Presentación realizada para la materia Estadistica I, UAFAM

1. • Jocelyn Peralta
• Víctor Manuel Pichardo
• Carolina Marte
• Yermy Capellán
• Mario Alberto Durán
• Anny Lorena
Presentado por:
JUAN CARLOS ZAPATA
(2013-0195)

2. MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
Media Aritmética, Mediana y Moda

3. IMPORTANCIA DE LAS MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de Tendencia Central son
empleadas para resumir a los conjuntos de
datos que serán sometidos a un estudio
estadístico, se les llama medidas de tendencia
central porque general mente la acumulación
más alta de datos se encuentra en los valores
intermedios.

4. OBJETIVO DE LAS MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central tienen como
objetivo el sintetizar los datos en un valor
representativo.

5. 1. Moda - Es el valor con una mayor frecuencia en una
distribución de datos.
2. Mediana – Representa el valor de la variable que deja por
debajo de sí a la mitad de los datos en un conjunto ordenados
de menor a mayor.
3. Media – Promedio o valor obtenido por la suma de todos los
datos (valores) dividida entre el número de sumandos.
Medidas de tendencia
central mas empleadas

6. • Sirven para mostrar en qué lugar se ubica la persona
promedio o típica del grupo.
• Permiten para comparar o interpretar cualquier puntaje en
relación con el puntaje central o típico.
• Ayudan comparar el puntaje obtenido por una misma persona
en dos diferentes ocasiones.
• Facilitan la comparación de los resultados medios obtenidos
por dos o más grupos.
Funciones de la medidas de
tendencia central

7. Procedimientos para obtener
medidas estadisticas
Si los datos se encuentran ordenados en una
tabla estadística diremos que se encuentran
“agrupados” y si los datos no están en una
tabla hablaremos de datos “no agrupados”..

8. NOTACIÓN SUMATORIA

9. NOTACION SUMATORIA
La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma)
es una operación matemática que se emplea para calcular la
suma de muchos o infinitos sumandos.
1
n
i
i
X


X(i) representa el operador de la suma.
i es el subíndice de la suma.
i1 es el límite inferior de la suma.
n es el límite superior de la suma.

10. EJEMPLO 1


5
1i
i

11. PROPIEDADES NOTACION
SUMATORIA
La sumatoria de una constante es igual al producto de la constante
por el número de veces que se presenta.
NKk
n
i


1

12. EJEMPLO 2
Sean n=4 y k=8


4
1
8
i


10
1
13
k

13. PROPIEDADES NOTACION
SUMATORIA
La sumatoria del producto de una constante es igual al valor de la
constante por la sumatoria de la variable.
 

n
i
n
i
xKxK
1
1
1
1

14. EJEMPLO 3
5 5
2 2
1 1
3( 1) 3 ( 1) 3(2 5 10 17 26) 3·60 180
k k
k k
 
          


5
1
2
)1(3
i
k

15. PROPIEDADES NOTACION
SUMATORIA
La sumatoria de la suma (o diferencia) de dos variable es igual a la
suma (o diferencia) de las sumatorias individuales de las dos
variables
 

n
i
n
i
n
i
yxyx
1
1
1
1
1
11 )(

16. EJEMPLO 4


3
1
2
)(
k
kk

17. Moda y mediana NM4 Educación Matemática
MEDIA ARITMÉTICA

18. El Problema
• El profesor de Estadística llevó a clase un bote de
cristal lleno de canicas, dijo que había entre 20 y 30,
y preguntó cómo podíamos averiguar cuántas
canicas había sin sacarlos del bote.
A los alumnos se nos ocurrió que
entre todos averiguásemos cuántas
canicas podía haber. Así que
preguntamos uno por uno a todos
los compañeros para que dijesen
cuántos boliches estimaban que
había en el bote.

19. LA MUESTRA
• Todas las respuestas las recogimos en una lista
numérica, obteniendo con ello una muestra
estadística:
21,25,24,29,26,24,23,25,28,29,
26,22,25,21,22,24,24,26,23,21
Esta lista corresponde a las 20 respuestas
obtenidas de todos los compañeros de clase

20. Una medida de centralización
• Razonamos que el número exacto de canicas
debería de ser un valor central en la muestra,
algunos tendrían que haberse pasado y otros
deberían de haberse quedado cortos.

21. Una medida de centralización
El alumno X propuso que ese “valor central” se
podía obtener sumando todas las respuestas y
dividiendo por el número de respuestas. A esta
medida obtenida de esa forma se le llama
MEDIA.
Media=
Media=24.4
n
xxxxx
x n2 

...431

22. Media Aritmética
para DATOS NO AGRUPADOS
Ejemplo: Los pesos (en libras) de cinco niños recien
nacidos en un centro de maternidad fueron los siguientes:
x1= 6,8,7,10,14
n
x
x  1

23. Media Aritmética
para DATOS AGRUPADOS
n
fx
x  11

24. Ejemplo Práctico
para DATOS NO AGRUPADOS
Calcule la media aritmética de la estatura (pulgada) de los
sesenta estudiantes universitarios:

25. CARACTERISTICAS
de la MEDIA ARITMETICA
• Solo puede ser calculada por valores
cuantitativo.
• Se Toman en cuenta todos los valores de la
Variable
• Es altamente afectada por valores
extremos.
• No puede ser calculada en distribuciones
de frecuencia de clases abierta.

26. Moda y mediana NM4 Educación Matemática
MEDIA
ARITMÉTICA
PONDERADA

27. Media ponderada
• La media ponderada es también llamada media
pesada.
• Se usa cuando las observaciones no tienen el mismo
peso o la misma importancia sobre el total.



i
ii
w
w
xw
x

28. LA MEDIA PONDERADA
EJERCICIO DE APLICACIÓN 1
En un instituto superior trabajan 10 docentes nombrados y 40 docentes
contratados. El sueldo promedio por hora de los docentes nombrados es
de S/.30 y el de los contratados es de S/.25. ¿Cuál es el sueldo promedio
por hora de todos los docentes?
EJEMPLO 1
1. Identificando las frecuencias y los pesos (por su importancia)
Docentes Frecuencias 𝒇𝒊
Peso
𝑾𝒊
Nombrados 10 30
Contratados 40 25

29. Moda y mediana NM4 Educación Matemática
MEDIANA

30. LA MEDIANA
Es el valor que ocupa el lugar central de todos
los datos de la muestra cuando éstos están
ordenados de menor a mayor. La mediana se
representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables
cuantitativas.

31. MEDIANA PARA DATOS
NO AGRUPADOS
Para datos no agrupados
Se deben ordenar los datos de forma creciente, para muestras con un
número impar de observaciones, la mediana es el dato que queda en el
centro de dicha ordenación y para muestras con número par de
observaciones, la mediana es el promedio de los dos datos centrales de
la muestra.
a) Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la
puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 𝑀𝑒 = 𝑋 𝑛+1
2
b) Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la
media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12 𝑀𝑒 =
𝑋 𝑛
2
+𝑋 𝑛
2
+1
2

32. Para datos agrupados
Para la ubicación de la clase donde se ubica la mediana,
utilizaremos el siguiente criterio.
𝐹𝑖 ≥
𝑛
2
Este criterio bastará para determinar la mediana para datos
puntuales agrupados. Y la siguiente fórmula se utiliza para
hallar la mediana para datos agrupados en intervalos.
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 + 𝑐𝑖
𝑛
2−𝐹 𝑖−1
𝑓 𝑖
MEDIANA PARA DATOS
AGRUPADOS

33. Moda y mediana NM4 Educación Matemática
MODA para
DATOS AGRUPADOS

34. Moda y mediana NM4 Educación Matemática
• Cuando hablamos de moda, por
ejemplo en vestuario, se relaciona con
aquella prenda que se usa
masivamente.
• Entonces, se podría inferir que la moda
tiene que ver con la frecuencia con que
se usa cierta prenda de vestir.
Moda

35. Moda y mediana NM4 Educación Matemática
• En estadística ocurre algo semejante.
• La moda es aquel dato que más se
repite.
• Es decir, aquel dato que tiene mayor
frecuencia.
Moda

36. La Moda

37. La Moda

38. Moda y mediana NM4 Educación Matemática
MODA para datos
NO AGRUPADOS

39. Moda y mediana NM4 Educación Matemática
• Es el dato que mas veces se repite es
decir el que tiene mayor frecuencia.
Moda Para
Datos no agrupados
• EJEMPLO:
Hallar la Moda de los siguientes
valores: 1,3,5,2,5,1,4,5
1= 2 veces
2= 1 vez
3= 1 vez
4= 1 vez
5= 3 veces
Resultado:
5 es la moda

40. Moda y mediana NM4 Educación Matemática
Los siguientes datos provienen del resultado de
entrevistar a 30 personas sobre la marca de gaseosa
que más consume a la semana:
EJEMPLO #2
Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3
Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1
Marca 2 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 1
Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2
Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 3
La marca 1 se repite 15 veces
La marca 2 se repite 6 veces
La marca 3 se repite 9 veces
Resultado:
Marca1 es la moda

41. MEDIA GEOMÉTRICA

42. MEDIA GEOMÉTRICA
En matemáticas y estadística, la media geométrica de
una cantidad arbitraria de números (por
decir n números) es la raíz n-ésima del producto de
todos los números, es recomendada para datos de
progresión geométrica, para promediar razones,
interés compuesto y números índices.

43. Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es
Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería
Propiedades
•El logaritmo de la media geométrica es igual a la media
aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.
•La media geométrica de un conjunto de números positivos es
siempre menor o igual que la media aritmética:
•La igualdad sólo se alcanza si

44. MEDIA ARMÓNICA

45. LA MEDIA ARMÓNICA
• La media armónica (designada usualmente mediante H) de
una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso,
de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es
recomendada para promediar velocidades.
• Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será
igual a:

46. • La media armónica resulta poco influida por la
existencia de determinados valores mucho
más grandes que el conjunto de los otros,
siendo en cambio sensible a valores mucho
más pequeños que el conjunto.
• La media armónica no está definida en el caso
de que exista algún valor nulo.

47. PROPIEDADES
• La inversa de la media armónica es la media aritmética
de los inversos de los valores de la variable.
• Siempre se puede pasar de una media armónica a una
media aritmética transformando adecuadamente los
datos.
• La media armónica siempre es menor o igual que la
media aritmética, ya que para cualquier número real
positivo