2. Problema
●
Dois pontos quaisquer em um espaço 2D
Copyright Vitor F. Pamplona 2
3. Problema
●
Calcular a distância entre eles
4cm
Copyright Vitor F. Pamplona 3
4. Problema
●
Estes dois pontos possuem incertezas
4cm
Copyright Vitor F. Pamplona 4
5. Problema
●
Propagar as incertezas para distância?
4 +- 0.5 cm
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6. Conceitos: Acurácia e Precisão
●
Acurácia
●
Proximidade do valor verdadeiro
●
Precisão
●
Tamanho da dispersão
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7. Conceitos: Erro e Incerteza
●
Erro
●
É conhecido, logo o valor deve ser corrigido
conhecido
●
Incerteza
●
Não é conhecido, logo não é possível corrigí-lo.
conhecido
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9. Conceitos: Valores médios
●
Valor verdadeiro
yv
●
Valor médio verdadeiro
n
1
y mv==lim
n ∞
∑ yi
n i=1
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10. Conceitos: Valores médios
●
Valor verdadeiro
yv
●
Valor médio verdadeiro
n
1
y mv==lim
n ∞
∑ yi
n i=1
●
Valor médio
n
1
y= ∑ y i
n i=1
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11. Tipos de Erros
●
Erros sistemáticos
●
Sempre o mesmo erro em todas as medidas
●
Podem ser reduzidos ou corrigidos
y yv
●
Instrumental / Calibração
●
Ambiental
●
Observacional
●
Teórico
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12. Tipos de Erros
●
Erros sistemáticos residuais
●
Sempre o mesmo erro em todas as medidas
●
Não podem ser corrigidos
?
y yv
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13. Tipos de Erros
●
Erros estatísticos
●
Erro varia em torno do valor médio
●
Se repete entre conjuntos de leituras
yv y
●
Incerteza tipo A: estimadas estatisticamente
A
●
Incerteza tipo B: estimadas de outras formas
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14. Incerteza Padrão
●
Desvio padrão em relação ao valor
verdadeiro em n medições repetidas k vezes
Copyright Vitor F. Pamplona 14
15. Incerteza Padrão
●
Desvio padrão em relação ao valor
verdadeiro em n medições repetidas k vezes
k
21 2
= ∑ y j− y v
p
k j=1
Valor verdadeiro
Valor médio do conj
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16. Incerteza Padrão
●
Desvio padrão em relação ao valor
verdadeiro em n medições repetidas k vezes
k
21 2
= ∑ y j− y v
p
k j=1
Valor verdadeiro
Valor médio do conj
2 2 2
=
p m r
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
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17. Incerteza Padrão
●
Desvio padrão em relação ao valor
verdadeiro em n medições repetidas k vezes
k
21 2
= ∑ y j− y v
p
k j=1
Valor verdadeiro
Valor médio do conj
2 2 2
=
p m r
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
k
2 1 2
= ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Valor médio do verdadeiro
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18. Incerteza Padrão
k
2 1 2
= ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
Copyright Vitor F. Pamplona 18
19. Incerteza Padrão
k
2 1 2
= ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
k k
2 1 2 1 2
= ∑ y j − j ∑ j − y v 2 ...
p
k j=1 k j=1
Copyright Vitor F. Pamplona 19
20. Incerteza Padrão
k
2 1 2
= ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
k k
2 1 2 1 2
= ∑ y j − j ∑ j − y v 2 ...
p
k j=1 k j=1
2 2 2
=
p m r
Copyright Vitor F. Pamplona 20
21. Incerteza Padrão
k
2 1 2
= ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
k k
21 2 1 2
= ∑ y j − j ∑ j − y v 2 ...
p
k j=1 k j=1
2 2 2
=
p m r
k k
2 1 2 2 1 2
= ∑ y j − j
m = ∑ j − y v
r
k j=1 k j=1
Copyright Vitor F. Pamplona 21
22. Incerteza Padrão
k
2 1 2
= ∑ [ y j − j − j − y v ]
p
k j=1
Incerteza sistemática residual
Incerteza estatística
k k
21 2 1 2
= ∑ y j − j ∑ j − y v 2 ...
p
k j=1 k j=1
2 2 2
=
p m r
k k
2 1 2 2 1 2
= ∑ y j − j
m = ∑ j − y v
r
k j=1 k j=1
Copyright Vitor F. Pamplona 22
23. Incerteza Padrão
●
Desvio padrão em em n medições
repetidas k vezes
●
Desvio das médias
p≈
n
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24. Incerteza Relativa
●
Um percentual da medida y
p
=
y
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25. Incerteza Relativa
●
Um percentual da medida y
p
=
y
4 +- 10%
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27. Propagação de Incerteza
●
Dado uma função
w=w x , y , z ,...
w=dist x1 , y1 , x2 , y2
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28. Propagação de Incerteza
●
Dado uma função
w=w x , y , z ,...
●
E que x , y , z , ... são grandezas experimentais
x x y y z z
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29. Propagação de Incerteza
●
Dado uma função
w=w x , y , z ,...
●
E que x , y , z , ... são grandezas experimentais
x x y y z z
●
Como calcular w ?
Copyright Vitor F. Pamplona 29
30. Propagação de Incerteza
2 2 2
2 ∂w 2 ∂w 2 ∂w 2
=
w x y z ...
∂x ∂y ∂z
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31. Dedução da Propagação
●
Dados as grandezas
x1 y 1 z1 ...
x2 y2 z2 ...
... ... ... ...
xn yn zn ...
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32. Dedução da Propagação
●
Dados as grandezas
x1 y 1 z1 ...
x2 y2 z2 ...
... ... ... ...
xn yn zn ...
●
E suas respectivas incertezas
n n n
2 1 2 2 1 2 1
x = ∑ x i − x y = ∑ y i − y 2
= ∑ z i − z
2
n i=1 n i=1 z
n i=1
Valor médio do verdadeiro
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33. Dedução da Propagação
●
Pode-se encontrar w i
w 1=w x 1, y 1, z 1, ...
w 2=w x 2, y 2, z 2, ...
... ... ,... ,... ,...
w n=w x n , y n , z n , ...
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34. Dedução da Propagação
●
Pode-se encontrar w i
w 1=w x 1, y 1, z 1, ...
w 2=w x 2, y 2, z 2, ...
... ... ,... ,... ,...
w n=w x n , y n , z n , ...
●
E o valor médio verdadeiro para w
n
1
w mv =lim ∑ w i
n ∞ n i=1
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35. Dedução da Propagação
●
Cada w i pode ser expandido em potência de
desvios
w i ≈w x , y , z , ...
∂w ∂w ∂w
x i − x y i − y z i − z ...
∂x ∂y ∂z
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36. Dedução da Propagação
●
Cada w i pode ser expandido em potência de
desvios
w i ≈w x , y , z , ...
∂w ∂w ∂w
x i − x y i − y z i − z ...
∂x ∂y ∂z
●
As derivadas de segunda ordem são
desprezíveis se não houver covariância
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37. Dedução da Propagação
●
A soma de w i , então
n n
∂w
∑ w i ≈nw x , y ,z ,... ∂ x ∑ xi −x
i=0 i=0
n n
∂w ∂w
∑ y i − y ∑ z i − z ...
∂ y i=0 ∂ z i=0
Copyright Vitor F. Pamplona 37
38. Dedução da Propagação
●
A soma de w i , então
n n
∂w
∑ w i ≈nw x , y ,z ,... ∂ x ∑ xi −x
i=0 i=0
n n
∂w ∂w
∑ y i − y ∑ z i − z ...
∂ y i=0 ∂ z i=0
●
No infinito os três últimos se anulam
w mv ≈w x , y , z ,...
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39. Dedução da Propagação
●
Logo o desvio padrão de w no infinito é
n
2 1 2
=lim ∑ w i −w mv
w
n ∞ n i=1
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40. Dedução da Propagação
●
Logo o desvio padrão de w no infinito é
n
2 1 2
=lim ∑ w i −w mv
w
n ∞ n i=1
●
Utilizando a série de potências dos desvios
2 2
2 ∂w 2 ∂w 2
w i −w mv ≈ x i − x y i − y
∂x ∂y
2
∂w
z i − z 2 ...
∂z
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41. Dedução da Propagação
●
Aplicando o somatório
n 2 n n
∂w 2 1 2
∑ w i −w mv = ∂ x ∑ x i − x x = n ∑ xi −x
2 2
i=1
i=0 i=0
2 n
∂w 2
∑ y i − y
∂ y i=0
2 n
∂w 2
∑ z i − z ...
∂ z i=0
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42. Dedução da Propagação
●
Substituindo o somatório pela incerteza
2
2 ∂w 2
=
w x
∂x
2
∂w
2y
∂y
∂w 2 2
z ...
∂z
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43. Propagação de Incerteza
2 2 2
2 ∂w 2 ∂w 2 ∂w 2
=
w x y z ...
∂x ∂y ∂z
Copyright Vitor F. Pamplona 43
44. Covariância
●
Quanto duas variáveis mudam juntas
●
Estimada através de
n
1
2
≈
xy ∑ x i −x y i − y
n−1 i=1
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