Linguagens e Gramáticas

Curso: Ciência da Computação
Turma: 4º/5º Série

Aspectos Teóricos da Computação

Aula 3

Linguagens e Gramáticas

Linguagem
O Dicionário Aurélio define linguagem como:

o uso da palavra articulada ou escrita como meio
de expressão e comunicação entre as pessoas.
Entretanto, esta definição não é suficientemente
precisa para permitir o desenvolvimento
matemático de uma teoria baseada em
linguagens.
Precisamos de uma definição mais objetiva e
ampla.
Uma linguagem é composta de de palavras que
formam um alfabeto. da Computação
Aspectos Teóricos 2

Albabeto
Um alfabeto é um conjunto finito de símbolos ou
caracteres.
Portanto:
● Um conjunto infinito não é um alfabeto;
● o conjunto vazio é um alfabeto.
Exemplo:
{a,b,c} ou {} são alfabetos
N não é um alfabeto
{a,b,aa,ab,bb,ba,bb....} não é um alfabeto

Aspectos Teóricos da Computação 3

Alfabeto de uma Linguagem de
Programação
O alfabeto de uma linguagem de programação
como Pascal é o conjunto de todos os símbolos
usados na construção de programas, incluindo
letras, dígitos, caracteres especiais, espaço.


Palavra
Uma Palavra, Cadeia de Caracteres ou Sentença
sobre um alfabeto é uma sequência finita de
símbolos do alfabeto justapostos.
O símbolo ε denota a palavra ou cadeia vazia.


Prefixo, Sufixo e Subpalavra
Um Prefixo ou Sufixo de uma palavra é qualquer sequência inicial respectivamente final
de símbolos da palavra.

Uma Subpalavra é qualquer sequência de símbolos contíguos da palavra.

Exemplos:
abcb é uma palavra do alfabeto {a,b,c}
Relativamente à palavra abcb, vale que:

ε , a, ab, abc, abcb são todos os prefixos;
ε, b, cb, bcb, abcb são todos os sufixo;
Qualquer prefixo ou sufixo é uma subpalavra;


Palavra: Linguagem de Programação
Em uma linguagem de programação como
Pascal, uma palavra é um programa.


Concatenação
A Concatenação de Palavras ou simplesmente Concatenação é uma operação
binária definida sobre um conjunto de palavras, a qual associa a cada par
de palavras uma palavra formada pela justaposição de primeira com a
segunda.
Propriedades
suponha v,w,t palavras quaisquer
a) Associativa. v(wt) = (vw)t
b) Elemento neutro. εw = wε
Exemplo: Suponha o alfabeto Σ = {a,b}. Então, para as palavras v =
baaaa e w = bb vale que:
vw = baaaabb
vε = baaaa

Concatenação sucessiva de uma palavra..
Se w = a o que seria w5?

Concatenação Sucessiva
A Concatenação Sucessiva é representada na forma de um expoente,
wn onde n representa o número de concatenações sucessivas é definida
indutivamente a partir da operação de concatenção binária, como segue:
w0 = ε
wn = wwn-1 n>0

Exemplo
Seja w uma palavra e a um símbolo, Então:
w3 = www
w1 = w
a5 = aaaaa
an = aaaa..a (o símbolo repetido n vezes)


Alfabeto
Se Σ representa o alfabeto, então:
Σ* denota o conjunto de todas as palavras possíveis sobre
Σ.
Σ+ denota Σ* - {ε }

Conjunto de todas as palavras.
Seja Σ um alfabeto. Então o conjunto de toda as palavras
Σ* é indutivamente definido como segue:
a. Base da indução: ε є Σ* para qualquer x є ∑, vale x є ∑*
b. Passo da indução: Se u e v são palavras de ∑* então a
concatenação uv é uma palavra de ∑*

Exemplo: Conjunto de todas as palavras
● Se ∑ = {a,b}, então:
●
∑+ = {a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,...}
● ∑* = {ε, a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,...}


Comprimento, tamanho de uma palavra
● O comprimento ou Tamanho de uma palavra w,
representado por |w|, é o número de símbolos
que compõem a palavra. Portanto, para um
dado alfabeto ∑ , comprimento é uma função
com domínio em ∑* e codomínio em N.
a. |abc| = 3
b. | ε | = 0


Linguagem Formal
Uma linguagem formal ou simplesmente
Linguagem L sobre um alfaberto ∑ é um
conjunto de palavras sobre ∑, ou seja:
L ⊆ ∑*


Exemplo de Linguagem Formal
● O conjunto Ø e o conjunto formado pela palavra vazia { ε }
são linguagens sobre qualquer alfabeto. Obviamente, vale
que:
Ø≠{ε}
● Os conjuntos ∑* e ∑+ são linguagens sobre um alfabeto ∑
qualquer. Obviamente, vale que:
∑* ≠ ∑+


Exercício
● Suponha o alfabeto ∑ = {a,b}. Então, o conjunto de
palíndromos (palavras que tem a mesma leitura da
esquerda para a direita e vice-versa) sobre ∑ é um
exemplo de linguagem infinita. Quais são os elementos
dessa linguagem?


Exemplo de Linguagem Formal
● Suponha o alfabeto ∑ = {a,b}. Então, o conjunto de
palíndromos (palavras que tem a mesma leitura da
esquerda para a direita e vice-versa) sobre ∑ é um
exemplo de linguagem infinita. Assim, são palavras dessa
linguagem:
, a, b, aa, bb, aaa, aba, bab, bbb, aaa, ...


Exemplo: Linguagem Formal: Linguagem de
Programação
● Um linguagem de programação como C é
formalmente definida pelo conjunto de todos os
programas (palavras) da linguagem.


Gramática
Como definir todos os programas de uma
determinada linguagem se torna inviável pois é
infinito criou-se uma nova maneira de especificar
linguagem de maneira finita, a gramática.

Uma gramática é, basicamente, um conjunto
finito de regras as quais, quando aplicadas
sucessivamente, geram palavras. O conjunto
de todas a palavras geradas por uma
gramática define as linguagens.


Gramática
Exemplo de Gramática:
S→A
A→0A1
A→ε
Uma gramática consiste de uma coleção de regras que
especificam como derivar strings de uma linguagem.
As regras de produção envolvem símbolos da linguagem
(ou terminais) e variáveis (ou símbolos não-terminais),
que representam conjuntos de strings.
Uma das variáveis é distinguida como símbolo inicial.


Exemplo de Derivação de String
Seja G1 a seguinte gramática:
S→A
A → 0A1
A →ε
Exemplo de derivação de string usando G1 :
S ⇒ A ⇒ 0A1 ⇒ 00A11 ⇒ 000A111 ⇒ 000111
A sequência de substituições é chamada de derivação.
O conjunto de todos os strings de terminais gerados desta forma
constitui a linguagem especificada pela gramática.
Escrevemos L(G) para denotar a linguagem gerada pela gramática
G. Portanto, L(G1 ) = {0n1n | n ≥ 0 }

000111 é chamada de string terminal pois não tem como substituir mais
nenhuma variável nela.

Gramática
Uma gramática de Chomsky, Gramática Irrestrita ou simplesmente
Gramática é uma quadrupla ordenada:
G = {V, ∑,P,S} na qual:
a. V, um conjunto finito de símbolos variáveis ou não terminais;
b. ∑, um conjunto finito de símbolos terminais ou constantes disjunto de
V;
c. P: (V U ∑ )+ → (V U ∑ )* é uma relação finita (ou seja, P é um conjunto
finito de pares), denominada de Relação de Produções ou simplesmente
produções. Cada par da relação é denominado de regra de produção ou
simplesmente produção; P pode ser considerada a função que leva um
elemento x a um elemento y.
d. S, um elemento distinguido de V denominado símbolo inicial ou
variável inicial.


Exemplo de Gramática
G = ({S, A}, {0, 1}, R, S) onde R:
S→A
A → 0A1
A→ε


Exercício de Gramática
Formule uma outra gramática
baseada na gramática do exemplo
G = ({S, A}, {0, 1}, R, S) onde R:
S→A
A → 0A1
A→ε
15 minutos em grupo


Derivação
● Se u, v , w ∈ (V ∪ ∑ )∗ (i.e., são strings de variáveis e
terminais) e α → β ∈ R (i.e., é uma regra da gramática) então
dizemos que uαv deriva uβv, escrito como uαv ⇒ uβv .
● Podemos também dizer que uβv é derivado diretamente de uαv
usando a regra α → β
● u ⇒k v se existe uma sequência finita
u0 , u1 , . . . , uk ∈ (V ∪ ∑ )∗ , para k > 0, tal que
u = u 0 ⇒ u1 ⇒ . . . ⇒ u k = v
● Também dizemos que u0 , u1 , . . . , uk é uma derivação de v a
partir de u
● Escrevemos u ⇒∗ v se u = v ou u ⇒k v para algum k > 0


Linguagem Especificada por uma
Gramática
Seja G = (V , Σ, R, S) uma gramática.
A linguagem especificada por G é
L(G) = {w ∈ Σ∗ | S ⇒∗ w }


Tipos de Regras


Tipos de Gramática – Hierarquia de
Chomsky


Notação
Para distinguir não-terminais de terminais,
frequentemente usamos não-terminais entre < > e
terminais entre aspas ” ”.
Se duas ou mais regras têm o mesmo lado
esquerdo, por exemplo:
A → 0A1 e A →ε
podemos escrever, de forma mais compacta
A → 0A1 | ε.

Obs. Só use essa regra quando tudo estiver
muito claro na sua cabeça.

Gramática Livre de Contexto G2
A gramática G2 a seguir especifica um fragmento da língua inglesa:
<SENTENCE> → <NOUN_PHRASE><VERB_PHRASE>
<NOUN_PHRASE> → <CP_NOUN> | <CP_NOUN><PREP_PHRASE>
<VERB_PHRASE> → <CP_VERB> | <CP_VERB><PREP_PHRASE>
<PREP_PHRASE> → <PREP><CP_NOUN>
<CP_NOUN> → <ARTICLE><NOUN>
<CP_VERB> → <VERB> | <VERB><NOUN_PHRASE>
<ARTICLE> → a | the
<NOUN> → boy | girl | flower
<VERB> → touches | likes | sees
<PREP> → with


Gramática Livre de Contexto G2
Note que:
A CFG(Gramática livre de contexto) G2 tem 10 variáveis (escritas em
letras maiúsculas e entra < >) e 9 não-terminais (escritos no alfabeto
padrão), mais um caractere de espaço.
A CFG G2 tem 18 regras.
Exemplos de strings que pertencem a L(G2):
a boy sees
the boy sees a flower
a girl with a flower likes the boy


Exemplo de Derivação em G2
<SENTENCE> ⇒ <NOUN_PHRASE><VERB_PHRASE>
⇒ <CP_NOUN><VERB_PHRASE>
⇒ <ARTICLE><NOUN><VERB_PHRASE>
⇒ a <NOUN><VERB_PHRASE>
⇒ a boy <VERB_PHRASE>
⇒ a boy <CP_VERB>
⇒ a boy <VERB>
⇒ a boy sees


Regras Lineares
Seja G = (V , Σ, R, S) uma CFG e A → w ∈ R,
onde A ∈ V .
● r é linear se w ∈ Σ∗VΣ∗
● r é linear à direita se w ∈ Σ∗V
● r é linear à esquerda se w ∈ VΣ∗
● r é terminal se w ∈ Σ∗


Exemplo de Gramática Linear à Direita
G = ({A, B}, {0, 1}, {A → 0A | B, B → 1B | ε }, A)


G = ({A, B}, {0, 1}, {A → 0A | B, B → 1B | ε}, A)

Exemplo de derivação em G:
A ⇒ 0A ⇒ 00A ⇒ 00B ⇒ 001B ⇒ 0011B ⇒
00111B ⇒ 00111

● Qual é a linguagem especificada por G?


G = ({A, B}, {0, 1}, {A → 0A | B, B → 1B | ε}, A)

Exemplo de derivação em G:
A ⇒ 0A ⇒ 00A ⇒ 00B ⇒ 001B ⇒ 0011B ⇒
00111B ⇒ 00111

● Qual é a linguagem especificada por G?
L(G) = 0*1*


Para a Próxima Aula
Ler capítulo 2 do livro texto.


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