teorema Pick by Paggini

1. IL Teorema di Pick
Questo teorema venne scoperto da George Alexander Pick,
un matematico austriaco, amico di Einstein, morto nel 1943
in un campo di concentramento in Repubblica Ceca.

2. Teorema di Pick : Sia P poligono semplice ( lati non intrecciati) con
vertici nel reticolo quadrato. La sua area è data dalla formula:
Con : B = nodi sul bordo del poligono
I =nodi interni al poligono
1
-
I
2
B
)
( 

P
Area
B=8
I=5
8
1
-
5
2
8
1
-
I
2
B
)
( 




triangolo
Area

3. Schema della dimostrazione
Ogni poligono è
triangolabile
2) Pick vale per TRIANGOLI
nel reticolo
1) Pick vale per UNIONE
di poligoni reticolari
Pick vale per figure formate
dall’UNIONE di TRIANGOLI

4. 1) Pick vale per UNIONE di poligoni
reticolari
– Unione di due poligoni
(web)
Componendo insieme figure, la formula di Pick continua a valere,
Si dice quindi che la formula è ADDITIVA, cioè vale per figure
formate da accostamenti di più poligoni.
(La formula è anche SOTTRATTIVA)
Passo 1…

5. Schema della dimostrazione
Ogni poligono è
triangolabile
2) Pick vale per TRIANGOLI
nel reticolo
1) Pick vale per UNIONE
di poligoni reticolari
Pick vale per
UNIONE di TRIANGOLI
Abbiamo appena dimostrato che:

6. Ogni triangolo generico può essere inscritto in un rettangolo con lati
paralleli ai bordi :
quindi la sua area ,
può essere calcolata:
Area(T) = Area(Rettangolo) - Area(triangoli rettangoli)
Poiché Pick vale per le unioni di poligoni , cioè se sommo o sottraggo
poligoni:
ci basta dimostrare che Pick vale per
RETTANGOLI e TRIANGOLI RETTANGOLI.
2) Pick vale per TRIANGOLI nel reticolo
T
Passo 2…

7. *piccola osservazione!
“Un contadino deve alberare un viale lungo 6 metri, con alberi distanti
1 metro l’uno dall’altro….
Di quanti alberi avrà bisogno?”
“Un geometra deve progettare un porticato lungo 10 metri, con
colonne distanti 1 metro l’una dall’altra.
quante colonne deve realizzare?”
Attenzione! Nel geopiano vale la stessa regola per i NODI e le UNITA’!
Ogni segmento lungo n unità contiene n+1 nodi
6 unità , 7 nodi !

8. Pick vale per RETTANGOLI?
Supponiamo di avere un rettangolo di base b e
altezza h. (Es. nella figura b=4 unità, h=6 unità )
 Per la formula geometrica conosciuta:
area(rettangolo)= b · h
Siamo sicuri che anche Pick mi da questo
risultato? Proviamo
Nodi sul bordo = B= (b+1)+(b+1)+(h+1)+(h+1)-4 =
= 2b+2h
Nodi all’interno = I = (b-1)·( h-1) = b·h-b-h+1
Applicando la formula di Pick si ha:
Area con Pick(rettangolo) =
= b · h
1
-
I
2
B
 1
-
1)
h
-
b
-
(b·h
2
2h)
(2b




1
-
1
h
-
b
-
b·h
h
b 




9. Pick vale per TRIANGOLI RETTANGOLI?
Supponiamo di avere un TRIANGOLO
rettangolo di base b e altezza h.
(Es. nella figura b=4 unità, h=5 unità )
Per la formula geometrica conosciuta:
area(rettangolo)= (b · h)
2
Siamo sicuri che anche Pick mi da questo
risultato? Proviamo
Nodi sul bordo= B= (b+1)+(h+1)-1 = b+h+1
Nodi all’interno= I = (b-1)·( h-1)
2
Area con Pick(triang. rettangolo) =
= ……….
=
2
h
·
b
1
-
I
2
B


10.  Allora Pick vale rettangoli e per triangoli rettangoli
• Riprendendo un triangolo generale:
Area(T) = Area(Rettangolo) - Area(triangoli rettangoli)
, abbiamo visto che vale per i rettangoli, che vale per i tr,rettangoli e che vale
per somme e sottrazione di poligoni, allora:
 Allora Pick vale per un TRIANGOLO GENERALE del reticolo

11. Schema della dimostrazione
Ogni poligono è
triangolabile
2) Pick vale per TRIANGOLI
nel reticolo
1) Pick vale per UNIONE
di poligoni reticolari
Pick vale per
UNIONE di TRIANGOLI
Abbiamo appena dimostrato che:

12. Ogni poligono è triangolabile?
Abbiamo già visto con la
scheda alcuni metodi per
triangolare:
• Triangolazione (web)
Ma siamo sicuri che anche i
poligoni più difficili sono
triangolabili?
Dimostrazione per induzione.
TRIANGOLAZIONI A RETE ESEGUITE DALL' I.G.M.I. (Istituto
geografico militare) PER COPRIRE IL TERRITORIO ITALIANO.
La triangolazione è un metodo di
rilevamento del terreno introdotto dal geodeta
olandese Snellius nel 1617.

13. Schema della dimostrazione
Ogni poligono è
triangolabile
2) Pick vale per TRIANGOLI
nel reticolo
1) Pick vale per UNIONE
di poligoni reticolari
Pick vale per
UNIONE di TRIANGOLI
FINE DIMOSTRAZIONE

14. Approfondimenti:
• 1) Ogni poligono è triangolabile.
Dimostrazione per induzione.
Supponiamo che l’enunciato sia vero per un poligono con n lati.
Voglio dimostrare che è vero per n+1 lati.
dimostrazione per induzione
(web)