Đây chỉ là bản mình upload để làm demo trên web, để tải đầy đủ tài liệu này, bạn vui lòng truy cập website tuituhoc.com để tải nhé :)

1. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ
www.MATHVN.com
PHẦN I
-----------------------------------------------------------------PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
------------------------------------------------------------------CÁC DẠNG CƠ BẢN
B  0
► A B
2
A  B
B  0
► A  B
A  B
B  0
► A  B
A  B
B  0

► A  B  A  0
 A  B2

 A  0

B  0
► A B 
 B  0

  A  B2

TỔNG QUÁT:
Đối với những những phƣơng trình, bất phƣơng
trình không có dạng chuẩn nhƣ trên, ta thực hiện:
- Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa,
- Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm,
- Bình phƣơng cả hai vế để khử căn.
VÍ DỤ - BÀI TẬP
Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau:
1.
4  2x  x 2  x  2
2.
x  4  1  x  1  2x
3.
3x 2  19x  20  4x  4
5.
x  12  2x  1  x  3
 x  4  2  3x  2 2x 2  3x  1
 2x  1  2x 2  3x  1
2x  1  0

2
2
(2x  1)  2x  3x  1
2x  1  0
 2
2
4x  4x  1  2x  3x  1
1

1

x   2
x




2
x  0  x   7
2x 2  7x  0



2
4  2x  x 2  x  2
x  2  0


2
2
4  2x  x   x  2 

1.
x  2
x  2
 2

 x 3
x  0  x  3
 x  3x  0
Vậy: x  3
x  4  1  x  1  2x
2.
 x  4  1  x  1  2x
x  4  0
1

Điều kiện: 1  x  0  4  x 
2
1  2x  0

x0
So điều kiện nhận x  0
Vậy: x  0
3.
x 2  4x  5  3x  17
 x 2  4x  5  0

 3x  17  0
 x 2  4x  5  (3x  17) 2


 x  1  x  5
x  1  x  5



17
17


 x 
 x 
3
3


2
21
8x  98x  294  0


x  4  x  7

x7
Vậy: x  7
x 2  4x  5  3x  17
4.
CAO HOÀNG NAM
4.
3x 2  19x  20  4x  4
4x  4  0
4x  4  0
 2
 2
2
3x  19x  20  0 3x  19x  20  (4x  4)
x  1
x  1


4  2
13x  51x  4  0
 x  5  x   3

x  1
4

 x  5    x  1   1
3
 13  x  4

4
 x  5    x  1  1  x  4
3
4
Vậy: x  5    x  1  1  x  4
3
5.
x  12  2x  1  x  3
 x  12  x  3  2x  1 (*)
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com
Trang 1

2. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ
www.MATHVN.com
CAO HOÀNG NAM
x  9
 2
4x  6x  54  0
x  9
9


 x   x  3
9
2
 x  2  x  3

So điều kiện nhận x  3
Vậy: x  3
 x  12  0

Điều kiện:  x  3  0  x  3
2x  1  0

(*)  x  12  x  3  2x  1
 x  12  x  3  2x  1  2 (x  3)(2x  1)
 14  2x  2 (x  3)(2x  1)
 (x  3)(2x  1)  7  x
(x  3)(2x  1)  0

 7  x  0
(x  3)(2x  1)  49  14x  x 2

2.
Do
x  16
5
 x 3 
x 3
x 3
2
3. (x  1) 16x  17  8x 15x  23
2
2.
4. (x  3) x  4  x  9
2
2
5.
6.
1.
2x 2  8x  6  x 2  1  2x  2
51  2x  x 2
1
1 x
6
 3  x  9  5x (1)
3 x
3  x  0
9
x
Điều kiện: 
5
9  5x  0
(1)  9  x  5x 2  24x  27
9  x  0

2
2
81  18x  x  5x  24x  27
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460
x  3  0 nên quy đồng bỏ mẫu ta đƣợc:
(2)  x 2  16  8  x
  x 2  16  0

 8  x  0

8 x  0

 2
  x  16  (8  x) 2

Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau:
6
 3  x  9  5x
3 x
5
(2)
x 3
 x 2  16  0
 x  4  x  4

x4
Điều kiện: 
x  3
x  3  0
1

x   2  x  3

 x  7
 x 2  9x  52  0


1

x   2  x  3

1
 x  7
 x   3 x  4
2
 x  4  x  13


So điều kiện 3  x  4 .
Vậy: 3  x  4
1.
x 2  16
 x 3 
x 3
  x  4  x  4

x  8
x  8


 x 5
x  8
5  x  8

 16x  80

So điều kiện nhận x  5
Vậy: x  5
3. (x  1) 16x  17  8x 2 15x  23 (3)
Điều kiện: 16x  17  0  x  
17
16
(3)  (x  1) 16x  17  (x  1) 8x  23
 (x  1)

16x  17  8x  23  0

 x  1

 16x  17  8x  23
 x  1

  8x  23  0
 16x  17  64x 2  368x  529

 x  1

 x  1
23

 x 


8
x  4
x  2  x  4

So điều kiện nhận x  1 hoặc x  4
Vậy: x  1 hoặc x  4
www.mathvn.com
Trang 2

3. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ
www.MATHVN.com
4. (x  3) x 2  4  x 2  9 (4)
Điều kiện: x 2  4  0  x  2  x  2
(4)  (x  3)


x  4  x  3  0 (*)
2
Do ta chƣa biết dấu của (x  3) nên ta chia làm 3
trƣờng hợp:
 Trƣờng hợp 1: x  3
(*)  x  4  x  3
2
x  3  0
 2
x  4  0

x 3 0

 2
  x  4  x 2  6x  9

  x  3

 x  2  x  2

  x  3

 6x  13

 x  3
13

x
13
 3  x  
6
6

 Trƣờng hợp 2: x  3 thỏa (*)
 Trƣờng hợp 3: x  3
(*)  x 2  4  x  3
 x2  4  x  3
x 2  4  0

 x  3  0
 x 2  4  x 2  6x  9

 x  2  x  2

  x  3
6x  13

x  2


 x2 x 3
13
x   6

13
Vậy: x 
hoặc x  3
6
5.
2x 2  8x  6  x 2  1  2x  2 (5)
2x 2  8x  6  0

 x  1  x  1
Điều kiện:  x 2  1  0
2x  2  0

 Trƣờng hợp 1: x  1 thỏa (5).
 Trƣờng hợp 2: x  1
CAO HOÀNG NAM
(5)  (x  1)(2x  6)  (x  1)(x  1)  2

x 1

2
 2x  6  x  1  2 x  1
 2x  6  x  1  2 (2x  6)(x  1)  4(x  1)
 2 (2x  6)(x  1)  x  1
 x  1
 4(2x  6)(x  1)  (x  1) 2
 7x 2  18x  25  0
x  1


 x 1
25
x   7

Vậy: x  1 hoặc x  1
51  2x  x 2
 1 (6)
1 x
Điều kiện:
6.

51  2x  x 2  0
1  2 13  x  1  2 3


x  1
1  x  0

Do ta chƣa biết dấu của (1  x) nên ta chia làm 2
trƣờng hợp.
 Trƣờng hợp 1: 1  x  0  x  1
(6)  51  2x  x 2  1  x
1  x  0

 51  2x  x 2  0
51  2x  x 2  (1  x) 2

x  1

 1  2 13  x  1  2 13
 x  5  x  5

 1  2 13  x  5
 Trƣờng hợp 2: 1  x  0  x  1
(6)  51  2x  x 2  1  x
1  x  0

2
51  2x  x  0
x  1


1  2 13  x  1  2 13

 1  x  1  2 13
Vậy: 1  2 13  x  5 hoặc 1  x  1  2 13
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com
Trang 3

4. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ
www.MATHVN.com
Ví dụ 3: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau:
1.
x  14x  49  x  14x  49  14
3
x  2 x 1  x  2 x 1 
2
3.
1.
 14x  49  7  0
 14x  49  7
x  3  2 x  4  x  2 x 1  1
2.
7

14x  49  0
x 


2
14x  98
x  7

7
Vậy:  x  7
2
x  3  2 x  4  x  2 x 1  1
 x  4  2 x  4  1  x 1  2 x 1 1  1





2
x  4 1 
x  4 1 

x 1 1
2
3.
1

x  1  1  1 (1)

x  4 1  2  x 1
x  2 x 1  x  2 x 1 


2
x 1 1 

3
2

2
x 1 1 
x 1 1 
3
2
(*)
(*) luôn đúng nên hệ đúng với mọi x thỏa điều kiện.
Vậy: x  1
Chú ý: CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH – BẤT
PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
A  B
►A  B 
 A  B
x  14x  49  x  14x  49  14
 ( 14x  49  7)  ( 14x  49  7)  14
2
B  0

► A  B  A  B

  A  B
► A  B  (A  B)(A  B)  0
 14x  14 14x  49  14x  14 14x  49  14
A  B
► A B
A  B
A  B
► A B 
 A  B
 14x  49  7  14x  49  7  14 (2)
Điều kiện: 14x  49  0  x 
49
14
(2) Đặt t  14x  49  7  14x  49  t  7
Phƣơng trình trở thành:
t  7  7  t  14
 t  t  t  0
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460
3
2
x 1 1 
1

 x 1 1  2  x 1

 x  1  1  1  x  1


2
x  5


x  1  1  x  4  2 x  4


x  5
x  5


 x5
 x  4  1 x  5

Vậy: x  5
2
7
x7
2
3
2
3
(3)
 x 1  1  x 1 1 
2
Điều kiện: x 1  0  x  1
1
(3)  x  1  1   x  1
2

x  4 1  x 1 1  1
2  x  1  0


  x  4  1  2  x  1

 x  4  1  2  x  1

x  5

   VN do x  5  x  4  1


 x  1  1  x  4
2.

 x 1  2 x 1  1  x 1  2 x 1  1 
x  4  0
Điều kiện: 
x4
x  1  0
(1) 
CAO HOÀNG NAM
www.mathvn.com
Trang 4

5. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ
www.MATHVN.com
► A B C
3
3
Thay
3
x  3  0
3x  1  0

Điều kiện: 
x0
x0

2x  2  0

3
 A  B  3 3 A.B

3

A 3 B C
A  3 B  3 C ta đƣợc:
(2)  3x  1  2x  2  4x  x  3 (*)
 A  B  3 3 A.B.C  C
 5x  3  2 (3x  1)(2x  2)  5x  3  2 4x(x  3)
► f (x)  g(x)  h(x)  k(x)
f (x)  h(x)  g(x)  k(x)
Mà có: 
f (x).h(x)  g(x).k(x)
 Biến đổi phƣơng trình về dạng:
f (x)  h(x)  k(x)  g(x)
 Bình phƣơng, giải phƣơng trình hệ quả
VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau:
3
1.
x 1  3 x  2  3 x  3  0
2.
x  3  3x  1  2 x  2x  2
3.
w
x3  1
 x 1  x2  x 1  x  3
x 3
3
1.

3
x 1  3 x  2

3
Ta thay
3

3
 6x 2  8x  2  4x 2  12x
 2x 2  4x  2  0
 x 1
Thử lại nhận x  1
Vậy: x  1
Nhận xét:
 Do ta chƣa xác định đƣợc 2 vế phƣơng trình
(*) đều dƣơng nên khi bình phƣơng ta chỉ thu đƣợc
phƣơng trình hệ quả.
 Bài toán vẫn có thể giải theo cách biến đổi
tƣơng đƣơng nhƣng so với cách này thì phức tạp.
3.
   x  3
 2x  3  3 3 x  1 3 x  2
 (3x  1)(2x  2)  4x(x  3)
x3  1
 x  1  x 2  x  1  x  3 (3)
x 3
Điều kiện: x  1
x 1  3 x  2  3 x  3  0
 3 x 1  3 x  2   3 x  3

x  3  3x  1  2 x  2x  2 (2)
2.
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
CAO HOÀNG NAM

x  1  3 x  2  x  3
x3  1
 x  3  x2  x 1  x 1
x 3
(3) 
2
 x3  1


 x 3 
 x 3



3
x 1

 x2  x 1
x 3
x 1  3 x  2   3 x  3
 3 3 (x  1)(x  2)(x  3)  3(x  2)
 (x  1)(x  2)(x  3)  (x  2)3
 (x  2) (x  1)(x  3)  (x  2) 2   0



x2  x 1  x 1

2
x  1  3
 x 2  2x  2  0  
x  1  3

 (x  2)(1)  0
x2
Thử lại nhận x  2
Vậy: x  2
Thử lại nhận x  1  3 ; x  1  3
Vậy: x  1  3 ; x  1  3
Nhận xét:
Nhận xét chung:
 Khi thay 3 x  1  3 x  2   3 x  3 ta chỉ nhận
 Thấy trƣờng hợp phƣơng trình căn bậc ba và
đƣợc phƣơng trình hệ quả do phƣơng trình đầu chƣa
phƣơng trình chứa bốn căn bậc hai nhƣ trên thì ta có
biết có nghiệm hay không?
thể nghĩ đến phƣơng trình hệ quả.
 Bài toán cũng có thể giải:
 Nếu khi giải cách phƣơng trình ở phần trƣớc
 3 x 1  3 x  2   3 x  3
cảm thấy khó khăn trong việc giải các điều kiện và sợ


“sót điều kiện” thì ta cũng có thể giải bằng phƣơng
3
3
3
3
2x  3  3 x  1 x  2 x  1  x  2   x  3 trinh hệ quả sau đó thử lại.



Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com
Trang 5

6. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ
www.MATHVN.com
CAO HOÀNG NAM
 t  1
t 2  3t  4  0  
t4
t  4
Với t  4  x 2  5x  42  2
 x 2  5x  14  0  x  2; x  7
CÁC DẠNG ĐẶT MỘT ẨN PHỤ
► a.f (x)  b f (x)  c  0; a  0.
Phƣơng pháp: Đặt t  f (x), t  0
Vậy: x  2 hoặc x  7
► a( A  B)  b(A  B  2 AB)  c  0
2. 2x 2  15  x 2  5x  6  10x
Phƣơng pháp: Đặt t  A  B
 2x 2  10x  15  x 2  5x  6  0
a. A  b. AB  c. B  0

► a.A  x   bB  x   c A  x  .B  x 

A  B  mA 2  nB2

n
2
n
n
2
Điều kiện: x 2  5x  6  0  x  1  x  6
Đặt t  x 2  5x  6
(t  0)
 t 2  x 2  5x  6
Phƣơng pháp: Bằng cách đặt ẩn phụ u, v ta đƣa đƣợc
về dạng phƣơng trình: u 2  uv  v2  0
 B1: Thử trƣờng hợp v = 0
 B2: Xét v  0 phƣơng trình trở thành :
2
u
u
       0
v
v
u
phƣơng trình trở thành
Đặt t =
v
t 2  t    0
 x 2  5x  t 2  6
Bất phƣơng trình trở thành:
2(t 2  6)  15  t  0
3

t   2  t  1
 2t  t  3  0 

t  1
2
Với t  1  x 2  5x  6  1
 x 2  5x  6  1
 x 2  5x  7  0
►Tham số biến thiên
x
VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau:
Vậy: x 
5  53
5  53
x
2
2
5  53
5  53
x
2
2
1. (x  4)(x  1)  3 x 2  5x  2  6
2. 2x 2  15  x 2  5x  6  10x
3.
4.
2x 2  5x  2  2 2x 2  5x  6  1
x
x 1
3


x 1
x
2
1. (x  4)(x  1)  3 x 2  5x  2  6
 x 2  5x  4  3 x 2  5x  2  6
 x 2  5x  2  3 x 2  5x  2  0
Điều kiện: x 2  5x  2  0
x
5  17
5  17
x
2
2
Đặt t  x 2  5x  2
(t  0)
 t 2  x 2  5x  2
 x 2  5x  t 2  2
Phƣơng trình trở thành:
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460
3.
2x 2  5x  2  2 2x 2  5x  6  1
Điều kiện: 2x 2  5x  6  0
5  73
5  73
x
4
4
2
(t  0)
Đặt t  2x  5x  6
x
 2x 2  5x  2  t  8
Phƣơng trình trở thành:
t 8  2 t 1
 t  8  1 2 t

 t  8  1 2 t

2
7  3t  0
 t 1
 4 t  7  3t  
2
16t  (7  3t)
7
Với t  1  2x 2  5x  6  1  x  1; x  
2
7
Vậy: x  1 hoặc x  
2
www.mathvn.com
Trang 6

7. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ
www.MATHVN.com
x
x 1
3


x 1
x
2
x
Điều kiện:
 0  x  0  x 1
x 1
CAO HOÀNG NAM
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau:
4.
x
(t  0)
x 1
Bất phƣơng trình trở thành:
1 3
t 
t
2
Đặt t 
 2t 2  3t  2  0
1
t
t 2
2
Với t 
x  1  4  x  x 2  3x  4  5
2.
2x  3  x  1  3x  2 2x 2  5x  3 16
x  1  4  x  x 2  3x  4  5
1.
 x  1  4  x  (x  1)(4  x)  5
x  1  0
Điều kiện: 
 1  x  4
4  x  0
Đặt t  x  1  4  x
(t  0)
 t 2  x  1  4  x  2 (x  1)(4  x)
1

2
x
1

x 1
2
x
1
0

x 1 2
x  0  x  1

1  x  1
 1  x  0
x
 2
x 1
x

2
x 1
x  2x  2

0
x 1
x  2

 0 1 x  2
x 1
Vậy: 1  x  0 hoặc 1  x  2
Với t  2 
 Cách khác:
x
x 1
3


(*)
x 1
x
2
x
 0  x  0  x 1
Điều kiện:
x 1
2
 x
x 1  9

(*)  
 
 x 1
x  2


x
x 1 5



x 1
x
2
2
2
2x  2(x  1)  5x(x  1)

0
2(x  1)x

1.
t2  5
 (x  1)(4  x) 
2
Phƣơng trình trở thành:
t
t2  5
5
2
t  3
 t 2  2t  15  0  
 t 3
 t  5
22  5
2
  x  3x  4 
2
x  0
  x 2  3x  4  2   x 2  3x  0  
x  3
Vậy: x  0 hoặc x  3
2x  3  x  1  3x  2 2x 2  5x  3 16
2x  3  0

Điều kiện:  x  1  0
 x  1
2x 2  5x  3  0

Đặt t  2x  3  x  1 (t  0)
2.
 t 2  3x  4  2 2x 2  5x  3
 3x  2 2x 2  5x  3  t 2  4
Phƣơng trình trở thành:
t  5
t  t 2  4  16  t 2  t  20  0  
 t  4 (loaïi)
Với t  5  2x  3  x  1  5
 3x  2 2x 2  5x  3  52  4
 2 2x 2  5x  3  21  3x
1  x  7
 2
 x  146x  429  0
1  x  7

 x3
 x  3  x  143
x 2  x  2
 0  1  x  0 hoặc 1  x  2
2(x  1)x
Vậy: x  3
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com
Trang 7

8. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ
www.MATHVN.com
Ví dụ 3: Giải các phƣơng trình sau:
 22
1. 4 3 (x  2)2  7 3 (4  x 2 )  3 3 (2  x) 2  0


3
3. x 2  3 x 2  1  x 4  x 2  1
2
2
2
3
3
3
1. 4 (x  2)  7 (4  x )  3 (2  x)  0 (1)
Ta có: 2  x  0  x  2 không là nghiệm phƣơng
trình. Chia 2 vế cho:
3
(2  x) 2 ta đƣợc:
x2
 x2
(1)  4 3 
3  0
  73
2x
 2x 
2
 Việc này có thể thực hiện dễ dàng do:
x3  1  (x  1)(x 2  x  1)

Đặt u  3 x  2 và v  3 2  x
Phƣơng trình trở thành:
4u 2  7uv  3v2  0
Do v  0 không là nghiệm phƣơng trình. Chia 2 vế
cho v  0 ta đƣợc:
u2
u
u
u 3
4 2  7  3  0   1 
v
v
v
v 4
x2
x 2
u
1
1 x  0
Với  1  3
v
2x
2x

2. 2 x  2  5 x  1 (2)
Điều kiện: x  1  0  x  1
3
(2)  2(x 2  x  1)  2(x  1)  5 (x  1)(x 2  x  1)
Do  x 2  x  1  0  chia hai vế cho  x 2  x  1 :
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460
Bằng cách đồng nhất hệ số:
(x 2  x  1)  (x  1)2  x 2  2   2(x 2  2)
ta dễ dàng chọn  và  .
 Một số khai triển đa thức thành nhân tử:
4 3 (x  2)2  7 3 (4  x 2 )  3 3 (2  x) 2  0
3
5  37
2
2  x 2  2   2(x 2  x  1)  2(x  1) .
 Cách khác:
2
x 1
x 1
2 2
 4 (VN)
x  x 1
x  x 1
2
Nhận xét:
 Khó khăn của ta là trong việc phân tích:
74
3
x2 3
x  2 27
3
 

x
4
2x 4
2  x 64
91
74
Vậy: x  0 hoặc x 
91
u
x2 3
x  2 27
74
1 3
 

x
v
2x 4
2  x 64
91
74
Vậy: x  0 hoặc x 
91
2
1
x 1
1
x 1
1

  2

2
2
x  x 1 2
x  x 1 4
5  37
x
2
Vậy: x 
Với t 

Với t  2 
3
Với
2
x 1
(t  0)
x  x 1
Phƣơng trình trở thành:
t  2
2
2t  5t  2  0   1
t 
 2
Với t 
x2
phƣơng trình trở thành:
2x
t  1
2
4t  7t  3  0   3
t 
 4
x2
x 2
1 
1  x  0
Với t  1  3
2x
2x
Đặt t 
x 1
x 1
5 2
x  x 1
x  x 1
Đặt t 
2. 2 x  2  5 x  1
2
CAO HOÀNG NAM
 x 3  1   x  1  x 2  x  1
 x 4  x 2  1   x 4  2x 2  1  x 2

  x 2  x  1 x 2  x  1


 x 4  1  x 2  2x  1 x 2  2x  1
 4x 4  1   2x 2  2x  1 2x 2  2x  1
3. x 2  3 x 2  1  x 4  x 2  1
Điều kiện: x 2 1  0  x  1 x  1
Ta đặt: u  x 2 , v  x 2  1 (u, v  0) .
Phƣơng trình trở thành :
u  3v  u 2  v2
 u 2  6uv  9v2  u 2  v2
v  0
2
 10v  6uv  0  
v0
v   3 u
5

Với v  0  x 2  1  0  x 2  1  x  1
Vậy: x  1
www.mathvn.com
Trang 8

9. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ
www.MATHVN.com
CAO HOÀNG NAM
Ví dụ 4: Giải các phƣơng trình sau:
ĐẶT ẨN PHỤ ĐƢA VỀ HỆ
1. x 2  2(x  1) x 2  x  1  x  2  0
 x  1
2.
Phƣơng pháp chung:
 Đặt các ẩn phụ. Tìm mối liên hệ giữa các ẩn
phụ. Kết hợp với phƣơng trình ban đầu của bài toán
ta đƣợc hệ phƣơng trình.
 Lƣu ý các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình.
x  2x  3  x  1
2
2
1. x 2  2(x  1) x 2  x  1  x  2  0 (1)
Điều kiện: x 2  x  1  0  x  
(1)   x 2  x  1  2(x  1) x 2  x  1  2(x  1)  1  0
Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình sau:


Đặt t  x 2  x  1; t  0. phƣơng trình trở thành:
1. x 3 25  x 3 x  3 25  x 3  30
t  2(x  1)t  2x  1  0, t  0 ,  '  x
t  1

 t  1  2x
2. 3 1  x  3 1  x  2
3. 3 2  x  1  x  1
4. x3  1  2 3 2x  1
2
2
Với t  1  x2  x  1  1  x  0; x  1.
Với t  1  2x  x2  x  1  1  2x
1  2x  0
 2
2
 x  x  1  (1  2x)
1

x 

2 x0
2
3x  5x

Vậy: x  0 hoặc x  1
 x  1
  x  1
2.
x 2  2x  3  x 2  1
5.
3
 3x  1

2
 3  3x  1  3 9x 2  1  1
2

1. x 3 25  x 3 x  3 25  x 3  30
Đặt y  3 35  x 3  x 3  y3  35
Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau:
 xy(x  y)  30
 3
3
 x  y  35
Đây là hệ đối xứng loại 1. Giải hệ ta tìm đƣợc cặp
nghiệm là (2;3) hoặc (3;2)
Vậy: x  2 hoặc x  3
x 2  2x  3  x 2  2x  3  2x  2
Điều kiện: x 2  2x  3  0  x  
Đặt t  x 2  2x  3 . Phƣơng trình trở thành:
 x  1 t  t 2  2x  2
t  2
 t 2   x  1 t  2  x  1  0  
t  x 1
x  1  2
Với t  2  x 2  2x  3  2  
x  1  2

Với t  x  1  x 2  2x  3  x 1
x  1  0
 2
(VN)
x  2x  3  x 2  2x  1

Vậy: x  1  2
1 x  3 1 x  2
u  3 1  x

Đặt 
.
v  3 1  x

Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau:
u  v  2
 2
2
u  v  2
u  v  2
 u  v 1 x  0

 uv  1
Vậy: x = 0.
2.
3
3. 3 2  x  1  x  1
Điều kiện: x 1  0  x  1
u  3 2  x

Đặt 
(v  0)
v  x 1

Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau:
u 3 + v 2 = 1
u(u 2  u  2)  0


v  1 u

u + v = 1
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com
Trang 9

10. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ
4. x3  1  2 3 2x  1
Đặt y  3 2x 1  y3  1  2x .
Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau:
 x 3  1  2y

 3
 y  1  2x

 x 3  1  2y

 3
3
 x  y  2(y  x)

 x 3  1  2y


2
2
(x  y)(x  xy  y  2)  0

2
y 3

(Do x 2  xy  y 2  2   x    y 2  2  0 )
2 4

3
 x  1  2y

x  y  0
x  1
 x 3  1  2x


 x  1  5
x  y  0

2

1  5
Vậy: x  1 hoặc x 
2
 3x  1
2
 3  3x  1  3 9x 2  1  1
2
Đặt: u  3 3x  1 và v  3 3x  1
Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau:
2
 2
u  v  u.v  1
 3
3
u  v  2

uv  2u  v2
Do đó:
2
 v  2   v2  v  v  2   1
 3v 2  6v  3  0
 3  v  1
2
x 3
2
2
2. x  x  1000 1  8000x  1000
1. 2x 2  4x 
Vậy: x  2 hoặc x  1 hoặc x  10
3
CAO HOÀNG NAM
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau:
 u  0
x2

  u 1
 x 1



  u  2
 x  10
v  1  u 

5.
www.MATHVN.com
0
 v  1  u  1
u  3 3x  1  1


x0
 v  3 3x  1  1

Vậy: x  0
Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460
3. 4x 2  7x  1  2 x  2
4
4. 3 81x  8  x 3  2x 2  x  2
3
5. 7x 2  13x  8  2x 2 . 3 x(1  3x  3x 2 )
6. 4x 2  11x  10  (x  1) 2x 2  6x  2
1. 2x 2  4x 
x 3
2
Cách 1:
2x 2  4x 
Điều kiện: x  3 .
x 3
(1)
2
(1)  2(x  1)2  2 
 (x  1)2  1 
(x  1)  2
2
1 x 1
1 .
2
2
t
 2
x 1
t
y 1 
1 
1  
Đặt t  x  1; y 
2.
2
2
y  0

Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau:
1
2
t 1  y


2

 y2  1  1 t

2

t  y
1
 (t  y)(t  y  )  0  
 y  t  1
2
2

t
2
2t 2  t  2  0
t  1 

Với t  y  
2
t  0
t  y  0

1  17
3  17
t
x
(thỏa).
4
4
1 2
t

4t 2  2t  3  0
(t  2 )  1  2
1



Với y   t   
1
1
2 
t  
t
2


2

1  13
5  13
x
(thỏa)
4
4
3  17
5  13
;x 
Vậy: x 
.
4
4
t
www.mathvn.com
Trang 10