El documento analiza las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Explica que el seno y coseno son funciones periódicas, pares e impares, y describe sus dominios y rangos. También cubre el cálculo de períodos de funciones trigonométricas y presenta problemas de ejercicios para la práctica.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-13 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICAS”
ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
I. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO
Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos :
Gráfica que recibe el nombre de sinusoide; desde el cual podemos afirmar:
* D(Sen) = R
*
* Es una función continua en R.
* Es una función creciente y decreciente.
* Es una función periódica: (periodo principal)
* Es una función impar: Sen(x) =  Senx
* No es inyectiva.
II. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO
Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos:
F.T.(Sen) = {(x ;y) / y = Senx ; x D(Sen)}
2
x
1
x
2
Senx
1
Senx
2
5
2
3
2

 1
0
2


2 3 x
y
1
1Senx1]1;1[R(Sen) 
mín
máx
 2T
F.T.(Cos) = {(x ;y) / y = Cosx ; x D(Cos)}
2
x
1
x
2
Cosx
1
Cosx
2
5
2
3
2

 1
0
2


2
3
x
y
1
Semana Nº 13
2
1
y
5
6

6
1
1
2
x
2
1
)x(g 
f(x)= Senx

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-13 Ingreso Directo
Gráfica que recibe el nombre de cosinusoide; desde el cual podemos afirmar :
* D (Cos) = R
*
* Es una función continua en R.
* Es una función creciente y decreciente.
* Es una función par : Cos(x) = Cosx
* Es una función periódica : (periodo principal)
* No es inyectiva.
FUNCIÓN PERIÓDICA
Si F es una función periódica existe T≠0 que cumple con: F(x + T) =F(x) talque TDf
CÁLCULO DE PERIODOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Sea la función: DCBxFTAxF n
 )(.)( ;
Para calcular su periodo interviene la constante n y B.
I. Si FT: sen, cos, sec, csc
Para n impar:
B
T
2

Para n par :
B
T


II. Si FT: tg, ctg
Para n par o impar:
B
T


PROBLEMAS DE CLASE
1) El rango de la función 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥 :
A)







8
9
;2
B)







8
7
;
8
3 C)







8
5
;1
D)







8
7
;1
E)







8
9
;3
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I
2) El mayor valor que toma la función:
f(x) = Cos2x + 3Sen2x + 2 es :
a) b) 6 c) d) e) 5
3) Determine el rango de la función f definida
por: .
a) b) c)
d) e)
4) Si m y M son los valores mínimo y máximo
respectivamente, de la función:
, Entonces m + M es:
a) ½ b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 5/4
5) Calcular el periodo mínimo de la función f,
definida por:







2
3
2
3
.3)(
x
tg
x
ctgxsenxf
a)
12
 b)
4
 c)
3
 d)
12
5 e)
3
2
6) Si la función f está definida por:
1
2
6
)( 
xsen
xsen
xf
Entonces se puede afirmar que:
I. Su periodo mínimo es
2

II. Es continua en
8
;
8


III. Decreciente en
16
3
;
8


a) VVV b) VVF c) VFF d) VFV e) FFF
1Cosx1]1;1[R(Cos) 
mín
máx
 2T
102  103  101 
1CosxxCos2)x(f 2

]
8
9;2[ ]
16
7;2[  ]
8
7;4[ 
]
4
7;4[  ]
8
7;
2
3[ 
xCosxSen)x(f 66


3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-13 Ingreso Directo
7) Cuál es la regla de correspondencia de la
función f , que cumple con las siguientes
condiciones :
I. Su periodo mínimo es
2

II. Es creciente en
2
;
4

III. fmáx – fmín =4
a) 2sen4x b) 2cos4x c) 2tg2x
d) 4cos2x e) 4sen2x
8) la gráfica corresponde a la función f, definida
por: f(x) = 4.sen2x.cos2x. calcular el área de
la región triangular sombreada ( en u2
)
a)
4
 b)
8
 c)
2
 d)  e) 2
9) la grafica corresponde a la función
f(x) = A0. senBx. si ABCD es un cuadrado de
área 4 u2
; calcular el valor de A0.cos B
a)1 b)2 c) 4 d) 8 e) 16
10) En el intervalo el siguiente gráfico
corresponde a:
a) Senx + 2Cosx b) 4Cosx + 3Senx
c) 2(Senx + Cosx) d) 3Senx + 2Cosx
e) 3(Senx + Cosx)
11) Dadas las funciones f y g definidas por:
f(x)=2Cosx y g(x) = 1+Cosx.
Hallar un intervalo donde f(x) < g(x)
a) <0; > b) <0; > c) <;2 >
d) < ; > e) <0;2 >
12) Determinar el periodo de:
a) 12b) 18c) 24d) 4e) 52
13) Dada la función: g(x) = Senx (Cosx + |Cosx|)
Señale su gráfico.
a) b)
c) d)
e)
14) Si f es una función definida por:
; halle el
dominio de dicha función, .
a) R b) c)
d) e)
15) El valor máximo que toma la función:
, , es :
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
16) Hallar el mínimo valor de:
]2;0[ 
 3
2

2
3
3
2
2 x
y
2

2

2
3
4
xSen
3
xSen
2
xSen)x(f 
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
CotxTanxCosxSenx)x(f 
Zk 
]1;1[ }Zk/{R
2
k  
}Zk/k2{R  ]1;0[
xCos4xSen3)x(f 22
 Rx 
SenxxCos910M
2


4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-13 Ingreso Directo
a) b) c) d) e)
17) Determinar el dominio máximo de la función:
a) b)
c) d)
e)
18) Si  2;0x , calcule en cuantos puntos se
intersectan las gráficas de las funciones
f y g definidas por: f(x) = sen2x ; g(x) = cosx
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
19) Hallar los valores x en el intervalo
para los cuales existe f, si:
a) b)
c) d) e)
Preguntas de Repaso
1. Usando solo la definición calcular el periodo
de la función: 𝑓(x) = Tan(Cosx)
a)
𝜋
2
b) 𝜋 c)
3𝜋
2
d) 2𝜋 e) 4𝜋
2. Si las abscisas del punto P es ‘‘ 𝑥0’’
Calcular: 3𝑥0 + 2Cos𝑥0
x
y
2
y=tanx
y= n x
a) 0,5 b)-0,5 c) 1 d) -1 e)0
3. En cuantos puntos intercepta la gráfica de la
función:
𝑓(x) = 2xCosx − π
Con el eje de las abscisas en el intervalo de
〈−2𝜋; 2𝜋〉
a)Uno b)Dos c)Tres
d)Cuatro e) Cinco
4. Determinar el rango de la siguiente función:
𝑓(x) =
(1 + nxCosx)(1 − nxCosx)
n22x
a)〈
1
2
;
3
4
] b)[
3
4
; +∞〉 c)〈
1
2
;
3
4
〉
d)〈
1
2
; +∞〉 e) [1; +∞〉
5. Considerando a las funciones:
𝑓(x) = 3 nx − 4Cosx
𝑔(x) = 3 n2
x − 6Cos2
x
Hallar: Ran𝑓 ∩ Ran𝑔
a) [−6; −5] b) [−5; −3] c) [3; 5]
d) [−5; 3] e) [3; 6]
6. Acerca de la función :
𝑓(x) = √6( nx + Cosx) + √2( nx − Cosx)
Indicar verdadero(V) o falso(F) a cada
proposicion:
I. Su periodo es 2𝜋
II. Ran𝑓 ∈ [√2; √6]
III. Es creciente para 𝑥 ∈ 〈0;
𝜋
3
〉
IV. ∃! 𝑥0 ∈< 2; 3 >/𝑓(𝑥0) = 0
a) VVVV b)VFVV c)FVVF
d) FFVF e) FFFF
18
17
36
35
28
27
46
45
24
23
4
1xSenxSen2)x(f
42






  Zn;
4
n





  Zn;
2
n





  Zn;
4
n





  Zn;
4
)1n2(





  Zn;
2
)1n2(
;0
xCos2Senx1
1)x(f
2





 
3
2;
3 


 
6
5;
6
3
2;
3

6
5;
6

6
5;
3
