Cristian Velandia M.Sc Descomposición factorial

1. Cristian Velandia Mc.Sc

2. Identificar los diferentes casos de factorización para
aplicarlos en la resolución de problemas.
Adquirir habilidad en el manejo de los
diferentes casos de factorización, con el fin de
solucionar ecuaciones
Profundizar en este tema te permitirá
potencializar tu pensamiento lógico y creativo
en la resolución de problemas matemáticos.
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

3. ¿ Podrías obtener rápidamente la suma de los 100
primeros números? Es decir, ¿ Cuánto es la suma
de los números desde 1 hasta 100 ?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 …… + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Sería muy tedioso y largo sumar uno por uno los
número desde 1 a 100. Pero si buscamos otra
forma …
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

4. 1 + 2 + 3 + …………………. + 98 + 99 + 100
Pero ¿que pasaría si sumamos el primer número y el último? ;
Luego ¿ el segundo y el penúltimo?; luego el Tercero y el
antepenúltimo?
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

5. 1 + 2 + 3 …… + 50 + 51 ....... 98 + 99 + 100
Al final lo que obtendrás son 50 parejas de 101. Multiplicas 50 por 101 y obtienes….
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
50 + 51 = 101
Como te puedes dar cuenta, hay formas de desarrollar
operaciones con expresiones algebraicas de manera simplificada y
mas rápida. Para ello utilizamos la descomposición factorial.
Acompáñanos a estudiar con profundidad este interesante tema:
5050
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

6. Factor Común
Factor Común con Agrupación de Términos
Trinomio Cuadrado Perfecto TPC
Autoevaluación
Trinomio Cuadrado de la Forma ax2 + bx + c
Diferencia de Cuadrados
Diferencia de Cubos
Suma de cubos
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

7. TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Solución de Ecuaciones
Productos de Polinomios
Ley de Signos
Todos estos contenidos los hemos trabajado en los talleres 1 y 2
respectivamente; por lo tanto, si tienes dudas con respecto a alguno de estos
temas puedes acceder nuevamente para reforzarlos.
Son fundamentales en todo el curso de matemáticas virtual. No olvides que
requieren un gran compromiso y responsabilidad.
División de Polinomios
Ley de Exponentes
Mínimo Común Múltiplo
Los pre-requisitos necesarios para que puedas aplicar la
descomposición factorial de expresiones algebráicas son:

8. El equipo de futbol,
tienen varias cosas en
común. Por ejemplo
tienen el mismo color del
uniforme, tiene en común
su estilo de guayos, al
igual que el color de sus
medias y hasta su nariz.
Aunque los diferencia su
número, su color de pelo,
entre otras.
Trabajar con expresiones algebráicas puede ser similar a realizar este
tipo de comparaciones. Cada uno de los términos de una expresión
es como un jugador del equipo llamado “Polinomio”; y entre cada uno
de los integrantes en ocasiones se tiene algo en común …
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

9. Factor común es el primer caso de factorización y la característica principal
es que todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una
letra, o la combinación de los dos). Factor común es un factor que está
presente en cada término del polinomio :
mnx + mny – mnz1) Observa que en la expresión,
todos los términos tienen mn:
mn y –2) Colocas el Factor
Común mn:
(
3) Abres paréntesis y buscas el
término faltante en cada factor:
x + z )
Esta es la factorización o
descomposición factorial !!!
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

10. Observa que en la imagen hay
cosas que son comunes, pero no
para todos; Por ejemplo; hay
niñas y niños. Algun@s tienen
pantalón y dos niñas tienen
falda. Algun@s tienen el pelo
largo y otr@s corto.
Entonces podemos dividir en dos conjuntos a l@s niñ@s por alguna
característica en específicamente común. Por ejemplo :
Niñas Niños Falda Pantalón
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

11. )1( xa )1(  xb
)( bbx 
bbxaax 
)( aax 
)1( x
Al igual que en el ejemplo de la fotografía de
los niñ@s ocurre con las expresiones
algebraicas. Observa el siguiente ejercicio:
Observa que hay dos términos que tienen
a y dos términos que tienen b. Los
agrupamos en paréntesis:
Ahora, buscamos el factor común de cada
uno de los términos dentro de los
paréntesis. En el primero el factor común
es a y en el segundo es b:
Observa que ahora los dos términos tienen
un factor común (x+1).
Al finalizar dejas los términos a y
–b en otro paréntesis.
)( ba 
Descomposición Factorial
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

12. nmmnm 8463 2

Intenta solucionar la siguiente factorización
aplicando agrupación de términos.
Para ello cuentas con1 minuto 30 Segundos:
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

13. )2(3 nmm  )2(4 nm 
)84( nm 
nmmnm 8463 2

)63( 2
mnm 
)2( nm 
Ahora solucionemos juntos el ejercicio
de factorización con agrupación, con el
fin de conocer tus aciertos Y/O errores.
Observa que hay dos términos que son
múltiplos de 3 y tiene factor común m, y
dos términos que son múltiplos de 4. Los
agrupamos en paréntesis:
Ahora, buscamos el factor común
de cada uno de los términos dentro
de los paréntesis. En el primero el
factor común es 3m y en el segundo
es 4:
Observa que ahora los dos términos tienen
un factor común (m – 2n).
Al finalizar dejas los términos 3m y
+4 en otro paréntesis.
)43( m
Descomposición Factorial
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

14. Realizamos el doble producto de las
raíces obtenidas y comparamos con el
segundo término (sin fijarnos en el
signo de éste). Si efectivamente nos da,
entonces tenemos un TCP.
22
2 baba 
Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio
Cuadrado Perfecto (TCP). Y para ello debes tener en
cuenta que el TCP :
Tiene tres Términos
Ahora extraemos la raíz
cuadrada tanto del primer como
del tercer término.

a

b


ab

2
La factorización de un TCP se construye
anotando las raíces cuadradas del
primer y tercer término, y entre ellas el
signo del segundo término.
a b( )
2
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

15. Intenta solucionar la siguiente factorización aplicando
trinomio cuadrado perfecto.
Para ello tienes 2 minutos:
9x2 - 42x + 49
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

16.  El término de la mitad, es el doble de la
raíz de los términos de los extremos
Ahora solucionemos juntos el ejercicio de factorización aplicando trinomio
cuadrado perfecto, con el fin de conocer tus aciertos Y/O errores.
 Tres Términos
 Sus extremos tienen raíces
cuadradas. Para el primer término la
raíz de 9 es 3, y raíz de X2 es X.

3x

7
 

(3x)(7)  42x

2
Para Factorizar este trinomio solamente colocas
las raíces obtenidas, es decir 3x y 7, el primer
signo y entre paréntesis los elevas al cuadrado
….
3x 7( ) 2
9x2 - 42x + 49
 Para el segundo término la raíz
de 49 es 7. Observa:
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

17. A diferencia del Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP), este tipo de expresión tiene raíz
perfecta en el primer término pero NO tiene raíz perfecta en el tercer término. Para
factorizar este tipo de expresión aplica el siguiente procedimiento:
2) Se extrae la raíz cuadrada del Primer término y
la ubicamos en ambos paréntesis. En este caso la
raíz cuadrada de X2 es X.

1) Ya que en este tipo de factorización obtenemos dos
expresiones, vamos a agruparlas en paréntesis :
3) Siempre el signo del segundo término lo debes
ubicar en el primer grupo de paréntesis.
4) La aplicación de la ley de signos del segundo y tercer
término generan el signo del segundo grupo.
Positivo por Positivo
= Positivo
5) Por último, debes buscar dos números que
multiplicados sean el tercer término y a su vez esos
mismos números sumados sean el coeficiente del
segundo término.
Dos números que
multiplicados sean 8
Dos números que
sumados sean 6
4 X 2 = 8
4 + 2 = 6
6) Esos números los ubicamos en cada uno de
los paréntesis.
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

18. Intenta solucionar la siguiente factorización aplicando trinomio
cuadrado de la forma x2 + bx + c.
Para ello tienes 1 minuto 30 segundos:
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

19. Ahora solucionemos juntos el ejercicio de factorización aplicando trinomio cuadrado
perfecto, con el fin de conocer tus aciertos Y/O errores. En este caso de factorización
debes ser muy cuidadoso con el uso de los signos. Con el fin de reforzar tus
conocimientos desarrollemos otro ejemplo:
2) Extraemos la raíz cuadrada del Primer término
y la ubicamos en ambos paréntesis. En este caso la
raíz cuadrada de X2 es X.

1) Agrupamos en paréntesis :
3) Recuerda que siempre el signo del segundo término lo
debes ubicar en el primer grupo de paréntesis.
4) Observa que aquí multiplicamos menos y menos.
Negativo por Negativo=
Positivo
5) Por último, debes buscar dos números que
multiplicados sean 15 y a su ves esos mismos números
restados sean igual a 2.
Dos números que al
multiplicaros sea sean -15
Dos números que
al restarlos sea -2
(-5) X 3 = 153 – 5 = -2
6) Debes ubicar el 5 en el primer paréntesis y el 3 en el
segundo, ya que -5 + 3 = -2 y - 5 por – 3 es igual a menos
15 lo que corresponde a la expresión inicial
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

20. Este caso de factorización se reconoce cuando la expresión
tiene dos términos con raíz cuadrada perfecta y están
unidos con signo negativo.
4) Por último en uno de los paréntesis colocas
negativo y en el otro paréntesis el signo positivo.
2) Se extrae la raíz cuadrada de
los dos términos.
1) Ya que en este tipo de factorización
obtenemos dos expresiones, vamos a
agruparlas en paréntesis :
3) Se ubican estas dos raíces en
cada uno de los paréntesis.

TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

21. Intenta solucionar la siguiente factorización aplicando diferencia de cuadrados.
Para ello tienes 1 minuto 30 segundos:
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

22. Ahora solucionemos juntos el ejercicio de factorización
aplicando trinomio cuadrado perfecto, con el fin de
conocer tus aciertos Y/O errores.
4) Por último en uno de los paréntesis colocas
negativo y en el otro paréntesis el signo positivo.
2) Se extrae la raíz cuadrada de
los dos términos.
1) Ya que en este tipo de factorización
obtenemos dos expresiones, vamos a
agruparlas en paréntesis :
3) Se ubican estas dos raíces en
cada uno de los paréntesis.

TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

23. Este caso de factorización se reconoce cuando la expresión tiene
dos términos con raíz cúbica y están unidos con signo negativo.
5) Los signos del segundo paréntesis son positivos.

3

3
2) Se extrae la raíz cúbica de cada término:
Procedimiento para factorizar
4) En el segundo paréntesis debes colocar
la primera y segunda raíz al cuadrado y en
el medio la multiplicación de las dos raíces.
1) Ya que en este tipo de factorización
obtenemos dos expresiones, vamos a agruparlas
en paréntesis:
3) Se ubican estas dos raíces en el primer
paréntesis con signo negativo.
6) Desarrollamos las potenciaciones y multiplicaciones.
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

24. Intenta solucionar la siguiente factorización aplicando
diferencia de cubos.
Para ello tienes 1 minuto 30 segundos:
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

25. Este caso de factorización se reconoce cuando la expresión tiene
dos términos con raíz cúbica y están unidos con signo negativo.
5) Los signos del segundo paréntesis son positivos.

3

3
2) Se extrae la raíz cúbica de cada término:
Procedimiento para factorizar
4) En el segundo paréntesis debes colocar
la primera y segunda raíz al cuadrado y en
el medio la multiplicación de las dos raíces.
1) Ya que en este tipo de factorización
obtenemos dos expresiones, vamos a agruparlas
en paréntesis:
3) Se ubican estas dos raíces en el primer
paréntesis con signo negativo.
6) Desarrollamos las potenciaciones y multiplicaciones.
TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

26. TALLER – DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL