UACH Lecture, Fall 2008 UACH Lecture, Fall 2009

1. Hidrodinámica
en la Medicina
Dr. Willy H. Gerber
Instituto de Fisica
Universidad Austral
Valdivia, Chile
Objetivos: Comprender como fluye la sangre y que aspectos se deben
considerar en un modelamiento.
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2. Dos tipos de flujo
Existen dos tipos de flujo: laminar y turbulento
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3. Que tipo de flujo tenemos? - Numero de Reynold
El tipo de flujo depende del numero de Reynold
ρ Densidad [kg/m3]
v Velocidad [m/s]
r Largo característico (ej. Radio) [m]
A Sección [m2]
η Viscosidad dinámica [Pa s = kg/ms]
ν = η/ρ Viscosidad cinética [m2/s]
En el caso de la sangre:
ρ 1g/cm3 = 1x103 kg/m3
ν = 3.2x10-6 kg/m s
η 3.2 mPa s = 3.2x10-3 Pas
v 1.3mm/s = 1.3x10-3m Re = 8.14x10-3
r 20µm = 2.0x10-5 m
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4. Numero de Reynold
Diametro Numero Seccion Largo
Elemento mm total cm2 cm Re
Aorta 10.000 1 0.8 40 1.04E+05
Grandes Arterias 3.000 40 3 20 2.93E+03
Ramas arteriales principales 1.000 600 5 10 1.09E+02
Ramas arteriales secundarias 0.600 1800 5 4 2.17E+01
Ramas arteriales terciarias 0.140 76000 11.7 1.4 2.81E-01
Ramas arteriales terminales 0.050 1000000 19.6 0.1 1.28E-02
Midizinische Hochschule Hannover, Christoph Hartung
Ramas arteriales finales 0.030 13000000 91 0.15 2.73E-03
Arteriolas 0.020 40000000 1250 0.2 8.14E-03
Capilares 0.008 1200000000 600 0.1 5.21E-05
Venolas 0.030 80000000 570 0.2 2.78E-03
Ramas venosas finales 0.075 13000000 570 0.15 4.28E-02
Ramas venosas terminales 0.130 1000000 132 0.1 2.23E-01
Ramas venosas terciarias 0.280 76000 47 1.4 2.25E+00
Ramas venosas secundarias 1.500 1800 30 4 3.26E+02
Ramas venosas principales 2.400 600 27 10 1.41E+03
Grandes Venas 6.000 40 11 20 2.15E+04
Vena hueca 12.500 1 1.2 40 1.95E+05
Cuidado: nombres traducidos del alemán, posibles errores
Re >> 50000 flujo turbulento
Re ≈ 2300-50000 transición
Re << 2300 flujo laminar
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5. Composición de la Sangre
a: Glóbulos rojos (eritrocitos) 45.0% 6-8 µm
b: Glóbulos blancos (leucocitos) 1.0%
c: plaquetas (trombocitos) <1.0%
d: plasma 54.0%
From Wikipedia
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6. Modelo
Supongamos que la sangre es un liquido
• incompresible y
• de viscosidad homogénea
Las venas y arterias se puede describir en primera aproximación por cilindros:
: flujo [m3/s]
: radio [m]
: velocidad [m/s]
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7. Modelo según Hagen Poiseville
El flujo se regiría por la ley de Hagen-Poiseville
: largo del cilindro [m]
: diferencia de presión en el largo L [N/m2]
: viscosidad [N/m3]
que aplica a líquidos “Newtonianos”
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8. Modelo “eléctrico” – Ley de Darcy
En tal caso se puede tratar la sangre como un “circuito” eléctrico definiendo
una Resistencia al fluir:
Ley de Darcy
: “Resistencia” al flujo (resistencia hidráulica) [kg/m4s]
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9. Revision critica del modelo
Las mediciones muestran que el flujo puede ser modelado en una primera
aproximacion como lienal con la diferencia de presion (suponiendo un gradiente
minimo) pero que la viscosidad tiene una dependencia mas compleja (velocidad,
posicion en el vaso) que lo que se suponia:
Ley de Darcy
?
Microcirculation Laboratory, PennState, Herbert H. Lipowsky
Antes de analizar con mas detalle el problema de la viscosidad se puede ver la
utilidad del modelo “eléctrico” suponiendo que ajustamos siempre la viscosidad.
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10. Efecto de una estenosis – vasos en serie
Se puedo modelar una vaso con una estenosis como un elemento de mayor
resistencia:
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11. Efecto de una estenosis – vasos en serie
Al ser el flujo igual y variar solo la resistencia se obtiene una curva para la
caída de presión
Presión en la vena [Pa]
Largo de la vena [m]
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12. Simulador
Use el simulador para poder visualizar el efecto de la obstrucción:
El simulador se puede encontrar bajo mySoftware en mi pagina www.gphysics.net
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13. Modelar una estenosis – vasos paralelos
También se puede estudiar como reacciona el sistema cuando existen vasos
paralelos al que esta obstruido:
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14. Modelando una estenosis – vasos paralelos
En este caso se tiene dos variaciones: la roja por el vaso con la obstrucción y
la azul por la parte libre.
Presión en la vena [Pa]
Largo de la vena [m]
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15. Otros efectos a considerar – la viscosidad variable
Existen varios efectos que hacen mas complejo el modelar el flujo sanguíneo
y que le restan precisión al modelo recién mostrado:
La presencia de “cuerpos” dentro del torrente; los llamados
hematocitos que mayormente están compuesto de glóbulos rojos y que
conforman aproximadamente el 44% del volumen
El hecho que por el gradiente de tensiones se deformen dichos
hematocitos según su posición en el torrente sanguíneo.
El efecto Fahraeus-Lindqvist según el cual en torrentes de líquidos con
material en suspensión (los hematocitos) por cilindros de radios
menores a 0.3mm dicho material tiende a depositarse en las paredes
obstruyendo el flujo.
Todos estos efectos repercuten sobre la viscosidad tanto en su valor como en
su distribución.
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16. Efecto de los hematocitos
La presencia de hematocitos conlleva a un incremento de la viscosidad
en función de la concentración de estos.
Según un modelo de Einstein la función
es en primera aproximación lineal:
siendo
Bajo condiciones normales Ht = 45 esto
implica que la viscosidad de la sangre seria
de 3.2 cP = 0.032 P = 0.0032 Pas.
Poise es otra de las unidades de viscosidad dinamica y equivale a
1 Poise (P) ≡ 1 g/cms ≡ 0,1 Pa·s = 0.1 kg/ms
cP es un centi-Poise o 0.01 Poise
Laboratorz of Hemodynamics and Cardiovascular Technology, EPFL, Switzerland
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17. Efecto de la deformación y rotación de los hematocitos
Con mayores velocidades de flujo aumenta la tensión
tensión
Con lo que el glóbulo rojo se
• deforma
• gira en función de la corriente
lo que lleva a una reducción de
la viscosidad a mayores
velocidades
Vesicle micro-hydrodynamics, Petia M. Vlahovska, CM06 workshop I, IPAM, UCLA, 27 march 2006
Laboratorz of Hemodynamics and Cardiovascular Technology, EPFL, Switzerland
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18. Efecto Fahraeus-Lindqvist
El efecto de Fahraeus-Lindqvist lleva a que glóbulos rojos se adhieran
a las paredes de las venas
pared
Esto lleva a que la viscosidad se
Reduzca en los bordes y el perfil
De velocidades en función del radio
pierda la típica forma parabólica
Sea mas pareja a lo ancho del
cilindro.
Vesicle micro-hydrodynamics, Petia M. Vlahovska, CM06 workshop I, IPAM, UCLA, 27 march 2006
Laboratorz of Hemodynamics and Cardiovascular Technology, EPFL, Switzerland
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19. Otras limitantes
Por ultimo existen tres otros efectos que no se pueden despreciar y que
afectan el modelar del torrente sanguíneo:
La viscosidad del plasma varia en forma importante con la temperatura
(2% por grado) lo que hace muy distinto analizar el torrente en zonas
como el cerebro (caliente) que en los pies (frio).
Los vasos no cilindros rectos si no “tubos” con deformaciones
relevantes.
Las paredes de los vasos tienen propiedades mecánicas siendo en parte
elásticos y no rígidos y pudiendo ser influenciados en forma activa por
el cuerpo.
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20. Conclusiones para la aplicación
Conclusión
Para comprender el comportamiento general sin buscar precisión en el
pronostico de valores es recomendable trabajar con modelos análogos
a los circuitos eléctricos tomando en consideración que para la
resistencia no solo se debe trabajar con el radio si no que también con
una viscosidad efectiva según la situación que se estudia.
Para cálculos mas exactos es necesario primero modelar la viscosidad
en función de la velocidad, concentración de hematocitos, localización
dentro del vaso etc. para proceder a una solución numérica de las
ecuaciones hidrodinámicas (excepto casos aislados que se logren
resolver en forma teórica).
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21. Simulaciones
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22. Contacto
Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net
Instituto de Fisica
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Casilla 567, Valdivia, Chile
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