[ Veja mais em https://www.monolitonimbus.com.br/fluidos-geofisicos-e-meteorologia/] Mecânica de Fluidos aplicada na Atmosfera

1. Fluidos GeofísicosFluidos Geofísicos
e Meteorologiae Meteorologia
Vinícius Roggério da RochaVinícius Roggério da Rocha
Instituto de Física - USPInstituto de Física - USP
5 de Julho de 20075 de Julho de 2007

3. Os movimentos atmosféricos se dão
baseadas em determinadas leis:
• Lei da conservação da massa
• 1ª Lei da Termodinâmica
• 2ª Lei de movimento de Newton
0=∇+ v
dt
d 
ρ
ρ
dt
dp
cdt
dQ
cdt
dT
pp
α
+=
1
ri FGpF
dt
vd 
++∇−=∑=
ρ
1

4. Forças que provocam e modificam os
movimentos da circulação atmosférica

5. • Força de gradiente de pressão
• Forças dissipativas (atrito ou viscosidade)
• Força da gravidade
• Forças não-inerciais
Forças que provocam e modificam os
movimentos da circulação atmosférica

6. Força de viscosidade
• Definição
• Fluido newtoniano e Lei de viscosidade:
• Coeficiente de viscosidade para gases
• Valor típico do coeficiente de viscosidade
do ar é de 1,8.10-5
Kg/ms
• Fluido ideal
dy
du
yx µτ =

7. Escalas
• Análise de escala
• Exemplos de microescala
• Camada limite
– Definição
– Camada Limite Planetária (CLP)
– Turbulência
– Aproximação
• Parâmetro de Coriolis

9. Escoamentos geofísicos
• Sistema de referência em rotação:
aceleração da partícula é derivada para um
sistema de referências inercial, mas deve-se
levar em conta a rotação da Terra
(referencial não-inercial)
• Turbulência: presente em todas as escalas
de movimento nos fluidos geofísicos

10. Aplicações
• Expressão da taxa de mudança
• Equação fundamental do movimento
• Geostrofia
• Vento gradiente, geostrófico e ciclostrófico
• Vorticidade e circulação
• Taxa de mudança da vorticidade absoluta

11. Taxa de mudança
( )Fv
t
F
Dt
DF
∇⋅+
∂
∂
=

 
oouconvecçã
rticaladvecçãove
Frizontaladvecçãoho
z
F
w
y
F
v
x
F
u
t
F
Dt
DF
H
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇=

12. Equação fundamental do movimento
( )kwjviu
r
rg
p
Dt
vD ˆˆˆ1 222
∇+∇+∇+−∇−=

ρ
µ
ρ
( )rgg e

×Ω×Ω+=
Onde:
Parâmetro de Coriolis
rv

×Ω2

13. Geostrofia
• Coordenadas cartesianas
tangenciais
• Termo de Coriolis
φsenf Ω= 2
ksenjfuiwgp
Dt
vD ˆ2ˆˆcos2
1
φφ
ρ
Ω+−Ω+−∇−=


14. Geostrofia
• Aproximação geostrófica: balanço entre a
força de Coriolis e a força do gradiente de
pressão para o movimento horizontal
x
p
f
vv
x
p
fv g
∂
∂
=≡=>
∂
∂
=
ρρ
11
y
p
f
uu
y
p
fu g
∂
∂
−=≡=>
∂
∂
−=
ρρ
11

15. Geostrofia
• Aproximação geostrófica com viscosidade
• Camada de Ekman
2
2
1
z
v
y
p
fu
∂
∂
+
∂
∂
= µ
ρ
2
2
1
z
u
x
p
fv
∂
∂
−
∂
∂
= µ
ρ

16. Vento gradiente, geostrófico e ciclostrófico
• Coordenadas naturais
( ) rHHH
HH
fvkfvv
t
v
Dt
vD 

+×−−=∇⋅+
∂
∂
= ˆ1
ρ
Define-se os versores, onde:
é orientado na direção do escoamento em cada ponto
(paralelo à velocidade horizontal em cada ponto);
é normal a , perpendicular ao escoamento e é definido como
positivo à esquerda do escoamento;
é dirigido verticalmente para cima;
R é o raio de curvatura da trajetória da parcela de ar, sendo
R>0 um giro anti-horário e R<0 horário.
n

t

k


17. Vento gradiente, geostrófico e ciclostrófico
  
atrajetórida
curvaturaàdevido
centrípetaaceleração
2
ardeparcela
davelocidade
damudança
detaxa
movimento
osegundo
aceleração
v
R
n
Dt
Dv
t
Dt
vD



+=
Perpendicular ao movimento ( ):
t

rtf
S
p
Dt
Dv
+
∂
∂
−=
ρ
1
n

rnffv
x
p
R
v
+−
∂
∂
−=
ρ
12
Ao longo do movimento ( ):

18. Vento Gradiente
• Escoamento coincide com as isóbaras e
despreza-se a fricção
0
142
>
∂
∂
−
n
p
R
f
ρ
rtf
S
p
Dt
Dv
+
∂
∂
−=
ρ
1
rnffv
x
p
R
v
+−
∂
∂
−=
ρ
12

19. Vento Gradiente
• Trajetórias ciclônicas • Trajetórias anti-ciclônicas

20. Vento Gradiente
• Estimativa da pressão central de superfície
em ciclones
∫ ∫ 





+−=
∂
∂
p
np r
dr
R
v
fv
n
p
)(
0
ρ
dr
R
v
fvrprp
r
∫ 





+−==
0
)()0( ρ

21. Vento geostrófico
• Ocorre quando R tende a infinito
• Importante para ciclones pequenos e
intensos
• Velocidades do vento são paralelas às
isóbaras em torno dos centros de pressão

22. Vento ciclostrófico
• Ocorre quando v²/R >> fv
n
p
R
v
∂
∂
−=
ρ
12
Exemplo numérico
Para um tornado, temos v ≈ 75m/s e R ≈ 10³m, e temos:
v²/R ≈ (10³ a 104
)/10³ = 1 a 10 m/s²
fv ≈ 10-4
.10² = 10-2
m/s²
Então, temos que v²/R >> fv

23. Tornado – Oklahoma, 1999 Dust Devil

24. Vorticidade e circulação
• Vorticidade
• Circulação
• Vorticidade em um ponto é igual à
circulação por unidade de área
vw

×∇=
( )∫ ∫∫
=
×∇==Γ
C s w
Advsdv




dA
dΓ
=ξ

25. • Trajetórias ciclônicas • Trajetórias anti-ciclônicas
Convenção de sinais:
Anti-horário => >0 e >0
Horário => <0 e <0w

Γ
w

Γ
( ) y
u
x
v
vk
∂
∂
−
∂
∂
=×∇⋅=

ˆξEscala sinótica

26. Vorticidade absoluta
• Vorticidade no referencial não-inercial
, onde
Assim, a componente vertical da vorticidade
absoluta é definida por:
  

sistemadorotação
pelafluidoao
datransferivelocidade
rvv
relativa
velocidade
r
absoluta
velocidade
a ×Ω+=
Ω+=

2wwa ksenj ˆˆcos φφ Ω+Ω=Ω

fwk aa +==⋅ ξξ


27. Taxa de mudança da vorticidade absoluta
• Estimar velocidade vertical
– Formação de nuvens
– Perfis verticais de convergência/divergência
– Dispersão de poluentes
• Estimar variação de pressão
• Estudar crescimento e decaimento de
ciclones de latitude média

28. Teorema de Helmholtz
• Alguns modelos numéricos atmosféricos (inclusive de
previsão de tempo) resolvem as equações completas da
vorticidade e divergência ao invés da variação de
velocidades horizontais, pois qualquer escoamento pode
ser decomposto como a soma de dois vetores velocidade:
a) Vetor velocidade não-divergente, mas rotacional;
b) Vetor velocidade divergente, mas irrotacional.
Essas afirmações constituem o Teorema de Helmholtz, e
pode ser expresso por:
 
alirrotacion
divergente
parte
divergentenão
rotacional
parte
H vvv φψ

+=
−

29. Equação da vorticidade
( ) ( ) ( ) ( )

  


  
  

d
r
cb
a
H fkp
k
z
u
y
w
z
v
x
w
vff
Dt
D
×∇⋅+∇×∇+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−∇+−=+ ρ
ρ
ξξ 2
a) Termo da divergência
b) Termo de inclinação
c) Termo solenóide
d) Termo de fricção

30. Termo da divergência
• Representa a fonte/sumidouro, pode
criar/destruir a vorticidade através da
convergência/ divergência de massa
• Convergência
• Divergência
( )0<∇ vH

( )0>∇ vH


31. Termo de inclinação
• Responsável por inclinar os vórtices
• Necessário que exista um cisalhamento
• Formação de tornados e frontogênese

32. Exemplo numérico
Supondo um “outdraft” à frente de uma tempestade de 20m/s a cada
100m e que w muda de 1m/s para –1m/s
m
sm
z
u
100
/20
=
∂
∂ ( )
m
sm
z
w
100
/11−−
=
∂
∂
( ) 23
10.4 −−
−=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−∝+ s
z
u
y
w
z
v
x
w
f
Dt
D
ξ
A vorticidade no centro do tornado pode ser
estimada como:
1
1
100
/100 −
−=
−
=≈ s
m
sm
R
v
ξ
Então se um tornado com a inclinação
calculada for mantido por 5 minutos: 4.10-
3
.5.60=1,2s-1
, que é da ordem de grandeza
normalmente observada em um tornado.

33. Termo solenóide
• Não é muito importante no comportamento
de sistemas de grande escala

34. Termo de fricção
• Escoamento desascelera mais rapidamente
próximo à fronteira, gerando vorticidade.
Este mecanismo é responsável pela geração
de vorticidade nas asas de aviões e ao longo
de construções muito altas

35. Conclusão
• Atmosfera tratada como fluido geofísico
• Escalas variadas com diferentes
aproximações
• Modelagem da atmosfera

36. CPTEC
Modelo Regional ETA
(7 dias, 20 x 20 km)

37. Referências
• [1] HOLTON, J.R. - An Introduction to Dynamic Meteorology. 2003,
391p.
• [2] WALLACE, J.M. e HOBBS, P.V. - Atmospheric Science: An
Introductory Survey. Academic Press, New York, 2006, 467p.
• [3] DUTTON, J.A. - The Ceaseless Wind: An Introduction to the
Theory of Atmospheric Motion. 1976, 579p.
• [4] FOX, R.W. e MCDONALD, A.T. – Introdução à Mecânica dos
Fluidos. 1992, 662p.
• [5] MARCHETTI, D.H.U. – Notas de Mecânica dos Fluidos
(1°sem/2007 – IF/USP)
• [6] ROCHA, R.P. – Notas de aula – Meteorologia Dinâmica I
(2°sem/2006 – IAG/USP)