Este documento explica la diferencia entre una distribución de frecuencias y una distribución de probabilidades. También describe un experimento de lanzar una moneda tres veces y calcula la distribución de probabilidades para el número de sellos obtenidos. Finalmente, introduce conceptos clave como variable aleatoria, valor esperado, varianza y desviación estándar para distribuciones de probabilidad discretas.

1. Mg. Cárdenas Pineda, Mariza

2. Distribución de Frecuencias Vs. Distribución de Probabilidades
Distribución de Frecuencias –Listado de todos los resultados observadosde un experimento.
Distribución de Probabilidades –Listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que pudieran ocurrirde un experimento.

3. RESULTADOS POSIBLES
Experimento:
Lanzar una moneda tres veces al aire.
Evento
Obtener SELLOS en los tres lanzamientos.
Resultados Posibles (Variables Aleatorias)
0 Sellos
1 Sello
2 Sellos
3 Sellos

4. VARIABLES ALEATORIAS
SedenominaVARIABLEALEATORIAatodafunciónqueasociaunnúmerorealacadaelementodeunespaciomuestral.
LasvariablesAleatoriassedesignanporletrasmayúsculas, ysusvaloresporletrasminúsculas.
EldominiodeunaVariableAleatoriaXeselespaciomuestral,yelrangoeselsub-conjuntodelosnúmerosrealesasociadosacadaelementodelespaciomuestral.

5. Ejemplo 1:
Elespaciomuestralobtenidoallanzarunamonedatresvecesconsecutivaseselsiguiente:
S=SSS,SSC,SCS,CSS,SCC,CSC,CCS,CCC
definimoslafunciónXcomoelnúmerodesellosobtenidas.EntoncesXesunaVariableAleatoriaconrangoRx=0,1,2,3
X=0,correspondealeventoccc
X=1,correspondealeventoscc,ccs,csc
X=2,correspondealeventossc,css,scs
X=3,correspondealeventosss

6. C
S
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S
C
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
(0)
(1)
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
(3)
0.53=0.125
0.53=0.125
0.53=0.125
0.53=0.125
0.53=0.125
0.53=0.125
0.53=0.125
0.53=0.125
Número de Sellos

7. Experimento: Lanzar una moneda 3 veces al aire
Evento: Número de Sellos
N° SellosResultadoProbabilidadProbabilidad0CCC0.5 x 0.5 x 0.50.1251CCS0.5 x 0.5 x 0.50.1251CSC0.5 x 0.5 x 0.50.1251SCC0.5 x 0.5 x 0.50.1252CSS0.5 x 0.5 x 0.50.1252SCS0.5 x 0.5 x 0.50.1252SSC0.5 x 0.5 x 0.50.1253SSS0.5 x 0.5 x 0.50.1251.00

8. N° Sellos Probabilidad
0 0.125
1 0.375
2 0.375
3 0.125
1.0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 1 2 3
Probabilidad
Número de Sellos
Distribución de Probabilidades

9.  Variable Aleatoria: Variable X = Número de sellos
 Valores de la Variable X x (0, 1, 2, 3).
 P(X=x) o f(x)  Probabilidad de que la V.A. X tome el valor x
 P(X=0) = 0.125 f(0) = 0.125
 P(X=1) = 0.375 f(1) = 0.375
 P(X=2) = 0.375 f(2) = 0.375
 P(X=3) = 0.125 f(3) = 0.125
N° Sellos
0
1
2
3
Probabilidad
0.125
0.375
0.375
0.125
VARIABLE
ALEATORIA
PROBABILIDAD

10. Variable Aleatoria
Resultadodeunexperimentoquetomadiferentesvalores.
Númerosqueresultandelanzarundado.
(1,2,3,4,5,6)
Cantidaddecarasosellosallanzarunamoneda.
Puedeserdiscretaocontinua.

11. Tipos de Variables Aleatorias
Variable aleatoria discreta
Usualmente un número entero (0, 1, 2, 3 etc.)
Obtenida por conteo.
Variable aleatoria continua
Puede asumir cualquier valor dentro de un rango dado.
Obtenida por mediciones.

12. Características de la Distribución de Probabilidad Discreta
Contiene todos los valores posibles de la Variable X, cada uno con su Probabilidad asociada, P(X).
Mutuamente Excluyentes y Colectivamente exhaustivos
0 P(Xi) 1
P(Xi) = 1
P(X=0) = 0.125
P(X=1) = 0.375
P(X=2) = 0.375
P(X=3) = 0.125

13. Función de Distribución Acumulativa
 Para una variable aleatoria X, el valor de la Función de
Distribución Acumulativa F(x), es la probabilidad de
que X tome los valores menores o iguales a x.
F(x)  P(X  x)
F(3)  P(X  3)  f (0)  f (1)  f (2)  f (3)

14. Valor Esperado de una Distribución
de Probabilidad
 Se denota E(X).
 Media de la Distribución de Probabilidad ()
 Media Pesada de los valores de X.
 Las probabilidades actúan como pesos (suman 1).
μ = E(X) =x*P(X  x)
μ = E(X) =x * f (x)

15. Valor Esperado de una Distribución de Probabilidad
P(X=0) = 0.125 0 x 0.125 = 0
P(X=1) = 0.375 1 x 0.375 = 0.375
P(X=2) = 0.375 2 x 0.375 = 0.750
P(X=3) = 0.125 3 x 0.125 = 0.375
Suma:1.5

16. Varianza de una
Distribución de Probabilidad
 Se denota VAR(X) o σ2.
 Es el valor esperado (promedio) de las desviaciones
cuadráticas de cada valor x de la Variable Aleatoria X.
 ( )  (  ) (  ) * ( ) 2 2 2  VAR X E X  x  f x
 
2 2 2
2 2 2
( ( ))
( ) ( ) ( )
 

  
  
x P x
VAR X E X E X

17. Desviación Estándar de una
Distribución de Probabilidad
 Raíz Cuadrada de la Varianza.
2 2   x P(x) 
  ( )  (  ) * ( ) 2 2   VAR X x  f x
 2 2 2     VAR(X)  E(X )  E(X)

18. Ejemplo 1
Una tienda de autos ha establecido la siguiente distribución de probabilidades de los autos que espera vender un día sábado en particular:
Número de autos vendidosProbabilidades
00.10
10.20
20.30
30.30
40.10
En un día sábado, ¿cuántos autos se debe esperar vender?
¿Cuál es la varianza de la distribución?
¿Cuál es la desviación estándar de la distribución?

19. Modelos de Distribuciones de Probabilidad Discretas
Distribuciones de Probabilidad Discretas
Binomial
Poisson