Chuong2

Các phép toán trên ma trận
Định thức
Ma trận nghịch đảo
Hạng của ma trận

Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1
Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng

Ngày 11 tháng 11 năm 2010

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH

Định thức

Chương II: Ma trận, định thức

2.1 Các phép toán trên ma trận.


Định thức



2.2 Định thức.


Định thức



2.2 Định thức.

2.3 Ma trận nghịch đảo.


Định thức



2.2 Định thức.

2.3 Ma trận nghịch đảo.

2.4 Hạng của ma trận.


Định nghĩa ma trận
Định thức
Các ví dụ
Các phép tính trên ma trận


Cho m, n là hai số nguyên dương. Bảng mxn số thực gồm m hàng,
n cột được gọi là ma trận loại mxn.
 
a11 a12 ... a1n
 a a22 ... a2n 
A =  21
 ...
 (1)
... ... ... 
am1 am2 ... amn
hay A = (aij )mxn , i = 1, · · · , m là số hàng, j = 1, · · · , n là số cột.


Định thức
Các ví dụ


 
a11 a12 ... a1n
 a a22 ... a2n 
A =  21
 ...
 (1)
... ... ... 
am1 am2 ... amn

aij là phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận.


Định thức
Các ví dụ


 
a11 a12 ... a1n
 a a22 ... a2n 
A =  21
 ...
 (1)
... ... ... 
am1 am2 ... amn

Ma trận hàng: Ma trận chỉ có một hàng, A = (a1j )j=1,...,n


Định thức
Các ví dụ


 
a11 a12 ... a1n
 a a22 ... a2n 
A =  21
 ...
 (1)
... ... ... 
am1 am2 ... amn

Ma trận hàng: Ma trận chỉ có một hàng, A = (a1j )j=1,...,n
Ma trận cột: Ma trận chỉ có một cột, A = (ai1 )i=1,...,m .

Định thức
Các ví dụ

Một số khái niệm

Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyên
thứ tự hàng cột.


Định thức
Các ví dụ


Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phần
tử a11 , a22 , ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính.


Định thức
Các ví dụ


Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vị
trí đối xứng bằng nhau: aij = aji


Định thức
Các ví dụ


Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoài
đường chéo chính đều bằng không.


Định thức
Các ví dụ


Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trên
đường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0.


Định thức
Các ví dụ


Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không.


Định thức
Các ví dụ


Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không.
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và
các phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau.

Định thức
Các ví dụ

Các ví dụ I

1 0
1 2 3
A= ; có ma trận chuyển vị là At =  2 5 
0 5 4
3 4
 
5 −1 0
Ma trận vuông: B =  3 8 2 
0 6 4
 
1 0 0
Ma trận chéo: C =  0 4 0 
0 0 −2
 
1 0 5
Ma trận đối xứng: D =  0 3 7 
5 7 2
 
1 0 0
Ma trận đơn vị cấp 3: I =  0 1 0 
0 0 1

Định thức
Các ví dụ

Các ví dụ II

Ma trận hàng: E = x y z
 
x
Ma trận cột: F =  y 
z


Định thức
Các ví dụ


Phép cộng hai ma trận cùng loại
Cho hai ma trận cùng loại A = (aij )mxn ; B = (bij )mxn . Khi đó ma
trận tổng C = A + B = (cij )mxn ; trong đó
cij = aij + bij ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n


Định thức
Các ví dụ


cij = aij + bij ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n

Phép nhân một ma trận với một số
Cho ma trận A = (aij )mxn và số thực k. Khi đó k.A = (k.aij )mxn ;
i = 1, ..., m; j = 1, ..., n


Định thức
Các ví dụ


cij = aij + bij ; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n

Phép nhân một ma trận với một số
Cho ma trận A = (aij )mxn và số thực k. Khi đó k.A = (k.aij )mxn ;
i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
1 2 3 2 0 −4
Ví dụ. A = ;B = .
0 5 4 3 −5 2
3 2 −1 2 4 6
Ta có: A + B = ; 2A =
3 0 6 0 10 8

Định thức
Các ví dụ

Phép nhân hai ma trận
Phép nhân một ma trận hàng với một ma trận cột


Định thức
Các ví dụ

Giả sử U là ma trận 1xn, V là ma trận nx1
 
v1
 v2 
U = u1 u2 ... un ; V =  . 
 
 .. 
vn

Tích của U và V được xác định:

U · V = (u1 .v1 + u2 .v2 + ... + un .vn )1x1


Định thức
Các ví dụ

Giả sử U là ma trận 1xn, V là ma trận nx1
 
v1
 v2 
U = u1 u2 ... un ; V =  . 
 
 .. 
vn

Tích của U và V được xác định:

U · V = (u1 .v1 + u2 .v2 + ... + un .vn )1x1

Chú ý. Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì số cột của A phải
bằng số hàng của B


Định thức
Các ví dụ

Cho A = (aik ) là ma trận loại (mxp), B = (bkj ) là ma trận loại
(pxm). Ma trận tích C = A.B = (cij ) là ma trận loại mxn, trong
đó mỗi phần tử của C được xác định bằng (Hàng i của A). (Cột j
của B)
cij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ... + aip .bpj
i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n


Định thức
Các ví dụ

Cho A = (aik ) là ma trận loại (mxp), B = (bkj ) là ma trận loại
(pxm). Ma trận tích C = A.B = (cij ) là ma trận loại mxn, trong
đó mỗi phần tử của C được xác định bằng (Hàng i của A). (Cột j
của B)
cij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ... + aip .bpj
i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n

Ví dụ Cho các ma trận  
1 3 0 0
3 1 4
A= ; B =  1 1 0 0  ; Tìm ma trận C = A.B
2 0 5
0 0 1 1


Định thức
Các ví dụ

Giải

C sẽ là ma trận loại 2x4 với các phần tử được xác định:

c11 = 3 × 1 + 1 × 1 + 4 × 0 = 4;
c12 = 3 × 3 + 1 × 1 + 4 × 0 = 10
c13 = 3 × 0 + 1 × 0 + 4 × 1 = 4;
c14 = 3 × 0 + 1 × 0 + 4 × 1 = 4;
c21 = 2 × 1 + 0 × 1 + 5 × 0 = 2;
c22 = 2 × 3 + 0 × 1 + 5 × 0 = 6;
c23 = 2 × 0 + 0 × 0 + 5 × 1 = 5;
c24 = 2 × 0 + 0 × 0 + 5 × 1 = 5.

Ma trận tích:
4 10 4 4
C=
2 6 5 5


Định thức
Các ví dụ

Tính chất

Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại
(mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thì
tích A.B.C có tính chất kết hợp: A.(B.C ) = (A.B).C


Định thức
Các ví dụ

Tính chất

Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán


Định thức
Các ví dụ

Tính chất

Nếu A, B thỏa mãn điều kiện nhân thì At , B t cũng thỏa mãn
điều kiện nhân và ta có: (A.B)t = B t .At .


Định thức
Các ví dụ

Tính chất

Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đã
kéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0


Định thức
Các ví dụ

Tính chất

Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đã
kéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0
Tính chất của ma trận đơn vị: Mọi ma trận đơn vị I nhân với
ma trận vuông A cùng cấp ta luôn có: I .A = A.I = A


Định thức Định nghĩa định thức
Ma trận nghịch đảo Tính chất của định thức

Định nghĩa định thức

Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A là
một số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|.




Ký hiệu Dij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng
i, cột j của ma trận A và được gọi là định thức con của A.




Ký hiệu Dij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng
i, cột j của ma trận A và được gọi là định thức con của A.
Phần bù đại số của phần tử aij là đại lượng: Aij = (−1)i+j · Dij



Định nghĩa định thức bằng quy nạp
a, k = 1, A = [a11 ] ⇒ |A| = a11



a, k = 1, A = [a11 ] ⇒ |A| = a11
b, k = 2,
a11 a12
A= ⇒ |A| = a11 · a22 − a12 · a21 = a11 · A11 + a12 · A12
a21 a22



a, k = 1, A = [a11 ] ⇒ |A| = a11
b, k = 2,
a11 a12
A= ⇒ |A| = a11 · a22 − a12 · a21 = a11 · A11 + a12 · A12
a21 a22
c, k = 3,
 
a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  ⇒ |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
a31 a32 a33



a, k = 1, A = [a11 ] ⇒ |A| = a11
b, k = 2,
a11 a12
A= ⇒ |A| = a11 · a22 − a12 · a21 = a11 · A11 + a12 · A12
a21 a22
c, k = 3,
 
a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  ⇒ |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
a31 a32 a33
d, k = n,
 
a11 a12 ... a1n
 a a ... a2n 
A =  21 22
 ... ... ... ...  ⇒ |A| = a11 A11 +a12 A12 +...+a1n A1n


an1 an2 ... ann



Ví dụ
3 1 5
Tính D = −1 2 1
−2 4 3



Ví dụ
3 1 5
Tính D = −1 2 1
−2 4 3
Giải
D = 3A11 + 1A12 + 5A13



Ví dụ
3 1 5
Tính D = −1 2 1
−2 4 3
Giải
D = 3A11 + 1A12 + 5A13

2 4
A11 = (−1)1+1 =2
1 3



Ví dụ
3 1 5
Tính D = −1 2 1
−2 4 3
Giải
D = 3A11 + 1A12 + 5A13

2 4
A11 = (−1)1+1 =2
1 3
−1 1
A12 = (−1)1+2 =1
−2 3



Ví dụ
3 1 5
Tính D = −1 2 1
−2 4 3
Giải
D = 3A11 + 1A12 + 5A13

2 4
A11 = (−1)1+1 =2
1 3
−1 1
A12 = (−1)1+2 =1
−2 3
−1 2
A13 = (−1)1+3 =0
−2 4



Ví dụ
3 1 5
Tính D = −1 2 1
−2 4 3
Giải
D = 3A11 + 1A12 + 5A13

2 4
A11 = (−1)1+1 =2
1 3
−1 1
A12 = (−1)1+2 =1
−2 3
−1 2
A13 = (−1)1+3 =0
−2 4

A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7


Tính chất
Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu các
tính chất của định thức ta ký hiệu A1 , A2 , ..., An là các cột của
định thức và ta viết D = D(A1 , A2 , ..., An ) .



Tính chất
Tính chất 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các định
thức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B)



Tính chất
Tính chất 2. Nếu một định thức có một cột được phân tích
thành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj 1 + Aj 2 thì ta có
thể phân tích định thức thành tổng hai định thức:
D A1 , ..., A1 + A2 , ...An = D A1 , ..., A1 , ..., An +D A1 , ..., A2 , ...
j j j j



Tính chất
Tính chất 2. Nếu một định thức có một cột được phân tích
thành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj 1 + Aj 2 thì ta có
thể phân tích định thức thành tổng hai định thức:
D A1 , ..., A1 + A2 , ...An = D A1 , ..., A1 , ..., An +D A1 , ..., A2 , ...
j j j j

Tính chất 3. Có thể đưa thừa số chung của một cột ra
ngoài dấu định thức.
D (A1 , ..., kAj , ...An ) = kD (A1 , ..., Aj , ..., An ) .


Tính chất

Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu.
D (A1 , ..., Ai , ..., Aj , ...An ) = −D (A1 , ..., Aj , ..., Ai , ...An )



Tính chất

Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không.



Tính chất

Tính chất 5. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột
khác thì định thức bằng không,



Tính chất

Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính của
các cột khác thì định thức không đổi.
D (A1 , ..., Aj + αι Ai , ..., An ) = D (A1 , ..., Aj , ..., An ) .



Tính chất

Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính của
các cột khác thì định thức không đổi.
D (A1 , ..., Aj + αι Ai , ..., An ) = D (A1 , ..., Aj , ..., An ) .
Tính chất 6. det (At ) = det (A). Các tính chất đã phát biểu
trên cột cũng đúng trên hàng.



Tính chất

Định lý khai triển
Có thể khai triển định thức của ma trận vuông A theo bất kỳ hàng
cột nào.
det(A) = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain ; i = 1, 2, ..., n (khai triển
theo hàng i)
det(A) = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj ; j = 1, 2, ..., n (khai triển
theo cột j)

Các bước khai triển định thức:
Bước 1: Chọn một hàng (hay một cột) tùy ý.



Tính chất

cột nào.
theo hàng i)
theo cột j)

Bước 2: Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (cột)
vừa chọn. Sử dụng các tính chất của định thức để khử các
phần tử còn lại.



Tính chất

cột nào.
theo hàng i)
theo cột j)

Bước 2: Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (cột)
vừa chọn. Sử dụng các tính chất của định thức để khử các
phần tử còn lại.
Bước 3: Khai triển định thức theo hàng (cột) vừa chọn.


Ví dụ
Tính định thức:
3 1 5
D= −1 2 1
−2 4 3



Ví dụ
3 1 5
D= −1 2 1
−2 4 3

Chọn cột 1



Ví dụ
3 1 5
D= −1 2 1
−2 4 3

Chọn cột 1
Sử dụng phần tử a21 = −1 để khử hai phần tử còn lại của cột
một
h2 .(3) + h1 → h1
h2 .(−2) + h3 → h3
Định thức sau khi biến đổi là:
0 7 8
D= −1 2 1
0 0 1



Ví dụ

Khai triển định thức theo cột 1:

7 8
D = a21 .A21 = (−1) (−1)2+1 =7
0 1


Định thức Định nghĩa
Ma trận nghịch đảo Ví dụ

Định nghĩa
Ma trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấp
sao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trận
nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1



Định nghĩa

Định lý
Điều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) = 0



Định nghĩa

Định lý

Các bước tìm ma trận nghịch đảo
1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trận
nghịch đảo.



Định nghĩa

Định lý

nghịch đảo.
2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phần
bù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.˜



Định nghĩa

Định lý

nghịch đảo.
2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phần
bù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.˜
1 ˜
3. Cuối cùng ta có A−1 = A.
det (A)


Ví dụ
Chứng tỏ rằng ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo.
 
1 2 −1
A= 3 0 2 
4 −2 5

Ta có:
1 2 −1
det (A) = 3 0 2 = −4.
4 −2 5
Chuyển vị ma trận A ta được:



Ví dụ
Chứng tỏ rằng ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo.
 
1 2 −1
A= 3 0 2 
4 −2 5

Ta có:
1 2 −1
det (A) = 3 0 2 = −4.
4 −2 5
Chuyển vị ma trận A ta được:
 
1 3 4
At =  2 0 −2 
−1 2 5



Ví dụ
Thay các phần tử của At bởi phần bù đại số của nó ta được ma
trận phụ hợp:



Ví dụ
trận phụ hợp:  
4 −8 4
˜
A =  −7 9 −5 
−6 10 6
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:



Ví dụ
4 −8 4
˜
A =  −7 9 −5 
−6 10 6
 
−1 2 −1
1 ˜  7 −9 5 
A−1 = A= 4
 
det (A)  3 −5 4 4 
3 
2 2 2



Ví dụ
4 −8 4
˜
A =  −7 9 −5 
−6 10 6
 
−1 2 −1
1 ˜  7 −9 5 
A−1 = A= 4
 
det (A)  3 −5 4 4 
3 
2 2 2
Ma trận  
1 1 1
B =  1 2 −1 
1 0 3

Định nghĩa hạng của ma trận
Định thức
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Bài tập


Cho A là ma trận loại mxn. Nếu ta lấy ra k hàng và k cột thì
các phần tử nằm trên giao điểm của các hàng và các cột lấy
ra đó lập nên một ma trận vuôn cấp k.


Định thức
Bài tập


Định thức của ma trận vuông cấp k đó gọi là định thức con
cấp k trích từ ma trận A


Định thức
Bài tập


Định thức của ma trận vuông cấp k đó gọi là định thức con
cấp k trích từ ma trận A

Định nghĩa
Cấp của các định thức con lớn nhất có định thức khác không trích
từ ma trận A được gọi là hạng của ma trận A
Hạng của ma trận A được ký hiệu là r (A)


Định thức
Bài tập

Ví dụ
Tìm hạng của các ma trận sau:
 
1 2 −3
1 2 7  −1 −2 3 
A= B = 
2 4 −1  4 8 −12 
0 0 0


Định thức
Bài tập

Ví dụ
 
1 2 −3
1 2 7  −1 −2 3 
A= B = 
2 4 −1  4 8 −12 
0 0 0

Giải
Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có:
1 7
= −15 = 0.
2 −1

Vậy r (A) = 2


Định thức
Bài tập

Ví dụ
 
1 2 −3
1 2 7  −1 −2 3 
A= B = 
2 4 −1  4 8 −12 
0 0 0

Giải
Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có:
1 7
= −15 = 0.
2 −1

Vậy r (A) = 2
det(B) = 0. Mọi định thức con cấp≥ 2 của B đều bằng
không. Vậy r (B) = 1.

Định thức
Bài tập


Định nghĩa
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:


Định thức
Bài tập


Định nghĩa
1, Phép chuyển vị ma trận


Định thức
Bài tập


Định nghĩa
2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột


Định thức
Bài tập


Định nghĩa
3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tử
không


Định thức
Bài tập


Định nghĩa
không
4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàng
cột khác.


Định thức
Bài tập


Định nghĩa
không
cột khác.
5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.


Định thức
Bài tập


Định nghĩa
không
cột khác.
5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.
6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác


Định thức
Bài tập

Bài tập I
   
3 1 0 0 1 0
Bài 1: Cho các ma trận A =  0 3 0  , J =  0 0 0 
0 0 3 0 0 0
1) Chứng minh rằng A = 3J + I với I là ma trận đơn vị cấp ba.
2) Tính J 2 và bằng phương pháp quy nạp hãy chứng minh
rằng An = 3n I + an J với an là một số có thể xác định được. Viết
ma trận An .  
0 1 0
Bài 2: Cho ma trận A =  −1 2 0 
1 0 −1
1) Tính A 2 và A3 . Nghiệm lại rằng ta có A3 − A2 − A + I = 0

với I là ma trận đơn vị cấp ba.
2) Chứng tỏ rằng ma trận A là khả nghịch. Hãy suy ra A−1 từ
hệ thức trên.


Định thức
Bài tập

Bài tập II

Bài 3: Tính các định thức

x 1 1 1
3 0 1 1 a a2
1 x 1 1
1) 1 2 5 ; 2) ; 3) 1 b b2
1 1 x 1
−1 4 2 1 c c2
1 1 1 x

Bài 4: Tính các định thức

−a b c d
a + b ab a2 + b2
b −a d c
1) b + c bc b2 + c 2 ; 2)
c d −a b
c + a ca c 2 + a2
d c b −a


Định thức
Bài tập

Bài tập III

Bài 5: Chứng tỏ rằng các ma trận sau đây là khả nghịch và tìm ma
trận nghịch đảo của chúng:
 
  1 −a 0 0
1 1 1  0 1 −a 0 
A =  1 2 4 ; B =  
 0 0 1 −a 
1 3 9
0 0 0 1

Bài 6: Tìm hạng của các ma trận sau:
 
1 3 −2 1  
 2 1 −2 −5 −8
5 2 1 
 ; B =  −1 1
A=  1 1 5 
1 6 13 
1 2 11 4
−2 −6 8 10


Định thức
Bài tập

Bài tập IV

 
−m 3 5m
Bài 7: Cho ma trận A =  0 1 2 
1 0 m
a, Tìm m để A khả nghịch
b, Tìm A−1 khi m = 0.


Chuong2

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Plus de tuongnm

Plus de tuongnm (20)

Chuong2