Khảo sát hàm số để chứng mình bất đẳng thức
•
9 j'aime•9,914 vues
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Recommandé
Recommandé
Contenu connexe
Tendances
Tendances (20)
Similaire à Khảo sát hàm số để chứng mình bất đẳng thức
Similaire à Khảo sát hàm số để chứng mình bất đẳng thức (20)
Plus de tuituhoc
Plus de tuituhoc (20)
Dernier
Dernier (20)
Khảo sát hàm số để chứng mình bất đẳng thức
- 1. www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn A. Lý do chọn đề tài chọ đề Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là bài toán luôn có mặt hầu hết trong các kỳ thi HSG và tuyển sinh Đại Học. Không những thế nó còn là bài toán hay và khó nhất trong đề thi. Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhất nhỏ luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học. Việc giảng dạy để làm sao cho học sinh học tốt chủ đề này luôn là môt vấn đề khó. Chủ đề này thường dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó. Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhất nhỏ nhất có nhiều phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán cực trị mà chỉ chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi. Một trong các phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số cố định. Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua ví dụ để HS rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài toán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải cho riêng mình. Vì những lý do trên chúng tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh BĐT và tìm GTLN, GTNN. B. Nội Dung về biế biế 1. Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai biến. Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm cực trị để tìm mối quan hệ giữ chúng rồi biể thứ cầ cự trị mố hệ giữ rồ Biế đổ giả thiế tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát. tìm phụ lý, biể thứ về hàm mộ biế để khả Thí dụ 1: Cho x, y là số thực và thoả mãn xଶ + yଶ = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ dụ nhất của biểu thức: 2008ሻ Hoạt động khám phá: Hoạ độ - - ܲ = 2ሺ ݔଷ + ݕଷ ሻ − 3ݕݔ ሺCao đẳng khối A, B – đẳ khố Từ giả thiết xଶ + yଶ = 2 có thể đưa bài toán về một ẩn không? Ta nghĩ tới hằng đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ = ሺݕ + ݔሻଶ − 2 ݔ ; ݕݔଷ + ݕଷ = ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − 2ݕ+ݕݔ Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện x ଶ + yଶ để sử dụng giả thiết. Biến đổi biểu thức P và thế vào ݔଶ + ݕଶ = 2 ta có: ܲ = 2ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ − 3ݕݔ Từ giả thiết: ሺ ݕ + ݔሻଶ − 2= ݕݔ ⇒ 2 = ݕݔ = 2ሺݕ + ݔሻሺ 2 − ݕݔሻ − 3ݕݔ ሺ௫ା௬ሻమିଶ ଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 1
- 2. www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể P về hàm một biến số nếu ta đặt: ݕ + ݔ = ݐ Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ ≥ Lời giải: giả Ta có: ሺ௫ା௬ሻమ ଶ ܲ = 2ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ − 3ݕݔ = 2ሺݕ + ݔሻሺ 2 − ݕݔሻ − 3ݕݔ Ta có: = ݕݔ ሺ௫ା௬ሻమ ିଶ ଶ Ta có: ݔଶ + ݕଶ ≥ , vì thế sau khi đặt ,ݕ + ݔ = ݐthì ܲ ሺݐሻ = 2 ݐቆ2 − ሺ௫ା௬ሻమ ଶ ݐଶ − 2 ݐଶ − 2 3 ቇ−3 = − ݐଷ − ݐଶ + 63 + ݐ 2 2 2 ⇒ ሺݕ + ݔሻଶ ≤ 4 ⇒ −2 ≤ 2 ≤ ݐ Xét hàm số: ܲ ሺݐሻ = − ݐଷ − ݐଶ + 6 3 + ݐvới −2 ≤ 2 ≤ ݐ ଷ ଶ Ta có: ܲ ᇱ ሺݐሻ = −3 ݐଶ − 36 + ݐ Ta có bảng biến thiên t -2 2 P’ሺtሻ − 0 + ଵଷ Pሺtሻ Vậy: 1 ଶ -7 1 max ሾିଶ;ଶሿ ݂ ሺݐሻ = ݂ ሺ1ሻ = ଵଷ ଶ =ݔ ;= ݕ ଶ ଶ khi ଵା√ଷ ଵି√ଷ ;= ݕ =ݔ ଵା√ଷ ଵି√ଷ ଶ ଶ minሾିଶ; ଶሿ ݂ ሺݐሻ = ݉݅݊ሼ݂ሺ−2ሻ; ݂ ሺ2ሻሽ = ݉݅݊ሼ−7; 1ሽ = −7 khi 1− = ݕ = ݔ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 2
- 3. www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Thí dụ 2: Cho x, y ≥ 0 và x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu dụ thức: ܵ = ሺ4 ݔଶ + 3ݕሻሺ4 ݕଶ + 3ݔሻ + 25ݕݔ 2009ሻ Hoạt động khám phá: Hoạ độ - ሺĐại học khối D – ሺĐạ họ khố Từ giả thiết x + y = 1 có thể đưa bài toán đã cho về một ẩn không? Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện ݕ + ݔđể sử dụng giả thiết. Chú ý hằng đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ = ሺݕ + ݔሻଶ − 2ݕݔ ݔଷ + ݕଷ = ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ Sau khi khai triển và thế vào x + y = 1, ta có: ܵ = 16 ݔଶ ݕଶ − 221 + ݕݔ - Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể S về hàm một biến số nếu ta đặt: ݕݔ = ݐ Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: 0 ≤ ≤ ݕݔ Lời giải: giả ሺ௫ା௬ሻమ ସ Ta có: ܵ = ሺ4 ݔଶ + 3 ݕሻሺ4 ݕଶ + 3ݔሻ + 25 ݔ61 = ݕݔଶ ݕଶ + 12ሺ ݔଷ + ݕଷ ሻ + 34ݕݔ = 16 ݔଶ ݕଶ + 12ሺ ݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ + 34ݕݔ = 16 ݔଶ ݕଶ + 12ሾሺݕ + ݔሻଶ − 3ݕݔሿ + 34ݕݔ = 16 ݔଶ ݕଶ − 221 + ݕݔ ሺ݀1 = ݕ + ݔ ሻ Đặt xy = t. Ta có: do ݊ 0 ≥ ݕ ,0 ≥ ݔê݊ 0 ≤ ≤ ݕݔ ሺ௫ା௬ሻమ ସ ሺ݀1 = ݕ + ݔ ሻ = ଵ ସ ⇒ 0≤≤ݐ ଵ ସ Xét hàm số: ݂ሺݐሻ = 16 ݐଶ − 2 21 + ݐvới 0 ≤ . ≤ ݐTa có: ݂ ᇱ ሺݐሻ = 322 − ݐ Bảng biến thiên t f’ሺtሻ fሺtሻ ଵ ସ 0 ଵ ଵ ଵ ସ 12 − 0 SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 + 3
- 4. www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ଶହ ଶ Vậy: minቂ;భቃ ݂ሺݐሻ = ݂ ቀ ቁ = ଵ ଵ ర khi ଵଽଵ ଵ =ݔ =ݔ ଶା√ଷ ଵଽଵ ଵ ;= ݕ ସ ଶି√ଷ ;= ݕ ସ max ቂ;భቃ ݂ ሺ ݐሻ = ݉ܽ ݔቄ݂ሺ0ሻ; ݂ ቀ ቁቅ = ݉ܽ ݔቄ12; ଵ ଶହ ସ ర ଶ ଶି√ଷ ቅ= ସ ଶା√ଷ ସ ଶହ ଶ khi = ݕ = ݔ Thí dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: dụ ଵ ଶ 3 = ܣሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + 1 với x, y là các số thoả mãn điều kiện: ሺݕ + ݔሻଷ + 4.2 ≥ ݕݔ ሺĐại học khối B – ሺĐạ họ khố 2009ሻ Hoạt động khám phá: Hoạ độ - Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để dễ sử dụng ݔଶ + ݕଶ = ሺݕ + ݔሻଶ − 2ݕݔ hơn. Chú ý hằng đẳng thức: ݔଷ + ݕଷ = ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ và ሺݕ + ݔሻଶ ≥ 4 .ݕݔKhi đó điều kiện bài toán trở thành: 1 ≥ ݕ + ݔ - Ta biến đổi được A như sau: 3 = ܣሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + 1 = ଶ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ଶ ሺ ݔସ + ݕସ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + 1 ଷ ≥ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ଷ ଶ hay - ଷ ଷ൫௫ మ ା௬ మ൯ ሺdo ݔସ + ݕସ ≥ ସ ൫௫ మା௬ మ൯ ଶ ≥ ܣሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + 1 ଽ మ మ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + 1 ሻ ସ Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể A về hàm một biến số được không?ሺnếu ta đặt: ݔ = ݐଶ + ݕଶ ሻ Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ ≥ Lời giải: giả ሺ௫ା௬ሻమ ଶ Theo bất đẳng thức hiển nhiên: ሺݕ + ݔሻଶ ≥ 4 ,ݕݔnên từ ሺݕ + ݔሻଷ + 4 ⇒ 2 ≥ ݕݔሺ ݕ + ݔሻଷ + ሺݕ + ݔሻଶ ≥ ሺݕ + ݔሻଷ + 42 ≥ ݕݔ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 4
- 5. www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ⇒ ሺݕ + ݔሻଷ + ሺݕ + ݔሻଶ ≥ 2 ⇒ ሾሺx+yሻ-1ሿሾ ሺݕ + ݔሻଶ + ሺݕ + ݔሻ + 2ሿ ≥ 0 ⇒ ሺx+yሻ - 1≥ 0 ଵ ଶ ሺdo ሺݕ + ݔሻଶ + ሺݕ + ݔሻ + 2 = ቂሺݕ + ݔሻ + ቃ + > 0, ∀ݕ ,ݔሻ ଶ ସ Bài toán được đưa về tìm min, max của: 3 = ܣሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + 1 với x, y thoả mãn: x+y ≥ 1. Ta biến đổi A như sau: 3 = ܣሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + 1 = ଷ ଶ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ሺ ݔସ + ݕସ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + 1 ≥ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ଷ ଶ Vì ݔଶ + ݕଶ ≥ ଶ ଶ ଽ ସ ଽ ସ ᇱ ሺݐሻ ⇒݂ = 2−ݐ ଽ ସ Ta có bảng biến thiên: ସ +∞ ଽ ଽ ଵ ଵ ଶ ଵ ଽ ଵ ଵ ଶ ଶ + ଵ ଽ ଵ +∞ xẩy ra khi t = ଵ ଶ . Mặt khác ta dễ thấy = ݕ = ݔthì = ܣ Tóm lại: minA = ሻ ଶ f’ሺtሻ Vậy min௧ஹభ ݂ ሺݐሻ = ݂ ቀ ቁ = ଶ ଶ మ ଵ ଽ fሺtሻ ൫௫ మା௬ మ൯ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + 1 ሺdo x+y ≥ 1ሻ nên ݔଶ + ݕଶ ≥ Ta có: ݂ሺݐሻ = ݐଶ − 2 1 + ݐvới ≥ ݐ t ସ మ ≥ ܣሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ − 2ሺ ݕ + ݔଶ ሻ + 1 ሺ௫ା௬ሻమ Đặt ݕ + ݔ = ݐ ଶ Suy ra ≥ ܣ ଶ ଷ൫௫ మ ା௬ మ൯ ሺdo ݔସ + ݕସ ≥ hay మ ଷ khi = ݕ = ݔ ଵ ଵ ଶ ଽ ଵ ଶ Thí dụ 4: Cho hai số thực x, y ሺkhác 0ሻ thay đổi thoả mãn điều kiện: ሺݕ + ݔሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − dụ ݕݔ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 5
- 6. www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN =ܣ Hoạt động khám phá: Hoạ độ Gv Thái Văn Duẩn 1 1 + ଷ ଷ ݔ ݕ ሺĐại học khối A – 2006ሻ ሺĐạ họ khố 2006ሻ Từ giả thiết ሺݕ + ݔሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − ݕݔcó thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không? Biến đổi biểu thức A, ta được: - =ܣ ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ ݕ+ݔଶ 1 1 ଶ ݔଷ + ݕଷ ൰ = ൬ + ൰ = =൬ ݔଷݕଷ ݕݔ ݕ ݔ ݔଷݕଷ Do giả thiết là biểu thức mà số mũ trong các hạng tử ở vế trái lớn hơn vế phải nên ta đặt x = ty thì ta có thể rút được x hoặc y theo t: ሺݕ + ݔሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − ⟹ ݕݔđặt x = - ty ⟹ = ݕ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ మ ା௧ ; = ݕݐ = ݔ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ାଵ Vậy đến đây ta có thể đưa có thể A về hàm một biến t. Đến đây ta khảo sát hàm biến t là đi đến được kết quả. - Lời giải: giả Từ giả thiết, ta có: ሺ ݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ 1 1 ݔଷ + ݕଷ ݕ+ݔଶ 1 1 ଶ ൰ = ൬ + ൰ =ܣଷ+ ଷ= = =൬ ݔଷݕଷ ݕ ݔ ݔ ݕ ݔଷݕଷ ݕݔ Đặt: ݕݐ = ݔ từ giả thiết ሺݕ + ݔሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − ⟹ ݕݔሺ1 + ݐሻ ݕݐଷ = ሺ ݐଶ − 1 + ݐሻ ݕଶ do đó: = ݕ Từ đó ௧ మ ି௧ାଵ ௧ మ ା௧ ; = ݕݐ = ݔ Xét hàm số: Ta có bảng biến thiên: t f’ሺtሻ −∞ +∞ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ାଵ ݐଶ + 21 + ݐ 1 1 ଶ ቇ =ܣ൬ + ൰ = ቆ ଶ 1+ݐ− ݐ ݕ ݔ ݂ ሺ ݐሻ = - ଶ ݐଶ + 21 + ݐ −3 ݐଶ + 3 ܿó ݂ ᇱ ሺݐሻ = ଶ ሺ1 + ݐ − ݐሻଶ ݐଶ − 1 + ݐ -1 + 1 SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 - 6
- 7. www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN fሺtሻ 1 Gv Thái Văn Duẩn 4 0 1 ଵ Vậy: GTLN của A là: ݂ ଶ ሺ1ሻ = 16 khi . = ݕ = ݔ ଶ khả lầ lượ từ biế biế 2. Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến. Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lượt từng biến một bằng vớ bấ đẳ thứ nhiề biế thể khả lầ lượ từ biế mộ bằ cách chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán chọ mộ biế số biế cố biế lạ lúc này trở thành bất đẳng thức một biến. Luôn có tâm thế nhìn biểu thức nhiều trở bấ đẳ thứ mộ biế Luôn thế biể thứ nhiề biến mà ta cần tìm GTLN, GTNN dưới dạng là một hàm số để ta sử dụng được biế cầ tìm dướ dạ số sử đượ công cụ hiệu quả trong giải toán là đạo hàm. cụ hiệ quả giả đạ hàm. Sơ đồ tổng quát đồ Giả sử tìm cực trị của biểu thức ba biến x, y, z: Pሺx, y, zሻ với điều kiện T nào đó. Giả cự trị biể thứ biế điề kiệ • Bước 1: Xem Pሺx, y, zሻ là hàm theo biến x, còn y, z la hằng số. Khảo sát Bướ biế hằ số Khả hàm này tìm cực trị với điều kiện T. Ta được: cự trị điề kiệ đượ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≥ ࢍሺ࢟, ࢠሻሺࢎặࢉ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≤ ࢍሺ࢟, ࢠሻሻ • Bước 2: Xem gሺy, zሻ là hàm biến y, còn z là hằng số. Khảo sát hàm này với Bướ biế số Khả này vớ điều kiện T. Ta được ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≥ ࢎሺࢠሻ ሺࢎặࢉ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≤ ࢎሺࢠሻሻ điề kiệ đượ • Bước 3: Cuối cùng Khảo sát hàm một biến hሺzሻ với điều kiện T tìm min, Bướ Cuố Khả mộ biế hሺz điề kiệ max của hàm này. này. Ta đi đến kết luận: ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≥ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≥ ࢎሺࢠሻ ≥ đế kế luậ ሺࢎặࢉ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≤ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≤ ࢎሺࢠሻ ≤ ࡹሻ Thí dụ 5: Cho hai số thực x, y, z là 3 số thực thuộc ሾ1; 4ሿ và .ݖ ≥ ݔ ,ݕ ≥ ݔTìm giá trị nhỏ dụ nhất của biểu thức: 2011ሻ Hoạt động khám phá: Hoạ độ ܲ= ݔ ݕ ݖ + + 2ݔ + ݖ ݖ + ݕ ݕ3 + ݔ ሺĐại học khối A – ሺĐạ họ khố Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào? Xem P là một hàm theo biến z, con x, y là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho suy ra GTNN của P, tức là ܲሺݖ ,ݕ ,ݔሻ ≥ ܲሺݕ ,ݔሻ - Khảo sát hàm Pሺx, yሻ, ở đây có thể đưa Pሺx, yሻ về hàm một biến không? - - Bằng cách đặt ẩn phụ = ݐට௬ để đưa ܲሺݕ ,ݔሻ về hàm một biến. Tìm GTNN của hàm ௫ một biến ଷସ - Vậy ܲሺݖ ,ݕ ,ݔሻ ≥ ܲ ሺݕ ,ݔሻ = ܲሺݐሻ ≥ ଷଷ Lời giải: giả SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 7
- 8. www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Ta có: Gv Thái Văn Duẩn ݕ ݖ ݔ + + 2ݔ + ݖ ݖ + ݕ ݕ3 + ݔ ܲ= Xem đây là hàm theo biến z; còn x, y là hằng số. ሺݕ − ݔሻሺ ݖଶ − ݕݔሻ ݔ −ݕ + = ܲ ݖሻ = ሺݖ + ݕሻଶ ሺݔ + ݖሻଶ ሺݖ + ݕሻଶ ሺݔ + ݖሻଶ ᇱሺ Theo giả thiết: 0 ≥ ݕ − ݔ ⇒ ݕ ≥ ݔnếu ܲ ≥ 0 ⇔ ≥ ݖඥ ݕݔሺdo x, y, z ∈ ሾ1; 4ሿሻ t P’ሺzሻ ඥݕݔ - Pሺzሻ 0 + min Từ bảng biến thiên: ܲ ≥ ܲ൫ඥݕݔ൯ = = ௫ ଶ௫ାଷ௬ ೣ ೣ ଶାଷ + + ଶ√ ௬ √௫ା√௬ ଶ ೣ ଵାට Đặt = ݐට , do ݖ ≥ ݔ ,ݕ ≥ ݔvà x, y, z ∈ ሾ1; 4ሿ nên 1 ≤ .2 ≤ ݐ ௫ Xét hàm ௬ ݂ሺݐሻ = ݂ ᇱ ሺݐሻ = ௧మ ଶ௧ మ ାଷ + ଶ ଵା௧ ିଶൣସ௧ య ሺ௧ିଵሻାଷሺଶ௧ మ ି௧ାଷሻ൧ ሺଶ௧ మ ାଷሻమ ሺଵା௧ሻమ < 0, ∀ ∈ ݐሾ1; 2ሿ Suy ra fሺtሻ giảm trên ሾ1; 2ሿ, do đó ܲ ≥ ܲ൫ඥݕݔ൯ = ݂ ሺݐሻ ≥ ݂ሺ2ሻ = SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 ଷସ ଷଷ 8
- 9. www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Đẳng thức xẩy ra: ቐ Vậy: ܲ = ଷସ ଷଷ = ݖඥݕݔ =ݐට =2 ௫ ௬ Gv Thái Văn Duẩn ⇒ 2 = ݖ ,1 = ݕ ,4 = ݔ ݇ℎ݅ 2 = ݖ ,1 = ݕ ,4 = ݔ Thí dụ 6: Cho hai số thực ܽ, ܾ, ܿ là 3 số thực thuộc ቂଷ ; 3ቃ. Tìm giá trị lớn nhất của biểu dụ ଵ thức: ܲ= Hoạt động khám phá: Hoạ độ ܽ ܾ ܿ + + ܽ+ܾ ܾ+ܿ ܿ+ܽ Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào? Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của P của, tức là ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ݃ሺܾ, ܿሻ - Xem Pሺb, cሻ là một hàm theo biến c, còn b là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của Pሺb, cሻ, tức là ݃ሺ ܾ, ܿሻ ≤ ℎሺܾሻ ଼ - Tiếp theo khảo sát hàm hሺbሻ suy ra ℎሺܾሻ ≤ ହ - - Vậy: ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ݃ሺܾ, ܿሻ ≤ ℎሺܾሻ ≤ ହ ଼ Lời giải: giả Đặt ܲሺܽሻ = ܽ ܾ ܿ + + ܽ+ܾ ܾ+ܿ ܿ+ܽ Xem đây là hàm theo biến a; còn b, c là hằng số. ܲᇱ ሺܽሻ = ሺܾ − ܿሻሺܽ ଶ − ܾܿሻ ܾ ܿ − = ሺܽ + ܾሻଶ ሺܽ + ܿሻଶ ሺܽ + ܾሻଶ ሺܽ + ܿሻଶ • Trường hợp 1: ܽ ≥ ܾ ≥ ܿ và ܽ, ܾ, ܿ ∈ ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ Suy ra: ܾ − ܿ ≥ 0; ܽ − ܾܿ ≥ 0 nên ܲ ܽ ሻ ≥ 0. Do đó: Pሺaሻ tăng trên ቂ ; 3ቃ ଶ ᇱሺ 3 ܾ ܿ ⇒ ܲ ሺܽ ሻ ≤ ܲ ሺ3ሻ = + + = ݃ሺܿ ሻ 3+ܾ ܾ+ܿ ܿ+3 ሺxem gሺcሻ là hàm theo biến cሻ Mặt khác ݃ᇱ ሺܿሻ = ଵ ଷ ሺܾ − 3ሻሺ3ܾ − ܿ ଶ ሻ 3 −ܾ + = ≤0 ሺܾ + ܿሻଶ ሺܿ + 3ሻଶ ሺܾ + ܿሻଶ ሺܿ + 3ሻଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 9
- 10. www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Do đó: gሺcሻ giảm trên ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ 3 3ܾ 1 1 + + = ℎሺܾሻ ⇒ ݃ሺܿ ሻ ≤ ݃ ൬ ൰ = 3 + ܾ 3ܾ + 1 10 3 ሺxem hሺbሻ là hàm theo biến bሻ Ta có ℎ ᇱ ሺܾ ሻ = Ta có bảng biến thiên: b ሺ1 − ܾሻሺ1 + ܾሻ 3 3 − = ሺ3ܾ + 1ሻଶ ሺܾ + 3ሻଶ ሺ3ܾ + 1ሻଶ ሺܾ + 3ሻଶ 1 ଵ ଷ h’ሺbሻ 3 + ଼ ହ hሺbሻ Suy ra ℎሺܾ ሻ ≤ ℎሺ1ሻ = - ଼ ହ Vậy: ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ܲሺ3, ܾ, ܿሻ ≤ ܲ ቀ3, ܾ, ቁ ≤ ܲ ቀ3, 1, ቁ = ଵ ଷ ଵ ଷ • Trường hợp 2: ܿ ≥ ܾ ≥ ܽ và ܽ, ܾ, ܿ ∈ ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: ܲሺܿ, ܾ, ܽሻ ≤ Mặt khác: ܲ ሺܽ, ܾ, ܿሻ − ܲ ሺܿ, ܾ, ܽ ሻ = = ଼ ହ khi ܽ = 3; ܾ = 1; ܿ = . ଵ ଷ ଼ ହ ሺܽ − ܾሻሺܾ − ܿሻሺܽ − ܿሻ ≤0 ሺܽ + ܾሻሺܾ + ܿሻሺܽ + ܿ ሻ ⇒ ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ 8 5 Vậy , = ܵ ݔܽܯxẩy ra khi và chỉ khi ሺܽ, ܾ, ܿ ሻ = ቄቀ3, 1, ቁ ; ቀ , 3, 1ቁ ; ቀ3, ଼ ହ ଵ ଷ ଵ ଷ ଵ ଷ , 1ቁቅ Thí dụ 7: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: abc + a + c = b dụ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 10