Μαθηματικά Ε΄ 7.42. ΄΄ Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 7 - Κεφάλαιο 42
΄΄ Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ΄΄
http://e-taksh.blogspot.gr
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

eva-edu
1
2 3
Ορθογώνιο τρίγωνο ονομάζεται το τρίγωνο που έχει μία ορθή γωνία
Ορθή γωνία 90
Αμβλυγώνιο τρίγωνο ονομάζεται το τρίγωνο που έχει μία αμβλεία γωνία
120 Αμβλεία γωνία
Οξυγώνιο τρίγωνο ονομάζεται το τρίγωνο που όλες του οι γωνίες είναι οξείες
Οξεία γωνία
Οξεία γωνία Οξεία γωνία
Γεια σου Εύα! Είμαι το τρίγωνο και έχω 3
γωνίες
Ονομαζόμαστε ανάλογα με το είδος των γωνιών που
έχουμε! Δηλαδή ανάλογα με το αν έχουμε ορθή, αμβλεία ή
οξεία γωνία

eva-edu
Να συμπληρώσεις τα κενά
Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια _ _ _ _ γωνία
Το αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει μία _ _ _ _ _ _ _ γωνία
Το οξυγώνιο τρίγωνο έχει όλες τις γωνίες του _ _ _ _ _ _
Να γράψεις πως ονομάζεται το κάθε τρίγωνο

Τουλιόπουλος Φώτης
Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες

Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες (16/02)
Ποιο είναι το μέγεθος των γωνιών ενός τριγώνου ;
Ξέρουμε ότι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει τέσσερις ορθές
γωνίες. Άρα 4 Χ 900
= 3600
.
Αν φέρουμε
μια διαγώνιό του, αυτή θα το χωρίσει στη μέση και θα πάρουμε δύο τρίγωνα που το
καθένα θα έχει και μιά ορθή γωνία.
Κάθε τρίγωνο επομένως θα έχει 360 : 2 = 1800
.
Αφού η μία γωνία του τριγώνου είναι ορθή (900
) και το άθροισμα των γωνιών πρέπει να
είναι 1800
, άρα οι άλλες δύο γωνίες μαζί είναι 900
.
Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 1800
.
Ποια είναι τα είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ;
1. Ορθογώνιο : Είναι το τρίγωνο που έχει μια γωνία ορθή.
2. Οξυγώνιο : Είναι το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες.
3. Αμβλυγώνιο : Είναι το τρίγωνο που έχει μια αμβλεία γωνία.

Ορθογώνιο Τρίγωνο Οξυγώνιο Τρίγωνο Αμβλυγώνιο Τρίγωνο
Μετακινώντας τις κορυφές των γωνιών φτιάξε διαφορετικά είδη τριγώνων.
Acute Triangle = Οξυγώνιο Τρίγωνο
Obtuse Triangle = Αμβλυγώνιο Τρίγωνο
Right Triangle = Ορθογώνιο Τρίγωνο

Εγκύκλιος Παιδεία
ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ
Ένα τρίγωνο ως προς τις γωνίες του μπορεί να είναι:
Οξυγώνιο, αν έχει και τις τρεις γωνίες του οξείες
Αμβλυγώνιο, αν έχει μια αμβλεία γωνία(και δυο οξείες)
Ορθογώνιο, αν έχει μία ορθή γωνία(και δυο οξείες)
Κάνε εξάσκηση ΚΛΙΚ
Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 μοίρες(δες και στα τρία παραπάνω
τρίγωνα και θα το διαπιστώσεις)
ΚΛΙΚ( πάτησε start και όποτε θέλεις stop και θα δεις το σύνολο των γωνιώνότι είναι
πάντα 180 μοίρες)
Κάνε εξάσκηση ΚΛΙΚ
Το άθροισμα το διαπιστώνουμε εύκολα αν κόψουμε τις γωνίες του και τις
τοποθετήσουμε τη μία δίπλα στην άλλη(με τις κορυφές τους)
ΚΛΙΚ(κάτω κάτω πάτησε το go και συνέχεια next)

ΑΣΚΗΣΗ
Βρες χωρίς να χρησιμοποιήσεις μοιρογνωμόνιο, πόσες μοίρες είναι οι γωνίες με το
ερωτηματικό σε κάθε ορθογώνιο(κλικ στην εικόνα για να μεγαλώσει)
Αναρτήθηκε από ΝΙΚΟΣ στις Δευτέρα, Μαΐου 04, 2009

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
15
Μάθημα 38ο
Τρίγωνο
Στοιχεία του τριγώνου
Κάθε τρίγωνο έχει :
 Τρεις πλευρές : ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ.
 Τρεις γωνίες : 

, B

, 

.
 Τρεις κορυφές : Α, Β, Γ.
Δύο οξείες Δύο οξείες
Α) Κατάταξη τριγώνων σύμφωνα με τις πλευρές
 Ισόπλευρο είναι το τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες. ( ΠΡΣ ).
 Ισοσκελές είναι το τρίγωνο που έχει δύο μόνο πλευρές του ίσες. ( ΝΞΟ ).
 Σκαληνό είναι το τρίγωνο που έχει τις τρεις πλευρές του άνισες. ( ΚΛΜ ).
ισόπλευρο ισοσκελές σκαληνό
Το ισόπλευρο έχει 3 ίσες γωνίες = 60ο
Το ισοσκελές έχει τις δύο γωνίες βάσης ίσες.

16
Β) Κατάταξη τριγώνων σύμφωνα με τις γωνίες τους
 Οξυγώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες.
 Αμβλυγώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει μία του γωνία αμβλεία.
 Ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει μία ορθή γωνία.
οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο
Κατασκευή τριγώνου
Για να κατασκευάσω ένα τρίγωνο πρέπει :
 Να γνωρίζω δύο του πλευρές και την περιεχόμενη σ’ αυτές γωνία.
π.χ. Να κατασκευάσεις το τρίγωνο ΑΒΓ, που έχει ΑΒ = 4 εκ., ΑΓ = 3 εκ. και γωνία


= 70ο
.
Σχεδιάζω το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 4
εκατ.
Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Α
και κατασκευάζουμε τη γωνία 

= 70ο
.
Μετράμε με το χάρακα πάνω στην πλευρά Αχ 3
εκ. και σημειώνουμε την κορυφή Γ.
Ενώνουμε τις κορυφές Β και Γ.

17
 Να γνωρίζω τη βάση του και τις δύο γωνίες που βρίσκονται σ’
αυτή.
π.χ. Να κατασκευάσεις το τρίγωνο ΔΕΖ, που έχει ΔΕ = 4 εκ., γωνία 

= 70ο
και
γωνία 

= 40ο
.
Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ = 4 εκ.
Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Δ και
κατασκευάζουμε τη γωνία 

= 70ο
.
Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Ε και
κατασκευάζουμε τη γωνία 

= 40ο
.
Στο σημείο που τέμνονται οι πλευρές Δχ και Εψ των
γωνιών σημειώνουμε την κορυφή Ζ.
Ασκήσεις
1. Να σχεδιάσεις ένα τρίγωνο ΑΒΓ . Η πλευρά ΑΒ = 5 εκατ., η ΓΑ = 4 εκατ. και η γωνία


= 45ο
.
2. Να σχεδιάσεις ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Η πλευρά ΑΒ = 4 εκατ. και γωνίες 

= 65ο
και
B

= 55ο
.

18
3. Να σχεδιάσεις ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Η πλευρά του ΑΒ = 6 εκατ.
4. Να σχεδιάσεις ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Η πλευρά ΑΒ = 4 εκατ.. Η γωνία


= 55ο
και η γωνία B

= 55ο
.
5. Να σχεδιάσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Η πλευρά ΑΒ = 5 εκατ. η γωνία


= 90ο

= 45ο
.
6. Να σχεδιάσεις ένα τρίγωνο ΔΕΖ. Η πλευρά ΔΕ = 4,5 εκατ., η γωνία 

= 75ο
και η
πλευρά ΖΔ = 5 εκατ.
7. Να σχεδιάσεις ένα τρίγωνο ΔΕΖ. Η πλευρά ΔΕ = 5 εκατ., η γωνία 

= 120ο
και η
γωνία 

= 45ο
.
8. Να σχεδιάσεις ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Η πλευρά του ΑΒ = 5 εκατ.
9. Να σχεδιάσεις ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Η πλευρά ΑΒ = 5 εκατ.. Η γωνία 

= 70ο

= 70ο
.
10.Να σχεδιάσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Η πλευρά ΑΒ = 4 εκατ. η γωνία 

= 90ο

= 65ο
.
11.Να σχεδιάσεις ένα τρίγωνο ΔΕΖ. Η πλευρά ΔΕ = 5 εκατ., η γωνία 

= 65ο
και η
πλευρά ΔΖ = 4,5 εκατ.
12.Να σχεδιάσεις ένα τρίγωνο ΔΕΖ. Η πλευρά ΔΕ = 6 εκατ., η γωνία 

= 85ο
και η
πλευρά ΔΖ = 6,5 εκατ.
13.Σ’ ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια από τις οξείες γωνίες του είναι 40 μοίρες. Να βρεθούν
οι άλλες δυο γωνίες του.
14.Σ’ ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία της κορυφής είναι 70 μοίρες. Πόσο είναι το
άνοιγμα της καθεμιάς από τις άλλες γωνίες του ; ( Να κατασκευαστεί το τρίγωνο ).
15.Υπογραμμίζω τις σωστές προτάσεις από τις παρακάτω :
α ) Κάθε ισόπλευρο τρίγωνο είναι και ισογώνιο.
β ) Κάθε σκαληνό τρίγωνο έχει δυο πλευρές ίσες.
γ ) Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια ορθή γωνία.
δ ) Κάθε ισοσκελές τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες.

Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες
 Τρίγωνο είναι το τμήμα της επίπεδης επιφάνειας που περικλείεται από τρία
διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα. Α
Β Γ
 Ένα τρίγωνο ως προς τις γωνίες του μπορεί να είναι:
- Οξυγώνιο, όταν έχει και τις τρεις γωνίες του οξείες.
- Αμβλυγώνιο, όταν έχει μια αμβλεία γωνία.
- Ορθογώνιο, όταν έχει μια ορθή γωνία.
οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο
 Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180ο
(ή δυο ορθές γωνίες).
(Για να το καταλάβεις μπορείς να προσθέσεις τις γωνίες των παραπάνω τριγώνων)
Εξάσκηση
1. Συμπληρώνω Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή Λ αν είναι λανθασμένη.
 Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει δυο οξείες γωνίες.
 Ένα τρίγωνο μπορεί να έχει μια αμβλεία και μια ορθή γωνία.
 Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 170ο
.
 Ένα τρίγωνο έχει μπορεί να έχει γωνίες 90ο
, 45ο
και 45ο
.
 Ακόμη κι αν γνωρίζουμε τις δυο από τις τρεις γωνίες ενός τριγώνου δε
μπορούμε να βρούμε την τρίτη.
 Αμβλυγώνιο είναι το τρίγωνο που έχε τρεις αμβλείες γωνίες.

2. Γράφω κάτω από κάθε τρίγωνο τι είδος είναι ως προς τις γωνίες του.
…………………………….. ……………………………….. …………………………….
3. Υπολογίζω τη γωνία που λείπει και χαρακτηρίζω το τρίγωνο ως προς τις γωνίες του.
……………………………………..
…………………………………….. ……………………………………..
4. Βρίσκω πόσες μοίρες είναι η γωνία που λείπει.
Α)30ο
60ο
………
Β) 10ο
80ο
………
Γ) 25ο
25ο
………
Δ) 130ο
30ο
………
Ε) 100ο
45ο
………
ΣΤ) 72ο
67ο
………
5. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΚΛ η γωνία Μ είναι 75ο
. Πόσες μοίρες
είναι η γωνία Λ;
Πώς το βρήκες; ……………………………………………………………………………………………………..

6. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες.
Τι θα σκεφτώ για να το βρω; ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
Πόσες μοίρες είναι κάθε γωνία;………………………………………………………………….
7. Στο τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες Β και Γ είναι ίσες μεταξύ τους και η
γωνία Α είναι 40ο
. Πόσες μοίρες είναι η γωνία Β και πόσες η Γ;
Εξηγώ πως σκέφτηκα:…………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
8. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι 120ο
. Η γωνία Β είναι 95ο
μικρότερη από τη γωνία α.
Α) Πόσες μοίρες είναι η γωνία Β;………………………………………………
Β) Πόσες μοίρες είναι η γωνία Γ; ………………………………………………
9. Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ φέρνουμε τη διαγώνιο
ΑΓ.
 Πόσα τρίγωνα σχηματίζονται;
…………………………………………………………………………….
 Παρατηρώ την εικόνα και βρίσκω πόσες μοίρες οι
γωνίες των τριγώνων που σχηματίζονται. Το γράφω
στο σχήμα.
 Τι είναι τα δυο αυτά τρίγωνα αν τα
συγκρίνουμε;…………………………………………………………
Όνομα: ……………………………………………………………………
Nansy Tzg

Γιάννης Φερεντίνος

Ως προς τις γωνίες
 Υπάρχουν τρία είδη τριγώνων σε σχέση με το είδος
των γωνιών τους:
Οξυγώνιο τρίγωνο
Ορθογώνιο τρίγωνο
Αμβλυγώνιο τρίγωνο

Αν όλες οι γωνίες του τριγώνου είναι οξείες (<90ο )
τότε το τρίγωνο λέγεται οξυγώνιο.

Αν ένα τρίγωνο έχει μια ορθή γωνία ( 90ο ) και δυο
οξείες, λέγεται ορθογώνιο.

Αν ένα τρίγωνο έχει μια αμβλεία γωνία (> 90ο ) και δυο
οξείες, λέγεται αμβλυγώνιο.

 Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των τριών γωνιών του
είναι πάντοτε 180ο .

Ως προς τις πλευρές
 Υπάρχουν τρία είδη τριγώνων σε σχέση με τις πλευρές
τους:
Ισόπλευρο τρίγωνο
Ισοσκελές τρίγωνο
Σκαληνό τρίγωνο

Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το
τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο.
Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι μεταξύ
τους ίσες (60ο η καθεμιά).

Αν δυο μόνο πλευρές του τριγώνου είναι ίσες, τότε το
τρίγωνο λέγεται ισοσκελές.
Στο ισοσκελές τρίγωνο δυο από τις γωνίες του – αυτές
που εφάπτονται στην τρίτη και διαφορετική πλευρά -
είναι ίσες μεταξύ τους.

Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι διαφορετικές
μεταξύ τους, τότε το τρίγωνο λέγεται σκαληνό.
Όλες οι γωνίες ενός σκαληνού τριγώνου είναι άνισες
μεταξύ τους.
Γιάννης Φερεντίνος

ΤΡΙΓ ΝΑΤΡΙΓ ΝΑ
www.edc.uoc.gr

1. Ορίζουµε τρία
σηµεία Α, Β, ΓΑ, Β, Γ
πάνω στο επίπεδο
Γ
ΑΑ11 Το τρίγωνοΤο τρίγωνο
2. Ενώνουµε τα
σηµεία Α, Β, ΓΑ, Β, Γ
3. ΧρωµατίζουµεΧρωµατίζουµε το
εσωτερικό του
σχήµατος που
προκύπτει
Α Β
Το σχήµα που
προκύπτει είναι το
τρίγωνο ΑΒΓΑΒΓ

Γ
ΑΑ22 Στοιχεία τριγώνουΣτοιχεία τριγώνου
Τα κύρια στοιχεία του
τριγώνου ΑΒΓΑΒΓ είναι:
Α Β
• Οι τρεις πλευρές
ΑΒΑΒ, ΒΓΒΓ και ΓΑΓΑ
• Οι τρεις γωνίες
Α, ΒΑ, Β και ΓΓ

ΑΑ33 Ύψος τριγώνουΎψος τριγώνου
Γ
Φέρνουµε κάθετο από
την κορυφή ΓΓ στην
πλευρά ΑΒΑΒ
Το ευθύγραµµο τµήµα
ΓΓ είναι το ύψοςύψος του
Γ
Α Β
ΓΓ είναι το ύψοςύψος του
τριγώνου
Η πλευρά ΑΒΑΒ είναι η
βάσηβάση του τριγώνου

ΑΑ44 Ύψη τριγώνουΎψη τριγώνου
Χρησιµοποιώντας το
τρίγωνό µας ας
προσπαθήσουµε να
χαράξουµε τα τρία ύψητρία ύψη
του τριγώνου ΑΒΓΑΒΓ.
Γ
Ε
Όλα τα ύψη
περνούν από το
σηµείο ΟΟ
του τριγώνου ΑΒΓΑΒΓ.
Α Β
ΖΟΟ

ΑΑ
ΓΓ
ΒΒ
Β.Β. Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες τουςΕίδη τριγώνων ως προς τις γωνίες τους
50ο
60ο
70ο
ΕΕ
ΖΖ
ΗΗ
ΙΙ
ΘΘ
30ο
45ο105ο
90ο
40ο
50ο
Το τρίγωνο ΑΒΓΑΒΓ είναι
οξυγώνιοοξυγώνιο, γιατί έχει
όλες τις γωνίες οξείεςοξείες
Το τρίγωνο ΕΖΕΖ είναι
αµβλυγώνιοαµβλυγώνιο, γιατί έχει
µια γωνία αµβλείααµβλεία
Το τρίγωνο ΗΘΙΗΘΙ είναι
ορθογώνιοορθογώνιο, γιατί έχει
µια γωνία ορθήορθή
Το άθροισµα των γωνιών κάθε
τριγώνου είναι 180180οο
50ο+70ο+60ο=180180ο 105ο+45ο+30ο=180180ο 90ο+50ο+40ο=180180ο

ΓΓ11 Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές τουςΕίδη τριγώνων ως προς τις πλευρές τους
ΓΓ
ΖΖ
ΙΙ
ΑΑ ΒΒ ΕΕ ΗΗ ΘΘ
5 εκ.5 εκ.6 εκ.
Το τρίγωνο ΑΒΓΑΒΓ
είναι σκαληνόσκαληνό, γιατί
έχει όλες τις πλευρές
του άνισεςάνισες
Το τρίγωνο ΕΖΕΖ
είναι ισοσκελέςισοσκελές,
γιατί έχει δύο
πλευρές ίσεςίσες
Το τρίγωνο ΗΘΙΗΘΙ
είναι ισόπλευροισόπλευρο,
γιατί έχει όλες τις
πλευρές του ίσεςίσες

ΓΓ22 Περίµετρος τριγώνωνΠερίµετρος τριγώνων
ΖΖ
ΙΙΓΓ
ΕΕ ΗΗ ΘΘ
5 εκ.5 εκ.6 εκ.
ΑΑ ΒΒ
Περίµετρος του ΑΒΓΑΒΓ Περίµετρος του ΕΖΕΖ Περίµετρος του ΗΘΙΗΘΙ
Το άθροισµα των µηκών των πλευρών
ενός τριγώνου λέγεται περίµετροςπερίµετρος
6 + 6,5 + 5,4 =19,9 εκ.19,9 εκ. 5 + 6,5 + 6,5 = 18 εκ.18 εκ. 5 + 5 + 5 = 15 εκ.15 εκ.

Γ3Γ3 Σύγκριση γωνιών των τριγώνωνΣύγκριση γωνιών των τριγώνων
ΓΓ
ΖΖ
ΙΙ
6060οο
6060οο 6060οο
40ο
7700οο 7700οο
60ο
70ο 50ο
Όλες οι γωνίες
είναι άνισεςάνισες
Οι γωνίες απέναντι από τις
ίσες πλευρές είναι ίσεςίσες
Όλες οι γωνίες
είναι ίσεςίσες
ΑΑ ΒΒ
σκαληνόσκαληνό
ΕΕ
ισοσκελέςισοσκελές
ΗΗ ΘΘ
ισόπλευροισόπλευρο
6060οο 6060οο
7700οο 7700οο
70ο 50ο

1η Κατασκευή1η Κατασκευή
Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο έχειΝα κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο έχει ΑΒ = 5ΑΒ = 5
εκ.εκ.,, ΑΓ = 3 εκ.ΑΓ = 3 εκ. καικαι Â = 70Â = 70οο ..
3 εκ.
Γ
3. Μετράµε την
ΑΓ = 3 εκ.= 3 εκ. 4. Ενώνουµε τα
σηµεία Γ και Β
11 Κατασκευές τριγώνωνΚατασκευές τριγώνων
Α 70ο
3 εκ.
5 εκ.
Β
2. Μετράµε την
ΑΒ = 5 εκ.= 5 εκ.
σηµεία Γ και Β
1. Κατασκευάζουµε
την Â = 70οÂ = 70ο

Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίοΝα κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο
έχειέχει ΑΒ = 5 εκ.ΑΒ = 5 εκ.,, AA = 70= 70οο καικαι BB = 40= 40οο ..
4. Στο σηµείο που
τέµνονται οι ηµιευθείες
Γ
2η Κατασκευή2η Κατασκευή22 Κατασκευές τριγώνωνΚατασκευές τριγώνων
70ο
Α 5 εκ. Β
1. Χαράζουµε το
ΑΒ = 5 εκ.= 5 εκ.
την Β = 40Β = 40οο
την Â = 70Â = 70οο
40ο
τέµνονται οι ηµιευθείες
σηµειώνουµε την
κορυφή Γ
40ο70ο

209
40. Äéá÷åßñéóç ðëçñïöïñßáò - Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá
ëýóç
1 ôüíïò åßíáé 1.000 êéëÜ.
Óôá öïñôçãÜ Ýâáëáí: 1.000 – 80 = 920 êéëÜ
¢ñá ôï êÜèå öïñôçãü ðÞñå: 920 : 4 = 180 êéëÜ ðáôÜôåò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 28
¢óêçóç á
¸íáò áãñïôéêüò óõíåôáéñéóìüò ìÜæåøå 1 ôüíï ðáôÜôåò. Ìïßñáóå áõôÞ
ôçí ðïóüôçôá óå 4 öïñôçãÜ, áëëÜ Ýìåéíáí óôçí áðïèÞêç 80 êéëÜ.
Ðüóá êéëÜ ðáôÜôåò ðÞñå êÜèå öïñôçãü;
Åêôéìþ: Ìå 190 ÷éëéïóôüëéôñá.
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá:
Ãéá ôá 5 ßäéá ðïôÞñéá ÷ñçóéìïðïéþ ôá:
1000 25 975
1000 1000 1000
− = ÷éëéïóôüëéôñá.
¢ñá ôï êÜèå ðïôÞñé ãåìßæåé ìå: 975 : 5 = 195 ÷éëéïóôüëéôñá
• Åêôéìþ: 95 ÷éëéïóôüëéôñá.
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá:
195 : 2 = 97,5 ÷éëéïóôüëéôñá
Áöïý ôá ðïôÞñéá åßíáé äéðëÜóéá ôùí ðáñáðÜíù, ç ðïóüôçôá ðïõ èá âÜæáìå óôï êáèÝíá
åßíáé ç ìéóÞ.

210
Äéá÷åßñéóç ðëçñïöïñßáò - Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
¢óêçóç â
ÅñãÜôåò áóöáëôïóôñþíïõí Ýíá äñüìï 5 ÷éëéïìÝôñùí óå 10
þñåò. Ôçí åðüìåíç ìÝñá, ïé ßäéïé åñãÜôåò, áóöáëôïóôñþ-
íïõí Üëëïí äñüìï 9 ÷éëéïìÝôñùí óå 12 þñåò. Ðïéá ìÝñá
Þôáí ðéï áðïäïôéêïß ïé åñãÜôåò;
ëýóç
Ïé åñãÜôåò áóöáëôïóôñþíïõí:
ôçí 1ç ìÝñá: 5.000ì. : 10 þñåò = 500 ìÝôñá ôçí þñá.
ôç 2ç ìÝñá: 9.000ì. : 12 þñåò = 750 ìÝôñá ôçí þñá.
¢ñá, ôç 2ç ìÝñá ïé åñãÜôåò Þôáí ðéï áðïäïôéêïß.
Åêôéìþ: Ðéï ãñÞãïñá öôéÜ÷íåé ðáæë ç ÅéñÞíç ìüíç ôçò.
• ç ÅéñÞíç ìå ôçí áäåñöÞ ôçò: 1560 : 5 = 312 êïììÜôéá ôçí þñá
ç ÅéñÞíç ìüíç ôçò: 720 : 3 = 240 êïììÜôéá ôçí þñá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 29 Åêôéìþ: Ç 2ç åðéöÜíåéá åßíáé êáëõììÝíç óå ìåãáëýôåñï ðïóïóôü.
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá: - ìå êëÜóìá - ìå %
Ç 1ç åðéöÜíåéá:
10 5
22 11
= 45%
Ç 2ç åðéöÜíåéá:
8 4
14 7
= 57%

211
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 29 1ï →
1
2
(áðü ôá 2 ðëáêÜêéá, ôï 1 ÷ñùìáôéóìÝíï)
2ï →
2
5
(áðü ôá 5 ðëáêÜêéá, ôá 2 ÷ñùìáôéóìÝíá)
3ï →
3
9
•
•
- Åîçãþ ðþò óêÝöôçêá:
ÐáñÜäåéãìá:
• Áí Ý÷ïõìå 6 ÷ñùìáôéóìÝíá, óýìöùíá ìå ôï ìïôßâï, ôüôå åßíáé:
Êáé ôï êëÜóìá ðïõ äåß÷íåé ðüóá ðëáêÜêéá áðü üëá åßíáé ÷ñùìáôéóìÝíá åßíáé:
4
14
(áðü ôá 14 ðëáêÜêéá, æùãñáöéóìÝíá åßíáé ôá 4)

212
óõíÝ÷åéá áðÜíôçóçò
Üóêçóçò ä
• Åðüìåíï
• Åðüìåíï:
• Áí Ý÷ïõìå 11 ÷ñùìáôéóôá:

213
6ï Åðáíáëçðôéêü
• Ôá êïéíÜ ðïëëáðëÜóéá äýï áñéèìþí, åßíáé ðïëëáðëÜóéá ôïõ Å.Ê.Ð. êáé ìÜëéóôá ôï Å.Ê.Ð.
åßíáé ôï ìéêñüôåñï áðü áõôÜ.
• ÐñÝðåé íá êÜíù ôá åôåñþíõìá êëÜóìáôá ïìþíõìá üôáí óõãêñßíù, ðñïóèÝôù Þ áöáéñþ
åôåñþíõìá êëÜóìáôá.
• Äéüôé Ýôóé ìðïñþ íá ôá óõãêñßíù ãñÞãïñá êáé êÜíù ðéï åýêïëá ðñÜîåéò.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
Åßíáé 120 : 6 = 20ì. ç êÜèå ðëåõ-
ñÜ ãéáôß Ý÷åé Ýîé ðëåõñÝò ßóïõ
ìÞêïõò.
50 + 50 + 20 + 20 = 120ì.
Þ
40 + 40 + 30 + 30 = 120ì.
Ïé áðÝíáíôé ðëåõñÝò Ý÷ïõí ßóï
ìÞêïò.
120 : 4 = 30ì.
Ãéáôß ôï ôåôñÜãùíï Ý÷åé êáé
ôéò 4 ðëåõñÝò ßóåò.

214
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
• Áíáóôáóßá:
1 5
3 15
=
Íéêüëáò:
4
15
ÂáóéëéêÞ:
1 3
5 15
=
• Ç Áíáóôáóßá ôáêôïðïßçóå ôá ðåñéóóüôåñá.
• Ôá
3
15
ôùí âéâëßùí äåí ôáêôïðïéÞèçêáí, äéüôé:
5 4 3 12
15 15 15 15
+ + = .
¢ñá
15 12 3
15 15 15
− = .

215
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
¼ëïé ìáæß ôçò Ýäùóáí ôá
2
9
êáé ôá
11
15
ôïõ ðïóïý.
¢ñá,
2 11 10 33 43
9 15 45 45 45
+ = + = ôïõ ðïóïý Ýäùóáí óôç Ìáñãáñßôá.
Ôá
2
45
åßíáé 6 . Ôï
1
45
åßíáé 3 .
¢ñá, ôá
43
45
åßíáé 43 ÷ 3 = 129 .
Ôï ðáé÷íßäé êüóôéæå:129+ 6 =135 .
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
• Ôï åìâáäüí ôïõ èá åßíáé 64 ô.åê.
• Ôï åìâáäüí ôïõ èá åßíáé ôï 4ðëÜóéï, áöïý ôï äéðëÜóéï ôùí 8åê.
åßíáé 16åê., ôï åìâáäüí ôþñá èá åßíáé 16 ÷ 16 = 256ô.åê.
256 : 64 = 4 öïñÝò ìåãáëýôåñï åßíáé ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ,
áí äéðëáóéÜóù ôï ìÞêïò ôçò êÜèå ðëåõñÜò.

216
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
41. ÌÝôñçóç ãùíéþí
¢óêçóç á
×áñáêôÞñéóå ôéò ðáñáêÜôù ãùíßåò:
ëýóç
Áìâëåßá Ïîåßá ÏñèÞ

217
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
• α 35 Λ
∧
= ° • β 55 Σ
∧
= ° • γ 85 Λ
∧
= °
•
ÌÝôñçóç ãùíéþí

218
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
ÌÝôñçóç ãùíéþí
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
Óõìöùíþ ìå ôï êïñßôóé, ãéáôß ìéá ïñèÞ ãùíßá áíôéóôïé÷åß óå äéÜóôçìá 15
ëåðôþí, ìå áðïôÝëåóìá íá ãßíåôáé ðåñéóóüôåñåò áðü 4 öïñÝò óå 12 þñåò.
• ÆåõãÜñéá ãùíéþí ðïõ Ý÷ïõí Ü-
èñïéóìá ìåãáëýôåñï áðü 180°:
á - ä, á - ã, á - â, ä - ã, ä - â
¢óêçóç â
Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá, êÜðïéåò ãùíßåò åßíáé óçìåéùìÝíåò ìå ìéêñÜ ãñÜììáôá. Áðü áõôÝò ðïéåò
ãùíßåò åßíáé áìâëåßåò êáé ðïéåò ãùíßåò åßíáé ïîåßåò;
ëýóç
Ïîåßåò ãùíßåò åßíáé ïé: á, ã, å, ç
Áìâëåßåò ãùíßåò åßíáé ïé: â, ä, æ, è

219
42. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ãùíßåò
¢óêçóç á
Ðïéï åßíáé ôï åßäïò ôùí ðáñáêÜôù ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ãùíßåò ôïõò.
ëýóç
To á ôñßãùíï åßíáé ïñèïãþíéï.
Ôï â ôñßãùíï åßíáé ïîõãþíéï.
Ôï ã ôñßãùíï åßíáé áìâëõãþíéï.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
• (á) ïñèïãþíéï (â) áìâëõãþíéï (ã) áìâëõãþíéï
•
• Áðü ôç ìÝôñçóç ôùí ãùíéþí ðñïêýðôåé üôé åßíáé óùóôÞ ç åêôßìçóç ðïõ Ýêáíá.

220
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ãùíßåò

221
óõíÝ÷åéá áðÜíôçóçò
Üóêçóçò â
• Åßíáé óùóôÞ ç åêôßìçóÞ ðïõ Ýêáíá.
•
¢óêçóç â
Õðïëïãßæù ôéò õðüëïéðåò ãùíßåò ôïõ ðáñáêÜôù ïñèïãùíßïõ ÷ùñßò ôç ÷ñÞóç ìïéñïãíùìïíßïõ.
ëýóç
Ôï Üèñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ åßíáé 180°.
Ïé ãùíßåò ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé:
90° + 30° = 120°, Üñá 180° – 120° = 60°
90° + 60° = 150°, Üñá 180° – 150° = 30°

222
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
Ç äéáãþíéïò ÷ùñßæåé ôï ôåôñÜãùíï óå äýï ïñèïãþíéá ôñßãùíá, Üñá ôçí ãùíßá
ðïõ øÜ÷íù èá ôçí âñù ùò åîÞò: 90° + 45° = 135°
Ïðüôå: 180° – 135° = 45°
Ïé ãùíßåò ôïõ ðÜíù ôñéãþíïõ åßíáé 45°, áöïý 90° - 45° = 45°.
Ôï ôåôñÜãùíï Ý÷åé üëåò ôïõ ôéò ãùíßåò ïñèÝò.
Ôï ôñßãùíï åßíáé ïñèïãþíéï.
¢óêçóç ã
Ðüóï åßíáé ç ãùíßá ìå ôï åñùôçìáôéêü óôï
ðáñáêÜôù ôñßãùíï;
ëýóç
Ôï Üèñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ
åßíáé 180°.
¸÷ù:¡ 180° + 60° = 140°
¢ñá, ç ãùíßá ìå ôï åñùôçìáôéêü åßíáé:
180° – 140° = 40°

223
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
á: 35° ä: 45°
â: 35° å: 45°
ã: 55° æ: 90°
ç: 45°
Ìå êñéôÞñéï üôé:
• ôï Üèñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ åßíáé 180°,
• ôï Üèñïéóìá ôùí ïîåéþí ãùíéþí åíüò ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ åßíáé 90°,
• ïé ãùíßåò ôçò âÜóçò éóïóêåëïýò ôñéãþíïõ åßíáé ßóåò.

224
43. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ðëåõñÝò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
¢óêçóç á
ÊáôáóêåõÜæù Ýíá ôåôñÜãùíï, Ýíá ñüìâï êáé Ýíá ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï. ÖÝñíù ôéò äéá-
ãþíéåò ôùí ó÷çìÜôùí. Ôé åßäïõò ôñßãùíá, ùò ðñïò ôéò ðëåõñÝò ôïõò, äçìéïõñãïýíôáé óå êÜèå
ó÷Þìá;
ëýóç
Ôá ôñßãùíá ðïõ äçìéïõñãÞèçêáí åßíáé éóïóêåëÞ.

12ο
Δημ. Σχ. Αθηνών Τάξη Ε2΄ 29/5/2009
ΟΝΟΜΑ: ________________________________________________________________________________________
Κεφ. 42 Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες
Υπολογίστε τις γωνίες κάθε τριγώνου και γράψτε τι είδους είναι το καθένα.
Δ
Ε Ζ
Η
Θ
Ι
Α Β
Γ
Λ
Μ
Κ

1
γωνία
γωνία
γωνία
κορυφή
κορυφή
κορυφή
πλευρά πλευρά
πλευρά
ΓΒ
Α
Μ ΓΒ
Α
Μ ΓΒ
Α
Μ ΓΒ
Α
ΓB
A
ΓB
A
Γ
B
A
3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ∆Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ
1.
Κύρια στοιχεία τριγώνου
Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι
πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές.
Ονοµασία : Πλευρές είναι οι ΑΒ , ΒΓ , ΑΓ
Κορυφές είναι τα σηµεία Α , Β, Γ
Γωνίες είναι οι γωνίες Α , Β , ɵΓ
2.
∆ευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου
Είναι οι διάµεσοι , τα ύψη και οι διχοτόµοι
∆ιάµεσος ενός τριγώνου ονοµάζεται το ευθύγραµµο
τµήµα που ενώνει µία κορυφή του τριγώνου µε το µέσο
της απέναντι πλευράς.
Ύψος ενός τριγώνου ονοµάζεται το ευθύγραµµο τµήµα
που φέρουµε από µία κορυφή του τριγώνου κάθετα
στην ευθεία της απέναντι πλευράς.
∆ιχοτόµος ενός τριγώνου ονοµάζεται το ευθύγραµµο
τµήµα που φέρουµε από µία κορυφή του τριγώνου,
χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει
στην απέναντι πλευρά.
3.
Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών
Οξυγώνιο τρίγωνο, όταν όλες οι γωνίες είναι οξείες
Α < 90ο
, Β < 90ο
, ɵΓ < 90ο
Αµβλυγώνιο τρίγωνο , όταν µία γωνία είναι αµβλεία
Β > 90ο
Ορθογώνιο τρίγωνο , όταν µία γωνία είναι ορθή .
Α = 90ο
Οι πλευρές της ορθής γωνίας λέγονται κάθετες πλευρές και η τρίτη υποτείνουσα

2
ΓB
A
ΓΒ
Α
ΓΒ
Α
ΓΒ
Α
3.
Είδη τριγώνων από την άποψη των πλευρών
Σκαληνό όταν και οι τρείς πλευρές είναι άνισες
ΑΒ ≠ ΑΓ ≠ ΒΓ
Ισοσκελές όταν δύο πλευρές είναι ίσες
Αν ΑΒ = ΑΓ, η ΒΓ ονοµάζεται βάση
και το σηµείο Α κορυφή
Ισόπλευρο τρίγωνο όταν όλες οι πλευρές είναι ίσες
ΑΒ = ΑΓ = ΒΓ
4.
Ονοµασία γωνίας σε σχέση µε πλευρές του τριγώνου
Η γωνία που περιέχεται µεταξύ δύο πλευρών λέγεται περιεχόµενη γωνία των
πλευρών αυτών.
Οι γωνίες που έχουν κορυφές τα άκρα µιας πλευράς λέγονται γωνίες προσκείµενες
στην πλευρά αυτή.
Η γωνία που η κορυφή της είναι απέναντι από µία πλευρά του τριγώνου λέγεται
γωνία απέναντι της πλευράς αυτής.
Στο σχήµα : Γωνία περιεχόµενη από τις πλευρές ΑΒ και
ΑΓ είναι η Α .
Γωνία απέναντι από την πλευρά ΑΓ είναι η Β
Γωνίες προσκείµενες στην πλευρά ΒΓ είναι
η Β και η ɵΓ .
Στο τρίγωνο ΑΒΓ τις πλευρές που είναι απέναντι από τις γωνίες Α , Β
και ɵΓ τις συµβολίζουµε και µε α , β και γ αντίστοιχα

3
Μ∆
Γ Β
Α
50ο30ο
∆
M
Z
y
Α
x
Β Γ
ΣΧΟΛΙΑ
1.
Σχεδιασµός : Όλα τα σχήµατα τα σχεδιάζουµε χρησιµοποιώντας τα γεωµετρικά
όργανα που είναι ο χάρακας, ο γνώµονας και ο διαβήτης.
Ποτέ δεν τα φτιάχνουµε µε το χέρι.
Για την κατασκευή γωνίας συγκεκριµένου µέτρου χρησιµοποιούµε
το µοιρογνωµόνιο .
2.
Σχεδιασµός τριγώνου : Όταν θέλουµε να σχεδιάσουµε ένα τρίγωνο όχι
καθορισµένου είδους τότε σχεδιάζουµε ένα
οξυγώνιο και σκαληνό .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να φέρετε και να ονοµάσετε µία διάµεσο και
ένα ύψος από την ίδια κορυφή.
Προτεινόµενη λύση
Βρίσκω Μ το µέσο της ΒΓ. Τότε η ΑΜ είναι διάµεσος.
Φέρνω Α∆ ⊥ ΒΓ. Τότε το Α∆ είναι ένα ύψος.
2.
Να σχεδιάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΒΓ = 4cm , Β = 30ο
και ɵΓ = 50ο
και να φέρετε την
διάµεσο ΒΜ το ύψος Α∆ και την διχοτόµο ΓΖ .
Με το χάρακα σχεδιάζουµε ευθύγραµµο τµήµα
ΒΓ = 4cm και µε το µοιρογνωµόνιο γωνίες
ΓΒ x = 30ο
και Β ɵΓ y = 50ο
. Αν Α είναι το σηµείο
τοµής των Βx και Αy, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ έχει
τα καθοριζόµενα στοιχεία.
Αν Μ είναι το µέσο της ΑΓ, Α∆ ⊥ ΒΓ και η
διχοτόµος της γωνίας ɵΓ τέµνει την ΑΒ στο Ζ , τότε
τα ΒΜ , Α∆ και ΓΖ είναι τα ζητούµενα δευτερεύοντα
στοιχεία του τριγώνου.

4
∆Μ
45ο
45ο
Α
Γ
Β
Μ
Γ
ΒΑ
3.
Να σχεδιάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΒΓ = 3cm, Β = 45ο
και ɵΓ = 45ο
και να φέρετε την
διάµεσο και το ύψος από την κορυφή Α. Τι παρατηρείτε ;
Με την βοήθεια χάρακα και µοιρογνωµονίου
κατασκευάζουµε τρίγωνο ΑΒΓ µε
ΒΓ = 3cm, Β = 45ο
και ɵΓ = 45ο
.
Αν Μ είναι το µέσο της ΒΓ τότε η ΑΜ
είναι η διάµεσος και αν Α∆ ⊥ ΒΓ, το Α∆ είναι
το ύψος.
Παρατηρούµε ότι το ύψος και η διάµεσος συµπίπτουν
4 .
Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΒΓ, να φέρετε τη
διάµεσο ΑΜ και να συγκρίνεται µε το διαβήτη τα τµήµατα ΑΜ , ΒΜ και ΓΜ.
Τι παρατηρείτε;
Αν µε διάµετρο την ΒΓ γράψουµε κύκλο αυτός από ποιο άλλο σηµείο θα διέλθει;
∆ικαιολογήστε την απάντησή σας.
Κατασκευάζουµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και
φέρουµε την διάµεσο ΑΜ στην υποτείνουσα.
Συγκρίνοντας τα τµήµατα ΑΜ , ΒΜ , ΓΜ
µε το διαβήτη, διαπιστώνουµε ότι είναι ίσα.
Είναι φανερό ότι ο κύκλος θα περάσει και από
το Α, αφού ΜΒ = ΜΓ = ΑΜ.
5.
Στις παρακάτω ερωτήσεις να συµπληρώσετε τα κενά
α) Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει µία …. γωνία
β) Ισόπλευρο λέµε το τρίγωνο που έχει …. πλευρές
γ) Οξυγώνιο είναι το τρίγωνο στο οποίο ….. είναι οξείες
δ) Ύψος τριγώνου λέγεται το …. που φέρνουµε από µία κορυφή στην …..
ε) Σκαληνό λέγεται το τρίγωνο το οποίο έχει …. πλευρές
στ) ∆ιάµεσος τριγώνου λέγεται το τµήµα που ….. µε το …. της απέναντι πλευράς
α) Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει µία ορθή γωνία
β) Ισόπλευρο λέµε το τρίγωνο που έχει ίσες πλευρές
γ) Οξυγώνιο είναι το τρίγωνο στο οποίο όλες οι γωνίες είναι οξείες
δ) Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραµµο τµήµα που φέρνουµε από µία
κορυφή στην ευθεία της απέναντι πλευράς
ε) Σκαληνό λέγεται το τρίγωνο το οποίο έχει άνισες πλευρές
στ) ∆ιάµεσος τριγώνου λέγεται το τµήµα που ενώνει µία κορυφή µε το µέσο της
απέναντι πλευράς

5
∆
Ν
Μ
Γ
ΒΑ
Ε
∆
Μ ΓΒ
Α
6.
Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι
λανθασµένες
α) Κάθε τρίγωνο έχει τρείς κορυφές Σ
β) Υπάρχει τρίγωνο που δεν έχει ύψη Λ
γ) Το αµβλυγώνιο τρίγωνο έχει µία µόνο διάµεσο Λ
δ) Σκαληνό λέµε το τρίγωνο µε δύο πλευρές άνισες Λ
ε) Στο ορθογώνιο τρίγωνο οι γωνίες είναι ορθές Λ
στ) Ισόπλευρο είναι το τρίγωνο που έχει τις γωνίες του οξείες Λ
α) Από την θεωρία η πρόταση είναι σωστή
β) Από την θεωρία η πρόταση είναι λάθος
γ) Από την θεωρία η πρόταση είναι λάθος
δ) Από την θεωρία η πρόταση είναι λάθος
ε) Από την θεωρία η πρόταση είναι λάθος
στ) Από την θεωρία η πρόταση είναι λάθος
7.
Να σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, να βρείτε τα µέσα Μ και Ν των καθέτων
πλευρών ΑΒ και ΑΓ και να τα ενώσετε. Να συγκρίνεται το τµήµα ΜΝ µε τη
διάµεσο στην υποτείνουσα. Τι παρατηρείτε;
Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο
µε υποτείνουσα την ΒΓ.
Τα σηµεία Μ , Ν είναι τα µέσα των ΑΒ και ΑΓ και
Α∆ η διάµεσος στην υποτείνουσα.
Συγκρίνοντας µε τον διαβήτη τα τµήµατα ΜΝ και Α∆
διαπιστώνουµε ότι ΜΝ = Α∆
8.
Να σχεδιάσετε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και να φέρετε τα ύψη Β∆ και ΓΕ.
Να βρείτε το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ. Να σχεδιάσετε και να συγκρίνεται µε τον
διαβήτη τα τµήµατα ∆Μ και ΕΜ. Τι παρατηρείτε ;
Έστω ΑΒΓ ένα οξυγώνιο τρίγωνο και Β∆ , ΓΕ ύψη του.
Έστω ακόµα Μ το µέσο της ΒΓ.
Συγκρίνοντας τα τµήµατα ∆Μ και ΕΜ διαπιστώνουµε
ότι ∆Μ = ΕΜ

6
∆
Γ
BA
9 .
Από το µέσο ∆ της πλευράς ΑΒ ενός αµβλυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Β > 90ο
)
φέρουµε ευθεία ε παράλληλη προς την ΒΓ, η οποία τέµνει την διάµεσο ΑΜ
στο Ζ και την πλευρά ΑΓ στο Ε. Να συγκρίνετε τα τµήµατα ΑΖ και ΖΜ καθώς
επίσης και τα τµήµατα ΑΕ και ΕΓ . Τι παρατηρείτε;
Σχεδιάζοντας το αµβλυγώνιο τρίγωνο
ΑΒΓ και φέρνοντας την ∆ΖΕ // ΒΓ
µετά από σύγκριση διαπιστώνουµε ότι
ΑΖ = ΖΜ και ΑΕ = ΕΓ
10.
Να σχεδιάσετε έναν κύκλο µε διάµετρο ΑΒ = 3 cm. Να ενώσετε ένα σηµείο Γ του
κύκλου µε τα Α και Β. Να σχεδιάσετε τα ύψη του τριγώνου ΑΒΓ. Τι παρατηρείτε;
Σχεδιάζουµε τον κύκλο και το τρίγωνο ΑΒΓ.
Φέρνοντας τα ύψη του τριγώνου διαπιστώνουµε ότι
τα δύο από αυτά ταυτίζονται µε τις πλευρές ΓΑ και ΓΒ
και το τρίτο είναι το Γ∆.
Ζ
Ε∆
Μ ΓΒ
Α

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ
‘’Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις
πλευρές - Ύψη τριγώνου’’
Κανέλλα Κούτση
ΚΣΕ 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ
ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ: ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΠΑΛΚΙΖΑΣ
ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ - ΙΟΥΝΙΟΣ 2010

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ‘’Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου’’
Κανέλλα Κούτση 2
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ
Κανέλλα Κούτση
1. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ
1.1 Τίτλος διδακτικού σεναρίου
Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου.
1.2 Εμπλεκόμενες γνωστικές περιοχές
Οι γνωστικές περιοχές που εμπλέκονται στη διαδικασία είναι τα Μαθηματικά και
ειδικότερα ο κλάδος της Γεωμετρίας.
1.3 Τάξεις στις οποίες μπορεί να απευθύνεται
Το σενάριο εντάσσεται στο γνωστικό αντικείμενο της Γεωμετρίας Ε’ Δημοτικού και
συγκεκριμένα στις ενότητες «Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις
πλευρές - Ύψη τριγώνου» (Μαθηματικά Ε’ Δημοτικού, Βιβλίο Μαθητή, ενότητες 43-
44, σελ. 112-115) (ΥΠΕΠΘ/Π.Ι., 2006).
1.4 Συμβατότητα με το Α.Π.Σ. και το Δ.Ε.Π.Π.Σ.
Το παρόν σενάριο είναι συμβατό με το ΔΕΠΠΣ και το ΑΠΣ του μαθήματος των
Μαθηματικών αφού συνδέεται με τους γενικούς στόχους και με βασικές
θεμελιώσεις έννοιες της Γεωμετρίας (ΥΠΕΠΘ/Π.Ι., 2003:252) και ειδικότερα στις
θεματικές ενότητες: Επίλυση προβλήματος, σελ. 267-268 και Μετρήσεις, σελ. 270. Ο
κεντρικός άξονας του εκπαιδευτικού σεναρίου αφορά στην άσκηση της
παρατηρητικότητας των μαθητών και της ικανότητάς τους να μεταφέρουν
διαδικασίες και γνώσεις τυπικής μαθησιακής διαδικασίας σε περιβάλλοντα ΤΠΕ.
1.5 Οργάνωση της διδασκαλίας & απαιτούμενη υλικοτεχνική υποδομή
Οργάνωση της Διδασκαλίας
Οι μαθητές χωρίζονται σε ανομοιογενείς ομάδες των πέντε ατόμων. Στην ομάδα
καλό είναι να συμπεριλαμβάνεται ένας μαθητής που χειρίζεται καλά τον
ηλεκτρονικό υπολογιστή. Στις ομάδες ανατίθεται κάθε φορά η ίδια εργασία.

Γνωστικά Προαπαιτούμενα
Οι μαθητές γνωρίζουν ήδη τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές τους και ως
προς τις γωνίες. Μπορούν να μετρούν τις γωνίες με το μοιρογνωμόνιο. Επίσης
μπορούν να φέρουν κάθετο από ένα σημείο προς μια ευθεία. Ξέρουν τα βασικά
στοιχεία χρήσης ενός υπολογιστή. Πριν από την έναρξη των δραστηριοτήτων γίνεται
μια παρουσίαση των προγραμμάτων που θα χρησιμοποιήσουν.
Απαιτούμενη Υλικοτεχνική Υποδομή
Το μάθημα γίνεται στο εργαστήριο πληροφορικής του σχολείου και χρησιμοποιείται
ανάλογος, με τις ομάδες, αριθμός Η/Υ, όπου είναι εγκατεστημένα όλα τα
απαραίτητα λογισμικά. Πιο συγκεκριμένα, απαιτούνται:
• Φύλλα εργασίας.
• Επεξεργαστής κειμένου (Microsoft Word).
• Λογισμικό εννοιολογικής χαρτογράφησης (Inspiration).
• Λογισμικό Δυναμικής Γεωμετρίας (Sketchpad).
• Το βιβλίο του μαθητή Γεωμετρίας και το τετράδιο Εργασιών.
• Προτζέκτορας.
1.6 Διδακτικοί Στόχοι
Οι μαθητές επιδιώκεται:
Α. Ως προς το γνωστικό αντικείμενο
• Να διακρίνουν τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες και ως προς τις
πλευρές, καθώς και τις ιδιότητές τους.
• Να βρίσκουν τη σχέση ανάμεσα στις γωνίες και στις πλευρές ενός
ισοσκελούς τριγώνου.
• Να παρατηρήσουν τη σχέση ανάμεσα στα ύψη κάθε είδους τριγώνου.
Β. Ως προς τη χρήση των νέων τεχνολογιών
• Να κατηγοριοποιούν τα είδη των τριγώνων με πρόγραμμα εννοιολογικής
χαρτογράφησης.
• Να κατασκευάζουν τρίγωνα και να μετρούν γωνίες σε περιβάλλον Δυναμικής
Γεωμετρίας.

• Να σχεδιάζουν ύψη στον υπολογιστή και να παρατηρούν ότι συναντιούνται
στο ίδιο σημείο.
• Να συλλέγουν, να καταγράφουν δεδομένα και με βάση αυτά και τις
παρατηρήσεις τους να εξάγουν ανάλογα συμπεράσματα.
Γ. Ως προς τη μαθησιακή διαδικασία
• Να ενεργοποιηθούν, να κάνουν υποθέσεις και να τις ελέγχουν ως προς την
ορθότητά τους.
• Να εργάζονται ομαδικά αλλά και ατομικά, καλλιεργώντας το διάλογο, την
επιχειρηματολογία και την κριτική σκέψη.
• Να καλλιεργούν την ατομική και συλλογική τους ευθύνη για το παραγόμενο
αποτέλεσμα.
1.7 Εκτιμώμενη διάρκεια
Έξι (6) διδακτικές ώρες (3 δίωρα), στα πλαίσια του μαθήματος των Μαθηματικών.
2. Διδακτική προσέγγιση
Θεωρητική προσέγγιση
Το παρόν σενάριο βασίζεται στις θεωρίες του εποικοδομισμού του J. Piaget,
σύμφωνα με τον οποίο το παιδί αναπτύσσει τη λογική και επιστημονική του σκέψη
εξελικτικά, δηλ. κατασκευάζοντας τη γνώση με το δικό του τρόπο ως ενεργητικό
υποκείμενο. Σημαντικός παράγοντας σε αυτήν τη διαδικασία είναι το πλούσιο σε
εξωτερικά ερεθίσματα περιβάλλον με το οποίο αλληλεπιδρά ο μαθητής. Επίσης, ο
μαθητής λειτουργεί ανακαλυπτικά (J. Bruner) απέναντι στη γνώση με την
επαλήθευση ή τη διάψευση των υποθέσεών του. Έτσι δημιουργείται κίνητρο στο
μαθητή, καθοδηγούμενος από το δάσκαλο, ο οποίος έχει το ρόλο του εμψυχωτή
στην όλη διαδικασία. Με αυτόν τον τρόπο ο μαθητής οικοδομεί τελικά τη γνώση σε
σχέση αλληλεπίδρασης με το υλικό περιβάλλον και με τους συμμαθητές και το
δάσκαλό του, λειτουργώντας ως ενιαίο σύστημα σχέσεων. Με τις πολλαπλές
αναπαραστάσεις των εννοιών, στις οποίες βοηθά η χρήση τεχνολογιών, ο μαθητής
θεμελιώνει τη νέα γνώση και επαναδιαπραγματεύεται τις προηγούμενες αντιλήψεις
του (Δαγδιλέλης & άλ., 2010:28, 29, 31).

Μεθοδολογική προσέγγιση
Στο παρόν σενάριο θεωρήθηκε σκόπιμη η εφαρμογή της ομαδοσυνεργατικής
μεθόδου διδασκαλίας, κατά την οποία οι μαθητές αλληλεπιδρούν κοινωνικά μεταξύ
τους, συνεργάζονται, αποδέχονται ο ένας τη γνώμη του άλλου. Επίσης
αναδεικνύονται πολλές πιθανές λύσεις για κάποιο πρόβλημα, πράγμα που
προσφέρει στο μαθητή τη χαρά της αυτενέργειας και ενισχύει την αίσθηση της
προσωπικής δημιουργίας.
2.1 Διδακτική προσέγγιση με ΤΠΕ
Στο σενάριο χρησιμοποιείται το Inspiration ως περιβάλλον εννοιολογικής
χαρτογράφησης για να αναδειχθούν οι πρότερες ιδέες των μαθητών. Επίσης οι
μαθητές χρησιμοποιούν το Word ώστε να καταφέρουν να καταγράψουν τις
αναγκαίες δραστηριότητες στα Φύλλα Εργασίας τους. Και βέβαια, ως απαραίτητο
εργαλείο για την πραγματοποίηση του παρόντος σεναρίου επελέγη το The
Geometer’s Sketchpad, ως μέσο διερευνητικής μάθησης και ανακάλυψης της
γνώσης. Με το συγκεκριμένο πρόγραμμα επιτρέπεται στο μαθητή να εξερευνά εκ
των έσω ένα σύνολο συγκεκριμένων και αφηρημένων αντικειμένων (Μικρόκοσμος –
Papert) και σχέσεων, να τροποποιεί τις σχέσεις αυτές και να δημιουργεί νέα
αντικείμενα.
2.2 Το προτεινόμενο σενάριο
2.2.α ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ
Α. 1η
& 2η
διδακτική παρέμβαση.
Δίνεται ημιδομημένος εννοιολογικός χάρτης που αναφέρεται στα είδη των τριγώνων
με βάση τις πλευρές και τις γωνίες, με σκοπό την ανίχνευση των προηγούμενων
ιδεών των μαθητών. Ο χάρτης συμπληρώνεται ομαδικά από το δάσκαλο ύστερα από
συζήτηση και με τη βοήθεια του προτζέκτορα. Καταγράφονται αναλυτικά τα είδη
των τριγώνων ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες, πάντα με τη βοήθεια του
δασκάλου, και δίνεται ένας ορισμός για το κάθε είδος χωριστά. Γίνεται σχετική
συζήτηση και δίνονται εξηγήσεις σε σχέση με τη χρήση του προγράμματος του
Inspiration. Επίσης συμπληρώνεται το 1ο
Φύλλο Εργασίας, όπου τα παιδιά

χωρισμένα σε ομάδες δίνουν τον ορισμό του τριγώνου και κατασκευάζουν τα είδη
των τριγώνων με βάση τις οδηγίες του φύλλου εργασίας και τη βοήθεια του
δασκάλου.
Β. 3η
& 4η
Παρουσιάζονται με παραδείγματα το Word και το Sketchpad προκειμένου οι
μαθητές να γνωρίσουν βασικές λειτουργίες του υπολογιστικού περιβάλλοντος στο
οποίο θα δουλέψουν. Σχεδιάζουν τα τρίγωνα και τα μελετούν -με βάση τις
δυνατότητες του Sketchpad- ως προς τις γωνίες και τις πλευρές τους. Στη συνέχεια
δίνεται στους μαθητές το 2ο
Φύλλο Εργασίας. Σε αυτό (το οποίο αναφέρεται στις
σχέσεις γωνιών σε ένα ισοσκελές τρίγωνο) οι μαθητές ξεκινούν με την κατασκευή
ενός ισοσκελούς τριγώνου στο Sketchpad, ακολουθώντας λεπτομερώς τη
διαδικασία. Με τον ίδιο τρόπο φτιάχνουν και δύο ακόμα ισοσκελή τρίγωνα.
Υπολογίζουν τις γωνίες του κάθε τριγώνου και συμπληρώνουν τον πίνακα που
περιλαμβάνεται στο φύλλο εργασίας. Συμπληρώνουν την παρατήρησή τους και
εξάγουν το συμπέρασμά τους για τη σχέση ανάμεσα στις γωνίες σε όλα τα τρίγωνα.
Γ. 5η
& 6η
Με βάση το 3ο
Φύλλο Εργασίας (το οποίο αναφέρεται στις σχέσεις ανάμεσα στα
ύψη ενός τριγώνου) οι μαθητές αρχικά κατασκευάζουν ένα οξυγώνιο τρίγωνο στο
Sketchpad με βάση τις οδηγίες που τους έχουν δοθεί. Στη συνέχεια, κατασκευάζουν
τα τρία ύψη του συγκεκριμένου τριγώνου ακολουθώντας ξανά τη διαδικασία που
τους δίνεται. Το ίδιο κάνουν με ένα αμβλυγώνιο -κινώντας αναλόγως τη μία κορυφή
του προϋπάρχοντος τριγώνου- και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Καταγράφουν τις
παρατηρήσεις τους για τα ύψη του κάθε τριγώνου και εξάγουν το συμπέρασμά τους
στο 3ο
Φύλλο Εργασίας.
2.3. Συνοδευτικά φύλλα εργασίας
2.3.α Φύλλα εργασίας δραστηριοτήτων
(βλ. στο τέλος του σεναρίου)

2.4 Επέκταση - Αξιολόγηση
2.4.α Επέκταση
Το παρόν σενάριο θα μπορούσε να επεκταθεί και στη μελέτη άλλων πολυγώνων με
ανάλογες δραστηριότητες και τη βοήθεια του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας.
2.4.β Αξιολόγηση
α) Διαμορφωτική
Κατά τη διάρκεια εφαρμογής των δραστηριοτήτων τα παιδιά επέδειξαν αρκετό
ενδιαφέρον και συνεργάστηκαν αρκετά καλά. Στο συγκεκριμένο εργαστήριο Η/Υ
όπου εφαρμόστηκε, πρόβλημα δημιουργήθηκε από το μη επαρκή αριθμό
υπολογιστών, πράγμα που μας ανάγκασε να αφιερώνουμε περισσότερες διδακτικές
ώρες για εργασίες που δεν απαιτούσαν κάτι τέτοιο προκειμένου οι ομάδες να
παραμείνουν πενταμελείς. Υπήρξε στην αρχή μία σύγκρουση για το ποιος θα
καθόταν μπροστά στον υπολογιστή, αλλά με την κατάλληλη καθοδήγηση της
εκπαιδευτικού τα προβλήματα σταμάτησαν. Στη συνέχεια τα ίδια τα παιδιά, με την
ενθάρρυνση της εκπαιδευτικού, άρχισαν να καταμερίζουν ρόλους προκειμένου να
επιταχυνθεί η διαδικασία (για παράδειγμα στο σχεδιασμό σχημάτων στο
περιβάλλον του Sketchpad άλλο παιδί διάβαζε τις οδηγίες σχεδιασμού και άλλο με
βάση αυτές σχεδίαζε). Οι ομάδες στην αρχή συμπλήρωναν τα Φύλλα Εργασίας τους
χειρόγραφα και στη συνέχεια τα κατέγραφαν στον υπολογιστή, καθώς δεν υπήρχε
από όλους εξοικείωση με τους Η/Υ.
β) Τελική
Μετά την ολοκλήρωση των δραστηριοτήτων έγινε μια συζήτηση με τα παιδιά
σχετικά με τη γνώμη τους για την όλη διαδικασία. Σε αυτήν τα παιδιά εξέφρασαν
πολύ θετικές απόψεις για αυτού του είδους τη διδακτική προσέγγιση. Η ανάπτυξη
των προαναφερόμενων διδακτικών ενοτήτων με τη χρήση Η/Υ τα έκανε να
προσεγγίσουν, με λιγότερο «φόβο κατανόησης», περιοχές της Γεωμετρίας οι οποίες
χρειάζονται από αρκετά παιδιά πολύ κόπο και χρόνο προκειμένου να τις
κατακτήσουν.

3. Βιβλιογραφία
Δαγδιλέλης, Β., & άλ., (2010), Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών για την Αξιοποίηση και
Εφαρμογή των ΤΠΕ στη Διδακτική. Επιμορφωτικό υλικό για την επιμόρφωση των
εκπαιδευτικών στα Κέντρα Στήριξης Επιμόρφωσης. Τεύχος 1: Γενικό Μέρος.
Πάτρα: ΥΠ.Ε.Π.Θ., Π.Ι., Ε.Α.Ι.Τ.Υ. Προσπελάστηκε: 20 Ιουνίου 2010, από http://b-
epipedo2.cti.gr/index.php?option=com_docman&task=cat_view&gid=49&Itemid=
50.
Κόμης, Β., & άλ., (2008), Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών στη Χρήση και Αξιοποίηση των
ΤΠΕ στην Εκπαιδευτική Διδακτική Διαδικασία. Επιμορφωτικό υλικό για την
επιμόρφωση των εκπαιδευτικών στα Κέντρα Στήριξης Επιμόρφωσης. Τεύχος 2Α:
Κλάδοι ΠΕ60/ΠΕ70. Πάτρα: ΥΠ.Ε.Π.Θ., Π.Ι., Ε.Α.Ι.Τ.Υ. Προσπελάστηκε: 20 Ιουνίου
2010, από http://b-epipedo2.cti.gr/index.php?option=com_docman&task=
cat_view&gid=49&Itemid=50&limitstart=5.
ΥΠΕΠΘ/Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, (2003), Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο
Προγραμμάτων Σπουδών (ΔΕΠΠΣ). Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών (ΑΠΣ)
Μαθηματικών. Προσπελάστηκε: 20 Ιουνίου 2010, από http://www.pi-
schools.gr/download/programs/depps/11deppsaps_math.zip.
ΥΠΕΠΘ/Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, (2006), Μαθηματικά Ε’ Δημοτικού. Βιβλίο μαθητή,
(112-115). Αθήνα: ΟΕΔΒ.

Ομάδα: ……………………………………
Μαθητές:……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
1. Να συμπληρώσετε τον εννοιολογικό χάρτη της έννοιας «τρίγωνα».
2. Να δώσετε τον ορισμό του τριγώνου.
3. Να καταγράψετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες και να τα
σχεδιάσετε.
4. Να καταγράψετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές και να τα
σχεδιάσετε.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2
Ομάδα …
Δραστηριότητα 1η
: Σχέσεις γωνιών σε ένα ισοσκελές τρίγωνο.
Πηγή: Μαθηματικά Ε’ Δημοτικού, ενότητα 43, σελ. 112 (βιβλίο μαθητή)
Κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο ισοσκελές στο Sketchpad
καταγράφοντας λεπτομερώς τη διαδικασία κατασκευής βήμα
βήμα:
Διαδικασία κατασκευής ισοσκελούς τριγώνου βήμα βήμα:
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
1. Επιλέγω το Εργαλείο σημείων από την εργαλειοθήκη.
2. Ορίζω δύο σημεία πάνω στο επίπεδο.
3. Με το Εργαλείο κειμένου ονομάζω τα σημεία πχ. Γ, Δ.
4. Με το Εργαλείο βέλους επιλογής επιλέγω και τα δύο σημεία.
5. Επιλέγω από το Μενού Κατασκευή → Τμήματος.
6. Επιλέγω από το Μενού Κατασκευή → Μέσου σημείου.
7. Με το Εργαλείο βέλους επιλογής επιλέγω και την ευθεία που
έχω ήδη κατασκευάσει.
8. Επιλέγω Κατασκευή → Κάθετης ευθείας.
9. Επιλέγω Προβολή → Πάχος γραμμής → Διακεκομμένη.
10. Με το Εργαλείο σημείων ορίζω ένα σημείο πάνω στη διάμεσο.
11. Χρησιμοποιώ το Εργαλείο κειμένου και ονομάζω το τρίτο
σημείο πχ. Ε.
12. Επιλέγω με το Εργαλείο βέλους επιλογής τα δύο από τα τρία
σημεία (πχ. Το Γ και το Ε).
13. Κατασκευάζω το ευθύγραμμο τμήμα πηγαίνοντας στο Μενού
→ Κατασκευή τμήματος.
14. Με επιλεγμένο το συγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα πηγαίνω
στο Μενού → Μέτρηση μήκους.
15. Κάνω το ίδιο επιλέγοντας πάλι το άλλο σημείο του τριγώνου
(πχ. Το Δ) και πάλι το τρίτο σημείο που βρίσκεται πάνω στη
διάμεσο (πχ. Το Ε). Επαναλαμβάνω τα βήματα 12, 13, 14.
16. Σημειώνω με το Εργαλείο βέλους επιλογής την κάθε γωνία
βάζοντας στη μέση το γράμμα που αντιστοιχεί στη
συγκεκριμένη γωνία (πχ. Αν θέλω το μέγεθος της γωνίας Δ, θα
σημειώσω με το βέλος ΓΔΕ).
17. Στη συνέχεια πηγαίνω στο Μενού → Μέτρηση → Γωνίας και
μετράω τη μία γωνία βάσης.
18. Με τον ίδιο τρόπο (βήματα 16, 17) μετράω και την άλλη γωνία
βάσης, καθώς και την τρίτη γωνία.
19. Μετακινώ το σημείο Ε πάνω στη διάμεσο. Τι παρατηρώ;

Κατασκευάζουμε με τον ίδιο τρόπο και δύο άλλα ισοσκελή
τρίγωνα.
Μετράμε με τον προηγούμενο τρόπο τις γωνίες του κάθε
τριγώνου.
Συμπληρώνουμε τον πίνακα:
Γωνία μοίρες
1ο
τρίγωνο
(όνομα: )
2ο
τρίγωνο
(όνομα: )
3ο
τρίγωνο
(όνομα: )
Τι παρατηρούμε για τη σχέση ανάμεσα στις γωνίες;
__________________________________________________
__________________________________________________
Συμπέρασμα: Στα ισοσκελή τρίγωνα
__________________________________________________
__________________________________________________

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
Ομάδα 2η
:
Δραστηριότητα 2η
: Σχέσεις ανάμεσα στα ύψη ενός τριγώνου.
Πηγή: Μαθηματικά Ε’ Δημοτικού, ενότητα 44, σελ. 114 – 115 (βιβλίο
μαθητή)
Κατασκευάζουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο στο Sketchpad
βήμα:
Διαδικασία κατασκευής οξυγώνιου τριγώνου βήμα βήμα:
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
1. Παίρνω από την Εργαλειοθήκη το Εργαλείο σημείων
2. Ορίζω τρία σημεία στο επίπεδο, που δεν ανήκουν στην ίδια
ευθεία.
3. Με το Εργαλείο κειμένου ονομάζω τα σημεία Γ, Δ, Ε.
4. Με το Εργαλείο βέλους επιλογής επιλέγω όλα τα σημεία.
5. Επιλέγω από το μενού Κατασκευή => Τμημάτων.
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
α. Οξυγώνιο τρίγωνο
6. Μετασχηματίζω το τρίγωνο έτσι ώστε τα μέτρα και των
τριών γωνιών να είναι μικρότερα από 90 μοίρες (οξυγώνιο
τρίγωνο).
β. Αμβλυγώνιο τρίγωνο
7. Μετασχηματίζω το τρίγωνο έτσι ώστε το μέτρο της μιας
γωνίας να είναι μεγαλύτερο από 90 μοίρες (αμβλυγώνιο
τρίγωνο).
γ. Ορθογώνιο τρίγωνο
8. Επαναλαμβάνω τα βήματα 1 έως 5.
9. Επιλέγω το ευθύγραμμο τμήμα ΓΕ.
10. Επιλέγω από το μενού Κατασκευή => Μέσου σημείου.
11. Ονομάζω το σημείο Ζ.
12. Επιλέγω τα σημεία Ζ και Ε.
13. Επιλέγω από το μενού Κατασκευή => Κύκλου από το
κέντρο+σημείο.
14. Επιλέγω το σημείο Δ (που βρίσκεται εκτός κύκλου) και την
περιφέρεια του κύκλου.
15. Επιλέγω από το μενού Επεξεργασία => Συγχώνευση σημείου
σε κύκλο.

Κατασκευάζουμε τα τρία ύψη των τριγώνων στο Sketchpad
βήμα:
Διαδικασία κατασκευής υψών οξυγώνιου τριγώνου βήμα βήμα:
1. Αφού κατασκευάσουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο, επιλέγουμε
μία κορυφή του τριγώνου και την απέναντι πλευρά της με το
Εργαλείο βέλους επιλογής.
2. Έπειτα πηγαίνω στο Μενού → Κατασκευή → Κάθετης
ευθείας και φτιάχνω το πρώτο ύψος.
3. Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζω και για τα υπόλοιπα ύψη.
Επιλέγω μία κορυφή στο τρίγωνό μου και τη σέρνω έτσι ώστε να
μετασχηματίσω το τρίγωνό μου σε αμβλυγώνιο. Τι παρατηρούμε
για τα ύψη του οξυγώνιου και του αμβλυγώνιου τριγώνου;
__________________________________________________
__________________________________________________
Πηγαίνω τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνο. Τι παρατηρούμε για τα
ύψη του;
__________________________________________________
__________________________________________________
Συμπέρασμα: Σε όλα τα τρίγωνα
__________________________________________________
__________________________________________________

1

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΣΧΟΛΗ
ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΤΗΣ
ΑΓΩΓΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ
ΤΜΗΜΑ
ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ
ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ:
ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ
ΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΙΙ

ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ:
ΚΟΛΕΖΑ
ΕΥΓΕΝΙΑ

ΖΑΒΡΑΚΑ
ΔΗΜΗΤΡΑ

ΙΩΑΝΝΙΝΑ
2008

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Ε΄
ΤΑΞΗΣ

ΓΩΝΙΕΣ
ΚΑΙ
ΠΛΕΥΡΕΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ
ΣΧΗΜΑΤΩΝ
(ΣΕ
ΕΥΡΥΤΕΡΟ
ΠΛΑΙΣΙΟ)

ΕΝΟΤΗΤΕΣ:

41:
ΕΙΔΗ
ΓΩΝΙΩΝ
(ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ)

42:
ΕΙΔΗ
ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΩΣ
ΠΡΟΣ
ΤΙΣ
ΓΩΝΙΕΣ
(ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ)

43:
ΕΙΔΗ
ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΩΣ
ΠΡΟΣ
ΤΙΣ
ΠΛΕΥΡΕΣ
(ΣΥΝΔΕΣΗ
ΜΕ
ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ
ΚΑΙ
ΕΜΒΑΔΟΝ

ΤΡΙΓΩΝΟΥ)

44:
ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ-‐ΥΨΗ
ΤΡΙΓΩΝΟΥ


2

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ
ΕΝΟΤΗΤΑΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΤΩΝ
ΠΑΡΑΠΑΝΩ
ΕΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΙΑΡΚΕΙΑ

41.
ΕΙΔΗ
ΓΩΝΙΩΝ
1
ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ
ΩΡΑ

42.
ΕΙΔΗ
ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΩΣ
ΠΡΟΣ
ΤΙΣ
ΓΩΝΙΕΣ
2
ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ
ΩΡΕΣ

43.
ΕΙΔΗ
ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΩΣ
ΠΡΟΣ
ΤΙΣ

ΠΛΕΥΡΕΣ

2
ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ
ΩΡΕΣ

44.
ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ-‐ΥΨΗ
ΤΡΙΓΩΝΟΥ
1
ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ
ΩΡΑ

ΤΕΣΤ
ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
1
ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ
ΩΡΑ

PROJECT
ΓΙΑ
ΤΟ
ΣΠΙΤΙ

ΣΤΟΧΟΙ
ΕΝΟΤΗΤΩΝ

Οι
μαθητές
θα
πρέπει
να
είναι
ικανοί:

• Να
μην
ταυτίζουν
τη
γωνία
με
τις
πλευρές
της
ή
την
κορυφή
αλλά
με
το
«άνοιγμα».

• Να
συγκρίνουν
τις
γωνίες
ως
προς
την
ορθή
με
χρήση
του
γνώμονα
και
του

μοιρογνωμόνιου.

• Να
χρησιμοποιούν
το
μοιρογνωμόνιο
για
να
μετρούν
και
να
φτιάχνουν
γωνίες.

• Να
ονομάζουν
γωνίες
χρησιμοποιώντας
τα
μικρά
γράμματα
της
αλφαβήτας
και
να

σωστά
την
ορολογία
που
αφορά
τις
γωνίες.

• Να
τη
σωστή
ορολογία
που
αφορά
τα
τρίγωνα
ως
προς
τις
γωνίες

τους.

• Να
γνωρίζουν
τα
είδη
γωνιών
που
περιέχονται
σε
κάθε
διαφορετικό
είδος

τριγώνου.

• Να
γνωρίζουν
ότι
το
άθροισμα
των
γωνιών
ενός
τριγώνου
είναι
180°
και
να

εφαρμόζουν
τη
γνώση
αυτή
σε
προβλήματα.

• Να
τη
σωστή
ορολογία
που
αφορά
τα
τρίγωνα
ως
προς
τις
πλευρές

τους.

• Να
αναλύουν
ένα
σύνθετο
σχήμα
σε
επιμέρους,
χρησιμοποιώντας
τρίγωνα.

• Να
γνωρίζουν
την
έννοια
της
απόστασης
σημείου
από
ευθεία
και
να
την
ταυτίζουν

με
το
μήκος
του
κάθετου
ευθύγραμμου
τμήματος
που
διέρχεται
και
από
το

συγκεκριμένο
σημείο.

• Να
μετρούν
την
απόσταση
σημείου
από
ευθύγραμμο
τμήμα.


3

• Να
χαράζουν
κάθετες
ημιευθείες
ή
ευθύγραμμα
τμήματα
από
σημείο
σε
άλλη

ημιευθεία
ή
ευθύγραμμο
τμήμα
με
τη
χρήση
του
γνώμονα
και
του
χάρακα.

• Να
γνωρίζουν
την
έννοια
του
ύψους
τριγώνου
ως
προς
την
απόσταση
μιας
κορυφής

από
την
απέναντι
πλευρά.

• Να
χαράζουν
τα
ύψη
του
τριγώνου
με
τη
χρήση
του
γνώμονα.

ΑΦΟΡΜΗΣΗ

Κάθε
ενότητα
ανοίγει
με
μια
σειρά
από
ενδιαφέρουσες
ερωτήσεις
ή
πληροφορίες

που
σχετίζονται
άμεσα
με
το
μαθηματικό
περιεχόμενο
της
ενότητας.
Σε
αυτό
το

στάδιο
της
διδασκαλίας
δεν
προσδοκούμε
από
τους
μαθητές
να
μας
απαντήσουν

σωστά.
Σκοπός
μας
είναι
να
τους
προβληματίσουμε
και
να
ακούσουμε
τί
πιστεύουν

γύρω
από
κάποιες
μαθηματικές
έννοιες
που
θα
πραγματευτούμε
παρακάτω.
Δεν

διορθώνουμε
τυχόν
λάθη
των
μαθητών,
αλλά
τα
έχουμε
υπόψη
μας
και
τα

αξιοποιούμε
αργότερα
κατά
την
επεξεργασία
της
ενότητας.

Ο
κεκλιμένος
Πύργος
της
Πίζας
είναι
ένα
από
τα
χαρακτηριστικότερα
μνημεία
της

Ιταλίας.
Είναι
γνωστός
γιατί
δεν
σχηματίζει
ορθή
γωνία
με
το
έδαφος
αλλά
γέρνει
όπως

φαίνεται
και
στη
φωτογραφία.
Πώς
θα
τη
ζωγράφιζε
ένας
ζωγράφος;


4

Στην
παραπάνω
ζυγαριά
πόσα
τρίγωνα
σχηματίζονται

και
τί
είδους
τρίγωνα
είναι;

Οι
σκεπές
των
σπιτιών
στο
χωριό
Συρράκο
του
νομού
Ιωαννίνων
έχουν
τριγωνικό

σχήμα.

Μια
σιδερόπορτα
σε
αρχαιολογικό
χώρο.
Τί
είδους
σχήματα
βλέπετε;


5

Δραστηριότητα
1:

Η
Έλενα
παρατηρεί
τη
γωνία
που
σχηματίζουν
ο
λεπτοδείκτης
και
ο
ωροδείκτης
στο

ρολόι
της.
Να
τη
βοηθήσετε
να
βρει
αν
η
γωνία
αυτή
είναι
οξεία,
ορθή
ή
αμβλεία
στις

παρακάτω
ώρες:

α)
01:15

β)12:05

γ)17:20

β)
03:50

ε)06:42

στ)11:10

ζ)
12:15

Αν
τώρα
η
ώρα
είναι
τρεις,
μετά
από
πόση
ώρα
θα
σχηματιστεί
ορθή
γωνία
μεταξύ

του
ωροδείκτη
και
του
λεπτοδείκτη;

2:

Σύγκριση
γωνιών
των
πυραμίδων
της
παραπάνω
φωτογραφίας.

Με
τη
δραστηριότητα
αυτή
οι
μαθητές
διαπιστώνουν
ότι
για
να
συγκρίνουμε
γωνίες

δεν
μπορούμε
εύκολα
να
το
πραγματοποιήσουμε
με
το
μάτι
αλλά
πρέπει
να
τις

μετρήσουμε
με
τη
βοήθεια
του
μοιρογνωμόνιου
ή
με
κάποιο
τρόπο
να
τοποθετήσουμε

τη
μια
γωνία
πάνω
στην
άλλη
με
την
κορυφή
τους
και
τη
μια
πλευρά
να
συμπίπτουν.

Μόνο
τότε
μπορούμε
με
ασφάλεια
να
συγκρίνουμε
γωνίες
και
να
διαπιστώσουμε
ότι

μεγαλύτερη
γωνία
είναι
αυτή
που
έχει
μεγαλύτερο
άνοιγμα
και
όχι
μακρύτερες

πλευρές.

3:

Να
βρείτε
ποιες
από
τις
επόμενες
τιμές
αντιστοιχούν
σε
οξείες
και
ποιες
σε
αμβλείες

γωνίες:

55°,
42°
,
131°
,
89°
,
97°,
91°,
150°,
110°,
31°,
17°,
105°

4:

Ζητάμε
από
ένα
παιδί
να
σταθεί
μπροστά
στον
πίνακα.
Τα
υπόλοιπα
παιδιά
εκτιμούν

την
απόστασή
του
από
τον
τοίχο.
Χρησιμοποιούμε
το
σπάγκο
στη
μέτρηση.
Χωρίζουμε

τους
μαθητές
σε
ομάδες.
Η
μία
ομάδα
μετρά
από
το
μαθητή
που
στέκεται
στον
πίνακα

προς
την
αριστερή
άκρη
του
τοίχου,
η
δεύτερη
ομάδα
ακριβώς
απέναντι
(κάθετα)
και
η

τρίτη
ομάδα
προς
την
άλλη
άκρη.
Συγκρίνουμε
τα
μήκη
των
τριών
σπάγκων.
Στη

συνέχεια
συζητάμε
τις
διαφορές
των
αποτελεσμάτων.


Μαθηματικά Ε΄ 7.42. ΄΄ Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ΄΄

Μαθηματικά Ε΄ 7.42. ΄΄ Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ΄΄

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Μαθηματικά Ε΄ 7.42. ΄΄ Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ΄΄

Similaire à Μαθηματικά Ε΄ 7.42. ΄΄ Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ΄΄ (20)

Plus de Χρήστος Χαρμπής

Plus de Χρήστος Χαρμπής (20)

Dernier

Dernier (20)

Μαθηματικά Ε΄ 7.42. ΄΄ Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ΄΄