El documento resume los conceptos básicos de infinitésimos e infinitos en matemáticas. Introduce las nociones de orden de infinitésimo y infinitésimos equivalentes, y presenta teoremas sobre las equivalencias entre infinitésimos como x ~ senx ~ tanx, 1 - cosx ~ x2, ln(1+x) ~ x, y ex - 1 ~ x cuando x tiende a cero. Incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.

1. MATEMATICAS
2º Bachillerato
MaTEX
r=A+lu
Proyecto A
d
B
s=B+mv
L´
ımites de Funciones CIENCIAS
MaTEX
Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a
ımites
Directorio
Tabla de Contenido
L´
Inicio Art´
ıculo
c 2004 gonzaleof@unican.es Doc Doc
11 de junio de 2004 Versin 1.00
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2. MATEMATICAS
2º Bachillerato
Tabla de Contenido A
r=A+lu
1. Introducci´no d
B
2. Infinit´simos
e s=B+mv
CIENCIAS
2.1. Algebra de infinit´simos
e
2.2. Orden de un infinit´simo
e
2.3. Infinit´simos equivalentes
e MaTEX
2.4. Principio de Sustituci´n o
3. Infinitos
3.1. Orden de un infinito
3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logar´ ıtmico
ımites
g(x)
4. C´lculo de l´
a ımites f (x)
4.1. Casos indeterminados de l´ ımites f (x)g(x)
5. Regla de L’H¨pital
o
∞
• Caso • Caso 0 · ∞ • Caso ∞ − ∞
L´
∞
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests
Doc Doc
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3. MATEMATICAS
Secci´n 1: Introducci´n
o o 3 2º Bachillerato
r=A+lu
1. Introducci´n
o A
Si has llegado hasta aqu´ suponemos que has superado el cap´
ı ıtulo de d
L´ımites de Funciones I. En este cap´
ıtulo vas a profundizar en el c´lculo de
a B
s=B+mv
l´
ımites con funciones: CIENCIAS
trigonom´tricas,
e
exponenciales y MaTEX
logar´
ıtmicas
que no se han tratado en el cap´ ıtulo anterior.
Para ello introduciremos los conceptos de infinit´simo e infinito. Esto nos
e
0
permitir´ calcular el tipo de l´
a ımite indeterminado de la forma que es el
ımites
0
m´s importante y es objeto esencial del C´lculo diferencial.
a a
ıtulo es adecuado para alumnos de 2o de Bachillerato.
El nivel de este cap´
L´
Doc Doc
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4. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 4 2º Bachillerato
r=A+lu
2. Infinit´simos
e A
Toda variable f (x) se llama infinitamente peque˜a o infinit´simo cuando
n e d
tiende a 0. B
s=B+mv
f (x) → 0 CIENCIAS
La condici´n esencial es la variabilidad y tener por l´
o ımite 0.
No hablamos de n´meros infinitamente peque˜os, ser´ un contrasentido.
u n ıa MaTEX
El n´mero 10−2002 es realmente peque˜o pero no infinitamente peque˜o.
u n n
La condici´n esencial del infinit´simo es que se pueda hacer tan peque˜o
o e n
como queramos, por lo que debe ser una expresi´n variable.
o
Decimos que x2 es infinit´simo en x = 0, pues x2 → 0 en x = 0. Pero
e
decimos que 1 + x2 no es infinit´simo , pues 1 + x2 → 1 en x = 0.
e
ımites
Tambi´n sen x es infinit´simo en x = 0, pues sen x → 0 en x = 0. Pero
e e
decimos que 2 + sen x no es infinit´simo , pues 2 + sen x → 2 en x = 0.
e
As´ mismo, sen(1 + x) no es infinit´simo en x = 0, pues sen(1 + x) → sen 1
ı e
en x = 0, pero si lo es en x = −1.
L´
Y as´ sucesivamente.
ı
Ejemplo 2.1. Las siguientes funciones son infinit´simos en los puntos que se
e
indican
1
a) l´ x − 1
ım b) l´ım c) l´ x2
ım
x→1 x→∞ x x→0
d ) l´ sen x
ım e) l´ cos x
ım f ) l´ tan x
ım
x→0 x→π/2 x→0 Doc Doc
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5. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 5 2º Bachillerato
r=A+lu
g) l´ ex − 1
ım h) l´ (1 − cos x
ım i ) l´ ln(1 + x)
ım A
x→0 x→0 x→0
d
2.1. Algebra de infinit´simos
e B
s=B+mv
Regla I La suma finita de infinit´simos es un infinit´simo.
e e CIENCIAS
α(x) → 0 β(x) → 0 =⇒ α(x) + β(x) → 0
l´ x2 + sen x = 0
ım l´ x4 + sen x2 = 0
ım
MaTEX
x→0 x→0
Regla II EL producto de un infinit´simo por una constante, o por una vari-
e
able acotada, es un infinit´simo.
e
k ∈ R, α(x) → 0 =⇒ Kα(x) → 0
ımites
z(x) acotada , α(x) → 0 =⇒ z(x)α(x) → 0
2.2. Orden de un infinit´simo
e
L´
Cuando x → 0 las variables:
x, x2 , x3 , · · · , xm , · · ·
son infinit´simos y ´stas se toman como tipos de comparaci´n de otros in-
e e o
finit´simos. Decimos que f (x) es un infinit´simo en el punto x = a de orden
e e
n cuando
f (x)
l´
ım = Cte = 0 Doc Doc
x→a (x − a)n
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6. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 6 2º Bachillerato
r=A+lu
2.3. Infinit´simos equivalentes
e A
Dos infinit´simos se dicen equivalentes (α ∼ β) cuando el l´
e ımite de su d
cociente es 1. Si α → 0 y β → 0 son infinit´simos.
e B
s=B+mv
CIENCIAS
α
α ∼ β ⇐⇒ lim =1
β
MaTEX
Teorema 2.1. Los infinit´simos x ∼ sen x ∼ tan x son equivalentes en x = 0.
e
sen x tan x
l´
ım =1 l´
ım =1 (1)
x→0 x x→0 x
ımites
Para su aplicaci´n se puede sustituir x por cualquier variable α(x) que
o
tambi´n sea un infinit´simo. Estos son algunos ejemplos:
e e
Ejemplo 2.2. Las siguientes infinit´simos equivalentes en los puntos que se
e
L´
indican
sen 2x sen 5x sen 3x2
a) lim =1 b) lim =1 c) lim =1
x→0 2x x→0 5x x→0 3x2
tan 6x tan(−x3 ) tan(x − 1)
d ) lim =1 e) lim =1 f ) lim =1
x→0 6x x→0 −x3 x→1 x−1
Doc Doc
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7. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 7 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 1. Escribir el infinit´simo equivalente en x = 0 a:
e A
3
a) sen x b) tan(x + x2 ) c) sen 17 x3 d
1 B
Teorema 2.2. Los infinit´simos 1 − cos x ∼ x2 son equivalentes en x = 0.
s=B+mv
e CIENCIAS
2
1 − cos x
lim
x→0 1 2
x
=1 (2) MaTEX
2
Para su aplicaci´n se puede sustituir x por cualquier variable α(x) que
o
tambi´n sea un infinit´simo. Ejemplos de esto son:
e e
1 − cos 5x2
ımites
1 − cos 2x
a) lim 1 2
=1 b) lim 1 4
=1
2 4x 2 25x
x→0 x→0
√
1 − cos x 1 − cos 2x
c) lim 1 =1 d ) lim 1 2
=1
2 x 2 4x
x→0 x→0
L´
Ejercicio 2. Escribir el infinit´simo equivalente en x = 0 a:
e
x
a) 1 − cos x2 b) 1 − cos 3 c) 1 − cos
2
√
d ) 1 − cos x3 e) 1 − cos 3x7 f ) 1 − cos(sen x) Doc Doc
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8. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 8 2º Bachillerato
r=A+lu
Teorema 2.3. Cuando x → 0, ln(1 + x) ∼ x son equivalentes A
ln(1 + x) d
lim =1 (3) B
x→0 x s=B+mv
CIENCIAS
Para su aplicaci´n se puede sustituir x por cualquier variable α(x) que
o
tambi´n sea un infinit´simo. Ejemplos de esto son:
e e MaTEX
ln(1 + 2x) ln(1 − x)
a) lim =1 b) lim =1
x→0 2x x→0 −x
√
ln(1 + x2 ) ln(1 + 5 x)
c) lim =1 d ) lim √ =1
x2 5 x
ımites
x→0 x→0
ln(1 + sen x) ln(1 + tan x)
e) lim =1 f ) lim =1
x→0 sen x x→0 tan x
L´
Ejercicio 3.√ Escribir el infinit´simo equivalente en x = 0 a:
e
a) ln(1 + x 3) b) ln(1 + 3x7 ) c) ln(1 + sen x)
x
d ) ln(1 − 3x) e) ln(1 + ) f ) ln(1 + 2 tan x)
3 Doc Doc
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9. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 9 2º Bachillerato
r=A+lu
Teorema 2.4. Cuando x → 0, ex − 1 ∼ x son equivalentes A
ex − 1 d
lim =1 (4) B
x→0 x s=B+mv
CIENCIAS
Para su aplicaci´n se puede sustituir x por cualquier variable α(x) que
o
tambi´n sea un infinit´simo. Ejemplos de esto son:
e e MaTEX
e2x − 1 e−x − 1
a) lim =1 b) lim =1
x→0 2x x→0 −x
2
ex − 1 ex−1 − 1
c) lim =1 d ) lim =1
x2 x→1 x − 1
ımites
x→0
Ejercicio 4. Escribir el infinit´simo equivalente en x = 0 a:
e
3 2
a) e2x − 1 b) esen x − 1 c) etan x − 1
L´
Recogemos en una tabla las equivalencias de infinit´simos que hemos visto
e
a˜adiendo las inversa del seno y la tangente. Es conveniente aprenderlas para
n
facilitar el c´lculo de l´
a ımites con infinit´simos.
e
Doc Doc
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10. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 10 2º Bachillerato
r=A+lu
A
Equivalencias
d
B
sen α(x) ∼ α(x) s=B+mv
CIENCIAS
1
1 − cos α(x) ∼ α(x)2
2 MaTEX
tan α(x) ∼ α(x)
ln (1 + α(x)) ∼ α(x)
ımites
eα(x) − 1 ∼ α(x)
arc sen α(x) ∼ α(x)
arctan α(x) ∼ α(x)
L´
Tabla de Infinit´simos
e
Doc Doc
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11. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 11 2º Bachillerato
r=A+lu
Responde a las siguientes cuestiones sobre infinit´simos:
e A
Test. Responde a las siguientes preguntas. d
1. La funci´n f (x) = (x − 1)2 es un infinit´simo en:
o e B
s=B+mv
CIENCIAS
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1
2
2. La funci´n f (x) = (x − a) es un infinit´simo en:
o e MaTEX
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = a
1
3. La funci´n f (x) = es un infinit´simo en:
o e
x
ımites
(a) x = 0 (b) ∞ (c) Nunca
2
4. La funci´n f (x) = 1 + x es un infinit´simo en:
o e
L´
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1
5. La funci´n f (x) = ln x es un infinit´simo en:
o e
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1
Doc Doc
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12. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 12 2º Bachillerato
r=A+lu
Test. Responde a las siguientes preguntas. A
1. La funci´n f (x) = ln(x − 1) es un infinit´simo en:
o e d
B
s=B+mv
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 2 (d) x = 1 CIENCIAS
x
2. La funci´n f (x) = e − 1 es un infinit´simo en:
o e
MaTEX
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1
3. El orden del infinit´simo 5 · x3 en x = 0, es:
e
(a) 3 (b) 2 (c) 5
ımites
√
4. El orden del infinit´simo 4 ·
e 3
x en x = 0, es:
(a) 3 (b) 1/3 (c) 1 (d) 4
√
5
x2 en x = 0, es:
L´
5. El orden del infinit´simo 4 ·
e
(a) 5 (b) 2 (c) 2/5 (d) 4
2
6. El orden del infinit´simo x − 1 en x = 1, es:
e
(a) 0 (b) 2 (c) 1 (d) Ninguno
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13. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 13 2º Bachillerato
r=A+lu
Inicio del Test Buscar el infinit´simo equivalente en cada caso:
e A
2
1. En x = 0, f (x) = sen x equivale a: d
B
s=B+mv
(a) x (b) x2 (c) Ninguno de los CIENCIAS
otros
2. En x = 0, f (x) = sen 2 x equivale a: MaTEX
(a) x (b) x2 (c) Ninguno de los
otros
3. En x = 0, f (x) = 1 − cos 4x equivale a:
ımites
(a) 8x2 (b) 4x2 (c) 4x (d) Ninguno de
los otros
√
4. En x = 0, f (x) = 1 − cos x equivale a:
L´
√ 1
(a) x (b) x (c) Ninguno
2
Final del Test Puntos:
Doc Doc
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14. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 14 2º Bachillerato
r=A+lu
Inicio del Test Buscar el infinit´simo equivalente en cada caso:
e A
2
1. En x = 0, ln(1 + x ) equivale a: d
B
s=B+mv
(a) x (b) x2 (c) 1 + x2 CIENCIAS
2. En x = 0, ln(1 − 3 x2 ) equivale a:
MaTEX
(a) x2 (b) −x2 (c) −3 x2
√
3. En x = 0, ln(1 + x3 ) equivale a:
√
(a) x3 (b) x3 (c) 1 + x3
ımites
4. En x = 0, ln(1 + sen x) equivale a:
(a) x (b) tan x (c) senx (d) Todos los
anteriores
L´
5. En x = 1, ln(x) equivale a:
(a) x − 1 (b) x (c) x2 (d) Ninguno
Final del Test Puntos:
Doc Doc
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15. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 15 2º Bachillerato
r=A+lu
Inicio del Test Buscar el infinit´simo equivalente en cada caso:
e A
2
1. En x = 0, ex − 1 equivale a: d
B
s=B+mv
(a) x (b) x2 (c) 1 + x2 CIENCIAS
2. En x = 0, ln(cos x) equivale a:
MaTEX
(a) x − 1 (b) cos x (c) cos x − 1
√
x
3. En x = 0, e − 1 equivale a:
√ √
(a) x (b) x (c) x−1
ımites
senx2
4. En x = 0, e − 1 equivale a:
(a) x2 − 1 (b) senx (c) x2
5. En x = 1, ln(ex ) equivale a:
L´
(a) ex − 1 (b) x (c) senx (d) Todas ellas
Final del Test Puntos:
Doc Doc
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16. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 16 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 5. Aplicar equivalencias a los siguientes infinit´simos en el punto
e A
indicado
d
a) (sen 5x)x=0 b) [tan(1 − x)]x=1 B
s=B+mv
c) 1 − cos x2 x=0
d ) [arcsin 3x]x=0 CIENCIAS
e) [ln x]x=1 f ) [arctan sen x]x=0
MaTEX
g) [esen x − 1]x=0 h) [ln(cos x)]x=0
√
i ) sen 3 x x=0
Ejercicio 6. Determinar el orden de los siguientes infinit´simos en x = 0
e
ımites
a) sen x b) tan x
c) 1 − cos x d ) 4x3 + x50
e) ln(1 − x) f ) ex − 1
L´
2
g) e3x − 1 h) ln(1 − x3 )
i ) sen 3x2
Doc Doc
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17. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 17 2º Bachillerato
r=A+lu
2.4. Principio de Sustituci´n
o A
A la hora de aplicar equivalencias de infinit´simos en los l´
e ımites hay que d
tener en cuenta que la sustituci´n no se puede hacer literalmente. Para hacerlo
o B
s=B+mv
hay que limitarse al siguiente principio: CIENCIAS
[P.S.] Si en una expresi´n de un l´
o
por otro equivalente, el l´
ımite se sustituye un factor o divisor
ımite de la expresi´n no var´ si se sustituye
o ıa
MaTEX
Un factor finito por su l´
ımite, no nulo
Un factor infinit´simo por otro equivalente
e
ımites
T´ngase presente este principio de sustituci´n para los infinit´simos que
e o e
est´n multiplicando o bien dividiendo. Si la sustituci´n se realiza cuando est´n
e o a
sumando o restando es f´cil cometer errores.
a
Ejemplo 2.3. Aplicar el principio de sustituci´n a los l´
o ımites:
L´
sen 3x
a) l´ sen 2x · sen 5x
ım b) l´ım
x→0 x→0 sen 5x
Soluci´n:
o
a) l´ sen 2x · sen 5x = lim (2x) · (5x) = 0
ım
x→0 x→0
sen 3x 3x 3
b) l´
ım = lim =
x→0 sen 5x x→0 5x 5 Doc Doc
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18. MATEMATICAS
Secci´n 2: Infinit´simos
o e 18 2º Bachillerato
r=A+lu
A
Aviso Tener mucho cuidado en no sustituir un infinit´simo que
e d
est´ sumando por otro equivalente, los resultados pueden ser absurdos.
e B
Por ejemplo s=B+mv
CIENCIAS
x − sen x x−x
lim
x→0 x
= lim
x→0 x
=0 falso
MaTEX
tan x − sen x x−x
lim = lim =0 falso
x→0 x3 x→0 x3
tan x − (sen x + 2x3 ) x − (x + 2x3 )
ımites
lim = lim = −2 falso
x→0 x3 x→0 x3
tan x · sen x2 x · x2
lim = lim =1 correcto
x→0 x3 x→0 x3
L´
Ejercicio 7. Aplicar equivalencias al c´lculo de los siguientes l´
a ımites:
3 sen 2x 1 − cos 4x sen x · tan x
a) b) c)
4x 5x2 1 − cos x
ln x ln(1 + x) x · sen x
d) e) f)
2 − 2x 1 − ex ln(cos x)
ln(1 + 5 x) sen2 x 5x sen 2x
g) h) i)
1 − e3x 1 − cos 2x 4x2 Doc Doc
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19. MATEMATICAS
Secci´n 3: Infinitos
o 19 2º Bachillerato
r=A+lu
3. Infinitos A
Toda variable f (x) se llama infinitamente grande o infinita para x = a d
cuando tiende a ∞. B
s=B+mv
lim f (x) → ∞ CIENCIAS
x→a
Ejemplo 3.1. Las siguientes funciones son infinitos: MaTEX
1 1
a) lim b) lim x c) lim 2
x→1 x − 1 x→∞ x→0 x
d ) lim 3x2 e) lim tan x f ) lim+ ln x
x→∞ x→π/2 x→0
ımites
Ejercicio 8. Indicar si las siguientes funciones son infinitos:
1+x 1
a) lim b) lim 2x c) lim
x→1 1 − x x→−∞ x→0 sen x
d ) lim 2x e) lim ex f ) lim ln x
x→+∞ x→+∞ x→+∞
L´
3.1. Orden de un infinito
Cuando x → ∞ las variables:
x, x2 , x3 , · · · , xm , · · ·
son infinitos y ´stas se toman como tipos de comparaci´n de otros infinitos.
e o
En la comparaci´n caben cuatro casos:
o
Doc Doc
f (x) → ∞ g(x) → ∞
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20. MATEMATICAS
Secci´n 3: Infinitos
o 20 2º Bachillerato
f (x) r=A+lu
Si lim = ∞ Se dice f (x) es de orden superior a g(x) A
g(x)
d
f (x) B
Si lim = 0 f (x) es de orden inferior a g(x) s=B+mv
g(x) CIENCIAS
f (x)
Si lim = finito = 0 son del mismo orden
g(x) MaTEX
f (x)
Si lim = no existe , no son comparables
g(x)
Ejemplo 3.2. Veamos el orden de algunos infinitos:
a) El polinomio 3x + 5 es un infinito de orden 1, pues
ımites
3x + 5
lim =3
x→∞ x
b) El polinomio −x3 + 5x es es un infinito de orden 3, pues
L´
−x3 + 5x
lim = −1
x→∞ x3
√
c) El polinomio 4x + 5 es un infinito de orden 1/2, pues
√
4x + 5
lim √ =2
x→∞ x
Doc Doc
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21. MATEMATICAS
Secci´n 3: Infinitos
o 21 2º Bachillerato
r=A+lu
d ) En general, el polinomio an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 es un infinito de A
orden n, pues
d
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 B
lim = an s=B+mv
x→∞ xn CIENCIAS
3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logar´
ıtmico MaTEX
Cuando x → +∞ las funciones :
xn (n > 0) ax (a > 1), logb x(b > 1)
son infinitos pero de distinto orden.
ımites
Cuando x → +∞, la exponencial ax con (a > 1) es un infinito de orden
superior a la potencial, xn con (n > 0), cualquiera que sea n. Lo escribiremos
con la expresi´n
o
ax xn (5)
L´
n
Cuando x → +∞, la potencial x con (n > 0), es un infinito de orden
superior al logaritmo de x , logb x para cualquier base (b > 1) . Lo escribimos
con la expresi´n
o
xn logb x (6)
Doc Doc
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22. MATEMATICAS
Secci´n 3: Infinitos
o 22 2º Bachillerato
r=A+lu
A
Aviso La comparaci´n del crecimiento potencial exponencial puede
o d
sorprender. Si construimos una tabla para las funciones 1,001x con x4 . B
s=B+mv
CIENCIAS
Comparaci´n de 1,001x con x4
o
1,001x
x 1,001 x
x4
x4 MaTEX
1 1.001 1 1.001
100 1,11E+00 1,00E+08 1,11E-08
5000 1,48E+02 6,25E+14 2,37E-13
ımites
30000 1,05E+13 8,10E+17 1,30E-05
47000 2,52E+20 4,87E+18 5,17E+01
100000 2,55E+43 1,00E+20 2,56E+23
L´
vemos como 1,001x llega a superar a x4 , y el cociente se hace tan grande
como queramos.
Doc Doc
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23. MATEMATICAS
Secci´n 3: Infinitos
o 23 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.3. Con la comparaci´n de infinitos podemos hacer de forma in-
o A
mediata algunos l´
ımites :
d
e3x +∞ 3x 2 B
lim = =∞ e x s=B+mv
x→∞ 4x2 +∞ CIENCIAS
3x
e +∞
lim
x→∞ 4x2
=
+∞
=∞ e3x x2 MaTEX
x2 − 1 +∞
lim x
= =0 ex x2
x→∞ e +∞
x8
ımites
lim e−x x8 = lim =0 ex x8
x→∞ x→∞ ex
x +∞
lim = = +∞ x ln x
x→∞ ln x +∞
L´
x15 + 2x7 +∞
lim = =0 2x x15
x→∞ 2x +∞
Ejercicio 9. Usar la comparaci´n de infinitos para hallar los l´
o ımites:
6 5
ln(1 + x ) x
a) lim b) lim −x c) lim ln x3 e−x
x→+∞ x2 x→+∞ e x→+∞
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24. MATEMATICAS
Secci´n 3: Infinitos
o 24 2º Bachillerato
r=A+lu
Inicio del Test Cuando x → +∞, comparar el orden de los infinitos: A
1. Indica el infinito de mayor orden: d
2 3 2,56 B
(a) x (b) x (c) x (d) x s=B+mv
CIENCIAS
2. Indica el infinito de mayor orden:
(a) x3 (b) x(1 + 4x) (c) ln x4 MaTEX
3. Indica el infinito de mayor orden:
(a) x22 (b) ln x100 (c) ex
4. Indica el infinito de mayor orden:
ımites
(a) 4x (b) 2x (c) ex
5. Indica el infinito de mayor orden:
(a) x3 (b) x2,75 (c) x2,99
L´
x1,002
6. El l´
ımite lim es
x→+∞ ln x
(a) +∞ (b) 0 (c) 1
Final del Test Puntos:
Doc Doc
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25. MATEMATICAS
Secci´n 3: Infinitos
o 25 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.4. Aplicamos cuando sea necesario los anteriores resultados para A
el c´lculo de los siguientes l´
a ımites:
d
ln(1 + x6 ) +∞ 6 6 B
lim 2
= =0 x ln(1 + x ) s=B+mv
x→∞ x +∞ CIENCIAS
5
x +∞
lim
x→∞ e−x
=
0
= +∞ MaTEX
lim e−x ln x3 = 0 · ∞ = 0 ex ln(x3 )
x→∞
x1,002 +∞
lim = = +∞ x1,002 ln x
ımites
x→∞ ln x +∞
lim x2 ln x = 0 · (−∞) = 0 x2 ln x
x→o+
x54 +∞
ex x54
L´
lim x
= =0
x→∞ e +∞
x200
Test. El l´
ımite lim es
x→+∞ ex
(a) +∞ (b) 0 (c) 1
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26. MATEMATICAS
a ımites f (x)g(x)
Secci´n 4: C´lculo de l´
o 26 2º Bachillerato
r=A+lu
a ımites f (x)g(x)
4. C´lculo de l´ A
Si no hay problemas de indeterminaci´n , el c´lculo de dichos l´
o a ımites se d
realiza por paso al l´
ımite B
s=B+mv
lim g(x) CIENCIAS
lim f (x)g(x) = lim f (x) x→a
x→a x→a
Ejemplo 4.1. MaTEX
x
2x + 1 +∞
• lim = (2) = +∞
x→+∞ x
x +∞
2x + 1 2
•
ımites
lim = =0
x→+∞ 3x 3
−2x −∞
2x + 1 2
• lim = = +∞
x→+∞ 3x 3
−x −∞
L´
5x + 1 5
• lim = =0
x→+∞ 3x − 1 3
−x −∞
5x + 1 5
• lim = = +∞
x→+∞ 8x − 1 8
Doc Doc
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27. MATEMATICAS
a ımites f (x)g(x)
Secci´n 4: C´lculo de l´
o 27 2º Bachillerato
r=A+lu
ımites f (x)g(x)
4.1. Casos indeterminados de l´ A
Teniendo en cuenta que toda potencia se puede escribir como una potencia d
de base el n´mero e, ya que ab = eb ln a , podemos escribir
u B
s=B+mv
CIENCIAS
f (x)g(x) = eg(x) ln f (x)
Y de esta forma expresar el l´
ımite MaTEX
lim g(x) ln f (x)
lim f (x)g(x) = ex→a (7)
x→a
De esta forma sabremos cuando tenemos casos indeterminados
ımites
Casos Indeterminados
(0)0 e0 ln 0 e0 (−∞) e? Indeterminado
L´
(0)+∞ e+∞ ln 0 e+∞ (−∞) e−∞ 0
(0)−∞ e−∞ ln 0 e−∞ (−∞) e+∞ +∞
(∞)0 e0 ln ∞ e0 (∞) e? Indeterminado
Doc Doc
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28. MATEMATICAS
a ımites f (x)g(x)
Secci´n 4: C´lculo de l´
o 28 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.2. Hallar l´ x1/x
ım A
x→0+
Soluci´n:
o d
B
1/x +∞
lim x =0 de la ecuaci´n 7
o s=B+mv
x→0+ CIENCIAS
ln x
lim
= e
+
x→0+ x = e−∞/0 = e−∞ = 0 MaTEX
Ejemplo 4.3. Hallar l´ + xln x
ım
x→0
Soluci´n:
o
ımites
lim xln x = 0−∞ de la ecuaci´n 7
o
x→0+
lim ln x ln x
= ex→0+ = e−∞(−∞) = e+∞ = +∞
L´
1
Ejemplo 4.4. Hallar l´ ( )ln x
ım
x→+∞ x
Soluci´n:
o
1
lim ( )ln x = 0+∞ =0
x→+∞ x
Doc Doc
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29. MATEMATICAS
a ımites f (x)g(x)
Secci´n 4: C´lculo de l´
o 29 2º Bachillerato
r=A+lu
Inicio del Test Por la comparaci´n de infinitos, determinar los l´
o ımites: A
4 3
1. El lim (x − x ) es: d
x→+∞
B
s=B+mv
(a) 0 (b) +∞ (c) −∞ CIENCIAS
4 6
2. El lim (x − 5x ) es:
x→+∞
MaTEX
(a) 0 (b) +∞ (c) −∞
3. El lim (ex − x30 ) es:
x→+∞
(a) 0 (b) +∞ (c) −∞
ımites
4
x
4. El lim es:
x→+∞ 2x
(a) 0 (b) +∞ (c) −∞
L´
0,002 40
5. El l´
ımite lim+ x ln x es
x→0
(a) +∞ (b) 0 (c) 1
Final del Test Puntos:
Doc Doc
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30. MATEMATICAS
a ımites f (x)g(x)
Secci´n 4: C´lculo de l´
o 30 2º Bachillerato
r=A+lu
Inicio del Test Determinar de forma directa los l´
ımites: A
1. El lim+ x · ln x es: d
x→0
B
s=B+mv
(a) 0 (b) −∞ (c) −∞ (d) 1 CIENCIAS
1
2. El lim+ sen es:
x→0 x MaTEX
(a) 0 (b) ∞ (c) No existe (d) 1
1
3. El lim+ x · sen es:
x→0 x
ımites
(a) 1 (b) 0 (c) ∞ (d)
1
4. El lim x · sen es:
x→∞ x
(a) 1 (b) 0 (c) ∞ (d)
L´
200
x
5. El l´
ımite lim es
x→+∞ ex
(a) +∞ (b) 0 (c) 1
Final del Test
Puntos: Correctas Doc Doc
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31. MATEMATICAS
a ımites f (x)g(x)
Secci´n 4: C´lculo de l´
o 31 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 10. Indicar si las siguientes funciones son infinitos: A
3 sen 2x 1 − cos 4x
a) lim b) lim d
x→0 4x x→0 5x2 B
s=B+mv
sen x · tan x ln x CIENCIAS
c) lim d ) lim
x→0 1 − cos x x→1 2 − 2x
e) lim
ln(1 + x)
f ) lim
x · sen x MaTEX
x→0 1 − ex x→0 ln cos x
Ejercicio 11. Usa infinit´simos equivalentes, cuando sea posible, para hallar:
e
tan x arcsen x2
a) lim b) lim
x→0 x2 x→0 ln(1 − x2 )
ımites
x cos x
c) lim d ) lim
x→0 sen(tan x) x→0 x
1 − cos x sen x tan x
L´
e) lim f ) lim
x→0 x2 x→0 x sen x
Ejercicio 12. Usa infinit´simos equivalentes, cuando sea posible, para hallar:
e
1 (x − 1) sen(x − 1)
a) lim x3/2 sen b) lim
x→+∞ x x→1 1 − cos(x − 1)
x · sen(x2 + x) x2 sen2 3x
c) lim d ) lim Doc Doc
x→+∞ 3x · sen x x→0 x sen3 2x
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32. MATEMATICAS
a ımites f (x)g(x)
Secci´n 4: C´lculo de l´
o 32 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 13. Usa el orden de infinitos, cuando sea posible, para hallar: A
a) lim x2 + 2x b) lim x2 + 2x d
x→+∞ x→−∞
B
x x x x
c) lim 4 − 2 d) lim 4 − 2 s=B+mv
x→+∞ x→−∞ CIENCIAS
5 2 x
e) lim ln x − x f) lim e − ln x
x→+∞ x→+∞
MaTEX
Ejercicio 14. Resolver por la t´cnica del n´mero e cuando sea necesario:
e u
1 x 1 + 2x x
a) lim (1 + ) b) lim ( )
x→+∞ x x→+∞ 2x
1 + 2x x 1 + 2x x
ımites
c) lim ( ) d ) lim ( )
x→+∞ x x→+∞ 5x
1 + x 5x 1−x x
e) lim ( ) f ) lim ( )
x→+∞ 2 + x x→+∞ 2 − x
L´
Ejercicio 15. Hallar:
x
3x + 2 sen x
a) lim b) lim (x)
x→+∞ 3x − 1 x→0+
1/x
Ejercicio 16. Hallar lim+ (cos x)
x→0
tg x
1
Ejercicio 17. Hallar lim+ Doc Doc
x→0 x
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33. MATEMATICAS
Secci´n 5: Regla de L’H¨pital
o o 33 2º Bachillerato
r=A+lu
5. Regla de L’H¨pital
o A
En este apartado se explica un m´todo para el c´lculo de l´
e a ımites con ayuda d
de la derivada. Por ello es conveniente que lo realices cuando hayas estudiado B
s=B+mv
el cap´
ıtulo de derivadas CIENCIAS
Teorema 5.1. (Regla de L’H¨pital)o
Sean f (x) y g(x) dos funciones derivables en el intervalo (a, b) y tal que MaTEX
g (x) no se anula en (a, b).

Si lim f (x) = 0 


x→c 

 f (x)
y lim g(x) = 0 =⇒ ∃ lim =L
ımites
x→c  x→c g(x)
f (x) 

y ∃ lim =L 

x→c g (x)

f (x) f (x)
Si no existe lim no podemos afirmar nada sobre lim
L´
x→c g (x) x→c g(x)
Doc Doc
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34. MATEMATICAS
Secci´n 5: Regla de L’H¨pital
o o 34 2º Bachillerato
3 sen 2x r=A+lu
Ejemplo 5.1. Hallar lim con la regla de L’H¨pital
o A
x→0 4x
d
Soluci´n: Como
o
B
3 sen 2x 0 (L H) 6 cos 2x 6 s=B+mv
lim = = lim = CIENCIAS
x→0 4x 0 x→0 4 4
1 − cos 2x MaTEX
Ejemplo 5.2. Hallar lim con la regla de L’H¨pital
o
x→0 x2
Soluci´n: Como
o
1 − cos 2x 0
lim =
x→0 x2 0
ımites
(L H) 2 sen 2x 0
= lim =
x→0 2x 0
(L H) 4 cos 2x
= lim =2
x→0 2
L´
x
Ejemplo 5.3. Hallar lim con la regla de L’H¨pital
o
x→0 x + sen x
Soluci´n: Como
o
x 0 (L H) 1 1
lim = = lim =
x→0 x + sen x 0 x→0 1 + cos x 2
Doc Doc
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35. MATEMATICAS
Secci´n 5: Regla de L’H¨pital
o o 35 2º Bachillerato
∞ r=A+lu
• Caso A
∞
Cuando lim f (x) = ∞ y lim g(x) = ∞, en los l´
ımites de la forma: d
x→a x→a
B
s=B+mv
f (x) ∞ CIENCIAS
l´
ım =
x→a g(x) ∞
tambi´n podemos aplicar la regla de L’H¨pital.
e o MaTEX
x3
Ejemplo 5.4. Hallar lim x con la regla de L’H¨pital
o
x→+∞ e
Soluci´n: Como
o
x3 ∞
ımites
lim x =
x→+∞ e ∞
(L H) 3x2 ∞
= lim x =
x→∞ e ∞
(L H) 6x ∞
L´
= lim =
x→+∞ ex ∞
(L H) 6 6
= lim = =0
x→+∞ ex ∞
Doc Doc
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36. MATEMATICAS
Secci´n 5: Regla de L’H¨pital
o o 36 2º Bachillerato
r=A+lu
• Caso 0 · ∞ A
Si lim f (x) = 0 y lim g(x) = ∞, podemos aplicar la regla de L’H¨pital,
o d
x→a x→a
pasando a uno de los casos anteriores, dividiendo por el inverso de uno de los B
s=B+mv
factores de la siguiente forma CIENCIAS
f (x) 0
lim f (x)g(x) = 0 · ∞ = lim
x→a x→a 1
=
0 MaTEX
g(x)
Ejemplo 5.5. Hallar lim x2 · ln x con la regla de L’H¨pital
o
x→+0
Soluci´n: Como
o
ımites
lim x2 · ln x = 0 · ∞
x→+0
ln x ∞
= lim =
x→+0 x−2 ∞
L´
(L H) 1/x
= lim
x→+0 −2x−3
1
= lim − x2 = 0
x→+0 2
Doc Doc
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37. MATEMATICAS
Secci´n 5: Regla de L’H¨pital
o o 37 2º Bachillerato
r=A+lu
• Caso ∞ − ∞ A
Si lim f (x) = ∞ y lim g(x) = ∞, podemos aplicar la regla de L’H¨pital,
o d
x→a x→a
pasando a uno de los casos anteriores de la siguiente forma B
s=B+mv
1 1 CIENCIAS
−
g(x) f (x) 0
lim f (x) − g(x) = ∞ − ∞ = lim
x→a x→a 1
=
0 MaTEX
f (x)g(x)
1 1
Ejemplo 5.6. Hallar lim+ − con la regla de L’H¨pital
o
x→0 x sen x
ımites
Soluci´n: Como
o
1 1
lim − = ∞−∞
x→0+ x sen x
sen x − x 0
= lim =
x→0+ x · sen x 0
L´
(L H) cos x − 1 0
= lim+ =
x→0 sen x + x cos x 0
(L H) − sen x
= lim =0
x→0+ 2 cos x − x sen x
Doc Doc
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38. MATEMATICAS
Secci´n 5: Regla de L’H¨pital
o o 38 2º Bachillerato
1 1 r=A+lu
Ejemplo 5.7. Hallar lim − con la regla de L’H¨pital
o A
x→0 x ln(1 + x)
d
Soluci´n: Como
o
B
1 1 s=B+mv
lim − = ∞−∞ CIENCIAS
x→0 x ln(1 + x)
= lim
ln(1 + x) − x
x→0 x · ln(1 + x)
=
0
0
MaTEX
1
(L H) 1+x − 1
= lim
x→0 ln(1 + x) + x
1+x
−x 0
= lim =
ımites
x→0 (1 + x) · ln(1 + x) + x 0
(L H) −1 1
= lim =−
x→0 ln(1 + x) + 1 + 1 2
L´
Ejercicio 18.
x2 − 1 (x − 1)2
a) lim b) lim
x→1 x − 1 x→0 1 − cos x
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39. MATEMATICAS
Secci´n 5: Regla de L’H¨pital
o o 39 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 19. Hallar los siguientes l´
ımites con la regla de L’H¨pital.
o A
sen x 1 − cos(x − 1)
(a) lim . (b) lim d
x→0 5 x x→1 (ln x)2 B
s=B+mv
ln(1 + x) − sen x 1 + sen x − ex CIENCIAS
(c) lim (d) lim
x→0 x sen x x→0 (arctan x)2
(e) lim
1
−
1
(f) lim
x − sen x MaTEX
x→0 tan x x x→0 tan x − sen x
1
ex − x − 1 x2 sen x
(g) lim (h) lim
x→0 x2 x→0 sen x
x
1
ımites
1
(i) lim cos (j) lim (cos 2x) x
x→∞ x x→0
L´
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40. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 40 2º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Ejercicios A
Prueba del Teorema 2.1. Cuando x → 0, x y sen x son equivalentes. d
Obs´rvese la figura de radio 1
e B
s=B+mv
CIENCIAS
T CB < AB < AT
B
sen x < x < tan x MaTEX
Dividiendo por sen x
x x 1
1< <
sen x cos x
0 CA
ımites
x 1 x
lim 1 ≤ lim ≤ lim =⇒ lim =1
x→0 x→0 sen x x→0 cosx x→0 sen x
Por otra parte,
tan x sen x 1 sen x 1
lim = lim = lim lim =1
L´
x→0 x x→0 x cos x x→0 x x→0 cos x
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41. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 41 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 1. Los infinit´simos equivalentes en x = 0 son:
e A
3 3
a) sen x ∼ x d
b) tan(x + x2 ) ∼ x B
s=B+mv
c) sen 17 x3 ∼ 17 x3 CIENCIAS
Ejercicio 1
MaTEX
ımites
L´
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42. MATEMATICAS
Soluciones a los Teoremas 42 2º Bachillerato
1 2 r=A+lu
Prueba del Teorema 2.2. Equivalencia de x ∼ 1 − cos x A
2
d
1 − cos x (1 − cos x)(1 + cos x)
lim 1 2 = lim 1 2 = B
s=B+mv
2x 2 x (1 + cos x)
x→0 x→0
CIENCIAS
(1 − cos2 x) sen2 x
= lim 1 2 = lim 1 2 =
x→0 x (1 + cos x)
2
x→0 x (1 + cos x)
2 MaTEX
sen2 x 2
= lim 2
× lim =
x→0 x x→0 1 + cos x
sen x 2 2
= lim × lim =1
x→0 x x→0 1 + cos x
ımites
1 1
L´
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43. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 43 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 2. Los infinit´simos equivalentes en x = 0 son:
e A
1 4
a) 1 − cos x2 ∼ x d
2 B
1 s=B+mv
b) 1 − cos 3 x ∼ 9 x2 CIENCIAS
2
x 1 2
c) 1 − cos ∼ x
2 8 MaTEX
√ 1
d ) 1 − cos x3 ∼ x3
2
9 14
e) 1 − cos 3 x7 ∼ x
2
ımites
1
f ) 1 − cos(sen x) ∼ x2
2
Ejercicio 2
L´
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44. MATEMATICAS
Soluciones a los Teoremas 44 2º Bachillerato
r=A+lu
Prueba del Teorema 2.3. Equivalencia de ln(1 + x) ∼ x A
ln(1 + x) 1 1 d
lim = lim ln(1 + x) = lim ln(1 + x) x =
x→0 x x→0 x x→0 B
s=B+mv
1 1 CIENCIAS
= ln lim (1 + 1 ) x = ln e = 1
x→0
x
MaTEX
ımites
L´
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45. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 45 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 3.√Los infinit´simos equivalentes en x = 0 son:
√ e A
a) ln(1 + x 3) ∼ x3 d
b) ln(1 + 3x7 ) ∼ 3x7 B
s=B+mv
CIENCIAS
c) ln(1 + sen x) ∼ sen x ∼ x
d ) ln(3x) ∼ −3 x
x
e) ln(1 + ) ∼
x MaTEX
3 3
f ) ln(1 + 2 tan x) ∼ 2 tan x ∼ 2x
Ejercicio 3
ımites
L´
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46. MATEMATICAS
Soluciones a los Teoremas 46 2º Bachillerato
r=A+lu
Prueba del Teorema 2.4. Equivalencia de ex − 1 ∼ x A
Como
d
ln(1 + x) ∼ x =⇒ eln(1+x) ∼ ex =⇒ B
=⇒ 1 + x ∼ ex =⇒ ex − 1 ∼ x =⇒
s=B+mv
CIENCIAS
ex − 1
lim = 1
x→0 x
MaTEX
ımites
L´
Doc Doc
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