, tr.188]
1.1.2. Hình vẽ
- Hình vẽ là một mô hình của đối tượng hình học, là hình biểu diễn phẳng của
các hình hình học. Hình vẽ là hình được vẽ cụ thể trên một tờ giấy, là bản vẽ vật chất
của các hình hình học, đối với các hình vẽ này các số đo giữ vị trí trung tâm. [15, tr.1]
- Hình vẽ không phản ánh đúng những tính chất hình học vốn có đối với bài
toán. Vị trí của hình vẽ trên tờ giấy là không thích đáng đối với bài toán hình học,
hình vẽ chỉ là một vị trí cụ thể của một đối tượng hình học [15, tr.1]
1.2. Hình vẽ trong các công trình đã nghiên cứu
- Hình vẽ - đối tượng vật chất: hình vẽ là đối tượng nghiên cứu, người học phải
làm việc trên các hình vẽ. Ta xem hình vẽ thuộc về thế giới cảm nhận. Vai trò này
thường xuất hiện ở giai đoạn dạy và học cấp tiểu học
- Hình vẽ - mô hình: Hình vẽ dùng để biểu diễn cho một đối tượng tổng quát,
trừu tượng. Ở đây hình vẽ được xem như mô hình của đối tượng hình học.
+ Trong lĩnh vực lý thuyết, hình vẽ được xem là mô hình của đối tượng hình
học, hình vẽ cho phép nhận ra các tính chất của đối tượng hình học, trong trường hợp
này hình vẽ gắn với những tính chất của một đối tượng hình học và biểu diễn cho một
đối tượng trừu tượng, tổng quát
+ Trong lĩnh vực cảm nhận thế giới: hình vẽ được xem là mô hình của đối
tượng vật chất, trong trường hợp này hình vẽ được sử dụng như một là mô hình của
đối tượng vật chất để hình thành cho HS những tính chất của đối tượng hình học

13. 11
* Trong dạy học hình học, hình vẽ giữ một vai trò nhất định “hình vẽ là những
công cụ thích hợp để truyền đạt tri thức tại bậc tiểu học” [29]
* Theo Trần Thị Kim Nhung hình vẽ có các vai trò sau: ” Hình vẽ tạo điều kiện
cho HS nắm tình huống học tập, hiểu được khái niệm toán học trừu tượng, giúp khám
phá, tìm ra đường lối trong quá trình giải các bài toán hình học, hình vẽ là công cụ
thích hợp để truyền đạt các tri thức hình học” [26, tr.12]
* Theo Bessot [29], hình vẽ có các vai trò sau:
- Trong học tập“ Hình vẽ tạo điều kiện cho HS nắm bắt tình huống học tập một
cách cụ thể, hầu như mang tính chất vật chất, như vậy ngay từ giai đoạn đầu tiếp cận
với hình học, HS có thể vận dụng khả năng của mình thông qua hành động. HS có
điều kiện học tập tích cực hơn thông qua việc sử dụng hình và thực hành về hình”
- Trong giải toán:”phần thì chúng minh họa cho các tình huống học tập, phần
khác chúng là điểm tựa trực giác trong quá trình nghiên cứu khi cho thấy rõ các quan
hệ hay giả thuyết về quan hệ trên một đối tượng trông thấy được, trong khi chỉ phát
ngôn thôi thì các quan hệ hay giả thuyết về quan hệ lại không được rõ ràng lắm”
* Theo Duval, trong giai đoạn nghiên cứu, hình vẽ có chức năng phát hiện.
Hình vẽ cho phép nhìn thấy và hiểu ngay vấn đề nêu trong bài toán, giúp cho việc tìm
ra lời giải bài toán: Hình vẽ được xem như công cụ khám phá để giải toán, đặc biệt
trong các bài toán chứng minh. “ Hình vẽ tạo điều kiện cho ta thấy ngay tổng thể tình
huống. Hình vẽ là phương tiện trực tiếp để giúp ta khảo sát nhiều khía cạnh của vần
đề, dự đoán kết quả của phương pháp sử dụng và chọn một lời giải” [29]
* Abdelhamid Chaachoua [29] lại có những nghiên cứu về vai trò của hình vẽ
trong dạy – học một bài toán hình học phẳng. Ở đây, hình vẽ có các chức năng sau:
- Chức năng của hình vẽ trong đề bài toán: Thứ nhất là minh họa cho đề bài
toán, điều này có ý nghĩa cho bài toán có giả thiết phức tạp, hay đề toán có nhiều giả
thiết. Thứ hai là thể hiện giả thiết của bài toán

14. 12
- Chức năng của hình vẽ trong giải bài toán: Dự đoán kết quả và tìm đường lối
giải bài toán. Đây là chức năng đặc thù của giai đoạn phát hiện trong hoạt động giải
toán và gọi là chức năng thực nghiệm.
- Chức năng của hình vẽ trong lời giải của HS:
+ Minh họa các giai đoạn: trên hình vẽ, HS thực hiện các đường kẻ phụ,
để lại dấu compa để chỉ em đã dựng đường trung trực như thế nào chẳng hạn, ghi số
đo các cạnh, tô màu các phần trong hình ….
+ Hình vẽ trong lời giải toán: đối với một số dạng toán, vấn đề là thực
hiện đường kẻ. Trong trường hợp này, hình vẽ là thực hiện một phần của lời giải.
*Theo Parzysz [4, tr.205], thì lại có một nghiên cứu về vai trò của hình vẽ
trong dạy - học hình học không gian. Tóm tắt, chứng tỏ, phỏng đoán là ba chức năng
cơ bản của hình vẽ trong dạy –học hình học mà Parzysz đã đề cập đến.
Tóm tắt: hình vẽ là một bản tóm tắt rõ ràng và
trực quan nhất cho một bài toán, nếu HS biết cách thể
hiện. Nó bộc lộ hết những giả thiết, những mối liên hệ
giữa các yếu tố, tạo điều kiện giúp HS giải toán một
cách dễ dàng.
Cũng lưu ý, trong hình học phẳng, ta chỉ quan
tâm đến hai đối tượng là “điểm” và “đường thẳng”,
trong khi trong hình học không gian xuất hiện thêm
một đối tượng thứ ba là “mặt phẳng”. Do đó, các mối
quan hệ trong hình vẽ của một hình không gian sẽ phức
tạp hơn.
Mặt khác, một đối tượng hình học trong không
gian được chuyển sang hình vẽ bằng sự phiên dịch các tính chất hình học của nó sang
các quan hệ trên hình. Việc phiên dịch này thực hiện qua các phép chiếu song song.
Chính vì thế, hình vẽ chỉ giữ lại một số tính chất của đối tượng hình học ban đầu như
S
A
K
H
B
C
Hình 1.1: Hình minh họa phản ví

15. 13
tính song song, tính thẳng hàng, các trọng tâm và tỉ lệ giữa các độ dài. Có thể thấy,
trong hình học phẳng, ta luôn luôn vẽ được một hình chính xác với những mối liên hệ:
thuộc, song song, vuông góc, bằng nhau,… Nhưng đối với hình học không gian, điều
này không phải lúc nào cũng thực hiện được. Ví dụ, hai đường thẳng vuông góc nhau
theo tính chất, nhưng trên hình vẽ có thể là không, hai đường thẳng chéo nhau trên
thực tế, nhưng trên hình, ta lại thấy chúng cắt nhau,…
Vì vậy, để thực hiện tốt chức năng tóm tắt của hình vẽ, HS cần phải có một số
kĩ năng vẽ hình nhất định. Bên cạnh đó, việc sử dụng các phần mềm vẽ hình cũng là
một cách giúp HS tìm được những hình vẽ rõ ràng, trực quan nhất có thể.
Chứng tỏ: Trong một số trường hợp, hình vẽ có thể cung cấp cho ta các phản
ví dụ để bác bỏ một mệnh đề nào đó. Ví dụ, ta có thể bác bỏ mệnh đề “trong không
gian, đường thẳng vuông góc với một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng thì vuông
góc với mặt phẳng ấy” bằng một hình vẽ. Đây là một mệnh đề mà HS hay nhầm lẫn
(phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì mệnh đề mới đúng).
Nhìn vào hình vẽ 1.1, ta thấy , ( )⊥ ⊂KH AB AB ABC nhưng KH không thể
vuông góc mặt phẳng (ABC).
Phỏng đoán: Hình vẽ đúng, trực quan giúp HS phát hiện ra các tính chất của
hình và hình thành những phán đoán hoặc tìm hướng giải quyết bài toán.
2. Hình học giải tích
- Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải xét những bài toán liên quan đến các
đường cong, mặt cong phức tạp. Chính vì thế mà việc nghiên cứu hình học bằng
phương pháp tổng hợp bộc lộ những hạn chế, do sử dụng hình vẽ như một công cụ.
Điều này khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm một lời giải mang tính tổng
quát mà không phụ thuộc vào hình vẽ.
- Và sự ra đời của hình học giải tích đã đáp ứng được các yêu cầu đó. Hình học
giải tích – sự kết hợp giữa hình học và đại số. Có hai hướng hiểu cho sự kết hợp này là
sự sử dụng đại số vào nghiên cứu hình học, hay dùng hình học để giải thích đại số.

16. 14
Descartes và Fermat đều thiên về cách sử dụng đại số vào nghiên cứu hình học vì hai
ông cho rằng phương pháp đại số hiệu quả hơn, tổng quát hơn phương pháp hình học
và mang lại khả năng giải mọi bài toán hình học. Tư tưởng cơ bản của phương pháp
do Descartes và Fermat xây dựng là biểu diễn các quan hệ hình học bằng những
phương trình đại số thông qua trung gian là hệ trục tọa độ. Ta thay thế các đối tượng
và các quan hệ hình học thành những đối tượng và quan hệ đại số, rồi sau đó “dịch”
các tính chất hình học thành tính chất đại số, quy bài toán hình học về bài toán đại số.
Do đó việc giải bài toán hình học được dẫn đến việc giải một hay nhiều phương trình.
Tính toán trên các số trở thành “hạt nhân” của lời giải bài toán hình học. Phương pháp
mới này (phương pháp giải tích) xác lập mối quan hệ giữa hình học và đại số, đem lại
khả năng khái quát cho lời giải của bài toán hình học. Theo Descartes “đại số có thể
nghiên cứu những phương trình thuộc mọi dạng mà không cần quan tâm đến nghĩa
hình học của nó”.
Trong hình học giải tích, hình học được nghiên cứu bằng công cụ “véctơ –toạ
độ” – nghiên cứu hình học với công cụ vectơ được gắn vào hệ tọa độ. Nó cho phép
thiết lập mối quan hệ giữa phương pháp giải tích và phương pháp vectơ. “Với phương
pháp vectơ người ta có thể cộng, trừ, nhân trực tiếp trên các đối tượng hình học
không thoát ly khỏi phạm vi hình học và vì thế vừa tận dụng được công cụ đại số, vừa
khai thác được phương diện trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải cho bài toán” [4,
tr.59]. Đặc trưng của phương pháp giải tích là lấy hệ trục tọa độ làm trung gian để
chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số. Như vậy, với công cụ véctơ trong
phương pháp của mình, hình học giải tích sẽ không thoát ly hoàn toàn với hình vẽ.
Với những ưu điểm là không lệ thuộc vào hình vẽ, đem lại khả năng khái quát
cho lời giải. Nhưng về phương diện sư phạm ta cần quan tâm tổ chức dạy - học như
thế nào để HS tiếp cận nhanh nhất và tốt nhất. Bởi lẽ, vấn đề nghiên cứu chính của
hình học là các hình hình học. Và các hình hình học này được biểu diễn bằng các hình
vẽ. Chúng đóng vai trò rất quan trọng trong nghiên cứu hình học vì đây là điểm tựa
trực giác cho việc tìm tòi lời giải cho bài toán. Thế nhưng trong hình học giải tích thì
lời giải mang tình tổng quát vì nó không lệ thuộc vào hình vẽ. Khai thác yếu tố trực

17. 15
giác cho HS là vần đề cần thiết trong dạy – học hình học giải tích. Làm như vậy để
giúp HS vượt qua những khó khăn giữa một bên là ngôn ngữ hình thức với một bên là
biểu tượng không gian, giúp HS chú ý đến sự kết hợp giữa ngôn ngữ hình thức và nội
dung. Nếu chỉ chú ý vào khai thác một trong hai mặt này thì sẽ gặp những khó khăn
nhất định trong việc giải bài toán hình học giải tích. Nếu không chú trọng các biểu
thức hình thức thì HS thiếu kiến thức, kĩ năng giải bài toán bằng phương pháp tọa độ.
Nhưng nếu không chú ý mặt ngữ nghĩa của nội dung thì họ sẽ gặp khó khăn trong việc
dịch bài toán sang ngôn ngữ hình thức đại số hóa.
Kết luận
- Hình vẽ là một đối tượng cần thiết trong quá trình dạy – học hình học ở
trường phổ thông. Hình vẽ góp phần quan trọng trong việc dạy – học về lí thuyết và
bài tập. Trong lĩnh vực lí thuyết thì hình vẽ có vai trò là minh họa cho các khái niệm.
Trong việc dạy các bài tập thì hình vẽ sẽ chỉ ra được giả thiết cho bài toán, chỉ ra tất
cả những cái mà đề bài cho và cũng chỉ ra những dự đoán về kết quả của bài toán.
Trên cơ sở này, hình vẽ sẽ chỉ ra đường lối đi tìm lời giải cho bài toán. Nhờ trực giác
về hình vẽ của bài toán ta đang đề cập mà phương hướng đi tìm lời giải được vạch ra.
Hình vẽ cho ta trực giác ban đầu để đi tìm lời giải cho bài toán. Với cách tiếp cận này
ta thấy hình vẽ là cần thiết cho một bài toán hình học. Hình vẽ là yếu tố quan trọng
trong việc đưa ra lời giải một bài toán hình học
- Hình học giải tích là một phương pháp nghiên cứu của hình học với đối tượng
nghiên cứu cũng là các đường (đường thẳng, đường tròn,…). Các đường này được
nghiên cứu một cách tổng quát thông qua phương trình của các đường. Tuy nhiên khi
nghiên cứu hình học giải tích ta không thoát ly hoàn toàn khỏi hình vẽ
Như vậy xét về mặt sư phạm và tâm lí lứa tuổi của HS, bên cạnh cung cấp cho
HS một phương pháp mới nghiên cứu hình học thì vấn đề cần quan tâm là HS sẽ tiếp
cận các kiến thức đó như thế nào? Các hình vẽ có được thể chế khai thác trong việc
dạy – học hình học giải tích không? Các hình vẽ có phát huy được vai trò của mình
trong việc dạy – học hình học giải tích không?

18. 16
CHƯƠNG II: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG THỂ CHẾ
DẠY – HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10
Vần đề nghiên cứu: Ở cấp độ lớp 10, việc đưa vào lần đầu tiên “ phương pháp
nghiên cứu hình học thông qua đại số”. Nghiên cứu những đối tượng hình học và các
quan hệ của chúng mà HS đã được học trong hình học: đường thẳng, đường tròn, …,
tính song song, tính vuông góc,… HS đã quen làm việc trên các hình vẽ. Bây giờ,
người ta biểu diễn đường thẳng bằng một phương trình, biểu diễn quan hệ vuông góc
bằng một đẳng thức vectơ,… Trong những tình huống mới này, đối tượng hình vẽ có
còn xuất hiện không? SGK khai thác hình vẽ trong việc trình bày khái niệm mới, quan
hệ mới như thế nào? Khai thác hình vẽ trong việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ ra sao?
Hiệu ứng của việc khai thác này là gì?
Để làm sáng tỏ các vấn đề trên, chúng tôi dùng các tài liệu sau để phân tích:
- Chương trình môn toán trung học năm 2006
- SGK Toán hình học lớp 10
- SBT Toán hình học lớp 10
- SGV Toán hình học lớp 10
A. Phân tích chương trình
Qua tìm hiểu “chương trình giáo dục phổ thông môn toán”, nhận thấy: Đối
tượng hình vẽ không được chương trình yêu cầu trong việc tiếp thu các kiến thức về
phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình đường elip. Chúng
tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu xem việc triển khai những yêu cầu mà chương trình qui định
như thế nào? Yếu tố hình vẽ có được các tác giả SGK quan tâm không? Nếu được
quan tâm thì nó được thể hiện cụ thể như thế nào?

19. 17
B. Phân tích SGK, SBT, SGV HH10
I. Phân tích SGV
* Theo SGV, phương pháp tọa độ được đưa vào giảng dạy nhằm mục tiêu:
- Hiểu: đường thẳng, đường tròn, đường elip trong mặt phẳng
- Biết:
+ Lập phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng. Lập
phương trình đường tròn khi biết các điều kiện xác định của nó. Nắm được định nghĩa
và lập được phương trình chính tắc của elip.
+ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng phương trình của chúng.
+ Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng.
+ Xác định được tâm và bán kính khi biết phương trình đường tròn. Xác định
được các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của nó.
+ Lập được phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết tiếp điểm.
* SGV có đưa vào các hình vẽ trong hướng dẫn giảng dạy các khái niệm: liên
hệ giữa hệ số góc với vectơ chỉ phương, các trường hợp đặc biệt của đường thẳng,
hình dạng của elip. Về bài tập, SGV có đưa ra các hình vẽ trong quá trình gợi ý giải
các bài tập sau: trong ôn tập chương III (bài 1; 4; 5; 7; 9; 10); ôn tập cuối năm (bài 6;
7; 9). Bên cạnh đó SGV còn đưa ra thêm hình vẽ trong phần “kiến thức bổ sung” về:
phương trình đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng, phương trình
tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn. Với cách đưa vào các hình vẽ trong
HHGT10 của SGV có thể hiểu:
- Hình vẽ được thể chế chú ý khai thác trong dạy – học cả khái niệm và bài tập.
Mặc dù không gợi ý đưa vào trong mọi tình huống, mọi bài tập. Điều này được hiểu,
có thể là do khuôn khổ của một chương trình dạy học.
- Yếu tố trực quan của hình vẽ vẫn còn giá trị trong dạy – học HHGT10. Chẳng
hạn:

20. 18
+ Khi hướng dẫn dạy các dạng đặc biệt của đường thẳng, SGV có gợi ý như
sau “hoạt động 7 giúp HS hiểu một cách trực quan các dạng phương trình đường
thẳng. Các đường thẳng 1 2 3 4, , ,d d d d được thể hiện trên h.3.5”. Như vậy tính trực
quan của hình vẽ vẫn còn được thể chế chú ý khai thác trong HHGT10
+ Khi gợi ý về “phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường
thẳng” (trong phần bổ sung kiến thức) SGV cũng có đưa ra hình vẽ.
Hình vẽ tạo thuận lợi cho việc hình thành công thức. Nếu không có hình vẽ HS
gặp một số khó khăn sau: không định hướng được cách giải (do không biết điểm đi
qua và vectơ pháp tuyến), có thể không trả lời đầy đủ các kết quả của bài toán (bài
toán luôn có hai đường thẳng cần tìm, đó là hai đường thẳng vuông góc với nhau).
- Các bài tập mà SGV có đưa ra hình vẽ một cách tường minh gợi ý trong
hướng dẫn giảng dạy là các bài tập ôn tập chương III. Đây là các bài tập mang tính

21. 19
tổng hợp (không áp dụng được công thức tính toán một cách trực tiếp mà phải phân
tích, tổng hợp để đưa ra kết quả bài toán). Trong việc hướng dẫn giải các bài tập còn
lại, SGV không có sử dụng hình vẽ. Tuy nhiên, một số trong các bài tâp đó, hướng
dẫn của SGV thì hình vẽ được hiểu là sử dụng một cách ngầm ẩn. Hay nói cách khác
SGV có chú ý việc sử dụng hình vẽ trong dạy – học các bài tập HHGT10. Hình vẽ này
tạo cho HS yếu tố trực quan trong việc đi tìm lời giải cho bài toán. Hình vẽ cũng là
một công cụ trong việc đưa ra lời giải cho bài toán. Chẳng hạn:
+ Khi gợi ý giải bài tập 3b/SGK/ SGV trình bày như sau: (hình vẽ được xuất
hiện ngầm ẩn)
“ Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6;2)
….
b. Lập phương trình tổng quát của đường cao AH…”
“Ta có AH ⊥ BC : 0AH x y c⇒ + + =
1 4 0 5A AH c c∈ ⇒ + + = ⇒ =−
Vậy ta có phương trình đường cao AH là 5 0x y+ − =”
+ Khi gợi ý giải bài tập 4/SGK/93 (SGV có đưa ra một hình vẽ)
“Cho đường thẳng : 2 0x y∆ − + = và hai điểm (0; 0), (2; 0)O A .
a. Tìm điểm đối xứng của O qua ∆
b. Tìm điểm M trên ∆ sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất”

22. 20
Hình vẽ này tạo thuận lợi cho HS trong việc định hướng lời giải cho bài toán.
Nếu không khai thác hình vẽ trong trường hợp này, HS sẽ gặp các khó khăn sau trong
việc đi tìm lời giải cho bài toán: Tùy theo đặc điểm của hai điểm O và A (nằm cùng
phía hay khác phía đối với đường thẳng ∆ ) mà có những lời giải khác nhau. Trong
trường hợp O và A nằm khác phía có thể HS không biết phải xác định đường thẳng đi
qua O và vuông góc với ∆ . Bên cạnh đó cũng không chỉ ra được điểm M cần tìm là
ba điểm O’, M, A thẳng hàng và M là giao điểm của O’A và ∆ .
Như vậy, tình huống đưa hình vẽ vào dạy – học HHGT10 của SGV rất phong
phú từ việc dạy các khái niệm đến hướng dẫn giải các bài tâp. Sự góp mặt của hình vẽ
ở các tình huống này cho thấy những ưu thế trong việc giới thiệu các khái niệm,
hướng dẫn gợi ý giải các bài tập. Tình huống đưa hình vẽ của SGV vào hướng dẫn
giải bài tập vừa nêu có thể tạo cho HS thói quen dùng hình vẽ phân tích bài toán khi
không áp dụng được các công thức (trực tiếp).
II. Phân tích SGK
1.Hình vẽ trong giới thiệu các khái niệm
1.1. Khi đưa ra các định nghĩa: vectơ chỉ phương, đường elip SGK có đưa vào
hình vẽ dẫn dắt trước khi đưa ra khái niệm. Chẳng hạn
Tình huống này được các tác giả SGK đưa vào trước khi đưa ra khái niệm
vectơ chỉ phương. Hình vẽ được giới thiệu kèm với hoạt động sau:

23. 21
“Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ là đồ thị của hàm số
1
2
y x=
a/. Tìm tung độ của hai điểm 0M và M nằm trên ∆ có hoành độ lần lượt là 2 và
6
b/. Cho vectơ ( )2;1u =

. Hãy chứng tỏ 0M M

cùng phương với u

”
Với cách xây dụng tình huống như thế này, hình vẽ dẫn dắt, tạo tình huống cho
HS đi vào khái niệm vectơ chỉ phương. Hình vẽ tạo thuận lợi cho HS khi tiếp cận khái
niệm một cách trực quan. Vectơ chỉ phương ở đây được giới thiệu thông qua hai vectơ
cùng phương. Cụ thể, hình vẽ cho ta biết giá của u

và đường thẳng ∆ là hai đường
thẳng song song nhau. Từ đó có kết luận về u

là vectơ chỉ phương của ∆ . Hình vẽ ở
đây đóng vai trò là điểm tựa trực giác dẫn dắt cho việc tiếp cận khái niệm. Do vectơ
chỉ phương được giới thiệu thông qua hai vectơ cùng phương, nên theo hình vẽ SGK
đưa ra thì 0MM

có thể làm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ (trong trường
hợp này là đường thẳng đi qua hai điểm 0,M M . Đường thẳng này có vectơ chỉ
phương là vectơ được xác định bởi hai điểm mà đường thẳng đi qua. Như vậy nếu
không khai thác hình vẽ trong trường hợp này sẽ gây ra khó khăn cho HS khi tiếp cận
một khái niệm mới.
* Phán đoán 1: Các hình vẽ được đưa vào nhằm tạo trực quan dẫn dắt HS đi
vào khái niệm.
1.2. Khi giới thiệu các kiến thức: liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc
của đường thẳng; các trường hợp đặc biệt của đường thẳng; phương trình đường tròn
có tâm và bán kính cho trước; phương trình chính tắc của elip; hình dạng của elip;
liên hệ giữa đường tròn và đường elip SGK giới thiệu đi kèm với một hình vẽ minh
họa.
Xét về liên hệ giữa vec tơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng SGK có
đưa ra hình vẽ sau:

24. 22
Hệ số góc của đường thẳng là khái niệm đã được tiếp cận ở HH9. Hình 3.4 tạo
thuận lợi cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa hệ số góc của đường thẳng và vectơ chỉ
phương của đường thẳng một cách trực quan bằng quan hệ hình học đó là tanα (trong
đó α : góc nhọn của tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là 1u và 2u , 2u là
cạnh đối của góc α , 1u là cạnh kề của góc α . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông ta sẽ có 2
1
| |
tan
| |
u
u
α = .
Khi xét các trường hợp đặc biệt của đường thẳng, SGK cũng có những hình vẽ
minh họa đi kèm.

25. 23
Các hình vẽ 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 trong SGK mang lại trực quan tạo thuận lợi cho
HS hiểu về các dạng phương trình của đường thẳng. Với 0; 0a b= ≠ ta được phương
trình của đường thẳng là 0by c+ =, đặc điểm của đường thẳng này là cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng
c
b
−
và song song hoặc trùng với trục hoành. Khi 0; 0a b≠ =ta
được phương trình của đường thẳng là 0ax c+ =, đặc điểm của đường thẳng này là cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
c
a
−
và song song hoặc trùng với trục tung….
Tức là khi biết phương trình của một đường thẳng thì HS biết được biểu diễn của
chúng bằng một hình hình học. Ngược lại khi biết hình của một đường thẳng trên mặt
phẳng tọa độ thì HS biết được phương trình mà chúng biểu diễn.
* Phán đoán 2: Trong các trường hợp này hình vẽ được đưa vào nhằm minh
họa cho các khái niệm.
1.3. Khi trình bày các kiến thức về: phương trình tham số của đường thẳng,
phương trình tổng quát của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ
một điểm đến đường thẳng, phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước,
phương trình tiếp tuyến của đường tròn SGK đưa vào các hình vẽ
- Khi trình bày về nội dung: Phương trình tổng quát của đường thẳng, hình vẽ
minh họa cho định nghĩa vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ (thông qua vectơ chỉ
phương) là vectơ vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Chính hình vẽ
này sẽ tạo thuận lợi cho HS trực giác tốt về vectơ pháp tuyến, hiểu được ý nghĩa của
vectơ pháp tuyến. Hình vẽ chỉ rõ nhận định mà SGK đưa ra“một đường thẳng hoàn

26. 24
toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến”, “một đường thẳng
có vô số vectơ pháp tuyến”- đó là lớp các vectơ cùng phương.
Ngoài ra, hình vẽ còn gợi cách xây dựng công thức phương trình tổng quát của
đường thẳng đi qua ( )0 0 0;M x y và nhận ( );n a b=

làm vectơ pháp tuyến. Với n

là
vectơ pháp tuyến, 0M M

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ , tức 0n M M⊥
 
hay ( ) ( )0 0 0. 0 0n M M a x x b y y= ⇔ − + − =
 
. Biến đổi biểu thức này về dạng
0ax by c+ + = ( )0 0c ax by=− − , phương trình này được gọi là phương trình tổng quát
của đường thẳng. Như vậy hình vẽ này đã tạo thuận lợi cho HS trong việc xây dựng
phương trình của đường thẳng. Yếu tố trực quan chỉ ra các bước trong xây dựng công
thức về phương trình tổng quát của đường thẳng
- Đường tròn là khái niệm quen thuộc của HS, nhưng phương trình đường tròn
là khái niệm mới đối với HS lớp 10. Phương trình đường tròn được SGK đưa ra giới
thiệu ngay từ khi bắt đầu bài học thông qua hình vẽ đi kèm.

27. 25
Hình vẽ 3.16 trong SGK chỉ rõ cách xác định một đường tròn, đó là: tâm và
bán kính. Hình vẽ còn chỉ ra cách xây dựng công thức phương trình của đường tròn
khi biết tâm và bán kính. Cách giới thiệu thể hiện quan hệ khoảng cách “hình học”
sang khoảng cách “đại số”. Cụ thể là:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
; ;M x y C I R IM R x a y b R∈ ⇔ = ⇔ − + − =
- Tiếp tuyến của đường tròn cũng được HS tiếp cận trong HH9. Tiếp tuyến của
một đường tròn là một đường thẳng. Do vậy, phương trình tiếp tuyến của đường tròn
chính là xác định phương trình của một đường thẳng.
Hình vẽ 3.17 trong SGK minh họa cho khái niệm tiếp tuyến của đường tròn tại
một điểm. Theo hình vẽ, để xác định được tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm cần
phải biết tâm và tiếp điểm. Bên cạnh đó, tiếp tuyến ∆ là đường thẳng vuông góc với
bán kính tại tiếp điểm 0M . Từ yếu tố trực quan của hình vẽ (đây chính là đường thẳng
đi qua điểm ( )0 0 0;M x y và nhận 0IM

làm vectơ pháp tuyến) mà HS hình thành nên
công thức phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm nằm trên đường tròn.
* Phán đoán 3: Trong các trường hợp trên, tính trực quan của hình sẽ minh họa
cho các khái niệm. Bên cạnh đó các hình vẽ này còn gợi ra cách xây dựng và tìm các
công thức. Với ý nghĩa này có thể tạo ra ở ở HS suy nghĩ là dùng hình vẽ vào phân
tích bài toán HHGT, để tìm ra kết quả của bài toán. Các công thức là các biểu thức đại
số. Trong quá trình xây dựng nên các công thức này thì hình vẽ chuyển bài toán từ
ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số

28. 26
Kết luận: Hình vẽ được SGK chú ý khai thác trong tất cả các khái niệm mà
chương trình HHGT10 giới thiệu. Các hình vẽ này tạo thuận lợi cho việc tiếp thu các
khái niệm cũng như cho phép HS hình thành nên các công thức tính toán.
2. Hình vẽ trong dạy - học các bài tập
Mục đích của việc phân tích hệ thống bài tập của SGK là nhằm chỉ ra các
nhiệm vụ có thể sử dụng hình vẽ trong việc đi tìm lời giải cho bài toán. Trong các
trường hợp đó hình vẽ được thể chế khai thác như thế nào?
Các tổ chức toán học liên quan
2.1. t
ts
đΤ : Lập phương trình tham số của đường thẳng
2.1.1. ( )
t
ts đ vtcp
đ
−
Τ : Lập phương trình tham số của đường thẳng khi biết vectơ
chỉ phương ( )1 2;u u u=

và đi qua điểm ( )0 0;M x y
( )
t
ts đ vtcp
đτ −
: Sử dụng công thức 0 1
0 2
x x tu
y y tu
= +

= +
2.1.2. ( )
t
ts đ vtpt
đ
−
Τ : Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua
( );A AA x y và vectơ pháp tuyến ( );n a b=

( )
t
ts đ vtpt
đτ −
:
- Tìm vectơ chỉ phương ( );u b a= −

- Sử dụng công thức
( )A
A
x x t b
y y ta
 = + −

= +
2.1.3. (2 )
t
ts đ
đΤ : Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
( );A AA x y ; ( );B BB x y
(2 )
t
ts đ
đτ :

29. 27
- Tìm vectơ chỉ phương là ( ) ( )1 2; ;B A B AAB x x y y u u= − − =

- Sử dụng công thức 1
2
A
A
x x tu
y y tu
= +

= +
2.1.4. ( )
t
ts đ hsg
đ
−
Τ : Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua
( );A AA x y và có hệ số góc k
( )
t
ts đ hsg
đτ −
:
- Tìm vectơ chỉ phương ( )1;u k=

- Sử dụng công thức
.1
.
A
A
x x t
y y t k
= +

= +
Các bài tập: VD/SGK/72; 1/SGK/80; VD1, VD2/SBT/124; 3.1/SBT/130
1/SGK/80: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi
trường hợp sau:
a) d đi qua ( )2;1M và có vectơ chỉ phương ( )3; 4u =

b) d đi qua ( )2; 3M − và có vectơ pháp tuyến ( )5;1n =

VD2/SBT/124: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong các
trường hợp sau:
a/. ∆ đi qua điểm ( )5;1M và có hệ số góc 3k =
b/. ∆ đi qua điểm ( )3; 4A và ( )4; 2B
2.2. t :tq
đΤ Lập phương trình tổng quát của đường thẳng

30. 28
2.2.1. ( )
t
tq đ vtpt
đ
−
Τ : Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
( )0 0;M x y và vectơ pháp tuyến ( );n a b=

( )
t
tq đ vtpt
đτ −
: Sử dụng công thức ( ) ( )0 0 0a x x b y y− + − =
2.2.2. ( )
t
tq đ vtcp
đ
−
Τ : Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
( )0 0;M x y và vectơ chỉ phương ( )1 2;u u u=

1( )
t
tq đ vtcp
đτ −
:
- Tìm vectơ pháp tuyến là ( )2 1;n u u= −

- Sử dụng công thức ( ) ( )2 0 1 1 0u x x u x x− − + − =
2( )
t
tq đ vtcp
đτ −
:
- Lập phương trình tham số của đường thẳng
- Khử tham số t trong phương trình tham số
2.2.3. ( )
t
tq đ hsg
đ
−
Τ : Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua ( )0 0;M x y
và có hệ số góc k
1( )
t
tq đ hsg
đτ −
:
- Tìm vectơ chỉ phương ( )1;u k=

, vectơ pháp tuyến ( );1n k= −

- Sử dụng công thức: ( ) ( )0 01. 0k x x y y− − + − =
2( )
t
tq đ hsg
đτ −
:
- Viết phương trình đường thẳng ( )∆ có hệ số góc k: ( ) : y kx b∆ = +
- Thay tọa độ của ( )0 0;M x y vào ( ) : y kx b∆ = + đề tìm b.

31. 29
- Kết luận phương trình đường thẳng ( )∆
2.2.4. (2 )
t
tq đ
đΤ : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm
( );A AA x y ( ), ;B BB x y
(2 )
t
tq đ
đτ :
- Tìm vectơ chỉ phương là ( );B A B AAB x x y y= − −

- Tìm vectơ pháp tuyến là: ( );AB A B B An y y x x= − −

- Sử dụng công thức: ( )( ) ( )( )0 0 0A B B Ay y x x x x x x− − + − − =
Các bài tập: 2/SGK/80; 4/SGK/80; 3a/SGK/80; VD1/SBT/125; 3.3/SBT/131;
3.5/SBT/131; 3.45b/SBT/149
VD1/SBT/125: Lập phương trình của đường thẳng d trong các trường hợp
sau:
a/. d đi qua điểm ( )3; 4M và có vectơ pháp tuyến ( )1; 2n =

b/. d đi qua điểm ( )3; 2M − và có vectơ chỉ phương ( )4; 3u =

2/SGK/80: Lập phương trình của đường thẳng ∆ trong các trường hợp
sau:
a/. ∆ đi qua điểm ( )5; 8M − − và có hệ số góc 3k = −
b/. ∆ đi qua điểm ( )2;1A và ( )4; 5B −
2.3. t :đΤ Viết phương trình đường thẳng

32. 30
2.3.1. ( )
t :đc
đΤ Viết phương trình đường cao AH của ABC∆ , khi biết tọa độ
các điểm , ,A B C
q( )
t :đđ đc
đτ
- Tính BC

, BCn

- Viết phương trình đường thẳng đi qua A và nhận BCn

làm vecơ pháp tuyến
2.3.2. (tt)
t :đΤ Viết phương trình đường trung tuyến AM của ABC∆ , khi biết
tọa độ các điểm , ,A B C
q(tt)
t :đđ
đτ
- Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng BC
- Viết phương trình tổng quát đi qua hai điểm ,A M
2.3.3. t :đtt
đT Lập phương trình các đường trung trực của tam giác biết tọa
độ trung điểm ; ;M N P ba cạnh của tam giác
1
t :đtt
đτ
- Giả sử ( ) ( ) ( ); ; ; ; ;M M N N P PM x y N x y P x y
- ( );N M N MMN x x y y= − −

, ( );P M P MMP x x y y= − −

, ( );P N P NNP x x y y= − −

- Gọi 1 2 3; ;∆ ∆ ∆ lần lượt là các đường trung trực các cạnh của tam giác đi qua
các điểm ; ;M N P
- Viết phương trình đường thẳng đi qua M và nhận NP

làm vectơ pháp tuyến.
Đây chính là 1∆
- Viết phương trình đường thẳng đi qua N và nhận MP

làm vectơ pháp tuyến.
Đây chính là 2∆

33. 31
- Viết phương trình đường thẳng đi qua P và nhận MN

làm vectơ pháp tuyến.
Đây chính là 3∆
2
t :đtt
đτ
- Gọi A, B, C là các đỉnh của tam giác có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB,
BC, CA nên ta có:
2
2
2
A B M
A C P
B C N
x x x
x x x
x x x
+ =

+ =
 + =
- Giải hệ phương trình trên tìm , ,A B Cx x x
- Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB. Đây là đường
trung trực của AB
- Viết phương trình đường thẳng đi qua N và vuông góc với BC. Đây là đường
trung trực của BC
- Viết phương trình đường thẳng đi qua P và vuông góc với AC. Đây là đường
trung trực của AC
2.3.4. t :đpg
đT Lập phương trình hai đường phân giác tạo bởi hai đường
thẳng ( )1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + =và ( )2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + =
1
t :đpg
đτ
- ( );M x y thuộc tia phân giác của góc giữa 1∆ và 2∆
( ) ( )1 2; ;d M d M⇔ ∆= ∆ 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
⇔ =
+ +
- Tìm ràng buộc ;x y . Đây là phương trình của hai đường phân giác của góc
hợp bởi hai đường thẳng
2
t :đpg
đτ

34. 32
- Tìm tọa độ giao điểm A của 1∆ và 2∆
- Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k
- Tính cos( 1∆ , d), cos( 2∆ , d)
- Đường thẳng d là đường phân giác của 1∆ và 2∆ ⇔ cos( 1∆ , d) = cos( 2∆ , d).
Giải phương trình này để tìm k. Kết luận
2.3.5. ( 2 )
t :ctg c đc
đT −
Viết phương trình các cạnh còn lại của ABC∆ (biết phương
trình tổng quát của : 0AB ax by c+ + =, đường cao 1 1 1: 0;AH a x b y c+ + =
2 2 2: 0BH a x b y c+ + =)
( 2 )
t :ctg c đc
đτ −
- Giải hệ phương trình
1 1 1
0
0
ax by c
a x b y c
+ + =

+ + =
để tìm tọa độ A của ABC∆
- Giải hệ phương trình
2 2 2
0
0
ax by c
a x b y c
+ + =

+ + =
để tìm tọa độ B của ABC∆
- Viết phương trình đường thẳng AC (đường thẳng đi qua A và vuông góc với
BH)
- Viết phương trình đường thẳng BC (đường thẳng đi qua B và vuông góc với
AH)
2.3.6. (2 )
t :ctg tt đ
đT −
Viết phương trình chứa các cạnh của ABC∆ biết
phương trình hai đường trung tuyến là 1 1 1 0a x b y c+ + = và 2 2 2 0a x b y c+ + = và
điểm ( );A AA x y (không thuộc hai đường trung tuyến)
(2 )
t :ctg tt đ
đτ −
- Đặt 1 1 1: 0BM a x b y c+ + =và 2 2 2: 0CN a x b y c+ + =hai đường trung tuyến của
ABC∆

35. 33
- Gọi ( ); ;
2 2
B A B A
B B
x x y y
B x y N
+ + 
⇒  
 
1 1 1
2 2 2
0
. . 0
2 2
B B
B A B A
a x b y c
B BM
x x y y
N CN a b c
+ + =
∈ 
⇔  + +
∈ + + = 
- Giải hệ phương trình tìm ;B Bx y
- Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua ,A B . Đây chính là
phương trình đường thẳng chứa cạnh AB
2.3.7. t :đq cđ
đT −
Viết phương trình đường thẳng đi qua ( )0 0;M x y và cách đều hai
điểm ( ) ( ); ; ;A A B BA x y B x y
t :đq cđ
đτ −
- Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( )0 0;M x y và nhận AB

làm vectơ
chỉ phương
- Viết phương trình đường thẳng '∆ đi qua ( )0 0;M x y và đi qua trung điểm
( )1 1;N x y của ;A B
2.3.8. t :đ E
đT −
Viết phương trình đường thẳng ( )d đi qua ( )0 0;M x y và cắt
elip (E):
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =tại hai điểm ,A B sao cho M là trung điểm của AB
t :đ E
đτ −
- ( )d đi qua ( )0 0;M x y và có hệ số góc k là: ( ) ( )0 0:d y k x x y= − + (*)

36. 34
- Thay (*) vào
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =ta được phương trình bậc hai (theo x ), giả sử
phương trình đó là: 2
0 0 0 0A x B x C+ + =(1)
- Sử dụng điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa 1 2
2
M
x x
x
+
= để tìm k
Các bài tập: 3b/SGK/80; 1, 6/SGK93; 7/SKG/99; VD2/SBT/125; 3.4, 3.5, 3.6,
3.7/ SBT/131; 3.12, 3.13, 3.14/SBT/132; 3.36/SBT/148; 3.39
3/SGK/80: Cho tam giác ABC , biết ( ) ( )1; 4 ; 3; 1A B − và ( )6; 2C .
a)…
b) Lập phương trình tổng quát của các đường cao AH và trung tuyến
AM
3.6/SBT/131. “Cho tam giác ABC , biết phương trình đường thẳng AB :
3 11 0x y− + =, đường cao AH : 3 7 15 0x y+ − =, đường cao :3 5 13 0BH x y− + =.
Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác”
3.12/SBT/132: Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa
hai đường thẳng 1 : 2 4 7 0x y∆ + + =và 2 : 2 3 0x y∆ − − =
3.4/SBT/131: Lập phương trình ba đường trung trục trực của một tam
giác có trung điểm các cạnh lần lượt là ( )1; 0M − ; ( )4;1N ; ( )2; 4P .
3.7/SBT/131: Cho tam giác ABC có ( )2; 3A − và hai trung tuyến
2 1 0x y− + = và 4 0x y+ − =. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba
cạnh của tam giác
3.14/SBT/132: Viết phương trình đường thẳng đi qua ( )2; 5M và cách
đều hai điểm ( )1; 2A − và ( )5; 4B

37. 35
3.36/SBT/148: Cho elip (E): 2 2
4 9 36x y+ =và điểm ( )1;1M . Viết phương
trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là
trung điểm của AB
2.4. 2 t :g đT Tính số đo góc giữa hai đường thẳng( )1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + = và
( )2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + =
2 t :g đτ Sử dụng công thức ( ) 1 2 1 2
1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
cos ;
.
a a b b
a b a b
+
∆ ∆ =
+ +
Các bài tập: 7/SGK/81; 8/SGK/93; VD2b/SBT/127; 3.10/SBT/132
7/SGK/81: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng 1d và 2d lần lượt có
phương trình 0624:1 =+− yxd và 013:2 =+− yxd
2.5. ( t) :kc đ đ−Τ Tìm khoảng cách từ một điểm ( )0 0 0;M x y đến đường thẳng
( ): 0ax by c∆ + + =
( t) :kc đ đτ − Sử dụng công thức ( ) 0 0
0 2 2
,
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
Các bài tập: Hoạt động 10/ SGK/80; 8/SGK/81; VD1/SBT/129
8/SGK/81: Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các
trường hợp sau:
a/. ( )5;3A ; 0134: =++∆ yx
b/. ( )2;1 −B ; 02643: =−− yxd
c/. ( )2;1C ; 01143: =−+ yxm

38. 36
2.6. :đtrΤ Lập phương trình đường tròn
2.6.1. ( )
:t bk
đtr
−
Τ Lập phương trình đường tròn khi biết tọa độ tâm ( ),I a b và
bán kính R
( )
:t bk
đtrτ −
Sử dụng công thức: ( )C :( ) ( )
2 2 2
− + − =x a y b R
2.6.2. ( )
:t đ
đtr
−
Τ Lập phương trình đường tròn khi biết tọa độ tâm ( ),I a b và đi
qua điểm ( )0 0,M x y
( )
:t đ
đtrτ −
- Tìm bán kính ( ) ( )
2 2
0 0= = − + −R IM x a y b
- Sử dụng công thức: ( )C :( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 0− + − = − + −x a y b x a y b
2.6.3. ( )
:t txđt
đtr
−
Τ Lập phương trình đường tròn khi biết tọa độ tâm ( ),I a b và
tiếp xúc với đường thẳng ( ) 1 1 1: 0∆ + + =a x b y c
( )
:t txđt
đtrτ −
- Tìm bán kính ( ) 1 1
2 2
1 1
. .
,
+ +
= ∆=
+
a a b b cc
R d I
a b
- Sử dụng công thức( )C :( ) ( )
2 2 2
− + − =x a y b R
2.6.4. ( )
:đk
đtrΤ Lập phương trình đường tròn khi biết đường kính AB với
( ) ( ); ; ;A A B BA x y B x y
( )
:đk
đtrτ

39. 37
- Tìm tọa độ trung điểm ( ),I a b của AB , với ;
2 2
A B A Bx x y y
a b
+ +
= =
- Tính bán kính
( ) ( )
2 2
2 2
− + −
= =
B A B Ax x y yAB
R
- Sử dụng công thức ( )C :( ) ( )
2 2 2
− + − =x a y b R
2.6.5. ( )2
:
đ tx tr
đtr
−
Τ Lập phương trình đường tròn đi qua một điểm ( )0 0;M x y và
tiếp xúc với hai trục tọa độ ;Ox Oy ( M có tọa độ dương)
( )1
2
:
đ tx tr
đtrτ
−
- TH1: Tâm của đường tròn ( );I a a , bán kính R a= ,
( )C :( ) ( )
2 2 2 2
x a y a R a− + − = = (1). Thay tọa độ của M vào (1), ta được phương trình
ẩn a . Giải phương trình tìm a
- TH 2: Tâm của đường tròn ( );I a a− , bán kính R a= ,
( )C :( ) ( )
2 2 2 2
x a y a R a− + + = = (2). Thay tọa độ của M vào (2), ta được phương trình
ẩn a . Giải phương trình tìm a
( )1
2
:
đ tx tr
đtrτ
−
- Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy và đi qua ( )0 0;M x y có tọa dương nên
( ) ( )
2 2 2
( ) :C x a y a a− + − =
- Dùng điều kiện ( ) ( )0 0;M x y C∈ , ta tìm được a

40. 38
2.6.6. ( 2 )
:tx tr t
đtr
−
Τ Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ
;Ox Oy và có tâm thuộc đường thẳng ( ): 0d Ax By C+ + =
( 2 )
:tx tr t
đtrτ −
*TH1:
- Tâm của đường tròn là ( );I a a , bán kính R a= ,
( )C :( ) ( )
2 2 2 2
x a y a R a− + − = =
- I d∈ , nên thay tọa đô của I vào phương trình của d , ta được phương trình
ẩn a . Giải phương trình tìm a
*TH 2:
-Tâm của đường tròn là ( );I a a− , bán kính R a= ,
( )C :( ) ( )
2 2 2 2
x a y a R a− + + = =
- I d∈ , nên thay tọa đô của I vào phương trình của d , ta được phương trình
ẩn a . Giải phương trình tìm a
2.6.7. (2 )
:đ t
đtr
−
Τ Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm ( );A AA x y
( );B BB x y và có tâm nằm trên đường thẳng ( ) : 0ax by c∆ + + =
(2 )
:đ t
đtrτ −
- Gọi ( ); I
I
ax c
I x
b
− − 
∈ ∆ 
 
là tâm của đường tròn ( )C
- Tính độ dài đoạn thẳng ;IA IB
- Sử sụng điều kiện 2 2 2
IA IB R= = để tìm x
- Kết luận về tọa độ tâm ( ; )I II x y , bán kính R

41. 39
- Sử dụng công thức ( )C : ( ) ( )
2 2 2
I Ix x y y R− + − =
2.6.8. ( 2 )
:t tx đt
đtr
−
Τ Lập phương trình đường tròn ( )C có tâm nằm trên đường
thẳng d : ' ' ' 0a x b y c+ + = và ( )C tiếp xúc với 1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + = và
2∆ 2 2 2: 0a x b y c+ + =
( 2 )
:t tx đt
đtrτ −
- Gọi ( )C : ( ) ( )
2 2 2
x a y b R− + − =
- ( ); ' ' ' 0I a b d a a b b c∈ ⇔ + + =
- ( )C tiếp xúc với 1∆ và 2∆ ( ) ( )1 2; ;d I d I⇔ ∆ = ∆
- Tìm mối quan hệ giữa ;a b rồi suy ra ;a b
2.6.9. (2 )
:đ txđt
đtr
−
Τ Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm ( );A AA x y ;
( );B BB x y và tiếp xúc với đường thẳng ( ) : 0ax by c∆ + + =
(2 )
:đ txđt
đtrτ −
- Gọi ( );I II x y là tâm của đường tròn ( )C
- Tính độ dài đoạn thẳng ;IA IB
- Sử sụng điều kiện
( )
2 2 2
;
IA IB R
d I IA
 = =

∆ =
để tìm ;I Ix y
2.6.10. 3
:đ
đtrΤ Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm ( );A AA x y ;
( ); ;B BB x y ( );C CC x y không thẳng hàng (đường tròn ngoại tiếp ABC∆ )
13
:đ
đtrτ

42. 40
- Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
2 2 0
2 2 0
2 2 0
 + − − + =

+ − − + =

+ − − + =
A A A A
B B B B
C C C C
x y ax by c
x y ax by c
x y ax by c
tìm ; ;a b c
- Phương trình đường tròn cần tìm có dạng ( )C : 2 2
2 2 0+ − − + =x y ax by c
23
:đ
đtrτ
- Viết phương trình đường trung trực (d) của AB, (d’) của AC
- Tìm tọa độ giao điểm ( )0 0;I x y của (d) và (d’)
- Tính độ dài ( ) ( )
2 2
0 0= − + −A AIA x x y y
- Phương trình đường tròn cần tìm đi qua ( )0 0;I x y và có bán kính IA.
( )C :( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 0 0 0− + − = − + −A Ax x y y x x y y
Các bài tập: HĐ1/SGK/82; 2/SGK/82; 3,4,5SGK/83; 5c,7SGK/93; 8/SGK/99;
VD1,2/SBT/135; 3.15, 3.16a/SBT/138; 3.17, 3.19, 3.20, 3.21/SBT/139;
3.37c/SBT/148; 3.41a/SBT/149
3.15/SBT/138: Trong mặt phẳng Oxy , hãy lập phương trình của đường
tròn ( )C có tâm là ( )2; 3I và thỏa mãn điều kiện sau:
a/. ( )C có bán kính là 5
b/. ( )C đi qua gốc tọa đô
c/. ( )C tiếp xúc với Ox
d/. ( )C tiếp xúc với Oy
e/. ( )C tiếp xúc với đường thẳng : 4 3 12 0x y∆ + − =

43. 41
2c/SGK/83: Lập phương trình đường tròn ( )C trong các trường hợp sau:
c/. ( )C có đường kính AB , với ( )1;1A ; ( )7; 5B
4/SGK/84: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ
;Ox Oy và đi qua điểm ( )2;1M
5/SGK/84: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và
có tâm nằm trên đường thẳng 4 2 8 0x y− − =
3.19/SBT/139: “Lập phương trình đường tròn (C)đi qua ( ) ( )1; 2 ; 3; 4A B
và tiếp xúc với đường thẳng :3 3 0x y∆ + − =”
3/SGK/84: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm
a) ( ) ( ) ( )1; 2 5; 2 1; 3A B C − …
3.17/SBT/139: Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1; 2), B(-2; 3) và
có tâm ở trên đường thẳng : 3 10 0x y∆ − + =
a…..
b…
c/. Viết phương trình của (C)
2.7. :t bk−Τ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ( ):C
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
2.7.1. ,
:t bk
t bk−Τ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ( ):C
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
,
:t bk
t bkτ −

44. 42
- Tọa độ của tâm ( ),I a b
- Bán kính 2 2
R a b c= + −
2.7.2. :bk
t bk−Τ Tìm bán kính của đường tròn tâm 0 0( ; )I x y tiếp xúc với đường
thẳng ( ): 0ax by c∆ + + =
:bk
t bkτ −
- Tính ( ) 0 0
2 2
,
ax by c
d I
a b
+ +
∆ =
+
- Bán kính cần tìm: ( ).R d I= ∆
Các bài tập: 1/SGK/83; 6(a)/SGK/84; VD1/SBT/133; 3.16(b)/SBT/138;
3.17(a,b), 3.18(b)/SBT/139; 3.41(b)/SBT/149
1/SGK/83: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) 2 2
2 2 2 0x y x y+ − − − =
b) 2 2
16 16 16 8 11 0x y x y+ + − − =
c) 2 2
4 6 3 0x y x y+ − + − =
9/SGK/81: Tìm bán kính của đường tròn tâm ( )2; 2C − − tiếp xúc với
đường thẳng 5 12 10 0x y+ − =
2.8. :ptttΤ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( )C
2.8.1. :tđ
ptttΤ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( )C khi biết tọa
độ tiếp điểm ( )0 0;M x y

45. 43
1
:tđ
ptttτ
- Tìm tâm ( );I a b , bán kính R của ( )C
- Sử dung công thức ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0x a x x y b y y− − + − − =
1
:tđ
ptttτ
- Tìm tâm ( );I a b của ( )C
- Tính vectơ 0M I

- Viết phương trình đường thẳng đi qua ( )0 0;M x y và có vectơ pháp tuyến là
0M I

. Đây là phương trình tiếp tuyến của (C) tại ( )0 0;M x y
2.8.2. ( ),
:
ktđ ss vg
ptttΤ Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến
vuông góc (song song) với đường thẳng d
( ),
:
ktđ ss vg
ptttτ
- Nêu dạng tổng quát của ∆
- ∆ tiếp xúc với đường tròn ( );d I R⇔ ∆ = .
2.8.3. ( )1
:
ktđ đq đ
ptttΤ Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm
( )0 0;A x y
( )1
:ktđ đq đ
ptttτ
- Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( )0 0;A x y và có hệ số góc k là:
( )0 0 0 0 0y y k x x kx y kx y− = − ⇔ − − + =

46. 44
- Sử dụng điều kiện ∆ tiếp xúc với đường tròn: ( ),d I R∆ =
- Giải phương trình thu được đề tìm k
Các bài tập: VD/SGK/83; 6(b,c)/SGK/84; VD1, VD2/SBT/137;
VD3/SBT/138; 3.22b, 3.23b/SBT/139; 3.24, 3.25, 3.26, 3.27(b)/SBT/140
VD/SGK/83: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm ( )3; 4M thuộc đường
tròn ( ) ( ) ( )
2 2
: 1 2 8C x y− + − =
VD2/SBT/137: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn( )C :
2 2
4 2 0x y x y+ − − =. Biết tiếp tuyến đi qua ( )3; 2A
VD3/SBT/138: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn( )C :
2 2
4 6 3 0x y x y+ − + + =,
biết tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng :3 2006 0d x y− + =
3.24/SBT/140: Lập phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( )C :
2 2
6 2 0x y x y+ − + =biết rằng ∆ vuông góc với đường thẳng :3 4 0d x y− + =
2.9. ( ) :pt EΤ Viết phương trình chính tắc của elip
2.9.1. 2
( ) :đd tr
pt EΤ Viết phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài các trục
2
( ) :đd tr
pt Eτ
- Xác định ;a b
- Sử dụng công thức
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =

47. 45
2.9.2. ( )
( ) :
tr tc
pt E
−
Τ Viết phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài một trục
và tiêu cự
( )
( ) :
tr tc
pt Eτ −
- Xác định a (hoặc b )
- Tìm b (hoặc a ) bằng công thức 2 2 2
c a b= −
- Sử dụng công thức
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
2.9.3. ( )
( ) :tđ đ
pt E
−
Τ Viết phương trình chính tắc của elip khi biết một tiêu điểm
( )1 ;0F c− , ( )( )2 0;F c và điểm ( )0 0;M x y nằm trên elip ( )E
( )
( ) :tđ đ
pt Eτ −
- Xác định c
- Điểm ( )M E∈ , ta có:
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
+ =
mà 2 2 2
a b c= +
Suy ra 2
b , từ đó kết luận 2
a
- Sử dụng công thức
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
2.9.4. 2
( ) :đ
pt EΤ Viết phương trình chính tắc của elip khi biết hai điểm đi qua
( ) ( ); ; ;M M N NM x y N x y
2
( ) :đ
pt Eτ
- Phương trình chính tắc của elip có dạng
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =

48. 46
- Tìm 2 2
;a b bằng cách giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
M M
N N
x y
a b
x y
a b

+ =

 + =

- Kết luận phương trình chính tắc của elip
2.9.5.
,
( ) :
c
tc tđ
a
pt E
 
− 
 
Τ Viết phương trình chính tắc của elip khi biết tiêu cự (tiêu
điểm) và tỉ số ( )0 1
c
k k
a
= < <
,
( ) :
c
tc tđ
a
pt Eτ
 
− 
 
- Từ tiêu cự 2c c⇒ (từ tiêu điểm ta suy ra c )
- Từ
2 2
2 2 2 2 2c c c
k a b a c c
a k k
   
= ⇒ = ⇒ = − = −   
   
- Kết luận phương trình chính tắc của elip
Các bài tập: 2/SGK/88; 3/SGK/88; VD1/SBT/142; VD2/SBT/143; 3.28,
3.32/SBT/147; 3.33SBT/148; 3.43/SBT/149
2SGK/88: Lập phương trình chính tắc của elip, biết:
a/. Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6
b/. Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6
3/SGK/88 : Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp
sau :
a/. Elip đi qua điểm ( )
12
0; 3 ; 3;
5
M N
 
− 
 

49. 47
b/. Elip có một tiêu điểm là ( )1 3; 0F − và điểm
3
1;
2
M
 
  
 
nằm trên elip
3.43/SBT/149: Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) trong các trường
hợp sau :
a/. Một đỉnh là ( )0; 2− và một tiêu điểm là ( )1; 0−
b/. Tiêu cự bằng 6, tỉ số
3
5
c
a
=
3.33/SBT/148: “Viết phương trình chính tắc của elip ( E ) trong các
trường hợp sau :
a/. ( E ) đi qua hai điểm
9 12
4; ; 3;
5 5
M N
   
   
   
b/. ( E ) đi qua
3 4
;
5 5
M
 
 
 
và tam giác 1 2MF F vuông tại M ”
2.10. tp( ) :EΤ Xác định các thành phần của một elip (độ dài các trục, tọa độ các tiêu
điểm, tọa độ các đỉnh) khi biết phương trình chính tắc của elip:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
tp( ) :Eτ
- Xác định ; ;a b c với 2 2 2
c a b= −
- Trục lớn: 2a , trục nhỏ: 2b
- Tiêu điểm: ( ) ( )1 2; 0 ; ; 0F c F c−
- Các đỉnh của elip: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2; 0 ; ; 0 ; 0; ; 0;A a A a B b B b− −

50. 48
Các bài tập: VD/SGK/87; 1/SGK/88; 9/SGK/94; 9a/SGK/100; VD1/SBT/144;
3.29/SBT/147
1/SGK/88: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các
định của các elip có phương trình sau:
2 2
/ . 1
25 9
x y
a + = 2 2
/ . 4 9 1b x y+ = 2 2
/ . 4 9 36c x y+ =
2.11. vttđΤ : Xét vị trí tương đối
2.11.1. 2đt
vttđΤ : Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
1'2đt
vttđτ : (( )1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + =và( )2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + = ( )2 2 2; ; 0a b c ≠ )
- 1∆ cắt 2∆ 1 1
2 2
a b
a b
⇔ ≠
- 1 1 1
1 2
2 2 2
/ /
a b c
a b c
∆ ∆ ⇔ = ≠
- 1 1 1
1 2
2 2 2
a b c
a b c
∆ ≡ ∆ ⇔ = =
1''2đt
vttđτ :(( )1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + =và( )2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + = ( )2 2 2; ; 0a b c ≠ )
- Giải hệ phương trình: 1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
+ + =

+ + =
(I)
- Hệ (I) có nghiệm ( )0 0;x y , khi đó 1∆ cắt 2∆ tại điểm ( )0 0 0;M x y
- Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó 1 2∆ ≡ ∆
- Hệ (I) vô nghiệm, khi đó 1 2/ /∆ ∆

51. 49
2'2đt
vttđτ : ( ) ( )
' '
0 1 0 1
1 2 ' '
0 2 0 2
'
( ) : 1 ( ) : 2
'
x x u t x x u t
y y u t y y u t
 =+ =+ 
∆ ∆   = + = +  
- Giải hệ phương
' '
0 1 0 1
' '
0 2 0 2
'
'
x u t x u t
y u t y u t
 + = +

+ = +
(I)
- Hệ (I) có nghiệm ( ); 't t .
- Thay t vào (1) (hoặc 't vào (2)) ta được giao điểm M của 1( )∆ và 2( )∆
2''2đt
vttđτ : ( ) ( )
' '
0 1 0 1
1 2 ' '
0 2 0 2
'
( ) : 1 ( ) : 2
'
x x u t x x u t
y y u t y y u t
 =+ =+ 
∆ ∆   = + = +  
- Đưa 1( )∆ và 2( )∆ về dạng tổng quát: ( )1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + =
và( )2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + =
- Áp dụng kĩ thuật 11
3τ 21
3τ
3'2đt
vttđτ : 0 1
1
0 2
( ) :
x x u t
y y u t
= +
∆ 
= +
(1) 2( ) : 0ax by c∆ + + = (2)
- Thay 0 1x x u t= + ; 0 2y y u t= + vào (2)
- Giải phương trình theo t vừa thu được
- Thay t vào (1), ta được giao điểm M của 1( )∆ và 2( )∆
3''2đt
vttđτ : 0 1
1
0 2
( ) :
x x u t
y y u t
= +
∆ 
= +
(1) 2( ) : 0ax by c∆ + + = (2)
- Đưa 1( )∆ về phương trình tổng quát dạng : ' ' ' 0a x b y c+ + =
- Áp dụng kĩ thuật 11
3τ , 21
3τ
42đt
vttđτ :

52. 50
- Vẽ hai đường thẳng 1 2( ), ( )∆ ∆ lên mặt phẳng tọa độ
- Tìm số giao điểm của hai đường thẳng 1 2( ), ( )∆ ∆ trên hình vẽ. Từ đó
kết luận vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 2( ), ( )∆ ∆
2.11.2. đt đtr
vttđ
−
Τ : Tìm tọa độ giao điểm của đường tròn ( )C
2 2
2 2 0+ − − + =x y ax by c và đường thẳng ( ) 1 1 1: 0d a x b y c+ + =
1( )đt đtr
vttđτ −
:
- Giải hệ phương trình
2 2
1 1 1
2 2 0
0
x y ax by c
a x b y c
 + − − + =

+ + =
để tìm ( ; )x y
- Số cặp giá trị ( ; )x y chính là số giao điểm của ( )d và ( )C
2( )
:đt đtr
vttđτ −
- Vẽ đường thẳng ( )d và đường tròn (C) lên mặt phẳng tọa độ
- Tìm số giao điểm của (d) và (C) trên hình vẽ. Từ đó kết luận vị trí tương đối
của hai đường thẳng (d) và (C)
2.11.3. đt elip
vttđ
−
Τ : Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ( ): 0d Ax By C+ + =
và elip (E):
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
1( )đt elip
vttđτ −
:
- Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1
0
x y
a b
Ax By C

+ =

 + + =
- Kết luận tọa độ giao điểm của ( ) ( )àd v E
2( )
:đt elip
vttđτ −

53. 51
- Vẽ đường thẳng ( )d và elip (E) lên mặt phẳng tọa độ
- Tìm số giao điểm của (d) và (E) trên hình vẽ. Từ đó kết luận vị trí tương đối
của hai đường thẳng (d) và (E)
2.11.4. đ đtr
vttđ
−
Τ : Xét vị trí tương đối của ( )0 0;A x y với đường tròn ( )C :
2 2
2 2 0+ − − + =x y ax by c
1( )đ đtr
vttđτ −
:
- Tìm tâm ( ; )I a b và bán kính 2 2
R a b c= + − của ( )C
- Tính độ dài đoạn thẳng IA
- So sánh IA với R :
+ IA > R thì A nằm bên ngoài ( )C
+ IA R= thì A nằm trên ( )C
+ IA R< thì A nằm trong ( )C
2( )đ đtr
vttđτ −
:
- Biểu diễn điểm A và đường tròn (C) lên mặt phẳng tọa độ
- Kết luận về vị trí của A đối với (C)
Các bài tập: VD/SGK/76; HĐ8/SGK/77; 5/SGK/80; VD1, VD2/SBT/127;
3.9/SBT/131; 3.22a,c/SBT/139; 3.23/SBT/139; 3.45c/SBT/149
3.9/ SBT/131: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a/.
1 5
:
2 4
x t
d
y t
=− −

= +
và
6 5
':
2 4
x t
d
y t
=− +

= −

54. 52
b/.
1 4
:
2 2
x t
d
y t
= −

= +
và ': 2 4 10 0d x y+ − =
c/. : 2 0d x y+ − = và ': 2 3 0d x y+ − =
3.8/SBT/131: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau vuông góc
với nhau
1 : 0mx y q∆ + + =và 1 : 0mx y q∆ + + =
3.22a/SBT/139: Cho đường tròn ( ) 07: 22
=−−+ yxyxC và đường thẳng
0343: =−+ yxd
a/. Tìm tọa độ giao điểm của ( )C và ( )d
…
c/ Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến
Cho elip (E): 2 2
4 16x y+ =
a/. …
b/. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
1
1;
2
M
 
 
 
và có vectơ pháp
tuyến ( )1;2n =

c/. Tìm tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng ∆ và elip (E)….
2.12. :tđđΤ Tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn một yêu cầu cho trước
2.12.1. :trt
tđđΤ Tìm tọa độ trực tâm của ABC∆ , khi biết tọa độ của , ,A B C
1
:trt
tđđτ

55. 53
- Tính ;AB AC
 
- Viết phương trình đường thẳng đi qua C và nhận AB

làm vectơ pháp tuyến.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua B và nhận AC

làm vectơ pháp tuyến
- Giải hệ phương trình gồm hai phương trình vừa tìm được. Nghiệm này chính
là tọa độ trực tâm của ABC∆
2
:trt
tđđτ
- Giả sử ( ) ( ) ( ); ; ; ; ;A A B B C CA x y B x y C x y và ( );H HH x y là trực tâm của ABC∆
- Tính ( ) ( ); ; ;H A H A C B C BAH x x y y BC x x y y= − − = − −
 
- H là trực tâm của ABC∆
AH BC
BH AC
 ⊥
⇔ 
⊥
 
 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
0
0
H A C B H A C B
H B C A H B C A
x x x x y y y y
x x x x y y y y
− − + − − =
⇔ 
− − + − − =
- Giải hệ phương trình trên tìm ;H Hx y
2.12.2. :đđx
tđđΤ Tìm điểm đối xứng của ( )0 0;A x y qua đường thẳng
( ) : 0ax by c∆ + + =
:đđx
tđđτ
- Tìm vectơ chỉ phương ( );u b a= −

của ( )∆
- Viết phương trình đường thẳng ( ')∆ đi qua ( )0 0;A x y và nhận ( );u b a= −

làm
vectơ pháp tuyến. Giả sử ( ') : ' ' ' 0a x b y c∆ + + =

56. 54
- Giải hệ phương trình
0
' ' ' 0
ax by c
a x b y c
+ + =

+ + =
để tìm tọa độ ( );H HH x y của ( )∆ và
( ')∆ .
- Gọi ( )' '; 'A x y là điểm đối xứng của A qua ( )∆ . Tọa độ của 'A được xác định
như sau: 0
0
' 2
' 2
H
H
x x x
y y y
= −

= −
2.12.3. :đ đ
tđđ
−
Τ Tìm M thuộc đường thẳng 0 1
0 2
( ) :
x x u t
y y u t
= +
∆ 
= +
và cách điểm
( );A AA x y một khoảng bằng a
:đ đ
tđđτ −
- Gọi ( ) ( )0 1 0 2;M x u t y u t+ + ∈ ∆
( ) ( )
2 22 2 2
0 1 0 2A BAM a AM a x u t x y u t x a= ⇔ = ⇔ + − + + − = (1)
- Giải phương trình (1) để tìm t , thay t vào phương trình của 0 1
0 2
x x u t
y y u t
= +

= +
, từ
đó kết luận tọa độ của M
2.12.4. :đgk nn
tđđ
−
Τ Tìm điểm M thuộc đường thẳng : 0ax by c∆ + + = sao cho độ
dài các đường gấp khúc AMB ngắn nhất (với ( ; ), ( ; )A A B BA x y B x y )
:đgk nn
tđđτ −
- Xét tính cùng phía và khác phía của hai điểm ,A B so với đường thẳng ∆
+ Nếu ,A B khác phía so với ∆, độ dài các đường gấp khúc AMB ngắn nhất
M⇔ là giao điểm của AB và đường thẳng ∆

57. 55
+ Nếu A và B nằm cùng phía so với đường thẳng ∆
 Tìm tọa độ của 'A đối xứng với A qua đường thẳng ∆
 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 'A B
 Độ dài các đường gấp khúc AMB ngắn nhất ⇔ M là giao điểm của
'A B và đường thẳng ∆
2.12.5. :đt nn
tđđ
−
Τ Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ (phương trình tham số)
sao cho đoạn BM ngắn nhất ( B không thuộc đường thẳng ∆ )
(1)
:đt nn
tđđτ −
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua B và vuông góc với đường thẳng ∆
- Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ và đường thẳng d
- BM ngắn nhất ⇔ M là giao điểm của ∆ và d . Từ đó suy ra tọa độ của M
(2)
:đt nn
tđđτ −
- Gọi M là điểm thuộc đường thẳng ∆ ( tọa độ M được xác định theo tham số
t )
- BM ngắn nhất ⇔ . 0BM u∆ =
 
(u∆

là vectơ chỉ phương của ∆). Giải phương
trình bậc một theo t
2.12.6. :tgc
tđđΤ Tìm điểm C trên đường thẳng d : 0ax by c+ + = (giả sử 0b ≠ )
sao cho tam giác ABC cân tại C (với ( ) ( ); ; ;A A B BA x y B x y không thuộc (d))
:tgc
tđđτ
- Lấy ;
am c
C m d
b
− − 
∈ 
 

58. 56
- ABC∆ cân tại C AC BC⇔ =. Giải phương trình này tìm m . Từ đó kết luận
tọa độ của điểm C
2.12.7. :tgv
tđđΤ Tìm điểm M trên đường thẳng d : 0ax by c+ + = (giả sử 0b ≠ )
sao cho tam giác AMB vuông tại M (với ( ) ( ); ; ;A A B BA x y B x y không thuộc (d))
(1)
:tgv
tđđτ
-Lấy ;
am c
M m d
b
− − 
∈ 
 
- AMB∆ vuông tại M 2 2 2
AB AM BM⇔ = + . Giải phương trình này tìm m . Từ
đó kết luận tọa độ của điểm M
(2)
:tgv
tđđτ
- Lấy ;
am c
M m d
b
− − 
∈ 
 
- AMB∆ vuông tại M . 0AM BM⇔ =
 
. Giải phương trình này tìm m . Từ đó kết
luận tọa độ của điểm M
Các bài tập: 6/SGK/80; 4/SGK/93; 5a/SGK/93; VD2b/SBT/129; 3.2/SBT/131;
3.37/SBT/148; 4/SBT/174
6/SGK/80: Cho đường thẳng d có phương trình tham số
2 2
3
x t
y t
= +

= +
. Tìm
điểm M thuộc d và cách A(0; 1) một khoảng bằng 5
4/SGK/93: Cho đường thẳng ∆ : 2 0x y− + = và hai điểm O(0; 0), A(2; 0)
a. Tìm điểm đối xứng của O qua ∆
b. Tìm điểm M trên ∆ sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất
5/SGK/93: Cho ba điểm A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8)

59. 57
a/. Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
3.2/SBT/131: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số
2 2
3
x t
y t
= +

= +
a. …
b. …
c. Tìm điểm M trên ∆ sao cho AM ngắn nhất
4/SBT/174: Cho hai điểm A(3; -1), B(-1; -2) và đường thẳng d có phương
trình 2 1 0x y+ + =
a. Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC là tam giác
cân tại C
b. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác AMB là tam
giác vuông tại M
2.13. :c
ts
a
Τ Tính tỉ số
c
a
của elip (E): ( )
2 2
2 2
1 0
x y
b a
a b
+ = < <
2.13.1. 1
:c
ts
a
Τ Tính tỉ số
c
a
của elip (E): ( )
2 2
2 2
1 0
x y
b a
a b
+ = < < , khi biết trục
lớn bằng k trục nhỏ ( )1k >
1
:c
ts
a
τ Từ 2 2 2 2
. ( 1) 1a k b c k b c b k= ⇒ = − ⇒ = − . Kết luận về tỉ số
2
1c k
a k
−
=
2.13.2. 2
:c
ts
a
Τ Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông
2
:c
ts
a
τ

60. 58
- Gọi ( )1 0;B b là điểm trên trục nhỏ của (E). 1B nhìn 1 2F F dưới một góc vuông,
ta có:
 0 2 2 21 2
1 1 2 1 1 190
2
F F
F B F OB OF c OB b b c= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
- Từ 2 2 2 2 2 2 2
2 2c a b a b c c a c= − ⇒ = + = ⇒ =
- Kết luận về tỉ số
2
c c
a
=
2.13.3. 3
:c
ts
a
Τ Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn
bằng k lần tiêu cự ( )0k >
3
:c
ts
a
τ
- Gọi ( )1 ;0A a là điểm trên trục lớn, ( )1 0;B b là điểm trên trục nhỏ của (E).
- Sử dụng điều kiện: 2 2 2
1 1 1 1.2 .4A B k c A B k c= ⇒ =
( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
4 ( ) 4 2 4 1
4 1
c
a b k c a a c k c a k c
a k
⇒ + = ⇒ + − = ⇒ = + ⇒ =
+
Các bài tập: 3.35/SBT/138
Cho elip ( )
2 2
2 2
( ) : 1 0
x y
E b a
a b
+ = < < . Tính tỉ số
c
a
trong các trường hợp sau:
a. Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ
b. Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông
c. Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn là bằng tiêu cự
2.14. thđT : Tập hợp điểm

61. 59
2.14.1. ss cđ
thđT −
: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song
1∆ và 2∆
ss cđ
thđτ −
:
M(x; y) các đều 1∆ và 2∆ ( ) ( )1 2, ,d M d M⇔ ∆= ∆
2.14.2. elip
thđT : Chứng tỏ một điểm di động trên một elip
(1)elip
thđτ :
- Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định bằng một hằng số
( )1 22 2a F F a< .
- Kết luận M di động trên elip (E) có hai tiêu điểm 1 2,F F và trục lớn 2a
(2)elip
thđτ :
- Chứng minh trong mặt phẳng tọa độ Oxy điểm ( );M x y có tọa độ thỏa mãn
phương trình
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =(với ,a blà hai hằng số thỏa mãn 0 b a< < )
Các bài tập: 3/SGK/93;VD1,2/SBT/146; 3.13/SBT/132; 3.30,3.31/SBT/147
3/SGK/93: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng
1 :5 3 3 0x y∆ + − = và 2 :5 3 7 0x y∆ + + =
VD1/SBT/146: Cho hai đường tròn ( )1 1 1;C F R và ( )2 2 2;C F R . 1( )C nằm
trong 2( )C và 1 2F F≠ . Gọi M là tâm của đường tròn ( )C thay đổi nhưng luôn
tiếp xúc ngoài với 1( )C và tiếp xúc trong với 2( )C . Hãy chứng tỏ điểm M di động
trên một elip.
VD2/SBT/146: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( );M x y di động có

62. 60
tọa độ luôn thỏa mãn
5cos
4sin
x t
y t
=

=
(trong đó t là tham số thay đổi). Hãy chứng
minh điểm M di động trên một elip
Kết luận về phân tích bài tập của SGK, SBT:
* Nhận xét về SBT:
- Có 66/69 bài tập trong SBT (66/69) bài tập được trình bày trong phần hướng
dẫn đều không có hình vẽ đi kèm. Chỉ có 3/69 bài tâp (VD1/SBT/144, 1/SBT/174,
2/SBT/174) có hình vẽ đi kèm trong hướng dẫn giải.
- Trong các bài tập có khả năng khai thác hình vẽ nhưng SBT chỉ đưa ra kết
quả mà không có bất cứ một lời bình luận hướng dẫn nào. Chẳng hạn: khi trình bày
bài giải của 3.19/SBT/139 “Lập phương trình đường tròn (C) đi qua A(1; 2), ( )3; 4B
và tiếp xúc với đường thẳng : 3 3 0x y∆ + − =”, SBT chỉ trình bày kết quả mà không có
bất cứ một bình luận hay hướng dẫn nào “ 2 2
1( ) : 8 2 7 0C x y x y+ − − + =
2 2
2( ) : 3 7 12 0C x y x y+ − − + =”. Cách trình bày này liệu HS có nghĩ đến dùng hình vẽ
để giải bài tập này không?
- Bên cạnh đó, SBT cũng có những bài tập (có khả năng khai thác hình vẽ) mà
trong hướng dẫn giải ta vẫn thấy có ý tưởng khai thác hình vẽ của các tác giả SGK.
Hay nói một cách khác hình vẽ là công cụ được khai thác ngầm ẩn. Chẳng hạn:
+ Khi giải 3.2c (trang 131), SBT trình bày như sau:
“M(2+2t; 3+t)∈∆
( )2 2 ;2 ,AM t t u∆= + +
 
Ta có AM ngắn nhất AM u∆⇔ ⊥
 
…..”
* Nhận xét về SGK:

63. 61
- Trong từng đơn vị bài học, SGV khi gợi ý giải các bài tập không có hình vẽ đi
kèm. Với những bài tập có thể khai thác hình vẽ, trong lời giải của các bài tập này ta
vẫn thấy có ý tưởng trong việc khai thác hình vẽ của các tác giả. Hay nói khác hơn
hình vẽ không xuất hiện một cách tường minh trong lời giải của bài toán. Chẳng hạn:
khi hướng dẫn giải bài tâp 3b/SGK/80, SGV gợi ý như sau: “Ta có: AH BC⊥
: 0AH x y c⇒ + + =…”. Khai thác hình vẽ ngầm ẩn sẽ cho AH BC⊥ .
- Hình vẽ chỉ được SGV gợi ý đưa ra tường minh trong hướng dẫn một vài bài
tập ôn tập chương III và bài tập cuối năm. Các bài tập mang tính tổng hợp các kiến
thức đã học của chương. Hình vẽ thể hiện đường lối cho lời giải cho bài toán. Ví dụ:
+ Trực tâm là một khái niệm HS đã làm quen ở HH7. Xét bài toán 5b/SGK/93,
yêu cầu tìm tọa độ trực tâm của tam giác khi biết tọa độ các đỉnh của tam giác. Rõ
ràng, biến đổi đại số sẽ không cho phép HS chỉ ra được tọa trực tâm của tam giác. Do
vậy việc dùng một hình vẽ để phân tích đi tìm lời giải cho bài toán là hoàn toàn có thể.
SGV có chú ý đến hình vẽ trong gợi ý giải bài toán này như sau:
Ở đây, HS dùng hình vẽ để chỉ ra đặc điểm của trực tâm là giao điểm của
đường cao ,AH BH . Từ đặc điểm ,AH BC BH AC⊥ ⊥ ta sẽ hình thành nên một hệ
gồm hai ràng buộc
AH BC
BH AC
 ⊥

⊥
 
  . “Dịch” hệ ràng buộc này sang ngôn ngữ ĐS ta sẽ được
một hệ phương trình Giải hệ này ta sẽ có được tọa độ của H .
+ Khái niệm hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng đã được HS tiếp cận
ở HH8. Do đó, việc HS đưa ra hình vẽ để phân tích bài toán là cần thiết và có cơ sở.
Thật vậy, SGV đã có chú ý đưa hình vẽ vào khi gợi ý giải bài tập 4/SGK/93

64. 62
Quan sát hình vẽ HS chỉ ra điểm O’ là hình chiếu của O qua đường thẳng ∆
(xác định theo định nghĩa hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ). Hình vẽ xác
định tọa độ điểm H bằng cách: viết phương trình đường thẳng (d) đi qua O và vuông
góc với ∆ . Sau đó tìm tọa độ giao điểm của (d) và ∆ .
Bảng thống kê công cụ hình vẽ qua các kiểu nhiệm vụ :
Kiểu NV NV Số lần xuất hiện
Có thể khai thác
công cụ hình vẽ
Ưu thế khi sử
dụng hình vẽ
t
ts
đΤ
( )
t
ts đ vtcp
đ
−
Τ 3
( )
t
ts đ vtpt
đ
−
Τ 2
(2 )
t
ts đ
đΤ 2
( )
t
ts đ hsg
đ
−
Τ 1
t
tq
đΤ
( )
t
tq đ vtpt
đ
−
Τ 3
( )
t
tq đ vtcp
đ
−
Τ 1
( )
t
tq đ hsg
đ
−
Τ 2
(2 )
t
tq đ
đΤ 5
tđΤ ( )
t
đc
đΤ 5 X

65. 63
(tt)
tđΤ 2 X
t
đtt
đT 1 X X
t
đpg
đT 2 X X
( 2 )
t
ctg c đc
đT −
1 X
(2 )
t
ctg tt đ
đT −
1 X
t
đq cđ
đT −
1 X
t
đ E
đT −
1 X
2 tg đT 2 tg đT 4
( t)kc đ đ−Τ ( t)kc đ đ−Τ 3
:đtrΤ
( )t bk
đtr
−
Τ 2
( )t đ
đtr
−
Τ 2 X
( )t txđt
đtr
−
Τ 3 X
( )đk
đtrΤ 4 X
( )2đ tx tr
đtr
−
Τ 2 X X
( 2 )tx tr t
đtr
−
Τ 1 X
(2 )đ t
đtr
−
Τ 1 X
( 2 )t tx đt
đtr
−
Τ 1 X
(2 )đ txđt
đtr
−
Τ 1 X

66. 64
3đ
đtrΤ 5 X
t bk−Τ
1
t bk−Τ 6
2
t bk−Τ 2 X
ptttΤ
tđ
ptttΤ 3 X X
( ),ktđ ss vg
ptttΤ 4 X
( )1ktđ đq đ
ptttΤ 5 X
( )pt EΤ
2
( )
đd tr
pt EΤ 1
( )
( )
tr tc
pt E
−
Τ 3
( )
( )
tđ đ
pt E
−
Τ 4
2
( )
đ
pt EΤ 3
,
( )
c
tc tđ
a
pt E
 
− 
 
Τ 1
tp( )EΤ tp( )EΤ 8
vttđΤ
2đt
vttđΤ 7 X
đt đtr
vttđ
−
Τ 1 X X
đt elip
vttđ
−
Τ 1 X
đ đtr
vttđ
−
Τ 1 X
tđđΤ trt
tđđΤ 2 X

67. 65
đđx
tđđΤ 1 X
đ đ
tđđ
−
Τ 2
đgk nn
tđđ
−
Τ 1 X
đt nn
tđđ
−
Τ 2 X
tgc
tđđΤ 1 X
tgv
tđđΤ 1 X
c
ts
a
Τ
1
c
ts
a
Τ 1
2
c
ts
a
Τ 1 X
3
c
ts
a
Τ 1
thđT
ss cđ
thđT −
1 X
elip
thđT 4 X
- Có 34/55 (61.8%) các nhiệm vụ có khả năng sử dụng hình vẽ. Trong số các
nhiệm vụ có khả năng sử sụng hình vẽ có 5 nhiệm vụ dùng hình vẽ thì bài toán dễ
thực hiện hơn so với không dùng hình vẽ.
- Có 60/132 (44.5%) lần xuất hiện các kiểu nhiệm vụ không cần can thiệp của
hình vẽ trong hệ thống bài tập của SGK, SBT. 72/132 (54.5%) lần xuất hiện các kiểu
bài tập có thể dùng hình vẽ trong việc đi tìm lời giải cho bài toán.
Kết luận:
Qua những gì phân tích về thể chế đối với đối tượng hình vẽ, chúng tôi đưa ra
một số kết luận sau:

68. 66
- Trong việc truyền đạt các kiến thức lí thuyết, SGK trình bày khái niệm kèm
theo hình vẽ một cách tường minh nhằm tạo yếu tố trực quan trong việc tiếp thu các
kiến thức. Bên cạnh đó, việc đưa ra các hình vẽ còn nhằm minh họa cho các bước hình
thành công thức (các phương trình, hệ phương trình đại số). Vai trò này không được
thể hiện trong hình học tổng hợp. Các tình huống đưa vào hình vẽ này tạo ảnh hưởng
đối với HS, đó là có thể dùng hình vẽ để nghiên cứu HHGT10, phân tích hình vẽ có
thể chỉ ra các bước trong lời giải của bài toán HHGT10.
- Trong việc xây dưng hệ thống các bài tập, bên cạnh xây dựng các bài tập sử
dụng công cụ đại số (cụ thể là giải trực tiếp bằng các công thức) các tác giả còn có
những bài tập có khả năng khai thác hình vẽ. Trong số đó chỉ có một số lượng rất ít
các bài tập được SGV đưa hình vẽ gợi ý hướng dẫn một cách tường minh. Chương
trình không yêu cầu về việc sử dụng hình vẽ, SGV không có qui định việc sử dụng
hình vẽ trong dạy – học HHGT10. Điều này có thể ảnh hưởng đến việc khai thác hình
vẽ của HS vào giải toán HHGT10. Chẳng hạn, khi dùng hình vẽ lời giải bài toán sẽ
ngắn gọn hơn. Do ít được tiếp xúc với hình vẽ trong lời giải các bài toán (qua các
SGV, SBT) điều này có thể làm cho HS không có thói quen sử dụng hình vẽ trong
HHGT10
Trên những phân tích, dự đoán về khả năng khai thác hình vẽ trong HHGT10,
chúng tôi đề xuất giả thuyết nghiên cứu như sau:
Giả thuyết nghiên cứu: “HS lớp 10 khi học hình học giải tích không có thói
quen sử dụng hình vẽ, HS chỉ sử dụng hình vẽ khi gặp khó khăn trong việc áp dụng
công thức”

69. 67
CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
1. Mục đích
Nghiên cứu chương trình, SGK đã cho phép tôi hình thành nên giả thuyết
nghiên cứu: “Đối với HS lớp 10 khi học hình học giải tích không có thói quen sử dụng
hình vẽ, HS chỉ sử dụng hình vẽ khi gặp khó khăn trong việc áp dụng công thức”
Để kiểm chứng giả thuyết này chúng tôi sẽ tiến hành một thực nghiệm được
khảo sát trên những HS lớp 10. Mục đích của thực nghiệm là nghiên cứu quan hệ cá
nhân HS lớp 10 về đối tượng hình vẽ sau khi đã học xong về phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng.
2. Giới thiệu bài toán thực nghiệm
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm thông qua bốn bài toán với nội dung như sau:
Bài 1: Hãy lập phương trình tổng quát của đường thẳng d , biết d đi qua điểm
( )5; 8M − và có vectơ pháp tuyến ( )1; 2n =

Bài 2: Lập phương trình ba đường trung trực của một tam giác có trung điểm
các cạnh lần lượt là ( ) ( ) ( )1;0 , 4,1 , 2,4M N P−
Bài 3: Xét vị trí tương đối của các đường sau:
a/. 1d : 4 10 1 0x y− + = và 2d : 2 0x y+ + =
b/. d : 4 0x y− − = và ( )C : 2 2
4 4 8 0x y x y+ − − − =
Bài 4: Lập phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua
điểm ( )4; 2M