2. Ellisse del
giardiniere
Per vedere se è tutto così facile,
seguiamo le indicazioni.
Ma ben presto ci accorgiamo che qualcosa non
funziona………
Il nostro filo si blocca in corrispondenza dei vertici
(appartenenti all’asse dei fuochi).
E’ possibile risolvere il problema:
a) sostituendo alle puntine dei cilindri che ruotano…
come in figura;
b) oppure sostituire la corda legata con un filo
chiuso… come nel video.
5. Abbiamo osservato che la formula di sdoppiamento può essere utilizzata anche nel caso
che il punto (x0;y0) non appartenga all’ellisse.
Se P
appartiene
Se P non
appartiene
Foglio geogebra
6. Un caso nel quale è utile la tangente
Il biliardo ellittico
Un biliardo ellittico: iniziamo con il supporre che le
due palle sono poste nei fuochi. Cosa accade
colpendo una palla e facendola rimbalzare sulla
sponda?
(Per chiarire vedi video)
7. Il biliardo ellittico
Proviamo a verificare questa proprietà
con alcuni calcoli e con Geogebra:
1) Considerare una ellisse riferita ad O;
ad esempio
x2 y2
1
16 9
2) Scegliere un punto P sull’ellisse: con
carta e penna assegniamo un valore
alla x e ricaviamo la y dall’equazione
(quante y otteniamo? È una funzione?)
Ad esempio ricaviamo il punto di
ascissa x=1 nel primo quadrante
3) Calcolare la tangente con la formula
di sdoppiamento
1)
In Geogebra digitiamo nella
riga di inserimento
l’equazione
2)
In Geogebra “Punto su
oggetto” e scegliamo un
punto sull’ellisse
In Geogebra scegliamo tra i
comandi relativi alle rette:
“retta tangente”.
Osserviamo che Geogebra
fornisce anche un comando
“polare”.. Provare a vedere
cosa accade
3)
Segue
8. x2 y2
1
16 9
Il biliardo ellittico
4) Dobbiamo ora individuare i fuochi della
nostra ellisse:
• Calcoliamo la distanza focale
• Individuiamo le coordinate dei fuochi
5) Supponiamo di lanciare la palla da F1 e,
dopo un percorso rettilineo, colpisca in P
la sponda:
• Calcoliamo la retta per F1 e P
6) Per proprietà fisiche: la palla rimbalza
formando un angolo con la normale alla
retta tangente in P uguale all’angolo
formato tra la retta F1P e la normale alla
tangente nel punto P
Occorre quindi trovare la normale alla retta
tangente per P (come deve essere il
coefficiente angolare? C’è qualche
relazione tra i coefficienti della tangente e
quelli del vettore normale?)
4)
Digitiamo nella riga di
inserimento le coordinate
dei due Fuochi
5)
Con Geogebra costruiamo
la retta per i due punti F1
eP
6)
Geogebra ci aiuta molto:
•
Disegniamo la retta
perpendicolare alla
tangente in P
Segue
9. x2 y2
1
16 9
Il biliardo ellittico
Arriviamo adesso al punto più faticoso (per i calcoli!!):
7) Occorre calcolare l’angolo tra la retta e la normale e poi
cercare la retta lungo la quale la palla rimbalza:
• potremmo ragionare in termini di vettori
• potremmo anche osservare che quella che cerchiamo è la retta
trasformata attraverso una simmetria assiale rispetto alla
normale
• potremmo cercare una formula (ed esiste) che ci calcola
l’angolo a partire dai coefficienti della retta
•Per semplicità affidiamoci a Geogebra
Segue
10. x2 y2
1
16 9
Il biliardo ellittico
7) Chiediamo a Geogebra di rappresentare la retta che si ottiene
tramite una simmetria assiale della retta F1P rispetto alla
normale
Osserviamo:
1) La retta trovata passa per
il secondo fuoco
2) Muovendo il punto P
sull’ellisse cosa accade?
Vedi la costruzione realizzata in Geogebra
11. Alcune conclusioni sul biliardo
ellittico
Potremmo adesso domandarci due cose:
1) Cosa accade se ho una sola palla che parte da un fuoco?
• Rimbalza e passa per l’altro fuoco e poi?
• Continua a rimbalzare…e dopo alcuni rimbalzi che succede?
2) Cosa accade se la palla parte da un punto interno all’ellisse
diverso dai fuochi?
• Se la palla non passa tra i fuochi allora le traiettorie (dopo una
serie di rimbalzi) disegneranno un’ellisse più piccola ma con gli
stessi fuochi
• Se la palla passa tra i due fuochi allora le traiettorie disegneranno
una iperbole con gli stessi fuochi
12. Alcune conclusioni sul biliardo
ellittico
3) E se il biliardo fosse circolare?
In particolare se una palla è posta nel
centro e una palla viene fatta rimbalzare
sulle pareti, colpirà mai la palla nel
centro?
15. L’ellisse nel Barocco
Numerose sono le piazze, le piante delle chiese, gli elementi
decorativi a forma ellittica specie nel Barocco. Consideriamo ad
esempio Piazza San Pietro a Roma.
La sua forma richiama l’abbraccio della Chiesa verso i suoi fedeli e
al tempo stesso permette di regolarizzare uno spazio che
l’evoluzione urbanistica aveva reso estremamente irregolare
Proposta di lavoro:
-Ricerchiamo informazioni sulle dimensioni
della piazza
- Cerchiamo l’equazione dell’ellisse che
descrive la parte interna della piazza
- Verifichiamo che la parte esterna è
omotetica a quella interna (ovvero la
stessa eccentricità)
16. L’ellisse nel Barocco – San Pietro
Per ricavare le informazioni necessarie è possibile partire da questa
immagine
17. L’ellisse nel Barocco
Numerose altre strutture possono essere prese per ripetere lo
stesso esercizio
Sant’Andrea al Quirinale – Roma
Oppure lo spazio urbano proposto da Zanichelli nel nostro libro
18. Pag. 398
L’aiuola ellittica
Cerchiamo ad esempio in internet
informazioni sulla dimensione
dell’aiuola e del canale. In particolare
sugli assi maggiori e minori di
ciascuna ellisse.
19. Per ricavare le informazioni sugli assi, possiamo:
-Utilizzare Google Map, ricavare l’immagine in scala
1) ricaviamo le equazioni delle ellissi che descrivono l’aiuola
e la sponda del canale.
2) Riportiamo il grafico utilizzando Geogebra
3) Verifichiamo se le ellissi hanno la stessa eccentricità
4) Verifichiamo se esiste una omotetia centrale che
trasforma una ellisse nell’altra e nel caso determiniamo il
fattore di omotetia
20. Altre proposte di lavoro
L’ellisse è usata anche per alcuni tipi di archi.
Un esempio lo possiamo trovare nel ponte Santa Trinita a Firenze
(Ammannati XVI secolo); le arcate a sezione ellittica consentono
grandi luci senza alzare eccessivamente la chiave di volta.
Il profilo ellittico
è nell’intradosso
21. Altre proposte di lavoro
Altre strutture sulle quali possiamo ripetere la nostra analisi (come
per San Pietro e Piazza del Prato della Valle):
-Piazza Anfiteatro a Lucca
- L’anfiteatro di Pompei
