s

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
‘‘FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velasquez
PROBLEMA DE CLASE
1. Halle el dominio de la función f definida
por 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛2 𝑥 –
3
4
𝑠𝑖 𝑥 ∈ 〈0; 2𝜋〉
A) [0;
𝜋
3
] ∪ [
2𝜋
3
;
4𝜋
3
] B) [
𝜋
3
;
𝜋
2
]
C) [
𝜋
3
; 𝜋] D) [
𝜋
3
;
2𝜋
3
] ∪ [
4𝜋
3
;
5𝜋
3
]
E) [0;
𝜋
3
] ∪ [
4𝜋
3
;
5𝜋
3
]
2. Definida la función f mediante
𝑓 (𝑥) = √ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + √ 𝑐𝑜𝑠𝑥 , tal que
0 < 𝑥 < 2𝜋. Calcule el dominio de f.
A) [
𝜋
4
;
𝜋
2
[ B) [0;
𝜋
4
[ C) 〈0;
𝜋
4
〉
D[
𝜋
4
; 𝜋[ E) [
𝜋
4
;
𝜋
2
]
3. Se define la función f ,
𝑓(𝑥) = (
1−cot 𝑥+sec 𝑥 csc 𝑥
1−tan 𝑥+sec 𝑥 csc 𝑥
)(
1
tan2 𝑥−1
) ,
calcule el dominio de f.
A) 𝑅 – {
𝑘𝜋
2
/ 𝑘𝜖𝑍} B) 𝑅 – {
𝑘𝜋
4
/ 𝑘𝜖𝑍}
C) 𝑅 – {(2𝑘 + 1)
𝜋
4
/ 𝑘𝜖𝑍}
D) 𝑅 – {2𝑘𝜋 / 𝑘𝜖𝑍} E) 𝑅 – {
𝑘𝜋
8
/ 𝑘𝜖𝑍}
4. Calcule los puntos de discontinuidad de la
función
𝑓 ( 𝑥) = 𝑡𝑎𝑛
𝜋
2
( 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) +
𝑐𝑠𝑐2𝑥
tan 𝑥
; 𝑛 ∈ 𝑍
A) {𝑛𝜋} B) {( 2𝑛 + 1)
𝜋
2
} C) {
𝑛𝜋
2
}
D) {𝑛𝜋 +
𝜋
4
} E) {(2𝑛 + 1)𝜋}
5. Halle el dominio de la función f, cuya
regla de correspondencia es
𝑓( 𝑥) =
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠3𝑥
√1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥
; ∀𝑛 ∈ 𝑍
A) 〈2𝑛𝜋 −
𝜋
3
; 2𝑛𝜋 +
𝜋
3
〉
B) 〈 𝑛𝜋 −
𝜋
3
; 𝑛𝜋 +
𝜋
3
〉 C) 〈 𝑛𝜋 −
𝜋
6
; 𝑛𝜋 +
𝜋
6
〉
D) 〈
𝑛𝜋
2
−
𝜋
3
;
𝑛𝜋
2
+
𝜋
3
〉 E) 〈
𝑛𝜋
2
−
𝜋
6
;
𝑛𝜋
2
+
𝜋
6
〉
6. Calcule el área de la región sombreada.
A)
20𝜋
3
B)
19𝜋
4
C)
15𝜋
4
D)
13𝜋
4
E)
5𝜋
4
7. Del gráfico, calcule 𝜋(15𝑐𝑜𝑡𝜃 – 𝜋).
A) 125 B) 81 C) 225 D) 64 E) 100
Semana Nº 13

2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
2
8. Dada la gráfica de la función f definida por
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑐𝑠𝑐(𝐵𝑥) + 𝐶 . Halle
𝐴𝐵
𝐶
.
A) – 1 B) – 2 C) 2 D) 1 E) 3
9. Del gráfico, calcule √3𝑓 (
2𝜋
3
)
A) 3√3 + 4 B) 3 C) 2√3 D) 2 E) √3
10.Calcule el área de la región sombreada.
A)
𝜋
16
𝑢2
B)
𝜋
8
𝑢2
C)
𝜋
4
𝑢2
D) 4𝜋 𝑢2
E) 8𝜋 𝑢2
11.Calcule el perímetro de la región
sombreada.
A)
1
2
(2𝜋 + 1) 𝑢2
B) (2𝜋 + 1) 𝑢2
C) (𝜋 + 2) 𝑢2
D) 2(𝜋 + 1) 𝑢2
E) 2(2𝜋 + 1) 𝑢2
12.Del gráfico, calcule 𝑓 (
5𝜋
2
) + 𝑓 (−
𝜋
2
)
A) 0 B) 1 C) 3/2 D) 4/3 E) 2
13.Resuelva la inecuación
𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐𝑠𝑐𝑥 > 0 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 〈
𝜋
2
; 2𝜋〉
A) 〈
3𝜋
4
; 𝜋〉 ∪ 〈
3𝜋
2
;
7𝜋
4
〉 B) 〈
3𝜋
4
; 𝜋〉 ∪ 〈
7𝜋
4
; 2𝜋〉
C) 〈
𝜋
2
;
3𝜋
4
〉 ∪ 〈
3𝜋
2
;
7𝜋
4
〉 D) 〈
𝜋
2
;
3𝜋
4
〉 ∪ 〈
7𝜋
4
; 2𝜋〉
E) 〈
𝜋
2
;
3𝜋
4
〉 ∪ 〈 𝜋;
5𝜋
4
〉
14.Resuelva la inecuación 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 ≥ 2 para
𝑥 ∈ 〈0; 2𝜋〉.
A) [
𝜋
4
;
3𝜋
4
] ∪ [ 𝜋;
5𝜋
4
] B) [
𝜋
4
;
𝜋
2
[ ∪ ]
5𝜋
4
;
3𝜋
2
]
C) [
𝜋
4
;
𝜋
2
[ ∪ [𝜋;
5𝜋
4
] D) [
𝜋
4
;
𝜋
2
[ ∪ ] 𝜋;
5𝜋
4
]
E) [
𝜋
4
;
3𝜋
4
] ∪ [
5𝜋
4
;
7𝜋
4
] − {
𝜋
2
;
3𝜋
2
}
15.Sea la función definida por la regla de
correspondencia 𝑓( 𝑥) = tan (
𝜋
4
+
𝑥
2
).

3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
3
Determine su gráfica.
A) B)
C) D)
E)
16.Se define la función f mediante
𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛𝑥 (1 − 2𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
)(cos 6𝑥 + cos 2𝑥) .
Calcule el rango de f.
A) [– 1; 1] B) [–
1
2
;
1
2
] C) [–
1
4
;
1
4
]
D) [−2; 2] E) [0;
1
2
]
17.Si f es una función, definida por
𝑓( 𝑥) =
2 sen 𝑥 cos 𝑥−1
1−sen 𝑥 cos 𝑥
+ 𝑐𝑜𝑠2
(
2𝜋
3
− 𝑥) −
𝑠𝑒𝑛2
(
2𝜋
3
+ 𝑥) donde 𝑥 ∈ 〈−
𝜋
2
; 0〉 ,
determine el rango de f.
A)〈−∞; −
4
3
〉 B) 〈−
5
3
; −1〉 C)
〈−
3
3
; +∞〉 D) ]−1;
4
3
] E) [−
4
3
; −1[
18.Si 𝑥 ∈ 〈−29
𝜋
6
; −14
𝜋
3
〉 𝑦
𝑓( 𝑥) = tan (
𝜋
4
−
𝑥
2
) − 𝑠𝑒𝑐𝑥 .
calcule el rango de f.
A)]
√3
3
; 3] B)[
√3
3
; 3] C) [
√3
3
; 3[
D) 〈−√3; −
√3
3
〉 E) [−√3; −
√3
3
[
19.Dada la función f, definida por
𝑓 ( 𝑥) =
2|tan 𝑥|
1+tan2 𝑥
+
|1−tan2 𝑥|
1+tan2 𝑥
.
calcule 𝑓𝑚𝑖𝑛 + 𝑓𝑚á𝑥.
A) 1 B) √2 C) 1 + √2 D) √2 + 2 E) 2√2
20.Obtenga el rango de f si
𝑓( 𝑥) = (
𝑐𝑜𝑠2
6𝑥 − 𝑐𝑜𝑠8𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 1
) 𝑐𝑜𝑠4𝑥
A) [−
1
2
;
1
2
] − {0} B) [−
1
2
;
1
2
[
C) [−
1
2
;
1
2
] D) 〈−
1
2
;
1
2
〉 E) ]−
1
2
;
1
2
]
21.Defina las siguientes funciones.
𝑓1(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + |𝑡𝑎𝑛𝑥|
𝑓2(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑓3(𝑥) = |𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥|
Respecto lo anterior, señale lo correcto.
A) 𝑓2 𝑦 𝑓3 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 B) 𝑓3 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
C) 𝑓1 𝑦 𝑓3 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 D) 𝑓1 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
E) 𝑓1, 𝑓2 𝑦 𝑓3 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
22.Determine el periodo de la función
definida por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑠𝑒𝑛5𝑥.
A) 𝜋 B) 3 𝜋 C) 2𝜋 D) 4𝜋 E) 5𝜋
23.Determine el rango de la función f
definida por
𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛𝑥 – 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 〈0;
𝜋
4
〉
A) [− 1; √2[ B) 〈−1; √2 − 1〉
C) 〈−1; √2 + 1〉
D) 〈√2 − 1; √2 + 1〉 E) 〈−√2 ; √2 〉
24.Indique en qué intervalo la función
definida por 𝑓( 𝑥) = 2 sen (𝑥 +
𝜋
4
);
𝑥 ∈ 〈−
𝜋
4
;
7𝜋
4
〉 es decreciente.
A) 〈
𝜋
4
;
3𝜋
4
〉 B) 〈
3𝜋
4
;
5𝜋
4
〉 C) 〈
𝜋
4
;
5𝜋
4
〉
D) 〈
𝜋
4
;
3𝜋
2
〉 E) 〈
5𝜋
4
;
7𝜋
4
〉

4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
4
25.Si| 𝑥| <
𝜋
3
, halle el rango de la función f
definida por 𝑓(𝑥) = |𝑡𝑎𝑛𝑥| + |𝑠𝑒𝑛𝑥|.
A) ]0;
√3
2
] B) [0;
√3
3
] C) [0;
3√3
2
[
D) ]0; 3√3] E) [
√3
2
;
3√3
2
]
26.Del gráfico, calcule 𝑎 + 𝑏.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
27.Del gráfico, calcule la regla de
correspondencia de la función 𝑓(𝑥).
A) 𝑓(𝑥) = 5𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 3 B) 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 5
C) 𝑓(𝑥) = 5𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3 D) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 6
E) 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 5
28.. Grafique la función definida por
𝑓(𝑥) = |𝑐𝑜𝑠3
𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥 −
1
2
| ; 𝑥 ∈ 〈0; 2𝜋〉
A) B)
C) D)
E)
29.Del gráfico, calcule el área sombreada.
A)
25𝜋
16
𝑢2
B)
50𝜋
19
𝑢2
C)
25𝜋
96
𝑢2
D)
3𝜋
16
𝑢2
E)
9𝜋
86
𝑢2
30.Si 𝑥 ∈ [
2𝜋
5
;
9𝜋
10
]; es el dominio de la
función
𝑓( 𝑥) = 7 sen (𝑥 +
𝜋
10
) + 12 cos (𝑥 −
𝜋
10
)
y su rango es [𝑎; 𝑏], calcule 𝑎𝑡𝑎𝑛36º + 𝑏.
A) 7sen36º B) 7cos36º C) 7
D) 13sen36º E) 13cos36º
31.Si la ecuación de la gráfica es
𝑦 = − [1 + 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
] , calcule el área de la
región triangular sombreada.
A)
𝜋
4
𝑢2
B)
𝜋
2
𝑢2
C) 𝜋 𝑢2
D) 2𝜋 𝑢2
E) 4𝜋 𝑢2
32.De la figura, calcule 𝑓 (
11𝜋
6
) − 𝑓 (
3𝜋
4
)
A)
9
10
B)
1
2
C)
1
5
D)
2
7
E)
9
2

5. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
5

6. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
6
1. El rango de la función W definida como
𝑊(𝑥) = 𝐸𝑥– 𝑠𝑒𝑐(𝑉𝑒𝑟𝑠(𝑥)) es de la forma
〈 – ∞; 𝑎] ∪ [𝑏; +∞〉. Si 𝑥 ∈ 𝑅,
calcule 𝑎 + 𝑏 + 1.
A) 1 B) sec(1) C) sec(2) D) –1 E) 0
2. Calcule el periodo mínimo de la función
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2
2𝑥 + 𝑠𝑒𝑐3
2𝑥
A)
𝜋
3
B)
𝜋
2
C) 𝜋 D) 2𝜋 E) 3𝜋
3. Si 𝑥 ∈ 〈−
3𝜋
4
; −
2𝜋
3
〉 , además ,
𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑐𝑠𝑐2 𝑥 − 4 + 2𝑐𝑜𝑡 𝑥,
determine el rango de f.
A) 〈√3
3
; 3〉 B) 〈−3;
√3
3
〉 C) 〈−4; −
2√3
3
〉
D) 〈−2; −
2√3
3
〉 E) 〈2;
4√3
3
〉
4. Determine el rango de la función W
definida como
𝑊(𝑥) = 𝐸𝑥– 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥) + 𝐸𝑥– 𝑠𝑒𝑐(𝑥).
A) 〈 – ∞; – 1] B) [0; +∞〉 C) 〈 – ∞; 0]
D) [1; +∞〉 E) 〈 – 1; 1〉
5. Del gráfico, calcule el área de la región
sombreada.
A)
3𝜋
2
B)
13𝜋
4
C)
7𝜋
4
D)
5𝜋
2
E)
2𝜋
3
6. Sea la función W definida como
𝑊(𝑥) = √𝐸𝑥𝑠𝑒𝑐(𝑥) − 1. Determine su
dominio si 𝑥 ∈ [0; 2𝜋].
A) [0;
𝜋
3
[ ∪ ]
5𝜋
3
; 2𝜋] B) [
𝜋
6
;
𝜋
2
[ ∪ ]
3𝜋
2
;
11𝜋
6
]
C) [
𝜋
3
;
𝜋
2
[ ∪ ]
3𝜋
2
;
5𝜋
3
] D) [
𝜋
6
;
𝜋
3
[ ∪ ]
5𝜋
3
;
11𝜋
6
]
E) [0;
𝜋
2
[ ∪ ]
3𝜋
2
; 2𝜋]
7. ¿En cuántos puntos interseca la gráfica
de f al eje abscisa si
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐𝑥 − √8𝑐𝑠𝑐𝑥; 𝑥 ∈ 〈0; 4𝜋〉 ?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
8. Resuelva la inecuación
𝑠𝑒𝑐𝑥 > 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ 〈 0;
3𝜋
4
〉
A) [
2𝜋
3
; 𝜋[ B) [
2𝜋
3
;
3𝜋
4
[ C) [
𝜋
3
;
2𝜋
3
]
D) ]
𝜋
2
;
2𝜋
3
] E) ]
𝜋
4
;
𝜋
2
[ ∪ [
2𝜋
3
;
3𝜋
4
[
9. Si 𝑓( 𝑥) = 𝐴𝑠𝑒𝑐𝐵𝑥; 𝑓 (
𝜋
6
) = 8 𝑦𝑓 (
𝜋
4
) = 4 ,
calcule el menor valor positivo para la
variable B.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
7
10.Si los puntos 𝐴 (
𝜋
8
; 𝑏2
) 𝑦 𝐵 (
𝜋
3
; 𝑎)
pertenecen a las gráficas de las funciones f
y g, respectivamente, definida por
𝑓(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 1 𝑔(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛2
(𝑏2
𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑥,
calcule 𝑓 (
𝑎𝜋
2
) + 𝑔(2𝑎𝜋)
A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2
11.Se definen las funciones f y g mediante
𝑓( 𝑥) = | 𝑐𝑜𝑡𝑥| 𝑡𝑎𝑛2
𝑥; 𝑥 ∈ 〈 – 2𝜋; 2𝜋〉 ,
𝑔( 𝑥) =
𝑇𝑔𝑥
2
; 𝑥 ∈ 〈 – 2𝜋; 2𝜋〉, Determine el
número de intersecciones de las gráficas de
f y g.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12.Determine para qué valores de x la gráfica
de 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛𝑥 − √2𝑠𝑒𝑛 𝑥 , intersecta al eje
de abscisas. Considere K∈Z.
A) { 𝑘𝜋} ∪ {3𝑘𝜋 +
𝜋
4
} B) {2𝑘𝜋} ∪ {3𝑘𝜋 +
𝜋
4
}
C) { 𝑘𝜋} ∪ {2𝑘𝜋 ±
𝜋
4
} D) {2𝑘𝜋} ∪ {4𝑘𝜋 ±
𝜋
4
}
E) { 𝑘𝜋} ∪ {4𝑘𝜋 ±
𝜋
4
}
13.Indique cuántas soluciones presenta la
ecuación si |tan (2𝑥 −
𝜋
3
) − 𝑥 = 0|, si𝑥 ∈ 〈 0;
𝜋
2
〉
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14.Definida la función f por
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 + 2𝑐𝑠𝑐𝑥 + 2 .
calcule el rango de f.
A) [0; +∞〉 B) [1; +∞〉 C) [2; +∞〉
D) [3; +∞〉 E) [4; +∞〉
15.Si 𝑥 ∈ 〈 𝜋;
5𝜋
4
〉 , determine el rango de la
función 𝑓 (𝑥) = √1 + 2| 𝑠𝑒𝑛𝑥|. 𝑐𝑜𝑠𝑥
A)〈0;
√2
2
〉 B) 〈0; 1〉 C) 〈0; √2〉
D) 〈0; √3〉 E) 〈0; √2 + 1〉
16.Sea la función f, cuya regla de
correspondencia es
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛6
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6
𝑥.
Calcule el rango de f.
A)[
7
8
; 3] B) [
3
4
; 3] C) [
7
8
; 2]
D) [
3
4
; 2] E) [
3
4
; 1]
17.Determine el rango de la función f,
definida por
𝑓( 𝑥) =
1
2
+ 𝑐𝑜𝑠2
(
2𝜋
3
− 𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2
(
2𝜋
3
+ 𝑥) .
A) [– 1; 1] B) [0; 1] C) [0;
3
2
]
D) [
1
2
; 1] E) [
1
2
;
3
2
]
18.7. Calcule el mínimo valor de la función f
si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥; además, 𝑓 (
𝜋
2
) =
−1 𝑦 𝑓(2𝜋) = 5.
A) 1 B) – 1 C) 0 D) – 2 E) – 3
19.Calcule el periodo de la función W
definida como
𝑊 ( 𝑥 ) = 5 |𝐸𝑥𝑠𝑒𝑐 (
5𝜋
8
𝑥 −
𝜋
3
) + 1| +
𝜋
2
A) 6/5 B) 8/5 C) 9/5 D) 16/5 E) 4
20.Sea la función f definida por
𝑓(𝑥) = |𝑠𝑒𝑛𝑥||𝑐𝑜𝑠𝑥|
, Calcule el periodo
mínimo de f.
A)
𝜋
4
B)
𝜋
2
C) 𝜋 D) 2𝜋 E)
3𝜋
2
21.Calcule el periodo de la función real f
definida por
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥
A)
𝜋
2
B) 𝜋 C)
3𝜋
2
D) 2𝜋 E) 4𝜋

8. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
8
22.Calcule el periodo de la función f , si
𝑓( 𝑥) = 3|tan 𝑥| + 4 tan
𝑥
2
+ 5 tan
2𝑥
3
A) 2 𝜋 B) 4 𝜋 C) 6 𝜋 D) 8 𝜋 E) 10 𝜋
23.Calcule el periodo de
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
A)
𝜋
2
B) 𝜋 C) 2𝜋 D) 4𝜋 E) 8𝜋