本章で扱うモデルの仮定
 ネットワークの枝の切り替えは考えない
 例えばクラスの人間関係ネットワークでは新た
に交友関係が生まれることも考えられるが、こ
こではこれは考慮しない
 理由としては解析がしやすいというのがある

今日の話
 7.1から7.3の3つのネットワークモデルにつ
いて紹介する
 7.4は微妙に6章の話が入ってるので次回

7.1 コンフィグモデル
 頂点数Nを固定する
𝑁−1
 次数分布𝑃 = 𝑝 𝑘 𝑘=0 を考える
 各ノードの次数を𝑃から発生させ、N個の次
数𝑘1 , … , 𝑘 𝑁 を得る
 各頂点の次数が与えられた次数と一致する
ようにネットワークを作成する

次数からのネットワークの作成
 例えばN=4のとき次数が(2,2,1,1)のネット
ワークは下のようなものが例として挙げら
れる

次数からのネットワークの作成
 与えられた次数からネットワークを作成す
るにはHavel-Hakimiのアルゴリズムが利用
できる
 http://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theor
y)
 これは次数の大きいノードから次に次数が大き
いノードに対して貪欲にエッジを貼っていくア
ルゴリズムである
 このアルゴリズムにより与えられた次数を持つ
ネットワークが存在する場合は必ず構成できる

コンフィグモデルの特徴
 次数分布をべき則にすればスケールフリー
ネットワークを構成できる
 ランダムグラフの拡張になっている
 次数相関はない
 次数分布を考慮した平均場近似があてはま
る

コンフィグモデルの平均距離
 𝑁 → ∞で< 𝑘 2 >が存在するとき
𝑁
log
<𝑘>
 𝐿 =1+ <𝑘 2 >−<𝑘>
log <𝑘>

 また次数分布がスケールフリーで𝑝 𝑘 ∝
𝑘 −𝛾 のとき
 𝐿 = log log 𝑁 (2 < 𝛾 < 3)
 𝐿 = log 𝑁 / log log 𝑁 (𝛾 = 3)
 𝐿 = log 𝑁 (𝛾 > 3)

コンフィグモデルのクラスタ係数
 ランダムグラフと同様に頂点𝑣の２つの隣接点𝑣 ′ , 𝑣′′を考
えた時に2頂点の間に枝が張られる確率がクラスタ係数に
なる
 今𝑣′の次数を𝑘′, 𝑣′′の次数を𝑘′′とすると𝑘 ′ − 1本の枝のう
′ 𝑘 ′′ −1
ちどれか一本が𝑣′′につながる確率は約(𝑘 −1)
<𝑘>𝑁
𝑘′ 𝑝 𝑘′
 また(2.7)式より𝑣′の次数が𝑘′である確率は , 𝑣′′の次
<𝑘>
𝑘 ′′ 𝑝 𝑘 ′′
数が𝑘′′である確率は
<𝑘>
 これを𝑘 ′ , 𝑘′′に渡って平均すると

2
<𝑘 2 >−<𝑘>
 𝐶=
<𝑘>3 𝑁

コンフィグモデルのクラスタ係数
<𝑘>
 次数分布がポアソン分布の場合𝐶 = とな
𝑁
りランダムグラフの結果と一致する
 スケールフリーの場合はCはやや大きくなる
が、𝑁 −1 の項があり小さいと思って良い

レギュラーランダムグラフ
 コンフィグモデルで各点の次数が必ず𝑘0 で
あるようなものをレギュラーランダムグラ
フと呼ぶ
 これはランダムグラフに見られるような次
数の散らばりがないため、次数が散らばる
ことの影響を調べたい時に比較対象として
用いられる

7.2 一般の次数分布を持つ木
 コンフィグモデル同様に一般の次数分布を
持つ木を作成できる
 一般化ランダムグラフと呼ばれることがあ
るが、ランダムグラフの一般化にはなって
いない
 次数分布がべき則の場合はスケールフリー
木と呼ばれることもある

作り方
 次数分布{𝑝 0 , 𝑝 1 , … }を決める
 孤立点は無いものとするので𝑝 0 = 0
 頂点𝑣1 をおき、 𝑣1 の次数𝑘1 を確率𝑝(𝑘1 )で決
める
 𝑣1 の頂点から𝑘1 本の枝をつなぎ、それぞれ
の枝の先に新しい頂点をおく
 それぞれの頂点の先に(決められた次数-1)本
の枝をおき、再帰的に木を構成する

ゴルドンワトソン過程
 個体の繁殖など表すモデルでゴルドンワト
ソン過程があり、これは一般の次数を持つ
木とほぼ同じである
 1. 1個体が何個体かの子を産んで死ぬ
 2. 生まれた子は次世代の親となり、やはり
何個体か産んで死ぬ
 3. 次の世代が子を産み、同様の過程を繰り
返す
 これからでる系譜図が木に対応する

集団の発展
 ゴルドンワトソン過程においての関心とし
ては世代を経ていくうちに集団が生き残る
かどうかである
 ∑ 𝑘 − 1 𝑝 𝑘 > 1となるときに限って集団は
生き残りうる
 ネットワークの話題に戻ると平均次数< 𝑘 >
が2より大きければ一般の次数分布をもつ木
は無限に遠くまで広がりうる

7.3 GohモデルとChung-Luモ
デル
 Gohモデルの作り方は以下のようになる
 1. 頂点数𝑁と平均次数< 𝑘 >を決める
 2. 頂点𝑣 𝑖 に重み𝑤 𝑖 = 𝑖 −𝛼 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁)を割り当て
る
 3. 𝑁頂点の中から𝑤 𝑖 に比例する確率で頂点𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗
を選択する
 4. 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 がまだ隣接していないなら２つをつなげ
る
 5. ステップ3,4を枝が合計< 𝑘 > 𝑁/2本になる
まで繰り返す

Gohモデルの特徴
 𝑣 𝑖 の次数𝑘 𝑖 はステップ3で𝑣 𝑖 が選ばれる確率
に比例し
 𝑘 𝑖 ∝ 𝑝 𝑖 ∝ 𝑖 −𝛼
 これと(2.1.3)より次数分布はべき則
1
 𝑝 𝑘 ∝ 𝑘 −𝛾 , 𝛾 =1+ となる
𝛼
 Lは小さく、Cも小さい
 また次数相関は負になる
 これはハブに枝が集中しやすいことからである

Chung-Luモデル
 Gohモデル同様に各頂点は𝑤 𝑖 をもち、𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗
𝑤𝑖 𝑤𝑗
を確率∑ でつなぐ
𝑙 𝑤𝑙
 Gohモデルよりも数学的に解析しやすい
 確率は1以下になると仮定する
𝑤𝑖 𝑤 𝑗
 Gohモデルでは約 2 となっていた
∑𝑙 𝑤𝑙

Chung-LuモデルにおけるL
 コンフィグモデルと同様に次数がべき分布
のとき
 𝐿 = log log 𝑁 (2 < 𝛾 < 3)
 𝐿 = log 𝑁 / log log 𝑁 (𝛾 = 3)
 𝐿 = log 𝑁 (𝛾 > 3)

隣接行列の固有値
 Chung-Luモデルにおける固有値の分布もべ
き則に従うことが知られている
 𝜌 𝜆 ∝ 𝜆−2𝛾−1
 Gohモデルについても、レプリカ法という
手法によって同様の式が成り立つことが知
られている

Complex network-reading 7

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à Complex network-reading 7

Similaire à Complex network-reading 7 (18)

Plus de 正志坪坂

Plus de 正志坪坂 (20)