1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA y Se define:
CEPUNS
P(x ;y )
o o
yo y x
Sen   o Cot  o
r yo
r x
Ciclo 2013-I Cos  o r
Sec 
 r xo
' y
Tan   o r
Csc 
TRIGONOMETRÍA xo x
xo yo
“F.T. de Ángulos Especiales” Semana Nº 04
Definiciones Previas: y Se defin
P(x ;y )
o o
yo Sen  
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Llamado también en posición canónica o estándar. r
Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide Cos 
con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial 
coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, '
está en posición normal, el lado final puede estar en xo x Tan  
uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste
pertenece a tal cuadrante. y Se define:
P(x ;y )
Del gráfico: o o y x
y yo Sen   o Cot  o
r yo
r xo
Cos  r
Sec 
 r xo
Lado Fina l ' yo
Tan   r
x (+ )
x Csc 
 o xo yo
Vértice x
Lado Inicial r  x2  y2
* o o
*  : es un ángulo en posición normal
* α´: se denomina ángulo de referencia
*   IIC ;   0 Signos de las R.T. en los cuiadrantes
y Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un
ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser
positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro
adjunto
Vértice Lado Inicial
x
 (-)
Lado Final
* β : Es un ángulo en posición normal
*   IIIC ;   0
Definición de las Razones Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en Propiedad:
posición normal, tomaremos un punto perteneciente Si  es un ángulo en posición normal positivo y
a su lado final. menor que una vuelta entonces se cumple:
Si   I  0 <  < 90º
Si   II  90º<  <180º
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2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
Si   III  180º <  < 270º
i) ii)
Si   IV  270º <  < 360º Lado
inicial
Ángulos Cuadrantales
Lado
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final final
coincide con cualquiera de los semiejes del 
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no Vértice
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son 
P(x ;x
o
ángulos frontera. y
i) ii)
Lado
inicial
Lado

final  x
Vértice
Forma General 
P(x ;x )
o o
< Cuadrantal = 90º.k ; k  Z Se tiene que:
También * α y  : son coterminales
* Ф y β: son coterminales (están en P. N.)
<Cuadrantal = k ;k Z
2 Propiedades:
Observación: para determinar si un ángulo es
cuadrantal, se divide entre 90º ó  rad . según Si α y  son coterminales se cumple que:
2 I. II.
corresponda; si el resultado de la división es un
 -  = 360º n ; n Z
numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.
I. II.
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
 -  = 360º n ; n Z R.T. () = R.T.()
0º 90º 180º 270º 360º
SEN 0 1 0 -1 0
Observacion: en forma practica para determinar
COS 1 0 -1 0 1 si dos angulos son coterminales:
TAN 0 ND 0 ND 0 Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o
2rad. y si el resultado es un numero entero ,
COT ND 0 ND 0 ND
entonces los angulos son coterminales.
SEC 1 ND -1 ND 1
CSC ND 1 ND -1 ND R.T. de Ángulos Negativos:
Nota: N.D. no definido
Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos  
Ángulos Coterminales:
Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg 
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
mismo vértice, el mismo lado inicial y final. Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc 
Ejemplo:
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3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
¡Muy importante!
Y
Q (–b;a )
P (a ;b)
X
R(–a ; –b)
M(b;–a )
a) – 49 b) -9 c) 1 d) 9 e) 49
PROBLEMA DE CLASE
5) De la figura mostrada, calcular: F= 3sec2 - tg
1) Si: cos2   1 ,   IV C
16
Calcule: sec   csc 
M
1  ctg 
a) 15 b) 1 c)  15 d) 1 e) 4

4 4 4 4
2) De la figura mostrada, determine:
M  tan   tan  a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15
a) 1 (-3;2) y
3 6) Las medidas de dos ángulos coterminales son
 proporcionales a los número 5 y 2. Además la
b) 2
3 medida del mayor ellos está comprendida
 entre 1000º y 1700º; halle la suma de medidas
c) 1
x de dichos ángulos.
d) 2
e) 3 a) 1880º b) 1860º c) 1680º
d) 1660º e) 1200º
3) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) . 7) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular el
Calcular ctg valor de: E = tg.tg
a) - 4/3 b) - ¾ c) - 1/7 d) -7 e)  5 2 2 2 2
a)-1 b)   b  c)  a  d) 1 e)  b 
     
a  b  a 
4) De la figura mostrada calcular: 9tg
E  8) Sabiendo que cos = 1 , 270º <  < 360º ,
tg
4
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
entonces el valor de la expresión Sec   Csc , es:
1  Ctg
a) 0,25 b)0,50 c) 2,5 d) 4,00 e) 4,50
2º EXAMEN SUMATIVO 2009 - III
9) En la figura mostrada “ O” es el centro de la
circunferencia y además: OA  AB  BC ,
determine:
M  cot   10tg y
a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4
a) -1
EXAMEN PREFERENTE 2012 - I
b) 0
c) 1 14) Determinar el signo en cada cuadrante de:

2 A 1  cos 
x E   sen
d) 2 C B o sen . cos 
e) 3  a) ++++ b) +-++ c) +-+- d) -+-+ e) --++
15) El producto de cinco razones trigonométricas
de un ángulo que pertenece al segundo
10) Si cos   0, 63 ,   III C . cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y
coseno.
Calcular Sen2
a) 0,5850 b) 0,5950 c) 0,6061 a) 3 5 b) 5 c) 1 3 d) 3 1 e)  3 5

d) 0,6062 e) 0,6350 5 5 2 2 5
EXAMEN PREFERENTE 2010
cos 
11) Si ctg = -4 ,  IV C. calcular :
16) Si: 6 4
sen2   4 sen 
R 
cos 
 13sen 2
Además   IV cuadrante.
17 Halle: A  sec   1
tg 
a) 0 b)1 c) -1 d) 2 e) -2 8
2º EXAMEN SUMATIVO 2010 - III a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
17) Si: 1
sen   ; tg   0
12) Si: Csc  Csc 2
Tg   
Tg Halle: H  csc   3 ctg 
Simplificar: 4Cos   Cos  a) 1 b) 5 c) 4 d) -1 e) 3
E   Sen 
Ctg  2Ctg
a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1 18) Indicar el signo de cada expresión:
I. Sen200ºTan240º
II. Cos120ºTan100º
13) Del grafico siguiente; hallar tg  + tg 
III. Sen150ºCos340º
a) +, +, + b) -, -, - c) -, +, +
d) +, -, - e) +, -, +
19) Si los puntos P (m, n + 1) y Q (n, m + 1)
pertenecen al lado final de un ángulo “  ” en
posición normal:
Además: n = 2m. Calcular:
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5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
V  ctg   csc2   sen  cos  ángulos, si el menor se encuentra comprendido
entre 90° y 180°.
a) 1 b) -1 c) 2 d)  2 e) -2 a) 858° b) 825° c) 880° d) 902° e) 935°
2 2 2
6) “C” es el radio vector de un punto P(a;b), tal
PROBLEMA DE REPASO que:
asen  b cos  C
1) Si: ABCD es un cuadrado, del gráfico, calcule: Si “” es la medida de un ángulo en posición

ctg  AD  OB  y
normal. Hallar en función de a, b y c.
B C T  Tan  Cot
a) 2 a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5
2
b) 1 7) Si:  3
Tg 
 x 

c) 1   17  4
2 o x Calcular el valor de:  19 
Ctg  x 
d) 2  1  34 
e) 2  1 A D a) 3 b)  3 c)  4 d) 4 e)  1
4 4 3 3 2
2) En la figura AOB es un cuarto de
circunferencia. 8) El lado final de un ángulo en posición normal,
cuya medida es  pasa por el punto (3,-7).
Halle: " tg  " y
Calcular: E  58  cos   sen 
a) 1 A
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5
b) 7
24 9) Si  es la medida de un ángulo en posición
c)  7 normal, además:
24 2
sen  sen  0 ; tg tg  0 ; cos    0
d) 24 53º
x
3
7
B o
Calcular: F  5.ctg  Sec 

e)  24 a) -1 b) -2 c) -½ d) ½ e) 1
7
10) De la figura mostrada, obtener el valor de:
3) Simplificar: E  Tan  Tan
2 3   2 5
(a  b) Sen    (a  b) Cos 
L 2
aSen 3   bCos 2 
2 2
a) 2a b) - 2a c) 4a d) - 4a e) - 4b
4) Si el lado final de un ángulo canónico "" pasa
por los puntos P(m+n; n) y Q(n;m-n),
2 2
Calcular: K  Cot   Tan 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12
a) 12 b) 25 c) 7 d)  7 e)  25
5) Dos ángulos coterminales son entre sí como 2 25 12 12 12 12
es a 11. Calcular la medida del mayor de dichos
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6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
11) Si:
1
 1 4
 1
2   sen ; 3    2
 
 Cos  2    cos  
2
2
  
 
Calcular: F  16ctg  cos  
a)  73 7 b)  67 7 c)  61 7
d)  54 7 e)  27 7
12) Si  es la medida de un ángulo en posición
normal, además; Cos = 0,25; 270º < < a) – 5/2 b) – 3/2 c) -1 d) ½ e) 3/2
360º,
Calcular Sec   Csc 16) Para dos ángulos coterminales se cumple que
F 
1  Ctg dos veces el menor es a la suma de ellos como
a)  2 15 b) -4 c) 2 d) 4 e) 5 15 13 es a 23. Hallar la medida del menor si se
sabe que está comprendida entre 400° y 500°.
13) De la figura mostrada, calcular: F= Ctg.ctg a) 405° b)420° c)468° d)434° e) 476°
17) La suma de dos ángulos coterminales es igual a
540°. Calcular la medida del menor de ellos si el
mayor está comprendido entre 500° y 800°.
a) -80° b)-100° c) -90° d) 270° e)720
18) Se tiene un ángulo“  ” en posición normal que
verifica las siguientes condiciones:
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -6 i) cos    cos 
ii) tg   tg 
14) De la figura mostrada, simplifique:
   iii) sen   5
M  sen 
 . cos(  ).Ctg ( )
 2  3
Determine el valor de:
M  5.csc   9 cos 
a) -11 b) -10 c) -9 d) -8 e) -6
19) Si el punto (2m;-3m) pertenece al lado final de
un ángulo “” en posición normal. Calcule :

  13 sen2  cos2 ;m  0 
a) 2.sen b) 2.Cos  c) 2
.sen  a) -5 b) 5 c)
1 d) 1 e) 0
2 
5 5
d) 2 e) 2Tg
.
.Cos  20) Si: 1
2 sen   ; tg   0
2
15) De la figura mostrada; calcular: F = Sec.Csc Halle: H  csc   3 ctg 
a) 1 b) 5 c) 4 d) -1 e) 3
6
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