O documento apresenta 4 exercícios resolvidos sobre tensões normais em pilares e vigas sob compressão. O primeiro calcula a tensão de compressão em um pilar retangular. O segundo verifica a resistência de um pilar circular sob seu próprio peso e uma carga adicional. O terceiro dimensiona a sapata necessária para suportar o pilar. E o quarto calcula a resistência necessária em pilares para apoiar uma viga e parede.

1. UNIP - Universidade Paulista
ICET - Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas - Arquitetura e Urbanismo -
Resistência dos Materiais – Estabilidade – Lista 1 de Exercícios Resolvidos - Tensões
Lista1 de Exercícios de Aplicação – Tensões Normais na Compressão / Tração Simples
1. Calcular a tensão normal de compressão que está solicitando o pilar da figura abaixo, submetido a uma força
normal centrada de 300 tf. O pilar tem seção transversal retangular, de 20cm x 40cm. Desprezar o peso
próprio do pilar.
Força normal de compressão no pilar: N=300 tf
Área de aplicação – seção transversal do pilar: A= 20 x 40 = 800cm²
Tensão normal de compressão no pilar:
300
 = = 0,375 tf/cm²
800
Observação: Se quisermos, essa tensão pode ser representada em outras unidades. Basta que as unidades
dos elementos da equação estejam coerentes. Por exemplo, se utilizarmos N em kgf, teríamos N=300.000
kgf, e o valor da tensão seria:
300.000
 = = 375 kgf/cm²
800

2. Entretanto, se utilizarmos a área em m², ao invés de cm², seu valor seria A = 0,20 x 0,40 = 0,08m². Daí
resultaria:
300
 = = 3.750 tf/m², ou
0,08
300.000
 = = 3.750.000 kgf/m²
0,08
Conclusão: É importante observar as unidades, e de preferência fazer os ajustes às unidades desejadas antes
de aplicar as fórmulas, para não correr risco de engano nas unidades depois de feitas as contas.
(observar que 1m = 100cm , mas 1m²≠ 100cm². O correto é 1m² = 10000cm², ou seja 10.000cm²)
2. O pilar abaixo esquematizado possui seção circular com 40cm de diâmetro e é feito de um material cujo
peso específico é 2,5 tf/m³ e tem resistência à compressão de 100 kgf/cm² e resistência à tração de 10
kgf/cm².
Verificar se, para a condição de carregamento indicada (carga de vertical de 20 tf aplicada no topo,
centrada), o pilar tem condição de resistir aos esforços.

3. Nesse caso, embora o enunciado não seja específico, temos os dados referentes ao peso específico do
material do pilar. Portanto devemos considerar o peso próprio do pilar.
Peso próprio do pilar: Gpil = Volume do Pilar x Peso Específico do Material do Pilar
Volume do Pilar = Área da base do pilar x altura do pilar = Apil x hpil
Como o diâmetro do pilar é Dpil=40cm, ou 0,40m, seu raio é Rpil=20cm, ou 0,20m, temos:
(Área de uma seção circular: A =  R² ou A =  D² / 4)
Apil =  R² = 3,14 x 0,2² = 0,126 m²
Assim, Vpil = 0,126 x 5,00 = 0,628 m³
E Gpil = 0,628 x 2,5 = 1,58 tf
Portanto a reação de apoio na base do pilar, que corresponde à maior força normal de compressão no pilar
será Nmax = 20 + 1,58 = 21,58 tf.
Assim, a máxima tensão que atua no pilar é de compressão. Portanto ela não poderá ser superior à tensão
máxima à compressão, que é 100 kgf/cm². Para fazer a comparação, precisamos trabalhar nessa mesma
unidade, então na fórmula da tensão, a carga normal deverá estar expressa em kgf e a área em cm².
Ou seja: N = 21.580 kgf , e Apil =  D² / 4 = 3,14 x 40² / 4 = 1.256 cm²
(note que o valor da área difere um pouco da área calculada acima apenas devido ao erro de aproximação por causa das casas
decimais cortadas)
Assim a tensão de compressão que solicita o pilar é:
21.580
 pil = = 17,18 kgf/cm² ( < 100 kgf/cm²)
1.256
Como essa tensão é menor que a resistência do pilar à compressão, pode‐se afirmar que o pilar tem condição
de resistir aos esforços aplicados.

4. 3. O pilar do exemplo anterior está apoiado diretamente no solo por meio de uma sapata circular. Sabendo que
o solo possui tensão admissível de 2 kgf/cm², e desprezando o peso próprio da sapata, calcular qual deve ser
seu diâmetro mínimo para que o solo possa suportar o pilar.
Nesse caso a área da sapata deverá ser tal que distribua a mesma carga do pilar no solo de forma que a
tensão aplicada seja no máximo igual a 2 kgf/cm².
(Se, por acaso a tensão no solo fosse algo igual a 17,17 kgf/cm², não seria necessário criar a sapata para distribuir o esforço e
consequentemente diminuir a tensão de compressão no solo, porque já estaria resistindo a tensão aplicada)
Nesse caso a resolução do problema se inverte: temos a força de compressão e a tensão, e necessitamos da
área do circulo que forma a sapata. Ou seja, a fórmula
N
 = pode ser escrita da seguinte forma:
A
N
 A= , onde N = 21.570 kgf e = 2 kgf/cm² .

Portanto devemos ter a seguinte área da sapata:
21.570
 Asap = = 10.785 cm² .
2,00
E o diâmetro da sapata pode ser calculado a partir da fórmula de sua área:
A =  D² / 4  D² = 4 A /  = 4 x 10.785 / 3,14 = 13.738
D = √13.738 = 117,21 cm
Resposta: A sapata deverá ter um diâmetro mínimo de 1,18m (ou, mais precisamente 1,172m)

5.
4. A viga abaixo representada está apoiada em 2 pilares e suporta uma parede feita em blocos de concreto de
19cm de largura com 3,5m de altura. Essa parede é feita em blocos de concreto, cujo peso específico é 1,4
tf/m³. A viga tem seção transversal de 25cm de largura e 40cm de altura, e seu material possui peso
específico de 3,0 tf/m³. Os pilares tem seção quadrada de 20cm de lado. Calcular qual resistência devem ter
os pilares para poder dar apoio a essa estrutura.
O esquema estático da viga é o abaixo indicado:
O valor da carga p, distribuída ao longo da extensão da viga é p = gviga + galv, onde gviga é o peso próprio da
viga distribuído ao longo de sua extensão e galv é o peso próprio da alvenaria distribuído ao longo da extensão
da viga.
Observação Importante: os esquemas das estruturas e seus carregamentos, utilizados nos cálculos estruturais,
geralmente são unifilares e normalmente se referem aos eixos das estruturas e eixos dos apoios. Assim, todos
os cálculos são feitos a partir dos esquemas estáticos unifilares, e portanto usando as distâncias entre eixos.

6. Cálculo da carga distribuída devida ao peso próprio da viga:
gviga = bviga x hviga x viga = 0,25 x 0,40 x 3,00 = 0,30 tf/m
de forma análoga: galv = balv x halv x alv = 0,19 x 3,50 x 1,40 = 0,93 tf/m
assim p= 0,30 + 0,93 = 1,23 tf/m
e a reação de apoio em cada um dos dois pilares será: RP1 = R P2 = 1,23 x 5,30 / 2 = 3,26 tf
Portanto a carga de compressão aplicada em cada pilar será de 3,26 tf, ou se tomarmos a unidade kgf (apenas
mantendo a mesma unidade dos outros exercícios), será 3.260 kgf.
Como a seção do pilar é quadrada, com lado de 20cm, a área da seção transversal do pilar será
Apil= 20 x 20 = 400cm².
E a tensão de compressão aplicada em cada pilar será:
3.260
 = = 8,15 kgf/cm²
400
Portanto para poder dar apoio a essa estrutura o material do pilar deverá ter resistência igual ou maior que
8,15 kgf/cm².
Observação: essa resposta pode ser fornecida em qualquer unidade, por exemplo: 0,0815 tf/cm²; ou 81,50
tf/m².
Justificativa: peso total da viga: base x altura x comprimento x peso específico
carga distribuída ao longo de seu comprimento = peso total da viga / comprimento
Portanto: carga distribuída = base x altura x comprimento x peso específico / comprimento = base x altura x peso específico)

7. 5. A viga abaixo esquematizada, destinada a suportar uma placa de publicidade, é bi‐apoiada, e sustentada por
2 cabos de aço, cuja tensão limite é de 1.500 kgf/cm². A placa pesa 400 kgf. A viga tem seção transversal de
50cm x 70cm, e seu material tem peso específico de 4,0 tf/m³. Os cabos disponíveis no mercado tem os
seguintes diâmetros: 10mm, 12,5 mm, 16mm, 20 mm e 25mm.
Indicar qual é o cabo mais apropriado para ser usado nessa estrutura.
Semelhante ao exercício anterior, o esquema estático da viga é o de uma viga bi‐apoiada, porém com a carga
da placa distribuída parcialmente. Para efeito de reação de apoio, é importante notarmos que ela está
centralizada no vão:
O valor da carga distribuída ao longo da extensão da viga devida apenas ao peso próprio da viga será:
gviga = bviga x hviga x viga = 0,50 x 0,70 x 4,00 = 1,40 tf/m
e a reação de apoio em cada cabo devida apenas ao peso próprio será:
RC1gviga = R C2gviga = 1,40 x 6,00 / 2 = 4,20 tf
Quanto à placa, como ela está centrada em relação à viga, a reação de apoio em cada cabo será a mesma, e
igual à metade do peso da placa, ou seja:
RC1placa = R C2placa = 0,40 / 2 = 0,20 tf

8. Assim, a força de tração em cada cabo será a mesma e igual à soma das reações devidas ao peso próprio e à
placa, ou seja:
Ncabo1 = Ncabo2= 4,20 + 0,20 = 4,40 tf = 4.400 kgf
Como o material do cabo tem resistência máxima (ou tensão limite) de 1.500 kgf/cm², a área mínima que o
cabo precisa ter será determinada da mesma forma que no exercício da sapata ou seja:
4.400
 Acabo= = 2,93 cm²
1.500
Portanto o diâmetro mínimo do cabo deverá ser:
D = √ 4 A /  = √4 x 2,93 / 3,14 = √3,737 = 1,93 cm
Ou seja, cada cabo deverá ter um diâmetro mínimo de 1,93cm ou seja, 19,3mm.
Resposta: Dentre os diâmetros disponíveis, os únicos que atendem essa necessidade são os de 20mm e de
25mm. E o mais adequado é o mais econômico ou seja, o cabo com diâmetro de 20mm.
 Obs: Outra forma de resolver o mesmo problema, a partir do ponto em que se tem a força normal no
cabo, é calcular a tensão normal para cada um dos cabos fornecidos e compará‐la com a sua resistência
máxima, que é 1.500 kgf/cm²:
Ou seja: na fórmula da tensão normal, calcula‐se a tensão para cada cabo:
Ncabo 4.400 (kgf)
 cabo= =
Acabo Acabo
Fazendo essa conta para cada cabo, podemos montar a tabela abaixo:
Dcabo(mm) 10 12,5 16 20 25
Dcabo(cm) 1 1,25 1,6 2,0 2,5
Acabo (cm²) 0,785 1,23 2,01 3,14 4,91
 cabo (kgf/cm²) 5605,10 3587,26 2189,49 1401,27 896,82
Portanto apenas os cabos com diâmetros de 20mm e 25mm podem resistir à força aplicada. E deles, o de
diâmetro 20mm é o mais econômico, portanto o mais adequado.