1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
b
a
H
COSenA
b
c
H
CA
CosA
c
a
CA
COTanA
a
b
CO
HCscA
c
b
CA
HSecA
a
c
CO
CA
CotA
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO”
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con razones trigonométricas.
Reconocer las características de las 6 razones trigonométricas.
Razón Trigonométrica: Son aquellos números que
resultan de dividir dos lados de un triángulo
rectángulo.
Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”
. a2
+ b2
= c2
Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”
. A + B = 90º
Definición De Las Razones Trigonométricas Para
Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en
“C”, se establecen las siguientes definiciones:
Sen =
Hipotenusa
OpuestoCateto
=
c
a
Cos =
Hipotenusa
AdyacenteCateto =
c
b
tg =
AdyacenteCateto
OpuestoCateto
=
b
a
Ctg =
OpuestoCateto
AdyacenteCateto
=
a
b
Sec =
AdyacenteCateto
Hipotenusa
=
b
c
csc =
OpuestoCateto
Hipotenusa
=
a
c
Razones Trigonométricas Recíprocas
Siendo un ángulo agudo se cumple:
1csc.
1
csc
sen
sen
;
1sec.cos
cos
1
sec
;
1.
1
ctgtg
tg
ctg
Razones Trigonométricas De Ángulos
Complementarios
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su
suma es un ángulo recto.
En la figura se muestra:
y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
como y al ángulo opuesto al cateto a como en
consecuencia:
cos
c
b
sen ; sen
c
a
cos
ctg
a
b
tg ; tg
b
a
ctg
cscsec
a
c
; seccsc
b
c
Debido a estas relaciones las co-razones son::
Semana Nº 3
2. Lic. Rodolfo Carrillo V. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
2
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seno y coseno.
tangente y cotangente.
secante y cosecante.
Teorema del complemento
deocomplementRTcoαRT
Se llaman co–razones trigonométricas una de la
otra.
NOTA:
Si:
1
1
1
CtgTg
SecCos
CscSen
Si: º90 RTcoRT
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
A partir de estos se determinarán otros
adicionales como:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento
mediante el cual se determinan los lados
faltantes de un triángulo rectángulo, en
términos de un lado que sí se conoce; y de un
ángulo agudo que también se conoce.
Criterio:
PROBLEMA DE CLASE
1) Del gráfico, L es mediatriz 𝑇𝑔𝜃 = 2√2
. calcule AB
A)
4√2
3
B)
5√2
3
C)
7√2
3
D)
8√2
3
E)
10√2
3
2) En un triángulo ABC, recto en C, se sabe
que la suma de catetos es igual a k
veces la hipotenusa. Calcule la suma de
senos de los ángulos agudos del
triángulo.
A) 𝑘 B) 2𝑘 C) 3k D)
𝑘
2
E)
𝑘
3
3) Del gráfico, calcule secθ
A) 2 B)
2√3
3
C) √2 D) √3 E) 4
4) Si 𝑆𝑒𝑐𝛼 = 𝐶𝑠𝑐2∅ , calcule:
tan (
𝛼
2
+ ∅) + sec(330° − 3𝛼 − 6∅)
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
37º
53º
3
5
4
26º30'
63º30'
1
5
2
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5 2
22º30'
67º30'
1
4 + 2 2
2 + 1
15º
75º
6 - 2
4
6 + 2
18º30'
71º30'
1
10
3
30º 37º 45º 53º 60º
Sen
2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
Cos
2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
Tan
3
3
4
3
1
3
4
3
Cot 3
3
4
1
4
3
3
3
Sec
3
32
4
5
2
3
5
2
Csc 2
3
5
2
4
5
3
32
conocido).(T.R
conocidoLado
odesconocidLado
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A) 1 B) 2 C) 3 D)
1
2
E)
1
3
5) Del gráfico, calcule: 𝑐𝑜𝑡2 𝜃
2
− tan2 𝜃
2
A)
10√2
3
B) 7√6 C)6√7 D)
4√2
3
E) 3√7
6) Del gráfico, cos 𝜃 =
8
17
. calcule NH.
A) 8 B) 16 C)24 D) 48 E) 34
7) Si sen (
𝜋
4
𝜃) sec (
𝜋
5
𝜃) = 1, calcule:
sen 9𝜃 . csc 10°
A)
1
2
csc 10° B) −
1
2
csc 10° C)−1
D) −
√3
2
csc 10° E) 1
8) En un triángulo ABC recto en C, se
cumple tan 𝐴 cos 𝐵 = 2, calcule sen 𝐵 +
sec 𝐴
A) √5 B) −√5 C)1 D) −1 E) 2√2
9) Siendo x un ángulo agudo que cumple:
√cos 𝑥
csc 𝑥
=
√3
4
.√2
2
Calcule tan 𝑥 + cot 𝑥 + tan 2𝑥 + cot 2𝑥
A) 1 B)
√3
2
C)
√3
3
D)
8√3
3
E)
7√3
3
10) Del gráfico, calcule tan 𝛼 si ABCD es un
cuadrado. O: centro del cuadrado
A) 1 B) 2 C)3 D) 4 E) 5
11) Si
sec 54° . tan[(𝑎 − 1)𝑏̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅°] . tan[(𝑏 − 1)𝑎̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅°] =
csc 36° . Determine el valor:
sen(3𝑎° + 3𝑏°) . sec(6𝑎° + 6𝑏°)
A) 1 B) √3 C)
√3
3
D)
2√3
3
E)
√3
2
12) Calcular:
𝐶𝑜𝑠𝛼−𝐶𝑜𝑠∅
𝑠𝑒𝑛𝛼−𝑠𝑒𝑛∅
, si 𝐴𝐷 = 𝐸𝐵
A)
𝑥2+𝑦2
𝑥2−𝑦2 B)
2𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 C) −
𝑥
𝑦
D)
𝑦
𝑥
E)
𝑥
𝑦
13) Calcular: cot ∅
A) 1,2 B) 2,4 C) 2,6 D) 3,5 E) 4,3
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14) Del grafico mostrado, hallar la longitud
del segmento 𝑃𝐵̅̅̅̅ en términos de “m” ,
“𝜃”,”d”
A) 𝑚 sen 𝜃 tan(𝜃 − 𝛼) B) 𝑚 sen 𝜃 cot(𝜃 − 𝛼)
C) 𝑚 cos 𝜃 tan(𝜃 − 𝛼) D) 𝑚(tan 𝜃 − cot 𝛼) E)
𝑚 sec 𝜃 tan(𝜃 − 𝛼)
15) Del grafico mostrado; se sabe
𝐴𝑀 = 2(𝐵𝐶) . halle “𝑇𝑎𝑛𝜃”
A) √2 − 1
B)√2 + 1
C) 2√2 − 1
D) 2√2 + 1
E) 2√2
16) Halle: AB en términos de “d” y "𝜃"
siendo 𝐷𝐶̅̅̅̅ = 𝑑
A)
𝑑
1−tan2 𝜃
B)
𝑑
1−cot2 𝜃
C) 𝑑(tan2
𝜃 − 1)
D) 𝑑(1 − tan2
𝜃)
E) 𝑑(1 − cot2
𝜃)
17) Se sabe: 𝐴𝐷 = 2; 𝐶𝐸 = 3. Halle:
“ tan 𝛼 + tan 𝛽 ”
A)
3
2
B)
2
3
C)
5
6
D) 5
E) 6
18) Calcular el área de la región
sombreada; si 𝑃𝐷̅̅̅̅ = 1 ∧ 𝑃𝐷̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅̅̅
A)
sen 𝜃
2
B)
cos 𝜃
2
C)
tan 𝜃
2
D)
cot 𝜃
2
E)
sec 𝜃
2
19) Siendo "𝜃" la medida del ángulo que
forman las diagonales de un cubo.
Calcule 9 sen2
𝜃
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
20) De la figura mostrada; AM=MC; calcule:
tan 𝛼 − 2 tan 𝛽
A) sen 𝛽 B) cos 𝛽 C) tan 𝛽
D) cot 𝛽 E) csc 𝛽
21) El perímetro de un triángulo rectángulo
es 12 u. si el cuadrado de la hipotenusa
excede en una unidad a cuatro veces el
área del triángulo.
Calcule sen 𝛼 + cos 𝛼
(𝛼: mayor ángulo agudo)
A)
7
5
B)
1
5
C)
9
5
D)
8
5
E)
3
5
