1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
y
A
x
Q
sen
(-)
-1
sen
(+)
M
1sen
(+)
N
sen
(-)
P
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-I
TRIGONOMETRÍA
“Circunferencia Trigonométrica”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con circunferencia trigonométrica.
Representar gráficamente las razones trigonométricas de arcos dirigidos en posición
normal.
Analizar las variaciones de las razones trigonométricas de los números reales.
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del
sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
B
y
M
B' N
R = 1
A' A
x
(+)
(-)
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en
grados sexagesimales, en radianes o como números
reales, para ello se recomienda tener en cuenta:
y
2
2
0
x
3
2
y
90º
180º
360º
270º
0º
x
y
0
x
1,57
6,28
4,71
3,14
Líneas trigonométricas
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula;
que van a representar los valores numéricos de las
razones trigonométricas de un arco, ángulo o número
real, siempre que esté definido.
1. L.T. seno
y
A
x
Q
sen
(-)
-1
sen
(+)
M
1sen
(+)
N
sen
(-)
P
Variación del seno de un arco:
IC
0
2
IIC
2
IIIC
3
2
IVC
2
3
2
0 1 1 0 0 -1 -1 0
0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0 -1<sen <0
sen
Semana Nº 5
2. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
2
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2. L.T. coseno
y
x
N
M
cos
(-)
-1
1
cos
(+)
A
P
cos
(-)
cos
(+)
Q
Variación del coseno de un arco:
IC
0
2
IIC
2
IIIC
3
2
IVC
2
3
2
0 11 0 0 -1 -1 0
0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0 -1<cos <0
cos
3. L.T. tangente
y
x
N
O
P
Q
M
T
T1
A
tan
tan
tan
tan
4. L.T. Cotangente
C.T.
P
0
T
rad
Tangente
Geométrica
En el gráfico:
Se observa que BT
representa a la cotangente del
arco trigonométrico .
Línea Secante:
tangente
geométrica
C.T.
P
0
rad
A
Y
En el gráfico:
Se observa que OR
representa a la secante del arco
trigonométrico.
Línea Cosecante:
tangente
geométrica
C.T.
P
M
0
rad
B(0;1)Y
En el gráfico:
Se observa que OM
representa a la cosecante del
arco trigonométrico.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de
c/u de las siguientes proposiciones
(I) sen2 > sen1 > sen3 ( )
(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( )
(III)cos 6 cos1 cos5 ( )
(IV)cos 2 cos4 cos3 ( )
A) FFVV B) VVFF C) VVFV
D) FVFV E) VFVF
3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
3
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RESOLUCIÓN
1,57
2
1
6
4
2
O
5
2 6,28
cos 2
cos 1
cos 3
cos 4
cos 5
cos 6
sen1
sen2
sen4
sen5
sen 3
314
3
sen6
3
4,71
2
Según la C.T. las proposiciones serán:
(I) (V)
(II) (V)
(III) (F)
(IV) (F)
RPTA.: C
2. ¿Qué valores puede tomar “x” para que se
cumpla:
x 2 x 1
Sen
3 2
siendo un arco del
tercer cuadrante?
A)
5
3
;
5
1
B)
5
2
;
5
1
C)
1
1;
5
D)
5
2
;0 E)
5
3
;0
RESOLUCIÓN
6
15
2
1
3
2
xxx
Sen
Como: 01 SenCIII
5x 1
1 0
6
6 <5x 1 > 0
5 <5x < 1
1 < x <
1
5
5
1
;1x
RPTA.: C
3. Si: 1-2x
sen " " IIIC
3
; Halle la
variación de “x”
A) 2;
2
1
B)
2
1
;2 C) 2;
2
1
D) 2;2 E) 1;1
RESOLUCIÓN
Si: CIII"" 01 sen
Como: 0
3
21
1
3
21
xx
sen
0213 x
124 x
2
1
2 x
1
"x" ;2
2
RPTA.: C
4. Del gráfico mostrado calcule el área del
cuadrilátero sombreado.
x
y
A) 0,5 sen cos B) 0,5 sen cos
C) 0,5 cos sen D) 0,5 sen cos
E) 0,5sen cos
RESOLUCIÓN
21 SSS
Calculamos
4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
4
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2S
1S
sen
cos
1
1
S (cos )
2
2
1
S (sen )
2
S 0,5(sen cos )
RPTA.: A
5. Si 3
;
4
, de la circunferencia
trigonométrica determina la variación de la
región sombreada.
A)
2
2
;
2
1 B)
2
2
;0
C)
2
1
;0
D)
2
2
;
2
1 E)
2
3
;
2
1
RESOLUCIÓN
cos
sen ; cos
sen cos ;sen
cos1
2
1
senS
)cos(
2
1
senS
42.
2
1
senS
Como:
4
3
4
3
42
1
42
2
sen
2
2
4
.
2
2
2
1
sen
2
2
;
2
1
S
RPTA.: A
6. El siguiente gráfico es una circunferencia
trigonométrica. Calcule el área del triángulo
EBF.
x
y
A
C.T.
B
F
E
A) cos B) 2cos C) sen
D) 2sen E)
1
sen
2
RESOLUCIÓN
Área cos)2(
2
1
EBF
Área cosEBF
B
F
E
cos
1
RPTA.: A
5. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
5
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
PROBLEMA DE CLASE
1) Ordene de forma creciente:
sen1, sen2, sen3, sen4, sen5, sen7.
A) sen5, sen4, sen3, sen7, sen1, sen2.
B) sen5, sen4, sen3, sen1, sen7, sen2.
C) sen5, sen4, sen3, sen1, sen2, sen7.
D) sen4, sen5, sen3, sen1, sen7, sen2.
E) sen4, sen5, sen3, sen7, sen1, sen2.
2) En una circunferencia trigonométrica
mostrada, halle m2
+2mn +n2
+ 2m +2n +1.
Si
m ABP
P
A
x
B
(m, n)
A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6
3) En la circunferencia trigonométrica de la
figura, si m AB'A'P ,
IIC, OP OM y PQ eje x. Se pide hallar el
área de la región triangular OMQ, donde P
está más próximo a B que ha A’.
A’ A x
B
B’
P
Q
M
A) ½ B)
1
sen
2
C)
1
(cos sen )
2
D)
1
sen
2
E)
2 21
(cos sen )
2
4) En la circunferencia trigonométrica, halle el
punto medio del lado PQ
A)
1 sec ;tg
B)
1 sec tg
;
2 2
C)
1 sec tg
;
2 2
D)
1 sec tg
;
4 2
E)
1 sec tg
;
2 4
P
Q
X
Y
M
5) Sabiendo que: 30º < < 120º; señale la
extensión de: C = 4sen - 1
a)<1; 3] b)<1; 3> c)<1; 2 + 1> d)<1; 2 + 1] e)<2; 3>
6) Si: x IVC y 3a 1
cosx
4
Entre que
límites está “a”
a)
1;
3
1
b) 1;1 c)
1;
2
1
d)
1;
4
1
e) 2;1
7) En la circunferencia trigonométrica determinar
el área de la superficie sombreada.
Y
X
A)
1
(1 cos )(2 tg )
2
B)
1
(1 sen )(2 ctg )
2
C)
1
(1 cos )(2 tg )
2
D)
1
(1 cos )(2 tg )
2
E)
1
(1 sen )(2 ctg )
2
6. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
8) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, si AM ; entonces al
calcular (en u2) el área sombreada, se
obtiene:
A)
1 sen
2
B)
1 cos
2
C)
1 cos
2
D)
1
sen cos
2
E)
2 sen cos
y
xA
M
9) En la circunferencia trigonométrica determinar
MP.
y
x
P
M
A) tg+ctgB)tg– ctgC) ctg– tg
D) – (tg+ctg) E) – tg– ctg+1
10) En la circunferencia trigonométrica
mostrada. Halle el área de la región
sombreada.
A)
1 sen 1
2 cos
B)
1 sen 1
2 sen
C)
1 sen cos
2 cos
D)
1 sen cos
2 sen
E) ½
1 sen cos
1 cos
11) Si: 29 cos(x+y)=2m2 – 21 ; x, yR, determine
la extensión de m para que la expresión dada
sea válida.
A) 5 m 2 B) 2 m 5
C) m 5 m 2
D) m 2 m 5 E) 5 m 5
12) En la circunferencia halle OM en términos de.
M
o
A)
sen
1 cos
B)
sen
1 cos
C)
1 cos
sen
D)
1 cos
sen
E)
1 cos
1 cos
13) En la figura M(x; y) es punto medio del
segmento QR , mABP . Halle: x+y
y
x
A
R
Q
B
M
P
A) (sen+cos)/2 B) 2 cosC) 2 sen
D) – senE) – cos
14) En la figura mostrada la circunferencia es
trigonométrica, hallar el área de la región
sombreada
AP
.
7. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
7
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
y
P R
A
Q
A)
1
tg 1 sen
2
B)
1
ctg 1 sen
2
C)
tg 1 sen
D)
1
tg 1 sen
2
E)
1
tg 1 cos
2
15) Si 5 < < 6
Señale verdadero (V) ó falso (F), en cada
proposición:
I.
sen sen
II.
cos cos
III.
tg tg
A) VVV B) VFF C) FFV
D) FVF E) FVV
16) Calcule los valores que toma “k”;
si K3 = 7cos2x + seny, además x e y son
variables independientes.
A)
1;8
B)
1;2
C)
1;2
D)
2;1
E)
2;8
PROBLEMA DE REPASO
1) Decir cual o cuales de las siguientes
proposiciones son falsas (F) o verdaderas (V).
I. sen(–3)<sen(–0,15)
II.|cos(–2)|>|cos(–1)|
III.tg(–3)>tg(–2)
A) FFF B) VFF C) FVV
D) VVF E) VVV
2) Si:
x 4
, entonces al calcular la suma del
máximo y mínimo valor de la expresión
W cov .x
8 3
, se obtiene:
A) 1,5 B)2,5 C) 3 D)3,5 E) 4,5
3) Si:
x , 3 , determinar la variación
de
6senx 4
H
3senx 4
.
A)
2, 1
B)
2,1
C)
2, 1
D)
2, 1 E)
2,0
4)En la circunferencia trigonométrica, se pide
indicar el valor de DBOC , en función del
ángulo "α"
O
A
B
C
D
a) TanSec b) TanSec
c)
Sen
Cos1
d) CscSec e)
Sen
Cos1
5) En el círculo trigonométrico, calcular el área de
la región sombreada.
O
a)
)1CosSen(
2
1
b)
)1CosSen(
2
1
c)
)CosSen1(
2
1
d)
)Cos21(
2
1
e)
)Sen21(
2
1
6) Señale la variación de: 1cos
1cos3
C
si: IVC
a)<1; 2> b)
2;
2
1
c)
1;
2
1
d)<1; 3> e)<2; 3>
8. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
8
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
7) Si II C y
1
2
csc
sen
sen determine la
variación de “ 2
csc ”
A)
10;
2
9 B)
5
2
;
5
3 C)
4
3
;
4
3
D)
5
7
;
5
3 E)
4;
4
9
8) Si se sabe que: “ ” 210;135 ,
ar la variación de: 1cos.2 P
A)
2
2
;1
B) 0;21 C) 1;2
D) 0;21 E) 0;21
9) Si: 2 sen 1 8 5cos ,
halle: “csc sec “
A) 2 B)
4
9
C)
4
1
D)
4
9 E)
4
1
10) Halle los valores de cos x 30 ,
si x 0;30
A) 1;
2
1 B)
1;
2
3 C)
2
3
;
2
1
D)
2
1
;
2
3 E) 1;1
11) Calcular BQ en el círculo trigonométrico
adjunto en función de "α"
O
B
Q
a) Sen1 b) Sen1
c)
)Sen1(2
d)
)Sen1(2
e)
)Cos1(2
12) Halle el área de la región sombreada:
A)
1
.sen
2
B)
1
.sen
2
C) sen
D) sen E) No se puede determinar
13) Hallar si el área de la región sombreada es
1
u
8
2
A) 6
B) 8
C) 4
D) 6
E) 3
14) Si “A” es el máximo valor y “B” el mínimo
valor de la expresión:
M = (3 + senx) (3 - senx)
Calcular: “A + B”
A) 2 B) 0 C) 17 D) 9 E) 1
15) Si: 2 tg 5 , determine los posibles
valores para cos.
A)
1 1
;
6 3
B)
1 1
;
3 6
C)
1 1 1 1
; ;
3 6 6 3
D)
1 1
; 1; 2
3 2
E)
1 1 1 1
; ;
2 3 3 2