1. 点素パス問題に対するアルゴリズム
小林 佑輔
数理第２研究室
助教の会 2011 年 7月 11日

2. 研究テーマ
組合せ的問題に対するアルゴリズム
特に… 対象： グラフ上の問題
興味： 多項式時間で解けるか？
 多項式時間アルゴリズム・NP困難性
 自然な問題が P か NP困難かを知りたい
 似た問題で P or NP困難 が切り替わるのが面白い
 理論的高速化
 マトロイド理論・離散凸関数
 効率良く解ける離散構造の研究

3. 発表の内容
 イントロダクション
 点素パス問題とは
 研究の歴史
 主要な結果
 無向点素パス問題
 近年の発展（我々の結果）
 ある種のグラフ上の辺素パス問題
 目的関数付き点素パス問題
 誘導点素パス問題
 まとめ

4. 点素パス問題
パスが頂点を
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk) 共有しない
Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
s1 s3
t1
s2 t2
t3

5. 点素パス問題
パスが頂点を
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk) 共有しない
Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
s1 s3
t1
s2 t2
t3

6. 点素（辺素）パス問題
パスが頂点（辺）
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk) を共有しない
Find: 点素（辺素）なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
s1 s1
t1 t1
s2 s2
t2 t2
 様々な類似問題
 無向グラフ or 有向グラフ
 頂点対数 k が 定数 or 入力の一部
 点素パス or 辺素パス etc.
 多くの応用を持つ (例: VLSI の設計)

7. 特殊ケース（１）： s-t 辺素パス問題
Input: 頂点対 (s, t)
Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : s → t )
X V-X
最大流アルゴリズムで
多項式時間で解ける
s t
すべての s ∊ X ⊆V – t で δ(X) ≧ k
Menger の定理 （最大流・最小カット定理）
k 本の辺素パスが存在
X と V-X を
結ぶ辺の数

8. 特殊ケース（２）： t1 = t2 = ･･･ = tk の時
Input: 頂点対 (s1, t) ,…, (sk, t)
Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : si → t )
s1
s2 最大流アルゴリズムで
s3
t 多項式時間で解ける
sk

9. 特殊ケース（２）： t1 = t2 = ･･･ = tk の時
Input: 頂点対 (s1, t) ,…, (sk, t)
Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : si → t )
s1
s2 最大流アルゴリズムで
s3
s
t 多項式時間で解ける
sk

10. 特殊ケース（２）： t1 = t2 = ･･･ = tk の時
Input: 頂点対 (s1, t) ,…, (sk, t)
Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : si → t )
s1
s2 最大流アルゴリズムで
s3
s
t 多項式時間で解ける
sk
一般の場合にはうまくいかない
s1 t1
s2 t2
s s3 t3 結ぶ頂点の組を指定
t されるから難しい
sk tk

11. 目的：理論的計算量の解明
 様々なバリエーションに対して
 多項式時間で解けるか？ NP困難か？
 より効率の良いアルゴリズムは？

12. 目的：理論的計算量の解明
 様々なバリエーションに対して
 多項式時間で解けるか？ NP困難か？
 より効率の良いアルゴリズムは？
 点素パス問題の計算量
有向グラフ 無向グラフ
k : 定数 NP困難 多項式時間
多項式時間 (平面グラフ) 線形時間 (平面グラフ)
多項式時間 (非巡回的)
k : 変数 NP困難 NP困難
k : 頂点対数

13. 辺素パスと点素パスの関係
 辺素パス問題は線グラフ上の点素パス問題に帰着可能
s1 t1
s1 t1
2 7
2 5 7 5
1 1
6 8 8
s2 3 4 t2 3 6
s2 4 t2
辺素パス 点素パス
定義 (線グラフ)
 元のグラフの辺が線グラフの頂点に対応
 元のグラフで同じ端点を持つ 線グラフで隣接

14.  点素パス問題の計算量
有向グラフ 無向グラフ
k : 定数 NP困難 多項式時間
多項式時間 (平面グラフ) 線形時間 (平面グラフ)
多項式時間 (非巡回的)
k : 変数 NP困難 NP困難
k : 頂点対数
 辺素パス問題の計算量
有向グラフ 無向グラフ
k : 定数 NP困難 多項式時間
多項式時間 (非巡回的)
k : 変数 NP困難 NP困難

15. 点素・辺素パス問題の歴史
1927 最大最小定理 （s-t パス） Menger
1956 最大流アルゴリズム Ford-Fulkerson
1970s 頂点対数 k が入力の一部の時NP困難 Karp など
1980 k=2, 無向グラフの時のアルゴリズム Seymour, Thomassen, Shiloach
k=2, 有向グラフの時NP困難 Even-Itai-Shamir
1994 k: 定数，平面有向グラフの時のアルゴリズム
（点素のみ） Schrijver
1995 k: 定数，無向グラフの時のアルゴリズム Robertson-Seymour
近年 k: 入力の一部の時の近似アルゴリズム
特殊ケースに対するアルゴリズム など

16. 発表の内容
 イントロダクション
 点素パス問題とは
 研究の歴史
 主要な結果
 無向点素パス問題
 近年の発展（我々の結果）
 ある種のグラフ上の辺素パス問題
 目的関数付き点素パス問題
 誘導点素パス問題
 まとめ

17. 無向点素パス問題
パスが頂点を
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk) 共有しない
Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
 k=2 多項式時間アルゴリズム
Seymour, Thomassen, Shiloach (1980)
 k：定数 多項式時間アルゴリズム
Robertson-Seymour (1995)
s1 s3
 k：変数 NP困難
Karp (1975)
t1
s2 t2
t3

18. 無向点素パス問題
パスが頂点を
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk) 共有しない
Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
 k=2 多項式時間アルゴリズム
Seymour, Thomassen, Shiloach (1980)
 k：定数 多項式時間アルゴリズム
Robertson-Seymour (1995)
s1 s3
 k：変数 NP困難
Karp (1975)
t1
s2 t2
t3

19. Robertson-Seymour のアルゴリズム
 頂点対数 k：定数，無向グラフ
点素（辺素）パス問題に対する多項式時間アルゴリズム
Graph Minors 13 (1995)
 グラフマイナー理論に基づく
1983年～現在 23本の論文にわたる大理論
Robertson & Seymour: Graph Minors 1 ～ 23
 グラフ理論・アルゴリズムにおける大きな成果
 計算時間は O(n3) n: グラフの頂点数
 k に依存する非常に大きな係数がかかる

20.  Graph minors. I. Excluding a forest, JCTB, 35 (1983), 39-61
 Graph minors. II. Algorithmic aspects of tree-width, J. Algorithms, 7 (1986), 309-322
 Graph minors. III. Planar tree-width, JCTB, 36 (1984), 49-64
 Graph minors. IV. Tree-width and well-quasi-ordering, JCTB, 48 (1990), 227-254
 Graph minors. V. Excluding a planar graph, JCTB, 41 (1986), 92-114
 Graph minors. VI. Disjoint paths across a disc, JCTB, 41 (1986), 115-138
 Graph minors. VII. Disjoint paths on a surface, JCTB, 45 (1988), 212-254
 Graph minors. VIII. A Kuratowski theorem for general surfaces, JCTB, 48 (1990), 255-288
 Graph minors. IX. Disjoint crossed paths, JCTB, 49 (1990), 40-77
 Graph minors. X. Obstructions to tree-decomposition, JCTB, 52 (1991), 153-190
 Graph minors. XI. Circuits on a surface, JCTB, 60 (1994), 72-106
 Graph minors. XII. Distance on a surface, JCTB, 64 (1995), 240-272
 Graph minors. XIII. The disjoint paths problem, JCTB, 63 (1995), 65-110
 Graph minors. XIV. Extending an embedding, JCTB, 65 (1995), 23-50
 Graph minors. XV. Giant steps, JCTB, 68 (1996), 112-148
 Graph minors. XVI. Excluding a non-planar graph, JCTB, 89 (2003), 43-76
 Graph minors. XVII. Taming a vortex, JCTB, 77 (1999), 162-210
 Graph minors. XVIII. Tree-decompositions and well-quasi-ordering, JCTB, 89 (2003), 77-108
 Graph minors. XIX. Well-quasi-ordering on a surface, JCTB, 90 (2004), 325-385
 Graph minors. XX. Wagner's conjecture, JCTB, 92 (2004), 325-357
 Graph minors. XXI. Graphs with unique linkages, JCTB, 99 (2009), 583-616
 Graph minors. XXII. Irrelevant vertices in linkage problems, manuscript.
 Graph minors. XXIII. Nash-Williams' immersion conjecture, manuscript.

21. RSアルゴリズムの概要
グラフの複雑さの指標
グラフの木幅を計算
（1） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く GM5 など
（2） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む
ウォール

22. RSアルゴリズムの概要
グラフの木幅を計算
（1） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く
（2） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む
（2-1） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
（2-2） 大きなクリークマイナーを含む
ウォール クリークマイナー
連結な
部分グラフ

23. RSアルゴリズムの概要
グラフの木幅を計算
（1） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く
（2） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む
（2-1） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
中央の頂点を取り除く GM22 の結果
（2-2） 大きなクリークマイナーを含む
ウォール クリークマイナー
s1 連結な
t3 t1 部分グラフ
s2
s3 t2

24. RSアルゴリズムの概要
グラフの木幅を計算
（1） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く
（2） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む
（2-1） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
中央の頂点を取り除く
（2-2） 大きなクリークマイナーを含む
 点素パスが見つかる
 頂点を取り除く s1
t1 t3
以上を繰り返す s2
t2
s3

25. n: グラフの頂点数
RSアルゴリズムの概要 m: グラフの辺数
グラフの木幅を計算
（1） 木幅≦（定数）： 動的計画法で解く O(n2)
（2） 木幅 > （定数）： 大きなウォールを含む
（2-1） 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
中央の頂点を取り除く
O(n2)
（2-2） 大きなクリークマイナーを含む
 点素パスが見つかる O(m)
 頂点を取り除く
以上を繰り返す O(n) 回 合計 O(n3) 時間

26. 発表の内容
 イントロダクション
 点素パス問題とは
 研究の歴史
 主要な結果
 無向点素パス問題 Break time
 近年の発展（我々の結果）
 ある種のグラフ上の辺素パス問題
 目的関数付き点素パス問題
 誘導点素パス問題
 まとめ

27. Break time
 点素パスを見つけよ
s s2
1
s3
s4
t1
t3 t2 t4

28. Break time
 点素パスを見つけよ
s s2
1
s3
s4
t1
t3 t2 t4

29. 発表の内容
 イントロダクション
 点素パス問題とは
 研究の歴史
 主要な結果
 無向点素パス問題
 近年の発展（我々の結果）
SODA ’10
 ある種のグラフ上の辺素パス問題 (with K. Kawarabayashi)
 目的関数付き点素パス問題
 誘導点素パス問題
 まとめ

30. 辺素パスと点素パスの関係
 辺素パス問題は線グラフ上の点素パス問題に帰着可能
s1 t1
s1 t1
2 7
2 5 7 5
1 1
6 8 8
s2 3 4 t2 3 6
s2 4 t2
辺素パス 点素パス
RSの点素パス問題に対する 問題点:
O(n3) 時間アルゴリズム  正当性の証明が難解
辺素パス問題に対する  k に依存する非常に大きな
O(m3) 時間アルゴリズム 係数がかかる

31. 成果：特殊ケースにおける単純なアルゴリズム
正当性の証明
グラフがオイラー的 or ４辺連結な場合： が容易
 辺素パス問題に対する単純なアルゴリズム
 k に依存する係数が非常に小さくなる
 グラフがオイラー的 すべての頂点の次数が偶数
 グラフが４辺連結 すべての辺カットの大きさが４以上

32. 成果：特殊ケースにおける単純なアルゴリズム
正当性の証明
グラフがオイラー的 or ４辺連結な場合： が容易
 辺素パス問題に対する単純なアルゴリズム
 k に依存する係数が非常に小さくなる
RSのアルゴリズム ・ 2
2
本研究
・・
指数関数や f (t) = 22 t 個  指数関数の合成（３回）
などの合成関数  平面的なら指数関数
 グラフがオイラー的 すべての頂点の次数が偶数
 グラフが４辺連結 すべての辺カットの大きさが４以上

33. 発表の内容
 イントロダクション
 点素パス問題とは
 研究の歴史
 主要な結果
 無向点素パス問題
 近年の発展（我々の結果）
 ある種のグラフ上の辺素パス問題
ISAAC ’09
 目的関数付き点素パス問題 (with C. Sommer)
 誘導点素パス問題
 まとめ

34. 目的関数付き点素パス問題 (Min-Sum)
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)， 各辺 e の長さ l(e)
Find: 点素パス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
s.t. パスの合計長さ最小
 自然な最適化問題
 ほとんどの場合で計算複雑度が未解決

35. 目的関数付き点素パス問題 (Min-Sum)
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)， 各辺 e の長さ l(e)
Find: 点素パス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
s.t. パスの合計長さ最小
s1
 自然な最適化問題 t1
 ほとんどの場合で計算複雑度が未解決 s2
t2
s3
t3
解決済のケース
 NP困難な点素パス問題に対応 NP困難
 最小費用流問題に帰着できる場合 多項式時間
 平面グラフで，s1,..., sk が同一面上，t1,..., tk が同一面上
多項式時間 （Colin de Verdière & Schrijver, 2008）

36. Min-Sum 点素パス問題に対する成果
成果：特殊ケースの解決
無向平面グラフで ターミナルが 高々２つの面上 にあるとき
k=2 の Min-Sum 点素パス問題は 多項式時間 で解ける
s1
s2 s1
t1 t1
t2 t2
s2
本研究
s1
t1
s2 t1 t2 s1
t2 s2
Colin de Verdière & Schrijver 最小費用流問題

37. 目的関数付き点素パス問題 (Min-Max)
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)， 各辺 e の長さ l(e)
Find: 点素パス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
s.t. 最も長いパスの長さ最小
多くの場合に NP困難
（ex. k=2, 無向グラフ, s1=s2 , t1=t2 でもNP困難）
本研究
k=2, 無向グラフ
 木幅 ≧３ なら NP困難
 木幅 ≦２ なら 多項式時間
グラフの複雑さの指標

38. 発表の内容
 イントロダクション
 点素パス問題とは
 研究の歴史
 主要な結果
 無向点素パス問題
 近年の発展（我々の結果）
 ある種のグラフ上の辺素パス問題
 目的関数付き点素パス問題
IPCO ’08
 誘導点素パス問題 (with K. Kawarabayashi)
 まとめ

39. 誘導点素パス問題
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)
Find: 誘導点素パス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
Pi と Pj は 共通の頂点 も 隣り合う頂点 も持たない
s1
s1
t1 t1
s2 s2
t2 t2
誘導点素パスでない 誘導点素パス

40. 誘導点素パス問題
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)
Find: 誘導点素パス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
Pi と Pj は 共通の頂点 も 隣り合う頂点 も持たない
s1
s1
t1 t1
s2 s2
t2 t2
誘導点素パスでない 誘導点素パス
本研究 動機
様々なバリエーションの  点素パス問題の一般化
理論計算量の解析  誘導部分グラフの存在判定

41. 誘導点素パス問題の計算量 (本研究)
有向グラフ 無向グラフ
k : 定数 NP困難 NP困難
多項式時間 (平面グラフ) 線形時間 (平面グラフ)
NP困難 (非巡回的)
k : 変数 NP困難 NP困難
k : 頂点対数
点素パス問題の計算量 (既存の結果)
有向グラフ 無向グラフ
k : 定数 NP困難 多項式時間
多項式時間 (平面グラフ) 線形時間 (平面グラフ)
多項式時間 (非巡回的)
k : 変数 NP困難 NP困難

42. 誘導点素パス問題の計算量 (本研究)
有向グラフ 無向グラフ
k : 定数 NP困難 NP困難
多項式時間 (平面グラフ) 線形時間 (平面グラフ)
NP困難 (非巡回的)
k : 変数 NP困難 NP困難
k : 頂点対数 本研究
点素パス問題の計算量 (既存の結果)
有向グラフ 無向グラフ
k : 定数 NP困難 多項式時間
多項式時間 (平面グラフ) 線形時間 (平面グラフ)
多項式時間 (非巡回的)
k : 変数 NP困難 NP困難

43. 発表の内容
 イントロダクション
 点素パス問題とは
 研究の歴史
 主要な結果
 無向点素パス問題
 近年の発展（我々の結果）
 ある種のグラフ上の辺素パス問題
 目的関数付き点素パス問題
 誘導点素パス問題
 まとめ

44. まとめ
 点素パス問題の計算複雑度
有向グラフ 無向グラフ
k : 定数 NP困難 多項式時間
多項式時間 (平面グラフ) 線形時間 (平面グラフ)
多項式時間 (非巡回的)
k : 変数 NP困難 NP困難
未解決問題： 平面有向グラフ上の辺素パス問題
研究課題
 様々な拡張（目的関数付き問題など）
 “最大数の対を結ぶ問題” に対する近似アルゴリズム
 高速化