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2. As Ciências chamadas Exatas
(a Física, a Química, a Astronomia, etc.) baseiam-se na
"medição",
sendo esta sua característica fundamental.

3. TALES DE MILETO

4. PITÁGORAS

5. ARISTARCO DE SAMOS
ARQUIMÉDES

6. ISAAC NEWTON

7. ALBERT EINSTEIN

8. SISTEMAS DE MEDIDAS
• SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
• Para medirmos qualquer área de
um terreno ou volume de uma
caixa d’água, precisamos conhecer
o sistema métrico decimal, ou
seja, o metro, seus múltiplos e
submúltiplos.

9. UM POUCO DE HISTÓRIA
• Os povos mais antigos já sentiam
necessidade de estabelecer um
padrão para demarcar suas
terras, medir distâncias, calcular a
quantidade de água e o tamanho do
gado.
• Para tanto já possuíam, por volta de
2.000 a.C., um sistema para medir
uma grandeza.
• Os egípcios usavam o cúbito, que era
a medida igual ao comprimento que
ia do cotovelo até a ponta do dedo
médio do faraó.
• O sistema métrico decimal surgiu da
necessidade do homem de organizar
e padronizar os vários sistemas de
medidas que existiam até o século
XVIII.
• No brasil o sistema métrico foi
oficializado em 1938.

10. Medir é comparar um grandeza com outra
Metro Unidade de
comprimento
m
Metro
Quadrado
Unidade de
superfície
m2
Metro
cúbico
Unidade de volume m3

11. COMPRIMENTO
• Para medir comprimento utiliza-se como unidade o
metro representado por m.
• A unidade para medir superfícies, áreas, é o metro
quadrado, que se representa por m2.
• Para determinar o volume utiliza-se o metro cúbico,
representado por m3.

12. COMPRIMENTO, ÁREAS E VOLUMES
1 m2
Quadrado de lado
1m
Cubo de aresta
1m
1 m3
Segmento de reta
com 1m

13. METRO
• Unidade de comprimento adotada
como base pelo Sistema
Internacional de Unidades.
• Em 1971 foi calculada como a
décima milionésima parte de um
quarto do meridiano terrestre. Essa
medida é representada por uma
barra de platina, à pressão normal
e a uma temperatura de 00 C, e se
encontra no pavilhão de
Breteuil, em Sèvres na França.
• Atualmente o processo mais exato
para representar o metro baseia-se
no comprimento de onda da
radiação emitida pelo criptônio em
condições especiais.

14. Metro: Múltiplos e Submúltiplos
• Para determinar grandes medidas
de comprimento são usados os
múltiplos do metro:
decâmetro, hectômetro e
quilômetro, por exemplo:
medidas de estradas, área de
terras, etc....
• Os submúltiplos do metro servem
para determinar pequenas
medidas e são:
decímetro, centímetro e
milímetro. Servem para
medir, por exemplo: lápis, as
dimensões de uma foto, etc..

15. UNIDADES DE COMPRIMENTO
Quilômetro Km 1.000 m
Hectômetro Hm 100 m
Decâmetro Dam 10 m
Metro m 1 m
Decímetro dm 0,1 m
Centímetro cm 0,01 m
Milímetro mm 0,001m

16. CONVERSÕES DE UNIDADES
DE
COMPRIMENTO

17. CONVERSÕES DE UNIDADES
DE
COMPRIMENTO

18. CONVERSÕES DE UNIDADES
DE
COMPRIMENTO

19. Unidades de Medidas
de
Tempo
Dia, hora, minutos e segundos
Um dia é um intervalo de tempo relativamente
longo, neste período você pode dormir, se
alimentar, estudar, se divertir e muitas outras
coisas.
Muitas pessoas se divertem assistindo um bom
filme, porém se os filmes tivessem a duração de
um dia, eles não seriam uma diversão, mas sim
uma tortura.
Se dividirmos em 24 partes iguais o intervalo de
tempo relativo a um dia, cada uma destas
frações de tempo corresponderá a
exatamente uma hora, portanto concluímos
que um dia equivale a 24 horas e que 1/24 do
dia equivale a uma hora.
Uma ou duas horas é um bom tempo para se
assistir um filme, mas para se tomar um banho é
um tempo demasiadamente grande.

20. Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo
de tempo correspondente a uma hora, cada
uma destas 60 partes terá a duração exata
de um minuto, o que nos leva a concluir
que uma hora equivale a 60 minutos, assim
como1/60 da hora equivale a um minuto.
Dez ou quinze minutos é um tempo mais do
que suficiente para tomarmos um bom
banho, mas para atravessarmos a rua este
tempo é um verdadeiro convite a um
atropelamento.
Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo
de tempo relativo a um minuto, cada uma
destas partes terá a duração exata de um
segundo, com isto concluímos que um minuto
equivale a 60 segundos e que 1/60 do minuto
equivale a um segundo.

21. Das explicações citadas podemos chegar ao
seguinte resumo:

22. Tabela para Conversão entre Unidades
Medidas de Tempo

23. Semana, Quinzena, Mês, Ano, Década, Século e Milênio
Unidade Equivale a
Semana 7 dias
Quinzena 15 dias
Mês 30 dias *
Bimestre 2 meses
Trimestre 3 meses
Quadrimestre 4 meses
Semestre 6 meses
Ano 12 meses
Década 10 anos
Século 100 anos
Milênio 1000 anos

24. Instrumentos utilizados para medir comprimentos
• Fita métrica, trena, régua são alguns dos instrumentos utilizados para
calcular medidas de comprimento, área e volume.

25. Trabalho e Consumo
• Quando compramos um produto, devemos verificar se a
quantidade ou volume é realmente aquele que está
indicado na embalagem.
• O cidadão consciente é aquele que conhece seus
direitos e exige produtos de qualidade a um preço justo.

26. Razão
É a divisão de dois números
5 1
20 4
1
2
2 1
10 5
De cada 10 alunos, 2 gostam de
Matemática
Um dia de sol, para cada dois de
chuva
De cada 20 habitantes, 5 são
analfabetos
RazãoComparação
3
ou 3:5
5
4,5
ou 4,5:2
2
Antecedente
Consequente

27. Exemplo - Razão
A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. A Maria ficou
com 4 fatias da pizza e o João ficou com 5 fatias.
Qual é a razão entre o número fatias da Maria e o número de
fatias do João?
Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).

28. Exercícios – Razão
1. A distância entre duas cidades num mapa de escala
1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre
essas duas cidades?
2. Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e
acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e
acertou 24. Quem apresentou o melhor
desempenho?
3. Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de
2010, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual
é a razão do número de vitórias para o número
total de partidas disputadas?

29. Proporção
É a igualdade entre duas razões
d
c
b
a
ou ( a : b = c : d )
lê-se : “a está para b, assim como c está para d ”

30. Proporção
d
c
b
a
MeiosExtremos
( a : b = c : d )
Meios
Extremos
Propriedade Fundamental:
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos

31. Exercícios - Proporção
1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um
problema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual
receberão R$ 990,00. Como João trabalhou durante 6 horas e
Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com justiça
os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa?
2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro
investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50
mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um
lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios
de forma que a quantia recebida seja diretamente
proporcional ao valor investido, determine quanto cada um
recebeu.

32. Grandeza
É todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a
variação de um, como conseqüência o outro varia também.
Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas.
Por exemplo: quando falamos em:
velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com
grandezas que estão relacionadas entre si.
Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo
maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir
em seu percurso realizado.
Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado
tempo depende do número de operários empregados e trabalhando
diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir.
A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição
apresentada, pode ser classificada como
Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.

33. ORDEM DE GRANDEZAS FÍSICAS

34. Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis são diretamente
proporcionais quando, aumentando ou
diminuindo uma delas numa determinada
razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma
razão.
x y ou x y

35. Exemplo
Grandezas Diretamente Proporcionais
Num supermercado comum:
1 pacote de biscoito = R$ 2,00
2 pacotes de biscoito = R$ 4,00
3 pacotes de biscoito = R$ 6,00
4 pacotes de biscoito = R$ 8,00
5 pacotes de biscoito = R$ 10,00
Quantidade e gasto são grandezas
diretamente proporcionais
Quando aumento a quantidade,
aumento o gasto

36. Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais
quando, aumentando (ou diminuindo) uma
delas numa determinada razão, a outra diminui
(ou aumenta) na mesma razão.
x y ou x y

37. Exemplo
Grandezas Inversamente Proporcionais
Um automóvel para percorrer 120 km, gasta:
1 hora rodando a 120 km/h
2 horas rodando a 60 km/h
3 horas rodando a 40 km/h
4 horas rodando a 30 km/h
6 horas rodando a 20 km/h
Velocidade e tempo são grandezas
inversamente proporcionais
Quando aumento a
velocidade, diminuo o tempo

38. Exemplo
Grandezas Inversamente Proporcionais

39. REGRA DE TRÊS
Exemplo

40. Regra de 3 Simples
Grandezas Diretamente Proporcionais
• Num certo instante do dia, um poste com
12 m de altura projeta uma sombra de 3
m no chão. Qual o comprimento da
sombra de uma pessoa localizada ao lado
do poste, medindo 1,6 m de altura, neste
mesmo instante?
3,0 m 1,6 m
12 m x m

41. Continuação
Grandezas Diretamente Proporcionais
• Quanto maior a altura, maior a sombra!
3,0 m 1,6 m
12 m x m
Altura do Objeto Altura da Sombra
3,0 m 12 m
1,6 m X m

42. Regra de 3 Simples
Grandezas Inversamente Proporcionais
• Um avião voando a uma velocidade de 300
km/h faz o percurso entre duas cidades em 2
horas. Se aumentarmos a velocidade do
avião, para 400 km/h, qual será o tempo
necessário para fazer o mesmo percurso?
A B
Velocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas
Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas

43. Continuação
• Grandezas Inversamente Proporcionais
Quanto maior a velocidade, menor será o tempo!
A B
Velocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas
Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas
Velocidade do Avião Tempo da Viagem
300 km/h 2 horas
400 km/h X horas
Velocidade do Avião Tempo da Viagem
300 km/h x horas
400 km/h 2 horas

44. Exercícios
Regra de 3 Simples
1. Aplicando R$ 500,00 na poupança o valor dos juros em um mês
seria de R$ 2,50. Caso seja aplicado R$ 2 100,00 no mesmo mês,
qual seria o valor dos juros?
2. Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 gramas cada
um. Caso queira produzir pães de 10 gramas, quantos iremos
obter?
3. Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de
– açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com
15 000 kg de cana.
4. Uma equipe de 5 professores gastaram 12 dias para corrigir as
provas de um vestibular. Considerando a mesma proporção,
quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas?

45. Regra de 3 Composta
Grandezas Diretamente Proporcionais
• Uma família de 8 pessoas consome 5 kg de carne em
2 dias. Quantos kg de carne essa família irá consumir
em 4 dias se dois membros da família estiverem
ausentes?
Quantidade Carne Pessoas na Família Dias
5 Kg 8 pessoas 2 dias
X Kg 6 pessoas 4 dias
Menos pessoas, menos
consumo de carne
Menos dias, menos
consumo de carne
Grandezas Diretamente Proporcionais

46. Continuação
Quantidade Carne Pessoas na Família Dias
5 Kg 8 pessoas 2 dias
X Kg 6 pessoas 4 dias

47. Regra de 3 Composta
Grandezas Inversamente Proporcionais
• Quinze pessoas trabalhando 8 horas por dia durante
5 dias conseguem limpar um certo terreno. Quantas
horas por dia 10 pessoas precisariam trabalhar para
limpar o mesmo terreno em 6 dias?
Horas por Dia Pessoas Dias
8 h / dia 15 pessoas 5 dias
X h / dia 10 pessoas 6 dias
Menos pessoas, mais
horas de trabalho por dia
Menos dias, mais horas
de trabalho por dia
Grandezas Inversamente Proporcionais

48. Continuação
Horas por Dia Pessoas Dias
8 h / dia 15 pessoas 5 dias
X h / dia 10 pessoas 6 dias
Horas por Dia Pessoas Dias
8 h / dia 10 pessoas 6 dias
X h / dia 15 pessoas 5 dias

49. Grandeza Escalar
Apenas o número e sua respectiva unidade caracteriza a grandeza
física.
Ex.:
comprimento, área, volume, temperatura, massa, tempo, velocidade
escalar, aceleração escalar.

50. GRANDEZA ESCALAR VETORIAL

51. Grandeza Vetorial
• Algumas vezes
necessitamos mais que
um número e uma
unidade para representar
uma grandeza física.
• Sendo assim, surgiu uma
representação matemática
que expressa outras
característica de uma
grandeza: O VETOR
• Ex.:
velocidade, aceleração, for
ça, impulso, quantidade
de movimento...

52. O que é um Vetor?
• É um ente matemático representado por um
segmento de reta orientado. E tem algumas
características básicas:
• Módulo (valor da grandeza)
• Direção
• Sentido (onde a “flecha” está apontando.
• Uma direção tem dois sentidos!)
Módulo
Sentido
Direção da
Reta Suporte

53. Representação de uma
Grandeza Vetorial
• A letra que representa a grandeza, e
uma a “flechinha” sobre a letra.
V
F
d

54. Comparação entre
vetores
a
b
r
s
• Vetores Iguais
O vetor a é igual ao vetor b.
Mesmo Módulo
Mesma Direção
Mesmo Sentido

55. Comparação entre
Vetores• Vetores Opostos
a
b
r
s
c
t
Sobre os vetores b e c podemos afirmar:
Tem o mesmo módulo, mesma direção mas
sentidos opostos.
a = b = - c
O vetor c é oposto aos vetores a e b.

56. Soma Vetorial
• Através da soma
vetorial encontramos o
vetor resultante.
• O vetor resultante seria
como se todos os
vetores envolvidos na
soma fossem
substituídos por um, e
este tivesse o mesmo
efeito.
• Existem duas regras
para fazer a soma
vetores.

57. Regra do Polígono
• É utilizada na adição de qualquer quantidade de
vetores.
• Exemplo:
a
b
c
Determinar a soma a + b + c
Para isto devemos posicionar cada vetor junto ao outro de
forma que a extremidade de um vetor coloca-se junto à
origem do outro.
E o vetor soma, ou vetor resultante, será o vetor que une a
origem do primeiro do primeiro com a extremidade do
último, formando assim um polígono.

58. Fazendo a Soma através
da Regra do Polígono
a
b c
S

59. Regra do Paralelogramo
• É utilizada para realizar a adição de apenas dois vetores.
• Exemplo:
a
b
Determinar a soma a + b.
A origem dos dois vetores deve estar no mesmo ponto.
Traçar uma reta paralela a cada um deles, passando pela
extremidade do outro.
E o vetor soma, ou vetor resultante, será o vetor que une a
origem dos dois vetores com o cruzamento das duas retas
paralelas a cada vetor, formando assim um paralelogramo.

60. Regra do Paralelogramo
Ra
b
α
E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante
será dado por:
R = a + b + 2.a.b.cos α2 2 2
Reta Paralela ao vetor b e que passa pela
extremidade do vetor a.
Reta Paralela ao vetor a e que
passa pela extremidade do vetor
b.

61. Regra do Paralelogramo:
Casos Particulares
1º ) α = 0º
S = a + b
2º ) α = 180º
S = a - b
3º ) α = 90º
S = a + b22 2

62. Subtração de vetores
• Considere os dois vetores a seguir:
a
b
Realizar a subtração, a – b, é como somar a mais um
vetor de mesma intensidade, mesma direção, mas de
sentido oposto ao do vetor b originalmente
representado.
Na realidade, estaremos fazendo a adição do vetor a
com um vetor oposto ao vetor b ( a + (-b) ).

63. Subtração de Vetores
a
- b
R

64. Decomposição de vetores