Bài tập Toán kinh tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
——————————————–
NGÔ MẠNH TƯỞNG
BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP
CHO TIN HỌC KINH TẾ
Thái Nguyên tháng 8 năm 2017

Mục lục
Chương 1. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Mô hình cân bằng thị trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Phép toán trên ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3. Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4. Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.5. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.6. Phương trình ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.7. Mô hình cân bằng thị trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2. HÀM SỐ MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.Các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1. Hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2. Hàm sản xuất ngắn hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.Ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh tế. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2. Tính liên tục của các hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.3. Ứng dụng của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN . . . . . . . . . 15
3.1.Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. Đạo hàm và giá trị cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.4. Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2. Khai triển Taylor, Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.3. Tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.4. Ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 4. TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1. Ứng dụng tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.2. Ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
i

Khoa Khoa học cơ bản Bài giảng Toán cao cấp cho Tin học kinh tế
4.2.BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.1. Tích phân của hàm số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.2. Tích phân của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.3. Tích phân của hàm số vo tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.4. Tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.5. Tính tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.6. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ngô Mạnh Tưởng ii

Chương 1
Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến
tính
1.1. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . 1
1.2. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh
tế
1.1.1. Mô hình cân bằng thị trường
a. Thị trường một loại hàng hóa.
Hàm cung và hàm cầu là các hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng
cầu đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó.
Ký hiệu:
• Lượng cung là Qs - quantity supplied - là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng
bán ở mỗi mức giá;
• Lượng cầu là Qd - quantity demanded - là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng
mua ở mỗi mức giá;
• Giá hàng hóa là p.
Vậy hàm cung và hàm cầu lần lượt có dạng
Qs = S(p); (1.1.1)
Qd = D(p). (1.1.2)
Dạng tuyến tính của hàm cung và hàm cầu:
Qs = −a0 + a1p
Qd = b0 − b1p
trong đó a0, a1, b0, b1 là các hằng số dương.
Mô hình cân bằng thị trường có dạng:



Qs = −a0 + a1p
Qd = b0 − b1p
Qs = Qd
⇔



Qs = −a0 + a1p
Qd = b0 − b1p
−a0 + a1p = b0 − b1p.
(1.1.3)
Giải hệ phương trình này ta được:
• Giá cân bằng ¯p =
a0 + b0
a1 + b1
;
• Lượng cân bằng ¯Qs = ¯Qd =
a1b0 − a0b1
a1 + b1
.

b. Thị trường nhiều loại hàng hóa.
Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan giá của hàng hóa này có thể ảnh hưởng
đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hóa khác. Để xét mô hình cân bằng thị trường
n hàng hóa liên quan ta ký hiệu biến số như sau:
• Qsi: Lượng cung hàng hóa thứ i;
• Qdi: Lượng cầu hàng hóa thứ i;
• pi: Giá hàng hóa thứ i.
Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung và hàm cầu tuyến tính có dạng:
• Hàm cung của hàng hóa i: Qsi = ai0 + ai1p1 + ... + ainpn(i = 1, 2, ..., n).
• Hàm cầu đối với hàng hóa i: Qdi = bi0 + bi1p1 + ... + binpn(i = 1, 2, ..., n).
Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa là:



Qsi = ai0 + ai1p1 + ... + ainpn
Qdi = bi0 + bi1p1 + ... + binpn
Qsi = Qdi, i = 1, 2, ..., n.
(1.1.4)
Giải hệ phương trình này ta xác định được giá cân bằng của tất cả n hàng hóa, sau đó
thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng.
Ví dụ. Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa, hàng hóa 1 và hàng hóa 2 với hàm cung
và hàm cầu như sau:
• Hàng hóa 1: Qs1 = −2 + 3p1; Qd1 = 10 − 2p1 + p2;
• Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2; Qd2 = 15 + p1 − p2.
Hệ phương trình xác định giá cân bằng
−2 + 3p1 = 10 − 2p1 + p2
−1 + 2p2 = 15 + p1 − p2
⇔
5p1 − p2 = 12
−p1 + 3p2 = 16.
Giải hệ phương trình này ta tìm được giá cân bằng của mỗi loại hàng hóa
¯p1 =
26
7
; ¯p2 =
46
7
.
Thay giá cân bằng vào các biểu thức của hàm cung ta xác định được lượng cân bằng
¯Q1 =
64
7
; ¯Q2 =
85
7
.
1.1.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
Ký hiệu:
• Y: Tổng thu nhập quốc dân;
• E: Tổng chi tiêu kế hoạch;
Ngô Mạnh Tưởng 2

Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của nền kinh tế gồm các thành phần
sau:
• C: Tiêu dùng;
• G: Chi tiêu của chính phủ;
• I: Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất.
Giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I = I0 và chính sách tài khóa của chính
phủ cố định: G = G0 còn tiêu dùng phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất:
C = aY + b, (0 < a < 1, b > 0).
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng hệ phương trình tuyến tính:



Y = E
E = C + I0 + G0
C = aY + b
⇔
Y = C + I0 + G0
C = aY + b
⇔
Y − C = I0 + G0
−aY + C = b.
(1.1.5)
Giải hệ phương trình này ta thu được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng
của nền kinh tế:
¯Y =
b + I0 + G0
1 − a
; ¯C =
b + a (I0 + G0)
1 − a
.
Ví dụ. Nếu C = 200 + 0.75Y ; I0 = 300; G0 = 400 thì ta tính được mức thu nhập cân
bằng và mức tiêu dùng cân bằng là
¯Y =
200 + 300 + 400
1 − 0.75
= 3600; ¯C =
200 + 0.75 (300 + 400)
1 − 0.75
= 2900.
1.2. BÀI TẬP
1.2.1. Phép toán trên ma trận
Tính 3A2
− 5I, với I là ma trận đơn vị cấp 3 và A =


3 1 1
2 4 0
1 0 −1

.
1.2.2. Định thức
1. Tính det (A)100
, biết A =


2 1 −1
3 0 4
−2 5 2

.
2. Tính
2 1 1 1 0
−1 0 1 1 1
−1 −1 4 1 2
−1 −1 −1 2 0
0 −1 −2 0 0
.
3. Giải các phương trình

(a)
x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x
= 0.
(b)
1 1 4 4
−1 3 − x2
3 3
7 7 5 5
−7 −7 6 x2
− 3
= 0.
(c)
1 2 3 4
−2 2 − x 1 7
3 6 4 + x 12
−4 x − 14 2 3
= 0
1.2.3. Ma trận nghịch đảo
1. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
(a) A =


−1 5 2
1 4 1
1 2 1

.
(b) A =


1 4 1
1 1 4
−1 2 2

.
(c) A =


3 5 −2
1 −3 2
6 7 −3

.
(d) A =


2 0 4
1 −1 −2
−1 2 3

.
(e) A =


1 2 2
2 1 −2
2 −2 1

.
(f) A =


2 1 −1
3 1 −2
3 1 0

.
2. Cho ma trận A =


−m 3 5m
0 1 2
1 0 m

.
(a) Tìm m để A khả nghich.
(b) Tìm ma trận nghịch đảo A−1
khi m = 0.
3. Cho ma trận A =


3 m 2
4 1 m
m 1 4

.
(a) Tìm m để A khả nghich.
(b) Tìm ma trận nghịch đảo A−1
khi m = −2.
4. Tìm m để A khả nghịch, biết A =




3 −1 2 2
4 0 1 6
2 0 4 1
−3 1 m 4



.
1.2.4. Hạng của ma trận
1. Với giá trị nào của m thì r (A) = 3, biết A =




1 1 1 1
2 3 4 1
3 4 6 6
4 4 m + 4 m + 7



.
2. Với giá trị nào của m thì r (A) = 1, biết A =


m 1 1
1 m 1
1 1 m

.

1.2.5. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
1. Giải các hệ phương trình sau:
(a)



3x + 2y + 4z = 1
2x − y + z = 0
x + 2y + 3z = 1
(b)



2x − y − z − t = −1
x − 2y + z + t = −2
x + y − 2z + t = 4
x + y + z − 2t = −8
(c)



2x − y + 3z = 1
−4x + 2y + z = 3
−2x + y + 4z = 4
10x − 5y − 6z = −10
(d)



x + y + z − t = 1
2x + y + 3z − t = 2
3x + 4y + 6z − 2t = 0
x + 3y + 3z − t = −2
2. Giải và biện luận các hệ phương trình
(a)



2x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2
x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m
4x1 + 8x2 − 4x3 + 16x4 = m + 1
(b)



2x1 − x2 + x3 − 2x4 + 3x5 = 3
x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1
3x1 + x2 + x3 − 3x4 + 4x5 = 6
5x1 + 2x3 − 5x4 + 7x5 = 9 − m
(c)



mx1 + x2 + x3 = 1
x1 + mx2 + x3 = 1
x1 + x2 + mx3 = 1
.
(d)



x + y + (1 − m)z = m + 2
(1 + m)x − y + 2z = 0
2x − my + 3z = m + 2
(e)



x + y + z = 1
2x + (m + 3) y + 2z = 4
3x + 3y + (m2
+ 2) z = m + 4
3. Giải hệ thuần nhất
(a)



2x1 − x2 + 2x4 − 6x5 = 0
x2 + x3 − 3x4 + 2x5 = 0
6x1 − 3x2 + 7x4 − 10x5 = 0
2x1 + x3 + x4 + 12x5 = 0
(b)



x2 + x3 − 3x4 + 2x5 = 6
2x1 − x2 + 2x4 − 6x5 = 4
6x1 − 3x2 + 7x4 − 10x5 = −8
2x1 + x3 + x4 + 12x5 = 15
1.2.6. Phương trình ma trận
1. Cho phương trình ma trận:


1 −1 λ
2 1 λ
3 1 2λ

 X =


1
2
0

.
(a) Giải phương trình khi λ = 1 .
(b) Tìm λ để phương trình vô nghiệm.


1 2 λ
2 7 2λ + 1
3 9 4λ

 X =


−1
2
1

.
(a) Giải phương trình khi λ = 0 .
(b) Tìm λ để phương trình vô số nghiệm.





−2 1 −3
1 0 5
−3 2 −1
0 1 3



 X =




−6
6
λ
2



.
(a) Tìm λ để tồn tại X.
(b) Tìm X với λ tìm được ở trên.
1.2.7. Mô hình cân bằng thị trường
1. Cho mô hình thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau:
Qs1 = −2 + 3p1; Qd1 = 10 − 2p1 + p2; Qs2 = −1 + 2p2; Qd2 = 15 + p1 − p2
Hãy xác định giá cân bằng, lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa tại điểm cân bằng
thị trường.
Qs1 = −2 + 4p1; Qd1 = 12 − 2p1 + 4p2; Qs2 = −4 + 6p2; Qd2 = 11 + 2p1 − 4p2
thị trường.
Qs1 = −2 + 6p1; Qd1 = 1 − 2p1 + 3p2; Qs2 = −1 + 5p2; Qd2 = 3 + 2p1 − 4p2
thị trường.
Qs1 = −3 + 5p1; Qd1 = 2 − p1 + 4p2; Qs2 = −1 + 4p2; Qd2 = 3 + 2p1 − p2
thị trường.
Qs1 = −2 + 6p1; Qd1 = 3 − 4p1 + 5p2; Qs2 = −1 + 4p2; Qd2 = 2 + 3p1 − 4p2
thị trường.
6. Xét mô hình kinh tế vĩ mô
Y = C + I0 + G0; C = 60 + 0, 7Yt; Yt = (1 − t) Y.
Hãy xác định mức thu nhập quốc dân cân bằng, cho biết I0 = 90, G0 = 140 (triệu
dollar) và thuế suất thu nhập t = 40%.

Chương 2
HÀM SỐ MỘT BIẾN
2.1. Các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế
2.1.1. Hàm cung và hàm cầu
Hàm cung và hàm cầu là các hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng
cầu đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó.
Ký hiệu:
• Lượng cung là Qs - quantity supplied - là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng
bán ở mỗi mức giá;
• Lượng cầu là Qd - quantity demanded - là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng
mua ở mỗi mức giá;
• Giá hàng hóa là p;
Vậy hàm cung và hàm cầu lần lượt có dạng
Qs = S(p); (2.1.1)
Qd = D(p). (2.1.2)
Chú ý :
• Hàm cung là hàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm: Nếu các yếu tố
khác giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn
và người mua sẽ mua ít đi.
• Đồ thị của hàm cung và hàm cầu được gọi là đường cung và đường cầu.
• Điểm cân bằng thị trường: Là giao điểm của đường cung và đường cầu. Để tìm mức
giá cân bằng ¯p và lượng cân bằng Qs = Qd = ¯Q ta lập phương trình hoành độ điểm
chung S(p) = D(p).
• Ý nghĩa kinh tế của điểm cân bằng thị trường: Tại mức giá cân bằng ¯p, người bán sẽ
bán hết và người mua mua đủ, không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng
hóa. Khi p > ¯p thị trường có hiện tượng dư thừa hàng hóa, cung vượt cầu Qs > Qd.
Ngược lại Khi p > ¯p thị trường có hiện tượng khan hiếm hàng hóa, Qs < Qd.
• Khi vẽ đường cung và đường cầu, người ta thường dùng trục hoành để biểu diễn
lượng Q và trục tung biểu diễn giá p. Vì vậy, thực chất ta vẽ hàm ngược của hàm
cung và hàm cầu: p = S−1
(Qs), p = D−1
(Qd).

Hình 2.1: Đồ thị của hàm cung và hàm cầu
2.1.2. Hàm sản xuất ngắn hạn
Hàm sản xuất mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa của một nhà sản xuất vào
các yếu tố đầu vào của sản xuất. Hai yếu tố đầu vào được quan tâm nhất là vốn và lao
động lần lượt được ký hiệu là K (Capital) và L(Labor). Trong ngắn hạn thì K không đổi,
do đó hàm sản xuất ngắn hạn có dạng:
Q = f(L). (2.1.3)
2.1.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận
Tổng doanh thu ký hiệu TR - Total revenue; Tổng chi phí ký hiệu TC - total cost;
Tổng lợi nhuận ký hiệu là π. Các đại lượng này phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Q theo
quy luật hàm số.
Hàm doanh thu:
TR = TR(Q). (2.1.4)
Hàm chi phí
TC = TC(Q). (2.1.5)
Hàm lợi nhuận
π = π(Q). (2.1.6)
Hàm lợi nhuận có thể được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí:
π = TR(Q) − TC(Q)
2.1.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm
Hàm tiêu dùng biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C- Consumption - vào biến
thu nhập Y - Income:
C = f(Y ). (2.1.7)

Theo quy luật chung, khi thu nhập tăng người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn nên
hàm tiêu dùng là hàm đồng biến. Hàm tiết kiệm biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết
kiệm S - Saving - vào biến thu nhập Y
S = S(Y ). (2.1.8)
2.2. Ứng dụng của cấp số nhân trong phân tích kinh
tế
2.2.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân
Định nghĩa 2.2.1. Cấp số nhân là một dãy số {xn} thỏa mãn điều kiện
x1, x2 = x1q, . . . , xn = xn−1q = x1qn−1
.
Tức là mỗi số hạng của nó bằng số hạng đứng kề trước số hạng đó nhân với một hằng số
q không đổi. Hằng số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
• Nếu cho trước công bội q và số hạng ban đầu x1 thì ta sẽ xác định được mọi số
hạng của cấp số nhân.
• Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức:
Sn = x1 + x2 + · · · + xn = x1 1 + q + q2
+ · · · + qn−1
= x1
(1 − qn
)
1 − q
.
• Cấp số nhân có công bội thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Khi
đó lim
n→+∞
qn
= 0 và ta có tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn được
tính bởi công thức
S = lim
n→+∞
Sn =
∞
n=1
xn = x1 + x1 + · · · + xn + · · · =
x1
1 − q
.
2.2.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ
Giả sử có A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với một mức lãi suất cố định r phần
trăm một năm thì sau một khoảng thời gian sẽ nhận được số tiền lớn hơn là: B = A+(tiền
lãi).
Người ta gọi khoản B đồng đó là giá trị tương lai của khoản A đồng hôm nay và ngược
lại, A là giá trị hiện tại của khoản B đồng sẽ có được trong tương lai.
Trong thị trường tiền tệ, lãi suất được xem như giá của những khoản tiền cho vay.
Có nhiều hình thức tổ chức trung gian tài chính thực hiện chức năng vay tiền của những
người có tiền để nhàn rỗi nhưng không biết làm cho tiền sinh lời và cho người khác vay,
trong đó ngân hàng là một hình thức tổ chức trung gian tài chính phổ biến. Lãi suất được
quy định rất khác nhau. Trong kinh tế học, khi phân tích hoạt động tài chính người ta
giả thiết rằng có một mức lãi suất chung là r, biểu diễn dưới dạng thập phân.
Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau một năm là: B1 = A + rA = A(1 + r). Sau năm
thứ hai là B2 = B1 + B1r = A(1 + r)2
.

Như vậy nếu tính gộp cả tiền lãi vào tiền gốc thì cứ sau mỗi năm số tiền sẽ được nhân
thêm bội số q = (1 + r). Gọi Bt là số tiền có được sau t năm, ta có cấp số nhân với công
bội q = (1 + r), suy ra Bt = A(1 + r)t
. Vậy công thức tính giá trị tương lai của A sau t
năm là:
B = A(1 + r)t
. (2.2.1)
Ngược lại, giá trị hiện tại của B sẽ nhận được sau t năm là:
A = B(1 + r)−t
. (2.2.2)
Ví dụ: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150 triệu
đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự
án không?
Giải: Giá trị hiện tại của 150 triệu đồng sẽ thu về sau 3 năm: A = 150(1 + 0.08)−3
= 119
triệu đồng. Như vậy, theo giá trị hiện tại, việc thực hiện dự án sẽ đem lại khoản lợi:
119 − 100 = 19 triệu đồng. Nên thực hiện dự án.
Một cách khác để đánh giá dự án là tính giá trị tương lai của 100 triệu nếu không
thực hiện dự án (gửi ngân hàng): B = 100(1 + 0.08)3
= 126 triệu đồng. Con số này nhỏ
hơn 150 triệu đồng do dự án mang lại tức là việc tiến hành dự án có lợi hơn cho vay.
Một phương pháp khác để đánh giá là tính giá trị hiện tại ròng: Giá trị hiện tại ròng
của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương
lai và chi phí hiện tại của dự án. Gọi C là khoản chi phí hiện tại, B là khoản dự án mang
lại sau t năm. Ký hiệu giá trị hiện tại ròng là NPV (Net Present Value). Ta có:
NPV = B(1 + r)−t
− C (2.2.3)
Một tiêu chuẩn cơ bản để chấp nhận dự án là NPV > 0, ngoài ra việc so sánh NPV giữa
các dự án cũng cho phép chúng ta lựa chọn dự án tốt nhất.
Ví dụ. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án:
• Dự án 1: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 3000$ sau 4 năm;
• Dự án 3: Chi phí hiện tại 3000$ và đem lại 4800$ sau 5 năm.
Với lãi suất thịnh hành 10% một năm thì nên chọn dự án nào?
Giải: Ta có NPV1 = 3000(1+0.1)−4
−2000 = 49; NPV2 = 4000(1+0.1)−6
−2000 = 258;
NPV3 = 4800(1 + 0.1)−5
= −20. Vậy nên chọn dự án 2.
2.2.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn
Kỳ khoản là số tiền tích cóp đều đặn theo định kỳ (hàng tháng, hàng quý, hàng
năm...). Kỳ khoản định kỳ hàng năm được gọi là niên khoản.
Sử dụng công thức tính giá trị hiện tại và tương lai của tiền tệ và công thức tính tổng
các số hạng của một cấp số nhân ta có thể tính được giá trị hiện tại và giá trị tương lai
của một luồng kỳ khoản.
Ví dụ. Một dự án đầu tư sau một năm sẽ đem lại đều đặn 5000$ mỗi năm, liên tiếp 10
năm sau đó. Hỏi rằng với lượng vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu thì có thể chấp nhận dự
án đó với điều kiện lãi suất 10% một năm.

Giải: Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại của luồng thu nhập, ký hiệu là PV(Present
Value),
PV = 5000(1 + 0.1)−1
+ 5000(1 + 0.1)−2
+ ... + 5000(1 + 0.1)−10
=
= 5000
1
1.1
+
1
1.12 + ... +
1
1.110 = 5000
1
1.1
1 −
1
1.1
10
1 −
1
1.1
= 30723.
Vậy chỉ có thể thực hiện dự án nếu đầu tư ban đầu nhỏ hơn 30723$.
Ví dụ. Giả sử người P định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp. Theo
phương thức này sau một tháng kể từ khi nhận hàng, P phải đều đặn trả mỗi tháng một
khoản tiền nhất định, liên tiếp trong 24 tháng. Giả sử giá xe máy tại thời điểm P mua là
2500$ (Giá trả ngay) và giả sử lãi suất là 1% một tháng. Hỏi với mức trả hàng tháng là
bao nhiêu thì việc mua trả góp của P là chấp nhận được?
Giải: Gọi a là khoản tiền phải trả hàng tháng. Giá trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền
trả góp tại thời điểm hiện tại là:
PV = a(1 + 0.01)−1
+ a(1 + 0.01)−2
+ ... + a(1 + 0.01)−24
= a
1
1.01
1 −
1
1.01
24
1 −
1
1.01
= 21.24a.
Việc mua trả góp sẽ tương đương với việc mua trả ngay nếu: PV = 21.24a = 2500, hay
a = 117.7$. Vậy chỉ có thể bằng lòng mua trả góp nếu số tiền định kỳ phải trả hàng tháng
không vượt quá 117.7$, nếu không thì vay ngân hàng để trả ngay 2500$ có lợi hơn.
2.3. BÀI TẬP
2.3.1. Giới hạn của hàm số
Bài tập 1 chương 5. Tính các giới hạn sau:
1. lim
x→0
e5x−e7x
sin 2x
.
2. lim
x→0+
√
1−e−x−
√
1−cos x√
sin x
.
3. lim
x→0
e2x−e3x+ln(1+x2
)
cos
√
3x−1
.
4. lim
x→0
sin 2x+2 arctan 3x+3x2
ln(1+3x+sin2x)+xex
.
5. lim
x→0
sin23x+3arcsin2x
ln(cos x)+sin2x
.
6. lim
x→0
ln cos x
ln(1+x2)
.
7. lim
x→0
√
1+3x+ 3√
1+x− 5√
1+x− 7√
1+x
4√
1+2x+x− 6√
1+x
.
8. lim
x→0
3x−2x
2x−1
.
9. lim
x→1
n√
x−1
m√
x−1
.
10. lim
x→1
x100−2x+1
x50−2x+1
.
11. lim
x→a
aax
−axa
ax−xa .
12. lim
x→ π
2
(x − π
2
) tan x.
13. lim
x→a
( 2a
x2−a2 − 1
x−a
), a = 0.
14. lim
x→∞
2x+3
2x+1
x+1
.

15. lim
x→+∞
x2+3x+4
x2−5x+7
3x+8
.
16. lim
x→+∞
(x+1)x+1
.(x+2)x+2
.(x+4)x+4
(x+5)3x+7 .
17. lim
x→0
(1 + 3tan2
x)
cot2x
.
18. lim
x→0
1 + sin2
x
1
tan2x .
2.3.2. Tính liên tục của các hàm số
Bài 1. Khảo sát tính liên tục của các hàm số?
1. f(x) =
sin x
x
, x = 0
1, x = 0
.
2. f(x) =
sin x
|x|
, x = 0
1, x = 0
.
3. f(x) = arctan 1
x
.
4. f(x) = x arctan 1
x
.
Bài 2.
1. Cho hàm số xác định bởi: f(x) =
x + 1 khi x ≤ 1
3 − ax2
khi x > 1
. Tìm a để hàm f liên
tục với mọi x?
2. Cho hàm số f(x) =
x, |x| ≤ 1
x2
+ ax + b, |x| > 1
. Tìm a, b để hàm số liên tục trên R.
ax2
+ 2a − 3 khi x < 1
−x2
+ 4x − 3 khi x ≥ 1
. Tìm a để f(x) liên tục trên R.
−x2+6x−1
2−x
khi x ≤ 1
−3x2
+ 2ax + 5 khi x > 1
. Tìm a để f(x) liên tục trên
R.
−x2
+ ax − 3 khi x < −2
x2+ax−5
x2+3
khi x ≥ −2
. Tìm a để f(x) liên tục trên
R.
x2
+ 3ax + 2a − 3 khi x ≤ 2
−x2
+ 2ax − 3 khi x > 2
. Tìm a để f(x) liên tục
trên R.
ln(1+x)−ln(1−x)
x
khi 0 < |x| < 1
a khi x = 0
. Tìm a để f(x) liên tục
trên tập xác định?



−2 sin x khi x ≤ −π
2
a sin x + b khi − π
2
< x < π
2
cos x khi x ≥ π
2
. Tìm a, b để f(x) liên tục
trên R?
arcsin x cot x khi x = 0
a khi x = 0
. Tìm a để hàm số liên tục trên
(−1, 1)?
Bài 3. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau và phân loại các điểm đó.

1. f(x) =



2
√
5 − x2 khi 0 ≤ x ≤ 1
−8x2−2x+4
1+2x2 khi 1 < x ≤ 2
−2x2
+ 4x − 7 khi 2 < x < +∞.
2. f(x) =



−x2
+ 5x − 3 khi 0 ≤ x ≤ 1
3+5x−4x2
3+x2 khi 1 < x < 3
−x2
+ x − 3 khi 3 ≤ x < +∞.
3. f(x) =



2
√
x khi 0 ≤ x ≤ 1
4 − 2x khi 1 < x ≤ 5
2
2x − 7 khi 5
2
< x < +∞.
4. f(x) =



1/(x − 1), x < 0
(x + 1)2
, 0 ≤ x ≤ 2
1 − x, x > 2
.
5. f(x) = |x+2|
x+2
.
6. f(x) = |x−1|
x2−x3 .
7. f(x) = 1
ln |x−1|
.
8. f(x) = arctan 1
x2 .
9. f(x) =



2
√
x khi 0 ≤ x ≤ 1
4 − 2x khi 1 < x ≤ 5
2
2x − 7 khi 5
2
< x < +∞
.
2.3.3. Ứng dụng của cấp số nhân
Bài tập 2:
1. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150 triệu
đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, đánh giá xem có nên thực
hiện dự án không?
5. Giả sử gửi tiết kiệm 500$ sau 3 năm thu được 588, 38$. Với lãi suất thịnh hành một
năm là r%. Tìm r?
6. Nếu lãi suất thịnh hành là 6% một năm thì cho vay 600$ sau khoảng thời gian bao
lâu thu được toàn bộ giá trị là 900$?
7. Nếu sau 3 năm muốn nhận được khoảng tiền tiết kiệm là 1000$, với lãi suất 9% một
năm thì bây giờ phải gửi vào tiết kiệm một lượng tiền là bao nhiêu?
8. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một dự án, với lãi suất thịnh hành
11.5% một năm. Biết chi phí hiện tại A$ và đem lại 9000$ sau 3 năm. Hỏi A tối đa
bằng bao nhiều thì NPV của dự án đạt 2493$?
9. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một dự án, với lãi suất thịnh hành 11%
một năm. Biết chi phí hiện tại 2500$ và đem lại B$ sau 4 năm. Hỏi dự án cần đem
lại tối thiểu B bằng bao nhiều để NPV của dự án đạt 794$?

10. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong ba dự án, Với lãi suất thịnh
hành 10% một năm.
Hãy tính NPV của mỗi dự án và rút ra nhận xét nên thực hiện dự án nào?

Chương 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
MỘT BIẾN
3.1. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế
3.1.1. Đạo hàm và giá trị cận biên
Xét mô hình hàm số: y = f(x), trong đó x và y là các biến số kinh tế. Trong kinh
tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của y tại một điểm x0 khi x thay đổi
một lượng nhỏ. Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
f (x0) = lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0)
∆x
.
Khi ∆x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có:
f (x0) ≈
f (x0 + ∆x) − f (x0)
∆x
⇒ ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) ≈ f (x0) ∆x.
Khi ∆x = 1 ta có ∆y ≈ f (x0). Như vậy đạo hàm f (x0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi
giá trị của y khi x tăng thêm 1 đơn vị tại điểm x0. Giá trị này được gọi là giá trị y- cận
biên của x tại điểm x0.
Đối với một số hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể như sau:
• Mô hình hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), f (L0) được gọi là sản phẩm hiện vật
cận biên tại điểm L0. Giá trị này được ký hiệu là MPPL (Marginal Physical Product
of Labor), nó cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm
một đơn vị lao động tại điểm L0.
• Với mô hình hàm doanh thu TR = TR(Q), TR (Q0) được gọi là doanh thu cận biên
tại điểm Q0, ký hiệu là MR(Marginal Revenue). Giá trị này cho biết xấp xỉ lượng
doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm.
• Đối với hàm chi phí TC = TC(Q) thì TC (Q0) gọi là chi phí cận biên tại điểm Q0,
ký hiệu là MC(Marginal Cost), MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản
xuất thêm một đơn vị sản phẩm.
• Tương tự, hàm tiêu dùng C = C(Y ) thì xu hướng tiêu dùng cận biên là C (Y0),
ký hiệu là MPC (Marginal Propensity Consume); Hàm tiết kiệm S = S(Y ) thì xu
hướng tiết kiệm cận biên là MPS = S (Y0) (Marginal Propensity to Save).

Ví dụ. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: Q = 5
√
L. ở mức sử dụng L = 100
đơn vị lao động, mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm hiện vật cận
biên của lao động tại điểm L = 100 là
MPPL = Q =
5
2
√
L
= 0.25.
Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên 101 thì sản lượng tương
ứng sẽ tăng khoản 0.25 đơn vị hiện vật.
3.1.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá
Để đánh giá độ nhạy cảm của cung, cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà
kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn.
Hệ số co dãn của cầu theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cầu khi giá tăng
1%.
Giả sử có hàm cầu: Qd = D(p). Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng ∆p thì
lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng ∆Qd. Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu
tính bình quân cho 1% thay đổi giá là:
ε =
∆Qd
Qd
.100
∆p
p
.100
=
∆Qd
∆p
p
Qd
.
Chuyển qua giới hạn khi ∆p → 0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá
tại điểm p:
ε = D (p).
p
D(p)
. (3.1.1)
Tương tự, với hàm cung Qs = S(p), hệ số co dãn của cung theo giá được tính theo
công thức:
ε = S (p).
p
S(p)
. (3.1.2)
Ví dụ. Nếu hàm cầu là Q = 1400 − p2
thì hệ số co dãn tại điểm p là
ε = D (p).
p
D(p)
=
(1400 − p2
) p
1400 − p2
=
−2p2
1400 − p2
.
Tại điểm p = 20 ta có ε = −0.8. Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng
1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0.8%.
3.1.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên
Trong kinh tế người ta dùng hàm chi phí TC = TC(Q) biểu diễn tổng chi phí TC
ở mỗi mức sản lượng Q. Khi phân tích sản xuất, cùng với hàm chi phí, người ta còn sử
dụng hàm chi phí bình quân và hàm chí phí cận biên. Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí
bình quân là lượng chi phí tính bình quân trên mỗi đơn vị sản phẩm
AC =
TC(Q)
Q
.

Chi phí cận biên tại mỗi mức sản lượng Q là số đo xấp xỉ lượng chi phí gia tăng khi sản
xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Hàm chi phí cận biên MC là đạo hàm của tổng chi phí
MC = TC (Q). Ta có
AC (Q) =
TC
Q
=
(TC) Q − TC
Q2
=
(TC) − TC
Q
Q
=
MC − AC
Q
.
Do Q > 0 nên dấu của AC (Q) phụ thuộc vào dấu của hiệu MC − AC. Từ đó suy ra
• Nếu MC > 0 thì AC (Q) > 0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân
thì chi phí bình quân tăng;
• Nếu MC < AC thì AC (Q) < 0, tức là khi chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình
quân thì chi phí bình quân giảm;
• MC = AC khi và chỉ khi AC (Q) = 0, tức là khi chi phí bình quân đạt cực tiểu tại
điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí bình quân giảm.
Hình 3.1:
Trên hình vẽ AC(AverageCost) là đường chi phí bình quân, MC(MarginalCost) là
đường chi phi cận biên. Đường MC cắt đường AC tại điểm có hoành độ Q0. Về phía
Q > Q0 ta thấy MC < AC, do đó AC giảm.
Tương tự doanh thu bình quân AR(Q) = TR(Q)
Q
và doanh thu cận biên MR(Q) = TR (Q)
liên hệ với nhau như sau:
• Nếu MR > 0 thì AR (Q) > 0, tức là khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu
bình quân thì doanh thu bình quân tăng;
• Nếu MR < AR thì AR (Q) < 0, tức là khi doanh thu cận biên nhỏ hơn doanh thu
bình quân thì doanh thu bình quân giảm;
• MR = AR khi và chỉ khi AR (Q) = 0, tức là doanh thu bình quân đạt cực đại tại
điểm mà doanh thu cận biên bằng doanh thu bình quân giảm.

3.1.4. Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế
Trong lĩnh vực hoạt động kinh tế, việc ra quyết định gắn liền với việc tối ưu hóa một
hàm mục tiêu y = f(x). Bài toán đặt ra là lựa chọn x để y đặt giá trị lớn nhất hoặc giá
trị nhỏ nhất. Hàm số y = f(x) được gọi là đạt cực trị tại x0 nếu f (x0) = 0 và đổi dấu
qua nghiệm đó.
• Nếu f (x0) > 0 thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = x0, yCT = f(x0);
• Nếu f (x0) < 0 thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = x0, yCD = f(x0).
Đối với một doanh nghiệp sản xuất, mục tiêu thường được đặt ra là tối đa hóa lợi nhuận.
a. Chọn mức sản xuất tối ưu
Giả sử doanh nghiệp có hàm tổ chi phí TC(Q) và hàm tổng doanh thu TR(Q). Tổng
lợi nhuận của doanh nghiệp là hàm số π = TR(Q) − TC(Q). Bài toán đặt ra là chọn mức
sản lượng Q0 để thu được lợi nhuận tối đa. Điều kiện cần để π đạt cực đại tại điểm Q0 là
π = TR (Q) − TC (Q) = 0 ⇔ TR (Q) = TC (Q) ⇔ MR = MC.
Bằng ngôn ngữ kinh tế, điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là doanh thu cận biên bằng
chi phi cận biên.
Tại điểm MR = MC, điều kiện đủ để π đạt cực đại là
π = TR − TC < 0 ⇔ TR < TC .
Ví dụ. Giả sử TR = 1400Q − 7, 5Q2
và TC = Q3
− 6Q2
+ 140Q + 750. Ta có MR =
1400 − 15Q, MC = 3Q3
− 12Q + 140. Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là
MR = MC ⇔ 1400 − 15Q = 3Q2
− 12Q + 140 ⇔ 3Q2
+ 3Q − 1260 = 0.
Phương trình có nghiệm là Q = 20 ( loại Q = −21 do Q > 0). Với Q = 20 ta có
TR = (MR) = −15, TC = (MC) = 6 × 20 − 12 = 108.
Điều kiện đủ TR < TC thỏa mãn, do đó Q = 20 là điểm cực đại. Chú ý trong khoảng
(0; ∞) hàm lợi nhuận chỉ có một điểm điểm cực trị duy nhất, do đó mức sản lượng tối ưu
là Q = 20 và lợi nhuận tối đa là
π = −(20)3
− 1, 5(20)2
+ 1260 × 20 − 750 = 15850.
b. Lựa chọn tối ưu mức sử dụng yếu tố đầu vào
Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh tiến hành sản xuất với hàm sản xuất ngắn
hạn Q = f(L), trong điều kiện giá sản phẩm trên thị trường là p và giá lao động (tiền
công) là w. Khi đó tổng lợi nhuận là hàm số của biến số L (lượng lao động được sử dụng)
π = pf(L) − wL − C0, C0 là chi phí cố định.
Bài toán đặt ra là chọn L để π đặt cực đại. Điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa là
π = pf (L) − w = 0 ⇔ p.MPPL = w.

Như vậy, điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là giá trị bằng tiền của sản phẩm hiện vật
cận biên của lao động bằng giá lao động.
Tại điểm L0 mà điều kiện cần đã được thỏa mãn, điều kiện đủ để đạt lợi nhuận tối đa là
π = pf (L0) < 0 ⇔ f (L0) < 0.
Theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần thì thì sản phẩm hiện vật cận biên của lao động
giảm dần khi L tăng, do đó Q = f (L0) < 0, tức là điều kiện đủ được thỏa mãn.
Ví dụ. Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất ngắn hạn Q = 50
√
L, giá sản
phẩm là $4 và giá lào động là $5. Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là
4.MPPL = 5 ⇔ 4.
25
√
L
= 5 ⇔ L = 400.
Điều kiện đủ luôn thỏa mãn Q = − 12,5
L
√
L
< 0. Để đạt lợi nhuận tối đa doanh nghiệp phải
sử dụng 400 đơn vị lao động.
Ví dụ. Cho hàm chi phí C(Q) = 4Q3
+ 5Q2
+ 500(Q > 0) và hàm cầu là Q = 19680 − P.
Hãy xác định mức sản lượng Q để cho lợi nhuận đạt được tối đa. Ta có
π = R−C = PQ−C = (19680−Q)Q−(4Q3
+5Q2
+500) = −4Q3
−6Q2
+19680Q−500.
π (Q) = −12Q2
− 12Q + 19680 = 0 ⇔ Q2
+ Q − 1640 = 0 ⇔ Q = 30 ⇒ π(Q) = 476500.
π (Q) = −24Q − 12 ⇒ π (30) = −24.30 − 12 = −732 < 0.
Vậy, lợi nhuận đạt tối đa khi sản lượng Q = 30.
3.2. BÀI TẬP
3.2.1. Đạo hàm cấp cao
1. Tìm y(100)
(0), biết y = 1
x2+4
.
2. Tìm y(100)
(1), biết y = (3x2
+ 1) ln x.
3. Tìm y(100)
(x), biết y = (2x + 3) cos 2x.
4. Tìm y(100)
(0), y(101)
(0), biết y = arctan x.
5. Tìm y(100)
(x), biết y = x2
sin x.
6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
(a) y = 1
x2−4
.
(b) y = sin2
x.
(c) y = ln(x2
− 3x + 2).
(d) y = ln x+1
x−1
.
(e) y = x ln (x2
− 3x + 2).
(f) y = (3 − 2x)2
e2−3x
.
(g) y = cos4
x + sin4
x.
(h) y = 3−2x2
2x2+3x−2
.
(i) y = (x2
+ x)cos2
x.
(j) y = x ln 3+x
3−x
.
3.2.2. Khai triển Taylor, Mac Laurin
1. Tìm khai triển Mac Laurin đến cấp n của các hàm số:

(a) f (x) = x2+3ex
e2x , n = 3.
(b) f (x) = ln2−3x
3+2x
, n = 3.
(c) f (x) = ln (x2
+ 3x + 2) , n = 4.
(d) f (x) = (1−x) ln(1+x)−(1+x) ln(1−
x), n = 5.
(e) f(x) = 1
x2−5x+6
, n = 3.
(f) f (x) = ln 3+x
2−x
, n = 5.
(g) f (x) = 1
1−x−x2+x3 , n = 5.
2. Tìm khai triển Taylor tại x0 đến cấp n của các hàm số sau:
(a) f (x) = ln (2x + 1) , x = 1
2
, n = 3.
(b) f(x) = ln(2 + 3x), x = 1, n = 3.
(c) f (x) = ln (2x − x2
+ 3) , x = 2, n = 5.
(d) f (x) = ln(2 + x − x2
), x = 1, n = 3.
(e) f (x) = 2x
1−x2 , x = 2, n = 5.
(f) f (x) = x2+3x
x+1
, x = 1, n = 3.
(g) f (x) = (x2
− 1)e2x
, x = −1, n = 3.
3.2.3. Tính giới hạn
1. lim
x→0
1
x
− 1
ex−1
.
2. lim
x→1
1
ln x
− 1
x−1
.
3. lim
x→0
ex−1−sin x
x ln(1+2x)
.
4. lim
x→0
cot2
x − 1
x2 .
5. lim
x→0
1
x2 − 1
x tan x
.
6. lim
x→0
x2
ln x.
7. lim
x→+∞
(x + ex
)
1
x .
8. lim
x→0
(cos x)
1
x2
.
9. lim
x→0
1+tan x
1+sinx
1
sin x
.
10. lim
x→0
(1 + x)ln x
.
11. lim
x→0
(1 + x2
)
1
ex−1−x
.
12. lim
x→0
5
2+
√
9+x
1
sin x
.
3.2.4. Ứng dụng của đạo hàm
1. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = 5
√
L. Tính MPPL tại điểm
L = 100 và nêu ý nghĩa.
√
√
4. Cho hàm cầu Q = 1400 − p2
. Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20
và nêu ý nghĩa.
5. Cho hàm cầu Q = 1500 − p2
và nêu ý nghĩa.
6. Cho hàm cầu Q = 1300 − p2
và nêu ý nghĩa.
7. Cho hàm cầu Q = 300 − P và hàm chi phí C = Q3
− 19 Q2
+ 333 Q + 10. Tìm Q để
lợi nhuận lớn nhất.

Chương 4
TÍCH PHÂN
4.1. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế
4.1.1. Ứng dụng tích phân không xác định
a. Xác định quỹ vốn dựa theo lượng đầu tư
Giả sử việc đầu tư được tiến hành liên tục theo thời gian. Xét lượng đầu tư I và quỹ
vốn K là các biến phụ thuộc vào thời gian t
I = I(t), K = K(t).
Lượng đầu tư I tại thời điểm t chính là lượng bổ sung quỹ vốn tại thời điểm đó. Nói cách
khác, I(t) là tốc độ tăng của K(t), do đó
I(t) = K (t).
Nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta có thể xác định được quỹ vốn K(t) bởi công thức
K (t) = I (t) dt.
Hằng số C trong tích phân không xác định được xác định nếu ta biết quỹ vốn ban đầu
K0 = K(0).
Ví dụ. Giả sử lượng đầu tại thời điểm t được xác định dưới dạng hàm số
I (t) = 140t0,75
và quỹ vốn tại thời điểm xuất phát là K(0) = 150. Quỹ vốn tại thời điểm t là
K (t) = 140t
3
4 dt = 140.
4
7
t
7
4 + C.
Tại thời điểm xuất phát K(0) = C = 150, do đó
K (t) = 80
4
√
t7 + 150.

b. Xác định hàm tổng khi biết hàm giá trị cận biên
Giả sử biến kinh tế y mang ý nghĩa (tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng số tiêu
dùng, ...), được xác định theo giá trị của biến số x: y = f(x). Như ta đã biết đạo hàm
y = f (x) là giá trị y cận biên của x (tại mỗi điểm x). Nếu biết được hàm giá trị cận
biên y = f (x) = g(x) thì ta có thể xác định được hàm tổng y = f(x) thông qua phép
tính tích phân
y = f (x) = g (x) dx.
Chú ý tích phân không xác định là tập hợp các nguyên hàm, nên để xác định được hàm
tổng ta cần quan tâm đến các thông tin bổ sung.
Ví dụ. Giả sử chi phí cận biên (Marginal Cost) ở mỗi mức sản lượng Q là
MC = 25 − 30Q + 9Q2
và chi phí cố định (Fixed Cost) là FC = 55. Hàm tổng chi phí được xác định bởi công
thức
C = 25 − 30Q + 9Q2
dQ = 25Q − 15Q2
+ 3Q3
+ C0.
Chi phí cố định là phần chi phí không phụ thuộc sản lượng Q, do đó
FC = 55 = C (0) = C0 ⇒ C = 55 + 25Q − 15Q2
+ 3Q3
.
Chi phí khả biến (Variable Cost) là phần chi phí phụ thuộc vào sản lượng Q. Đó là hiệu
số của tổng chi phí và chi phí cố định. Vậy
V C = C − FC = 25Q − 15Q2
+ 3Q3
.
Ví dụ. Giả sử doanh thu cận biên (Marginal Revenue) ở mỗi mức sản lượng Q được xác
định dưới dạng hàm số
MR = 60 − 2Q − 2Q2
.
Hãy xác định tổng doanh thu và hàm cầu đối với sản phẩm.
Hàm tổng doanh thu R là nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên
C = 60 − 2Q − 2Q2
dQ = 60Q − Q2
−
2
3
Q3
+ R0.
Hiển nhiên là doanh thu bán hàng khi Q = 0 là R0 = 0. Vậy
R = 60Q − Q2
−
2
3
Q3
.
Gọi p = p(Q) là hàm cầu đảo, tức là hàm ngược của hàm cầu Q = D(p). Ta có R = p(Q)Q.
Từ đây suy ra
p (Q) =
R
Q
= 60Q − Q2
−
2
3
Q3
.
Ví dụ. Hàm tiêu dùng C = C(Y ) biểu diễn lượng tiêu dùng C theo mức thu nhập Y . Xu
hướng tiêu dùng cận biên MPC (Marginal Propensity to consume) ở mức thu nhập Y là
đạo hàm của hàm tiêu dùng
MPC = C (Y ).

Giả sử ở mỗi mức thu nhập Y ta xác định được
MPC = 0, 6 +
0, 1
3
√
Y
và mức tiêu dùng thiết yếu là 50. Hàm tiêu dùng được xác định như sau
C = 0, 6 +
0, 1
3
√
Y
dY = 0, 6Y + 0, 15
3
√
Y 2 + C0.
Mức tiêu dùng thiết yếu là mức tiêu dùng kể cả khi không có thu nhập C0 = 50 khi
Y = 0, khi đó hàm tiêu dùng là
C = 0, 6Y + 0, 15
3
√
Y 2 + 50.
4.1.2. Ứng dụng tích phân xác định
a. Tính xác suất
Xét biến số x nhận các giá trị bằng số khác nhau một cách ngẫu nhiên, gọi là biến
ngẫu nhiêu. Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận một giá trị x0 nào đó được tính thông
qua một hàm số gọi là hàm mật độ xác suất hay hàm xác suất. Hàm mật độ xác suất của
một biến ngẫu nhiên liên tục x là một hàm số liên tục f(x) thỏa mãn các điều kiện sau:
1. f (x) ≥ 0 (có xác suất là số không âm);
2. Nếu miền biến thiên của biến số x là đoạn [A; B] thì
B
A
f (x) dx = 1;
3. Xác suất để x nhận giá trị trong đoạn [a; b] được tính bởi công thức
P (a ≤ x ≤ b) =
b
a
f (x) dx (A ≤ a ≤ b ≤ B) .
Ví dụ. Gọi t là thời gian xếp hàng để mua hàng trong một cửa hàng lớn (đo bằng phút).
Qua số liệu thực nghiệm người ta ước lượng được hàm tần suất
f(t) =
4
81
t3
(0 ≤ t ≤ 3).
Xác suất để một khách hàng phải xếp hàng từ 1 đến 2 phút là
p =
2
1
4
81
t3
dt =
1
81
t4 2
1
=
15
81
.
b. Tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất
Khái niệm hàm cung, hàm cầu và điểm cân bằng thị trường đã được trình bày ở
chương 2. Thông qua mô hình thị trường người ta có thể đánh giá được lợi ích của thị
trường đối với cả người mua và người bán.

Trong mô hình thị trường, hàm cầu Qd = D(p) cho biết lượng hàng hóa Qd mà người
mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá p (Qd là lượng cầu của toàn bộ thị trường). Khi biểu
diễn bằng đồ thị mối liên hệ giữa giá và lượng cầu, các nhà kinh tế thường sử dụng trục
tung để biểu diễn giá p và trục hoành biểu diễn lượng Q. Với cách biểu diễn như vậy thì
đường cầu là đồ thị của hàm cầu đảo p = D−1
(Qd) (hàm ngược của hàm cầu Qd = D(p)).
Giả sử điểm cân bằng thị trường là (p0, Q0) và hàng hóa được bán với giá p0 trên thị
Hình 4.1:
trường. Khi đó những người mua lẽ ra bằng lòng trả giá p1 > p0 được hưởng một khoản
lợi bằng p1 − p0 đối với mỗi đơn vị hàng hóa mua theo giá thị trường (đoạn FM trên hình
vẽ). Tổng số hưởng lợi của tất cả những người tiêu dùng bằng diện tích của tam giác cong
AEp0. Các nhà kinh tế gọi đó là thặng dư của người tiêu dùng (Consumers’ Surplus).
Thặng dư của người tiêu dùng được tính theo công thức
CS =
Q0
0
D−1
(Q) dQ − p0Q0.
Hàm cung Qs = S(p) của thị trường cho biết lượng hàng hóa Qs mà các nhà sản xuất
bằng lòng bán ở mỗi mức giá p. Đường cung là đồ thị của hàm cung đảo p = S−1
(Qs).
Nếu hàng hóa được bán trên thị trường ở mức giá cân bằng p0 thì những nhà sản xuất
lẽ ra bằng lòng bán ở mức giá cân bằng p2 < p0 được hưởng một khoản lợi nhuận p0 − p2
đối với mỗi đơn vị hàng hóa bán theo giá thị trường (đoạn FN trên hình vẽ). Tổng số
hưởng lợi của tất cả các nhà sản xuất bằng diện tích của tam giác cong BEp0. Các nhà
kinh tế gọi đó là thặng dư của nhà sản xuất (Producers’ Surplus). Thặng dư của nhà sản
xuất được tính theo công thức
PS = p0Q0 −
Q0
0
S−1
(Q) dQ.
4.2. BÀI TẬP
4.2.1. Tích phân của hàm số hữu tỷ
Tính các tích phân sau:

1. J = dx
x ln x ln(ln x)
.
2. J = x4+2x2
x2+1
dx.
3. J = x
x2+3x+2
dx.
4. J = x2
x2+4x+5
dx.
5. J = x
x3−8
dx.
6. J = x3+x+1
x4−81
dx.
7. J = 3x+2
x2+2x+10
dx.
8. J = dx
(x2+a2)2 .
4.2.2. Tích phân của hàm số lượng giác
Tính các tích phân sau:
1. J = 1
1+sin x+cos x
dx.
2. J = 1
4 sin x+3 cos x+5
dx.
3. J = 1
(2−sin x)(3−sin x)
dx.
4. J = dx
sin x(2cos2x−1)
.
5. J = x3
arctan xdx.
6. J = e5x
cos 4xdx.
7. J = cos(ln x)dx.
8. J = xeax
cos bxdx.
9. J = arcsin x√
x+1
dx.
10. J = cos4x
sin3x
dx.
11. J = sin3x
3√
cos2x
dx.
12. J = dx
a2sin2x+b2cos2x
, (a, b = 0).
13. J = 3 sin x+2 cos x
2 sin x+3 cos x
dx.
14. J = cot6
xdx.
4.2.3. Tích phân của hàm số vo tỷ
1. J = dx
1+ 3√
x+1
.
2. J =
√
x
4√
x3+1
dx.
3. J = 1√
2−3x−4x2 dx.
4. J = 3x+4√
−x2+6x−8
dx.
5. J = x+3√
4x2+4x+3
dx.
6. J = 1
x
√
5x2−2x+1
dx.
7. J = a+x
a−x
dx (a > 0).
8. J =
x+1+
3
√
(x+1)2
+ 6√
x+1
(x+1)(1+ 3√
x+1)
dx.
9. J = dx
x
√
1+x2 .
10. J = dx
x2
√
x2−a2 .
11. J = x2dx√
a2−x2 .
12. J = 1
x2.
√
a2+x2 dx.
13. J = 1
x2 . x−1
x+1
dx.
14. J = x2dx√
(x2+a2)3
.
15. J = ln(
√
1 − x +
√
1 + x)dx.
4.2.4. Tính tích phân xác định
1. Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
(a) I =
π
2
0
4dx
3+5 cos x
.
(b) I =
π/2
0
cos x√
7+cos 2x
dx.
(c) I =
π
2
0
cos3x
cos3x+sin3x
dx.
(d) I =
π/2
0
sin6x
sin6x+cos6x
dx.

(e) I =
π/4
0
cos 2x
(sin x+cos x+2)3 dx.
(f) I =
ln 2
0
√
ex − 1dx.
(g) I =
√
3
2
1
2
dx
x
√
1−x2 .
(h) I =
√
3
1
(x3+1)
x2
√
4−x2 dx.
(i) I =
a
0
x2 a−x
a+x
dx, a > 0.
(j) I =
3
0
x
6−x
dx.
(k) I =
1
0
ln(1+x)
1+x2 dx.
2. Tính tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
(a) I =
π
2
0
e5x
sin 4xdx.
(b) I =
π
3
−π
3
x sin x
cos2x
dx.
(c) I =
1
0
x arctan xdx.
(d) I =
π
2
0
x2
sin xdx.
(e) I =
1
0
arctan
√
xdx.
(f) I =
1
0
x arctan x√
1+x2 dx.
(g) I =
π
3
π
4
xdx
sin2x
.
(h) I =
1
0
e−x
ln(ex
+ 1)dx.
4.2.5. Tính tích phân suy rộng
1. Tính tích phân suy rộng loại 1:
(a) I =
+∞
0
xe−x
dx.
(b) I =
+∞
0
x3
e−x2
dx.
(c) I =
+∞
0
e−
√
x
dx.
(d) I =
+∞
1
dx
x
√
x2+x+1
.
(e) I =
+∞
√
2
dx
x
√
x2−1
.
(f) I =
+∞
2
dx
x2
√
x2−1
.
(g) I =
∞
1
x2−3
x(x+1)(x2+1)
.
2. Tính tích phân suy rộng loại 2:
(a) I =
2
0
√
x+2√
2−x
dx.
(b) I =
2
0
dx√
|1−x2|
.
(c) I =
3
1
dx√
4x−x2−3
.
(d) I =
3
−3
x2
√
9−x2 dx.
(e) I =
1
0
x3 arcsin x√
1−x2 dx.
(f) I =
2
0
x3
√
4−x2 dx.
4.2.6. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
1. Tích phân suy rộng loại 1:

(a) I =
+∞
0
√
xe−x
dx.
(b) I =
+∞
1
ln(1+x2
)
x
dx.
(c) I =
+∞
4
dx
x ln(ln x)
.
(d) I =
+∞
3
dx√
x(x−1)(x−2)
.
(e) I =
+∞
1
1 − cos 1
x
dx.
(f) I =
+∞
1
(−1)n
cos nx
x2 dx (n ∈ N).
2. Tích phân suy rộng loại 2:
(a) I =
1
0
xndx√
1−x4 (n ∈ N).
(b) I =
1
0
sin 2x√
1−x2 dx.

Tài liệu tham khảo
[1] Lê Đình Thúy(2007), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần 1, 2, NXB Đại học
Kinh tế Quốc dân.
[2] Trương Hà Hải, Đàm Thanh Phương và nhóm tác giả (2016), Toán học cao cấp 1,
NXB Đại học Thái Nguyên.
[3] Trần Trọng Huệ (2001), Đại số tuyến tính và hình giải tích, NXB ĐH Quốc gia Hà
Nội.
[4] Lê Ngọc Lăng (2003), Bài tập và luyện tập Toán cao cấp, tập 1,2, NXB ĐHSP.
[5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh(2002), Toán học cao cấp, Tập
1,2. NXB Giáo dục.
[6] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh(2002), Bài tập Toán học cao cấp,
Tập 1,2. NXB Giáo dục.
28

Bài tập Toán kinh tế

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Bài tập Toán kinh tế

Similaire à Bài tập Toán kinh tế (20)

Plus de tuongnm

Plus de tuongnm (20)

Dernier

Dernier (20)

Bài tập Toán kinh tế